ΜΑΣ 33: Μεπικέρ Διαφοπικέρ Εξισώσειρ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Σελ 4 Φξεζηκνπνηώληαο ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ u bu cu Λύση: Έρνπκε κε ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ Άξα ε δνζείζα ΜΔΕ γξάθεηαη σο ή b b u( U ( u bu U u U bu θαη U bu b U bu cu b U cu c U du d b λα ιύζεηε ηελ ΜΔΕ Απηή είλαη κηα ΣΔΕ πξώηεο ηάμεο (ζηε κεηαβιεηή ξ κε ζηαζεξνύο ζπληειεζηέο ε ιύζε ηεο νπνίαο είλαη d U( g( e κε g ηπραία νκαιή ζπλάξηεζε Επνκέλσο ε ιύζε ηεο δνζείζαο ΜΔΕ είλαη u( g( b e d b Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ 3 Πξνζδηνξίζηε ηηο ιύζεηο ηεο ΜΔΕ 3u u 3uu y Λύση: Η ΜΔΕ γξάθεηαη θαη σο y y άξα νινθιεξώλνληαο (σο πξνο y παίξλνπκε 3 u u f ( κε f ηπραία νκαιή ζπλάξηεζε Απηή είλαη κηα ΣΔΕ πξώηεο ηάμεο (ζηε κεηαβιεηή ε ιύζε ηεο νπνίαο είλαη 3 3 ( u y e g( y f ( e d ζπλάξηεζε Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ κε g ηπραία νκαιή 4 Πξνζδηνξίζηε ηηο ιύζεηο ηεο ΜΔΕ ( u uy Λύση: Γηα θάζε (ζηαζεξνπνηεκέλν έζησ X( y ε ιύζε ηεο ΣΔΕ d y y dy ( ( Η πην πάλσ ΣΔΕ είλαη ρσξηδνκέλσλ κεηαβιήησλ θαη έηζη βξίζθνπκε ηηο ραξαθηεξηζηηθέο θακπύιεο σο X ( y ( y rc( Θέηνπκε U ( y u ( y rc( y θαη
U ιόγσ ηεο ΜΔΕ ( y y (ειέγμηε ην! Άξα ε U είλαη ζηαζεξή (σο πξνο y γηα θάζε θαη ιύλνληαο σο πξνο ξ (ζηελ εμίζσζε ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ έρνπκε rc( y θαη ε ιύζε ηεο ΜΔΕ είλαη u( y f (rc( y κε f ηπραία νκαιή ζπλάξηεζε (κηαο κεηαβιεηήο Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ 5 Πξνζδηνξίζηε κηα ζπλάξηεζε u : ηέηνηα ώζηε u uy ( y u( y y y Λύση: Γηα θάζε (ζηαζεξνπνηεκέλν έζησ X( y d ( y y dy ( ζπλεπώο X ( y si y rcsi( ε ιύζε ηεο ΣΔΕ Απηέο είλαη νη ραξαθηεξηζηηθέο θακπύιεο ηεο ΜΔΕ θαη ε u είλαη ζηαζεξή θαηά κήθνο ηνπο Θέηνπκε ιόγσ ηεο ΜΔΕ U ( y y ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ έρνπκε u( y f si(rcsi( y u( y y θαη έηζη Δειαδή U ( y u si y rcsi( y θαη (ειέγμηε ην! Επνκέλσο ιύλνληαο σο πξνο ξ (ζηελ εμίζσζε si(rcsi( y θαη ε ιύζε ηεο ΜΔΕ είλαη κε f νκαιή ζπλάξηεζε (κηαο κεηαβιεηήο ηέηνηα ώζηε y u( y f u( y f si(rcsi( y f ( si( y f ( y rcsi( y u( y rcsi si(rcsi( y y rcsi( Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ θαη ηελ αξρηθή ζπλζήθε Σελ 5 7 Ταμηλνκείζηε ηηο ΜΔΕ Λύση: (i 5 / 5 / 4 ππεξβνιηθή (ii 4 / 9 36 παξαβνιηθή
(iii 4 6 / 9 9 36 ειιεηπηηθή 3 (iv ( 3 / 4 ππεξβνιηθή (v 9 6 / 9 παξαβνιηθή Θεσξνύκε ηε ΜΔΕ 3 u y u (i Πνηνπ ηύπνπ είλαη απηή ε εμίζσζε; (ii Θέηνληαο v u y y πξνζδηνξίζηε ηε γεληθή ηεο ιύζε (iii Τη κπνξείηε λα πείηε ζρεηηθά κε ηελ ύπαξμε θαη κνλαδηθόηεηα ηεο ιύζεο γηα ηελ νπνία ηζρύεη u e u 3 ( y ( ; Λύση: (i / / 4 ππεξβνιηθή (ii Έζησ v u y Η ΜΔΕ γξάθεηαη σο 3 vv θαη ε ιύζε ηεο είλαη v( y g( y e 3 κε g ηπραία νκαιή ζπλάξηεζε Άξα uy g( y e 3 όπνπ u y g y e dy f e g y dy f e G y f 3 3 3 ( ( ( ( ( ( ( G( y g( y dy (iii Γηα λα ηζρύνπλ νη δνζείζεο ζπλζήθεο ζα πξέπεη u e e e G f f G 3 3 3 ( ( ( ( ( θαη u e g g 3 y ( ( ( Δειαδή ε g δελ είλαη πηα ηπραία αιιά ηθαλνπνηεί g( θαη G( Υπάξρνπλ πνιιέο ηέηνηεο ζπλαξηήζεηο πρ G y y y 3 ( άξα ην δνζέλ πξόβιεκα έρεη ιύζε αιιά δελ είλαη κνλαδηθή 3 Υπνζέηνπκε όηη ε ΜΔΕ u u u u u u f y y y είλαη ειιεηπηηθή θαη όηη Απνδείμηε όηη ν πίλαθαο A είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο Τη κπνξείηε λα πείηε αλ ;
Λύση: Μηα θαη ε ΜΔΕ είλαη ειιεηπηηθή ηζρύεη ή Θεσξνύκε γηα 4 κε κεδεληθό [ ] T ην γηλόκελν T A [ ] [ ] πνπ δείρλεη όηη ν πίλαθαο Α είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο Αλ πάλσ ππνινγηζκόο δίλεη ηόηε θαη ν πην T A θαη ν πίλαθαο Α είλαη αξλεηηθά νξηζκέλνο 4 Πξνζδηνξίζηε κηα ζπλάξηεζε u : ηέηνηα ώζηε u u 3u u( Λύση: Γηα θάζε (ζηαζεξνπνηεκέλν ζπλεπώο X ( έζησ X( d ( d ( ε ιύζε ηεο ΣΔΕ Απηέο είλαη νη ραξαθηεξηζηηθέο επζείεο ηεο ΜΔΕ θαη ε u είλαη ζηαζεξή θαηά κήθνο ηνπο Θέηνπκε U ( u U 3 U θαη ιόγσ ηεο ΜΔΕ (ειέγμηε ην! Η ιύζε απηήο ηεο ΣΔΕ δίδεηαη από U( f ( e ηπραία (πξνο ην παξόλ νκαιή ζπλάξηεζε κηαο κεηαβιεηήο Λύλνληαο σο πξνο ξ (ζηελ εμίζσζε ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ έρνπκε θαη ε ιύζε ηεο ΜΔΕ είλαη 3 u( f e κε f ηέηνηα ώζηε u( Δειαδή u( f f ( f ( 3 κε f
θαη έηζη 3 u( e 5 Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ θαη ηελ αξρηθή ζπλζήθε ορ ηπόπορ λύζηρ: Κάλνπκε ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ u( U ( θαη έηζη u U U u U U Άξα ε δνζείζα ΜΔΕ γξάθεηαη σο U U 4U U 3U 5U 3U 3 /5 ε ιύζε ηεο νπνίαο είλαη U( g( e κε g ηπραία νκαιή ζπλάξηεζε Επνκέλσο ε γεληθή ιύζε ηεο ΜΔΕ είλαη u( g( e 3 /5 Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ (αιιά όρη θαη αλάγθε ηελ αξρηθή ζπλζήθε Τώξα γηα λα ηθαλνπνηήζνπκε ηελ αξρηθή ζπλζήθε u( ε g πξέπεη λα είλαη ηέηνηα ώζηε 3 /5 u g e ( ( δειαδή g( e 6 /5 Επνκέλσο ε ιύζε ηνπ δνζέλ πξνβιήκαηνο αξρηθώλ ηηκώλ είλαη 6 /5 3 /5 3 u( e e e 5 Πξνζδηνξίζηε κηα ζπλάξηεζε u : ηέηνηα ώζηε u u u e 4 u( Λύση: Γηα θάζε (ζηαζεξνπνηεκέλν έζησ ζπλεπώο X ( ζηαζεξή θαηά κήθνο ηνπο Θέηνπκε U 4 U e e e 4 X( d ( d ( ε ιύζε ηεο ΣΔΕ Απηέο είλαη νη ραξαθηεξηζηηθέο επζείεο ηεο ΜΔΕ θαη ε u είλαη U ( u θαη ιόγσ ηεο ΜΔΕ (ειέγμηε ην! Η ιύζε απηήο ηεο ΣΔΕ δίδεηαη από U( f ( e e κε f ηπραία (πξνο ην παξόλ νκαιή ζπλάξηεζε κηαο κεηαβιεηήο 4 Λύλνληαο σο πξνο ξ (ζηελ εμίζσζε ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ έρνπκε θαη ε ιύζε ηεο ΜΔΕ είλαη u( f ( e e 4 4 κε f ηέηνηα ώζηε u( Δειαδή
θαη έηζη u( f e e f ( e f ( e 4 4 4 4 u( e e e 4 4 4 Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ θαη ηελ αξρηθή ζπλζήθε 6 ορ ηπόπορ λύζηρ: Κάλνπκε ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ u( U ( θαη έηζη u U U u U U Άξα ε δνζείζα ΜΔΕ γξάθεηαη σο U U 4U U 4U e 5U 4U e ε ιύζε ηεο νπνίαο είλαη U ( g( e 4 /5 e 4 κε g ηπραία νκαιή ζπλάξηεζε Επνκέλσο ε γεληθή ιύζε ηεο ΜΔΕ είλαη u( g( e 4 /5 e 4 Μπνξείηε λα ειέγμεηε όηη πξάγκαηη ε u ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ (αιιά όρη θαη αλάγθε ηελ αξρηθή ζπλζήθε Τώξα γηα λα ηθαλνπνηήζνπκε ηελ αξρηθή ζπλζήθε u( ε g πξέπεη λα είλαη ηέηνηα ώζηε 8 /5 e u( g( e 4 δειαδή πξνβιήκαηνο αξρηθώλ ηηκώλ είλαη e g( e 4 8 /5 Επνκέλσο ε ιύζε ηνπ δνζέληνο e e e u( ( e e 4( e e 4 4 4 4 8( /5 4( /5 4 Σελ 39: Έζησ u κηα ιύζε ηεο θπκαηηθήο εμίζσζεο v( u( y w( u( y u c u Να δείμεηε όηη νη είλαη επίζεο ιύζεηο όπσο επίζεο θαη νπνηαδήπνηε παξάγσγνο ηεο u Λύση: Έρνπκε v c v u c u όπσο επίζεο θαη w c w u c u u c u άξα νη v θαη w είλαη επίζεο ιύζεηο Γηα νπνηαδήπνηε παξάγσγν ηεο u αο πνύκε ηελ U u έρνπκε
U c U u c u u c u Με ηνλ ίδην ηξόπν δείρλνπκε ην 7 δεηνύκελν γηα νπνηαδήπνηε άιιε παξάγσγν 3 Έζησ όηη νη θ τ ζηηο αξρηθέο ζπλζήθεο ηεο θπκαηηθήο εμίζσζεο είλαη πεξηηηέο ζπλαξηήζεηο Να δείμεηε όηη ε ιύζε u είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε ηνπ γηα θάζε > Λύση: Ιζρύνπλ Έρνπκε γηα > ( ( ( ( Η ιύζε u δίδεηαη από c u( ( c ( c ( d c c c u( ( c ( c ( d c c ( c ( c ( c ( c ( c ( d c ( c c c ( d c Κάλνπκε ηελ αιιαγή κεηαβιεηώλ ζ = η ζην νινθιήξσκα θαη έρνπκε ( c u( c c ( d c ( c ( c c c ( d c ( c u( Σελ 57: 5 Έζησ : κηα άξηηα νκαιή ζπλάξηεζε Να δείμεηε όηη ( Λύση: Ιζρύεη ( ( ( ( θαη γηα = έρνπκε κηα θαη ε θ είλαη άξηηα Παξαγσγίδνληαο βξίζθνπκε ( ( ή ( 6 Θεσξνύκε ην εμήο πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: v c v v( ( v ( ( v( Απνδείμηε όηη νη ζπλζήθεο ( ( είλαη αλαγθαίεο ζπλζήθεο ζπκβαηόηεηαο θαη ζηε ζπλέρεηα βξείηε κηα παξάζηαζε γηα ηε ιύζε ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο
8 Λύση: Από ηηο αξρηθέο ζπλζήθεο έρνπκε v ( ( v ( ( νη νπνίεο δίλνπλ v ( ( v ( ( Η ζπλνξηαθή ζπλζήθε ιέεη όηη v ( v ( όπσο επίζεο θαη v ( v ( v ( Επνκέλσο ( ( Επεθηείλνπκε ηηο θ θαη τ θαηά άξηην ηξόπν ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα σο εμήο ( ( ( ( ( ( θαη ζεσξνύκε ην πην θάησ πξόβιεκα αξρηθώλ ηηκώλ (ζε όιν ην : u c v u( ( u ( ( Εύθνια δηαπηζηώλνπκε όηη ε ιύζε u( ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο είλαη άξηηα ζπλάξηεζε (ζην θηα αθνύ ε παξάγσγνο κηαο άξηηαο ζπλάξηεζεο είλαη πεξηηηή ζπλάξηεζε δηαπηζηώλνπκε επίζεο όηη ε παξάγσγνο u ( είλαη πεξηηηή (ζην Επνκέλσο u ( = Άξα γηα έρνπκε v( u( Φξεζηκνπνηώληαο ην ηύπν ηνπ D Alember έρνπκε c v( ( c ( c ( d c Πποαιπεηικό: Αλ ζέινπκε λα γξάςνπκε ηε ιύζε ρξεζηκνπνηώληαο ηηο θ θαη τ ηόηε ν πην πάλσ ηύπνο γξάθεηαη σο εμήο: c ( c ( c ( d c c c v( c c ( c ( c ( d ( d c c c 7 Θεσξνύκε ην εμήο πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: v c v f ( v( ( v ( ( v( όπνπ νη f θ τ δνζείζεο νκαιέο ζπλαξηήζεηο κε ηελ απαηηνύκελε ζπκβαηόηεηα Δώζηε κηα παξάζηαζε γηα ηε ιύζε ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο Λύση: Επεθηείλνπκε ηα δεδνκέλα θαηά άξηην ηξόπν (σο πξνο ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα σο εμήο
( ( ( ( ( ( f f ( ( f ( 9 Τόηε ε ιύζε ηνπ ΠΑΣΤ δίδεηαη από c c( v( ( c ( c ( d f ( y dyd c c c c( Σηε πεξίπησζε πνπ θ = τ = ηόηε c( v( f ( y dyd c c( 8 Θεσξνύκε ην εμήο πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: w c w g( w( ( w ( ( w ( h( όπνπ νη g θ τ h δνζείζεο νκαιέο ζπλαξηήζεηο κε ηελ απαηηνύκελε ζπκβαηόηεηα Φξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο v( w( h( γηα λα αλαγάγεηε ην πξόβιεκα ζε έλα κε νκνηνγελή ζπλνξηαθή ζπλζήθε Neum Λύση: Έζησ πνπ δίλεη Επίζεο v( w( h( Τόηε v ( w ( h( v ( w ( v c v w c w h ( ( ( ( ( g( h( v( w( h( ( h( v ( w ( h( ( h( v ( w ( h( άξα ε ζπλάξηεζε v( ηθαλνπνηεί ην εμήο ΠΑΣΤ (κε νκνηνγελείο ΣΣ Neum: v c v g h v( ( h( v ( ( h( v( ( ( ( ( 9 Θεσξνύκε ην εμήο πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ:
v c v ( v( ( ( v ( ( ( v( v( όπνπ νη θ τ δνζείζεο νκαιέο ζπλαξηήζεηο κε ηελ απαηηνύκελε ζπκβαηόηεηα Απνδείμηε όηη ην πην πάλσ πξόβιεκα έρεη ην πνιύ κηα ιύζε θαη πξνζδηνξίζηε ηελ Λύση: Θα δείμνπκε κνλαδηθόηεηα ηεο ιύζεο κε ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ ΜΔΕ κε v θαη νινθιεξώλνπκε (σο πξνο από κέρξη : Οινθιεξώλνπκε ην δεμί κέινο θαηά κέξε: ( ( ( ( v v d c v v d v ( v ( d v ( v ( v ( v ( d v ( v ( d ιόγσ ηνπ όηη v ( v ( (από ηηο ΣΣ Άξα έρνπκε v ( v ( c v ( v ( d v ( c v ( d Απηό καο ιέεη όηη ε ενέπγεια ρξόλν δει Ε( = E( ή E( : v ( c v ( d δελ εμαξηάηαη από ην ( ( ( ( v c v d c d ζρέζε πνπ καο επηηξέπεη λα πνύκε όηη κεδεληθά δεδνκέλα δίλνπλ κεδεληθή ιύζε Γηα ηελ αθξίβεηα γηα τ = θ = έρνπκε v ( v ( v( = θ( = θαη έηζη v = Αλ ηώξα ππάξρνπλ δύν ιύζεηο v vˆ ε δηαθνξά ηνπο δει ε v είλαη ζηαζεξή Όκσο ˆ vvζην πην πάλσ ΠΑΣΤ ηόηε ηθαλνπνηεί ηε ΜΔΕ αιιά κε κεδεληθά δεδνκέλα άξα ζα πξέπεη λα είλαη κεδέλ δει v vˆ Γηα λα βξνύκε κηα παξάζηαζε γηα ηε ιύζε ηνπ ΠΑΣΤ επεθηείλνπκε ηα δεδνκέλα κε άξηην ηξόπν θαη κεηά κε πεξηνδηθό ηξόπν σο εμήο: ( [ ] e ( e ( e ( ( [ ] ( [ ] e ( e ( e ( ( [ ]
Τόηε ε ιύζε ηνπ ΠΑΣΤ δίδεηαη από v( ( ( e c e c e ( d [ ] c c c Θεσξνύκε ην εμήο πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: v c v f ( ( v( ( ( v ( ( ( v( v( όπνπ νη θ τ f δνζείζεο νκαιέο ζπλαξηήζεηο κε ηελ απαηηνύκελε ζπκβαηόηεηα Πξνζδηνξίζηε κηα παξάζηαζε γηα ηε ιύζε ηνπ πην πάλσ ΠΑΣΤ Λύση: Επεθηείλνπκε ηα δεδνκέλα κε άξηην ηξόπν θαη κεηά κε πεξηνδηθό ηξόπν σο εμήο: f e ( [ ] e ( ( [ ] ( [ ] e ( ( [ ] f ( [ ] ( f ( [ ] ( ( e e e ( ( e f ( f ( e e Τόηε ε ιύζε ηνπ ΠΑΣΤ δίδεηαη από c c( v( ( c ( c ( d f ( y dyd [ ] e e e e c c c c( Θεσξνύκε ην εμήο πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: w c w g( ( w( ( ( w ( ( ( w ( h( w ( k( όπνπ νη θ τ g h k δνζείζεο νκαιέο ζπλαξηήζεηο κε ηελ απαηηνύκελε ζπκβαηόηεηα Φξεζηκνπνηήζηε ηελ αιιαγή ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο v( w( h( k( h( γηα λα αλαγάγεηε ην πξόβιεκα ζε έλα κε νκνηνγελή ζπλνξηαθή ζπλζήθε Neum
Λύση: Έζησ v( w( h( k( h( Τόηε v( w ( h( k( h( v( w ( k( h( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( v w h k h v w h k h Άξα v c v w ( h ( k( h( c w ( k( h( Επίζεο g( h ( k( h( c k( h( v( w( h( k( h( ( h( k( h( v( w( h( k( h( ( h ( k ( h ( v ( w ( h( v ( w ( k( άξα ε ζπλάξηεζε v( ηθαλνπνηεί ην εμήο ΠΑΣΤ (κε νκνηνγελείο ΣΣ Neum: v ( c v ( g( h ( k ( h ( c k( h( v( ( h( k( h( v ( ( h( k( h( v( v( 7 Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ζην πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: Λύση: Μηα θαη θ = τ = ε ιύζε δίδεηαη από όπνπ f ( Επνκέλσο u c u u( u ( c( u( f ( y dyd c c(
c( 3 u( y dyd c( c( d c c 6 c( 3 8 Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ζην πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: όπνπ δνζείζα ζεηηθή ζηαζεξά Λύση: Μηα θαη θ = τ = ε ιύζε δίδεηαη από u c u e u( u ( όπνπ f ( e c( u( f ( y dyd c Επνκέλσο c( c( ( c ( c y e e e e dyd c c( u( c 9 Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ζην πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: Λύση: Η ιύζε δίδεηαη από u c u cos( u( si( u ( c c( u( ( c ( c ( d f ( y dyd c c όπνπ ( si( ( f ( cos( c c( Επνκέλσο c( u( si( c si( c ( d cos( y dyd c c c c c( c si( c si( c ( si c( si c( d 4c c c cos( cos( c cos( c si( c si ( c ( c Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ζην πξόβιεκα αξρηθώλ ζπλνξηαθώλ ηηκώλ: ζην ζεκείν (/ 3/ u u e ( u( u ( ( u( u(
Λύση: Λόγσ ηνπ όηη νη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο είλαη ηύπνπ Neum επεθηείλνπκε ηελ f ( e πξώηα θαηά άξηην ηξόπν ζην ( θαη κεηά θαηά πεξηνδηθό ηξόπν κε πεξίνδν ζε όιν ην σο εμήο: 4 f e e ( e [] ( f ( f ( e e Μηα θαη νη θ τ είλαη κεδέλ ε ιύζε δίδεηαη από θαη γηα ην ζεκείν (/ 3/ έρνπκε ( u( fe ( y dyd ( ( 3/ / (3/ 3/ u(/ 3 / f ( y dyd fe ( y dyd e / (3/ Απνκέλεη λα ππνινγίζνπκε ην πην πάλσ νινθιήξσκα Παξαηεξνύκε όηη ε πεξηνρή όπνπ ππνινγίδεηαη ην νινθιήξσκα είλαη ε πεξηνρή εμάξηεζεο ηνπ ζεκείνπ (/ 3/ Αλ ηελ ζρεδηάζεηε ζα δείηε όηη ην y δεη ζην δηάζηεκα ( άξα ε κνξθή ηεο f e πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ζην νινθιήξσκα πξέπεη λα επηιεγεί θαηάιιεια Παξαηεξνύκε όηη Επνκέλσο y e y f ( y e y e y y e y 3/ e f ( y dyd 3/ ( ( ( ( fe y dyd fe y dyd fe y dyd e f y dyd 3/ y y y y e dyd e dyd e dyd e dy d 3 / e e 987
Έζησ C [] Απνδείμηε όηη 5 (i [] / / m ( όπνπ / ( d (ii Αλ θ( = θ( = απνδείμηε όηη [] / / m ( Λύση: (i Οινθιεξώλνληαο ( y ( y dy θαηά κέξε δίδεη y ( ( ( ( ( ( ( ( y ην νπνίν δείρλεη όηη y y dy y y y dy y y dy ( ( y ( y dy Τώξα m ( m ( m ( y ( y dy m ( y ( y dy [] [] [] [] / / ( y dy ( y dy από όπνπ πξνθύπηεη ην δεηνύκελν (Φξεζηκνπνηήζακε ηελ αληζόηεηα Cuchy-Schwrz ζην πξνηειεπηαίν βήκα (ii Θεσξνύκε y ( y ( y dy ( y ( y ( y dy ( ( y ( y dy y πνπ δίλεη (i παίξλνπκε ( ( y ( y dy Πξνζζέηνληαο κε ην ( ( y ( y dy από ην άξα ( ( y ( y dy ( y ( y dy ( ( y ( y dy ( y ( y dy m ( m ( y ( y dy ( y ( y dy [] [] m ( y ( y dy m ( y ( y dy [] [] m ( y ( y dy m ( y ( y dy [] [] / / ( y ( y dy ( y dy ( y dy
από όπνπ πξνθύπηεη ην δεηνύκελν (Φξεζηκνπνηήζακε θαη πάιη ηελ αληζόηεηα Cuchy- Schwrz ζην πξνηειεπηαίν βήκα 6 Έζησ C [] θαη θ( = Απνδείμηε όηη (Απηή θαιείηαη αληζόηεηα ηνπ Poicré Λύση: Από ηε πξνεγνύκελε άζθεζε έρνπκε [] [] [] m ( ( y dy m ( dy m ( δεηνύκελν Παξαηεξνύκε όηη από όπνπ πξνθύπηεη ην 4 (i Έζησ κε :[ T] θαη β > Απνδείμηε όηη ζπλερήο ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε ( ( d [ T] ( e [ T] (ii Έζησ :[ T] ζπλερώο παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε ( ( [ T] κε α κε αξλεηηθή ζηαζεξά θαη β ζεηηθή ζηαζεξά Απνδείμηε όηη ( ( T e [ T ] Λύση: (i Έζησ v( : ( e u( ( d e Παξαγσγίδνληαο ηελ u παίξλνπκε Τόηε v( u( [ T ] u( ( ( d e v( u( v( u( [ T] από ηα πην πάλσ Δειαδή ε u είλαη θζίλνπζα θαη έηζη u( u( [ T] v( [ T] ( e [ T] ( e [ T] (ii Οινθιεξώλνληαο ηελ ζρέζε ( ( από κέρξη παίξλνπκε ( s ds ( s ds ( ( ( s ds ( ( ( s ds ( T ( s ds
7 Δειαδή ε θ ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε ( ( s ds όπνπ ( T Από ην κέξνο (i έρνπκε ηόηε όηη ( e [ T] πνπ δίλεη ην δεηνύκελν Σελ 7: 3 Απνδείμηε όηη ε νκαιή ιύζε v ηνπ πξνβιήκαηνο v kv ( v( ( [ ] v( v( ηθαλνπνηεί v( Σηε ζπλέρεηα βειηηώζηε ην απνηέιεζκα δείρλνληαο όηη k ( v e Λύση: Πνιιαπιαζηάδνληαο ηε ΜΔΕ κε v θαη νινθιεξώλνληαο σο πξνο από κέρξη παίξλνπκε (κε νινθιήξσζε θαηά κέξε ζην δεμί κέινο ( ( ( ( ( ( ( ( ( v v d k v v d v v d k v v k v d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( v v d kv v kv v k v d v v d k v d Τώξα vv v θαη έηζη έρνπκε v ( v( d d d ( v d v d v d d Έζησ E( v( Η πην πάλσ ζρέζε ιέεη όηη ε Ε( είλαη θζίλνπζα έηζη Ε( Ε( ή v( v( v( πνπ είλαη ην δεηνύκελν Γηα λα βειηηώζνπκε ηε πην πάλσ αληζόηεηα παξαηεξνύκε όηη από ηα πην πάλσ έρνπκε d d v ( v( d k v ( d v d k v ( d v( k v ( d d d Μηα θαη v( (από ηηο ΣΣ έρνπκε από ηηο Αζθήζεηο πνπ δίλεη v ( d v ( d
d k k v( k v ( d v ( d v( d 8 Οξίδνπκε ηώξα ηε ζπλάξηεζε k z( e v( θαη παξαηεξνύκε όηη ηθαλνπνηεί k k k dz k d dz k k e v( e v( z( e v( d d d Απηό καο ιέεη όηη ε z είλαη θζίλνπζα δει από όπνπ πξνθύπηεη ην δεηνύκελν z( z( πνπ δίλεη k k e v( v( v( e Σελ 9: 35 Απνδείμηε όηη ην πξόβιεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε u ku ( u( ( ( u( u( Λύση: Έζησ u u δύν ιύζεηο ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο θαη έζησ v( u ( u ( Τόηε ε v ηθαλνπνηεί ην εμήο πξόβιεκα v kv ( v( [ ] v( v( ην νπνίν έρεη ζαλ κνλαδηθή ιύζε ηε κεδεληθή όπσο δίλεη ε αξρή ηνπ κεγίζηνπ Άξα u ( u ( u ( u ( g ( Η ΜΔΕ δίλεη επηπιένλ (δει ζηαζεξά σο πξνο u( u( u( u( g( k άξα u( u( ά (θαη σο πξνο Λόγσ ηνπ όηη u( u( ( ηζρύεη u( u( πνπ δείρλεη u( u( 36 Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο απνδείμηε όηη ην πξόβιεκα u ku ( u( ( ( u( u(
έρεη κνλαδηθή ιύζε 9 Λύση: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε ΜΔΕ κε u( θαη νινθιεξώλνπκε σο πξνο από κέρξη κε νινθιήξσζε θαηά κέξε ζην δεμί κέινο: Μηα θαη u ud k u ud u ud u u k u u d u ud u ( u( u ( u( k u u d u ud k u d uu u έρνπκε όηη d d u d k u d u d k u d E( d d : E ( Με άιια ιόγηα ε ζπλάξηεζε E( είλαη θζίλνπζα δει E( Ε( ή u d u d ( ( Έζησ ηώξα u u δύν ιύζεηο ηνπ ίδηνπ ΠΑΣΤ πνπ θαίλεηαη πην πάλσ θαη έζησ v = u u Η v ηθαλνπνηεί ην ίδην πξόβιεκα κε ηηο u u αιιά κε θ( = δει κε κεδεληθά δεδνκέλα Από ηελ πην πάλσ αληζόηεηα έρνπκε πνπ ιέεη όηη ε v είλαη θαη άξα u = u v ( d v ( d ( d 3 Θεσξνύκε ην πξόβιεκα u ku f ( u( ( u( h( Να αλαρζεί ζε έλα πξόβιεκα κε νκνηνγελή ΣΣ Λύση: Οξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε θαη παξαηεξνύκε όηη v( u( h( v ( kv ( u ( h( ku ( u ( ku ( h( f ( h( v( u( h( ( h( v( u( h( h( h( Άξα ε v ηθαλνπνηεί ην εμήο ΠΑΣΤ:
v kv f ( h( u( ( h( u( 3 Θεσξνύκε ην πξόβιεκα u ku u( ( u ( Να αλαρζεί ζε έλα πξόβιεκα αξρηθώλ ηηκώλ (δει λα μεθνξησζνύκε ηελ ζπλνξηαθή ζπλζήθε Λύση: Παξαηεξνύκε όηη γηα λα έρνπκε ιύζε ζα πξέπεη λα ηζρύεη ε ζπλζήθε ζπκβαηόηεηαο ( ηελ νπνία ππνζέηνπκε Σηε ζπλέρεηα επεθηείλνπκε ηε θ κε άξηην ηξόπν ζηνλ αξλεηηθό εκηάμνλα δει νξίδνπκε ηελ θαη ζεσξνύκε ην πξόβιεκα ( ( ( v kv v( ( Ιζσςπιζμόρ: Ο πεξηνξηζκόο ηεο v( ζην ζεηηθό εκηάμνλα (δει γηα > ηζνύηαη κε ηελ u Δειαδή u v Επίζεο γηα Γηα λα ην δνύκε απηό παξαηεξνύκε όηη γηα > u ( ku ( v ( kv ( u( v( ( ( Τώξα ε v είλαη άξηηα ζπλάξηεζε (σο πξνο άξα ε παξάγσγόο ηεο v είλαη πεξηηηή (σο πξνο Επνκέλσο v ( v ( v ( θαη άξα u ( v ( 35 Τν πξόβιεκα γηα ηελ εμίζσζε ηεο ζεξκόηεηαο δελ είλαη θαιώο ηεζεηκέλν γηα < Λύση: Θεσξνύκε ην πξόβιεκα u k u [ ] u ( si( [ ] u( u(
ηνπ νπνίνπ νη ζπλαξηήζεηο Παξαηεξνύκε όηη Όκσο k u( si( e είλαη ιύζεηο Ειέγμηε ην m u ( m si( όηαν [ ] [ ] k e m u ( m si( e όηαν [ ] [ ] Άξα ην πξόβιεκα δελ είλαη θαιώο ηεζεηκέλν k 36 Θεσξνύκε ζπλαξηήζεηο θ( τ( : ( ( διαθορεηικά θ δύν θνξέο ζπλερώο παξαγσγίζηκε θαη ηέηνηα ώζηε ( ( [ (] ( διαθορεηικά Απνδείμηε όηη ε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο u u u( ( u ( ( ιακβάλεη ηε κόλε κέγηζηε ηηκή ηεο ζην ζεκείν (/ / Με άιια ιόγηα ε αξρή ηνπ κεγίζηνπ δελ ηζρύεη γηα ηελ θπκαηηθή εμίζσζε Λύση: Ο ηύπνο ηνπ D Alember δίλεη άξα u( ( ( ( d m u( m ( ( ( d Λόγσ ηνπ νξηζκνύ ησλ θ θαη τ ε παξάζηαζε ζηα δεμηά ζα ιάβεη ηε κέγηζηή ηεο ηηκή αλ και γηαηί ηόηε ην νινθιήξσκα ζα κεγηζηνπνηεζεί αιιά θαη ε θ ζα ιάβεη ηηκέο ζην δηάζηεκα [ ] όπνπ κεγηζηνπνηείηαη ε ήδηα Επνκέλσο ζα πξέπεη λα ηζρύεη 37 Θεσξνύκε ην ΠΑΣΤ
u u f ( ( u( ( [ ] u( k( u ( u( h( όπνπ α Φξεζηκνπνηήζηε ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο γηα λα δείμεηε κνλαδηθόηεηα νκαιήο ιύζεο Λύση: Θα απνδείμνπκε όηη ε κνλαδηθή ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο (* v v ( v( [ ] v( v( v( είλαη ε κεδεληθή Τόηε ε κνλαδηθόηεηα ηνπ δνζέληνο πξνβιήκαηνο ζα έπεηαη σο εμήο: Έζησ u u δύν ιύζεηο ηνπ δνζέληνο πξνβιήκαηνο Η v( = u ( u ( ηθαλνπνηεί ην (* θαη ιόγσ ηεο κνλαδηθόηεηαο ηεο κεδεληθήο ιύζεο ηνπ (* έρνπκε όηη u = u Τώξα γηα λα δείμνπκε ηε κνλαδηθόηεηα ηεο κεδεληθήο ιύζεο ηνπ (* πξνρσξνύκε σο εμήο: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε ΜΔΕ κε v θαη νινθιεξώλνπκε σο πξνο από κέρξη : v ( v( d v ( v( d Φξεζηκνπνηνύκε νινθιήξσζε θαηά κέξε γηα ην νινθιήξσκα ζην δεμί κέινο: v ( v ( d v v v ( d v ( v ( v ( v ( v ( d Ο όξνο ζηε παξέλζεζε ηθαλνπνηεί Επνκέλσο v ( v( v ( v( v( v( v ( d v v d v v d v d v v d d ( ( ( ( ( ( ( d v ( d E ( E ( d όπνπ E( v( d Δειαδή E( v( d E( v( d Ε( = ή ηζνδύλακα v( = Μηα θαη Ε( ζα πξέπεη λα ηζρύεη 3 Έζησ uu νη ιύζεηο ησλ πην θάησ πξνβιεκάησλ:
u u f ( [ ] ( T ] u( ( [ ] u( k( u( h( u u f ( [ ] ( T ] u( ( [ ] u( k( u( h( 3 Τα δεδνκέλα T f f h k είλαη γλσζηά θαη επαξθώο νκαιά Να δείμεηε όηη αλ f ( f ( ( ( T] ηόηε u( u( ( ( T] Λύση: Έζησ v( u( u( Τόηε ε v ηθαλνπνηεί ην εμήο πξόβιεκα v v g( [ ] ( T ] v( [ ] v( v( κε g( f ( f ( ( ( T] βάζεη ηεο ππόζεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο Θα δείμνπκε όηη v( ( ( T ] Πξώηα παξαηεξνύκε όηη v = δελ κπνξεί λα είλαη ιύζε ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο Σηε ζπλέρεηα ζα απνδείμνπκε ηελ αξρή ηνπ κεγίζηνπ γηα ην πην πάλσ πξόβιεκα όηη δειαδή v( ( ( T ] θαη ζα έρνπκε ην δεηνύκελν Θεσξνύκε ινηπόλ ην νξζνγώλην [ ] [ ] T θαη γηα ε > νξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε Ιζρύεη (* w( v( w ( w ( v ( v ( g( Η w δελ ιακβάλεη ην κέγηζηό ηεο ζην ( : T ζε έλα ζεκείν πνπ βξίζθεηαη ζην εζσηεξηθό γηαηί ηόηε ζα ίζρπε w ( w ( θαη απηό δελ ζπκθσλνύζε κε ηελ (* Αλ ηώξα ε w ιακβάλεη ην κέγηζηό ηεο ζε έλα ζεκείν T ηόηε ζα ίζρπε w ( T w ( T πάλσ w( T w( T θαη έηζη ζα είρακε Επηπιένλ ζύκθσλα κε ηα πην Σπλνιηθά ζα είρακε όηη w T w( T w( T ( lim w ( T w ( T πνπ θαη πάιη δελ ζπκθσλεί κε ηε (* Επνκέλσο ε w ιακβάλεη ην κέγηζηό ηεο ζε κηα από ηηο πιεπξέο δει ε w( ( : ( : T ( : T γηα ( : T θαη έηζη v( (αθνύ ζηείινπκε ην
4 Σελ 6: 5 Έζησ όηη ε u πεξηνδηθή σο πξνο ηε πξώηε κεηαβιεηή κε πεξίνδν ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο u ku u( ( όπνπ θ κηα ζπλερώο παξαγσγίζηκε θαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν ζπλάξηεζε Φξεζηκνπνηώληαο ηε ζεηξά Fourier ηεο θ πξνζδηνξίζηε κηα παξάζηαζε ηεο u Λύση: Έρνπκε ήδε δεη όηη ( y 4k u( e ( y dy 4k Μηα θαη ε θ είλαη πεξηνδηθή κε πεξίνδν έρνπκε κε Αληηθαζηζηώληαο ζηε u παίξλνπκε ( cos( / bsi( / ( cos( / d b ( si( / d ( y ( y 4k 4k k u( e ( y dy e cos( / bsi( / dy 4k 4 ( y ( y 4k 4k e dy e cos( / bsi( / dy 4k 4k ( y 4k k e cos( / bsi( / dy 4k 4k ( y 4k u( e cos( / bsi( / dy 4 4k 5 Θεσξνύκε ην πξόβιεκα u ku ( u( ( [ ] u( u( όπνπ θ κηα ζπλερώο παξαγσγίζηκε ζπλάξηεζε ηέηνηα ώζηε ην πξόβιεκα λα έρεη νκαιή ιύζε Απνδείμηε όηη νη ηδηνηηκέο θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ πξνβιήκαηνο X ( X ( X( X( δίδνληαη από
/ X ( si / θαη ρξεζηκνπνηήζηε ην απνηέιεζκα γηα λα πξνζδηνξίζηε κηα παξάζηαζε ηεο u 5 Λύση: Θεσξνύκε ην πξόβιεκα ηδηνηηκώλ X ( X ( X( X( Πξώηα αο δνύκε ηη ηηκέο κπνξεί λα πάξεη ην λ Γηα λ = έρνπκε X ( Οη ζπλζήθεο X( X( X( δίλνπλ α = β = άξα Επίζεο πνιιαπιαζηάδνληαο ηε ΜΔΕ κε Χ( θαη νινθιεξώλνληαο ζην [ ] παίξλνπκε X X d X d ( ( ( Οινθιήξσζε θαηά κέξε ζηνλ πξώην όξν δίλεη πνύ δείρλεη όηη X ( X ( X ( d X ( d X ( d X ( d Επνκέλσο ε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο ηδηνηηκώλ είλαη X ( C si( C cos( Γηα λα ηζρύεη X( X( ζα πξέπεη από όπνπ πξνθύπηεη ην δεηνύκελν C θαη έηζη cos( ( / Έζησ ηώξα u( X ( T ( Δηαηξώληαο κε X ( T ( παίξλνπκε ε ιύζε ηνπ δνζέληνο ΠΑΣΤ Τόηε ε ΜΔΕ δίλεη X ( T( kx ( T ( T( X ( k T ( X ( (Τν λ > έπεηαη από ηα πην πάλσ Έρνπκε έηζη ηα δύν πξνβιήκαηα T( kt ( X ( X ( X ( X ( k Λύλνληαο ην πξώην παίξλνπκε T( Ce C Τν δεύηεξν είλαη ηεο κνξθήο πνπ είδακε πην πάλσ άξα
Επνκέλσο / X ( si / u( C si / e k / όπνπ νη ζηαζεξέο C επηιέγνληαη έηζη ώζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε αξρηθή ζπλζήθε u( ( [ ] Δειαδή 6 ( u( C si / ( si m / d C si / si m / d C ( si / d 53 Θεσξνύκε ην πξόβιεκα u ku ( u( ( [ ] u ( u( u ( u( όπνπ α β θαη θ κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε Απνδείμηε όηη ην πξόβιεκα έρεη κνλαδηθή ιύζε κε ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο Λύση: Η κνλαδηθόηεηα ηεο ιύζεο ηνπ δνζέληνο πξνβιήκαηνο είλαη ηζνδύλακε κε ηε κνλαδηθόηεηα ηεο κεδεληθήο ιύζεο ζην ίδην πξόβιεκα κε θ( = Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε σο πξνο από κέρξη : u ( u( d k u ( u( d Φξεζηκνπνηνύκε νινθιήξσζε θαηά κέξε γηα ην νινθιήξσκα ζην δεμί κέινο: u ( u ( d u u u ( d u ( u ( u ( u ( u ( d Ο όξνο ζηε παξέλζεζε ηθαλνπνηεί u ( u( u ( u( u( u( u( u( u ( u ( Επνκέλσο
u ( u( d k u ( u( d d u d k u u k u d d ( ( ( ( 7 d v ( d E ( E ( d όπνπ E( v( d Δειαδή E( v( d E( v( d ( d ηζρύεη Ε( = ή ηζνδύλακα v( = Μηα θαη Ε( ζα πξέπεη λα 54 Θεσξνύκε ην πξόβιεκα ηδηνηηκώλ X X X ( X( X ( X( όπνπ α β θαη α + β > Πξνζδηνξίζηε θάπνηεο εμηζώζεηο γηα ηηο ηδηνηηκέο Λύση: Αλ λ = ηόηε X X c d c d X ( X ( c d c d Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο δίλνπλ X ( X ( c c d d d d d δειαδή Χ = θαη άξα λ Επίζεο πνιιαπιαζηάδνληαο ηε ΜΔΕ κε Χ( θαη νινθιεξώλνληαο ζην [ ] δίλεη X X d X d ( ( ( Οινθιήξσζε θαηά κέξε ζηνλ πξώην όξν δίλεη πνύ δείρλεη όηη Επνκέλσο ζέηνπκε λ = δ θαη έρνπκε X ( X ( X ( d X ( d ( X d X ( d X ( C cos( Dsi( C D θαη X ( C si( D cos( Οη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο δίλνπλ X ( X ( D C D C / X ( X ( C si( D cos( C cos( Dsi(
C C si( C cos( C cos( si( ( cos( si( Η πην πάλσ εμίζσζε δελ κπνξεί λα ιπζεί αλαιπηηθά 8 55 Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο u u ( u( si( si( 3si(5 [ ] u( u( Λύση: Χάρλνπκε γηα ιύζε ζηε κνξθή u( X ( T ( Τόηε ε ΜΔΕ δίλεη Δηαηξώληαο κε X ( T ( παίξλνπκε Έρνπκε έηζη ηα δύν πξνβιήκαηα T( T ( X ( T( X ( T ( T( X ( T ( X ( X ( X ( X ( X ( Λύλνληαο ην πξώην παίξλνπκε T( Ce C Λύλνληαο ην δεύηεξν βξίζθνπκε X ( si( Άξα ε ιύζε u δίδεηαη από u( C si e κε C ζηαζεξέο πνπ ζα πξνζδηνξίζνπκε έηζη ώζηε λα ηζρύεη ε αξρηθή ζπλζήθε Έρνπκε u( si( si( 3si(5 C si( si( 3si(5 si( d u( C si Υπνινγίδνπκε ην πην πάλσ νινθιήξσκα θαη βξίζθνπκε άξα C C C5 C 3 διαθορεηικά 5 e e e u( C si e C si e C si 5 e 5 5 si si 3si 5 56 Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο
u u u ( u( si( si( 3si(5 [ ] u( u( κε δύν ηξόπνπο: Με ρσξηζκό ησλ κεηαβιεηώλ θαη κε ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο v( e u( αλάγνληαο έηζη ην πξόβιεκα ζε εθείλν ηεο πξνεγνύκελεο άζθεζεο 9 Λύση: Πξώηα αο δνύκε ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο Με v( e u( ηζρύνπλ ηα εμήο: v ( v ( e u( e u ( e u ( v( u( si( si( 3si(5 v( e u( v( e u( Επνκέλσο ε v ηθαλνπνηεί ην ΠΑΣΤ ην πξνβιήκαηνο 55 άξα v( e u( si e si e 3si 5 e 8 5 u e e e 7 49 ( si si 3si 5 Σηε ζπλέρεηα αο δνύκε πσο πξνθύπηεη ε πην πάλσ ιύζε κε ρσξηζκό ησλ κεηαβιεηώλ Χάρλνπκε γηα ιύζεηο ζηε κνξθή Δηαηξώληαο κε X ( T ( u( X ( T ( X ( T( X ( T ( X ( T ( παίξλνπκε Αληηθαζηζηώληαο ζηε ΜΔΕ έρνπκε T( X ( T( X ( ( T ( X ( T ( X ( Γηα λα ηζρύεη u( u( ζα πξέπεη λα έρνπκε X( X( Θεσξνύκε άξα ην πξόβιεκα ηδηνηηκώλ X ( ( X ( ( X( X( X ( ( si T( e ηνπ νπνίνπ ε ιύζε είλαη Έρνπκε επίζεο ( u( si e κε ηα α λα ηθαλνπνηνύλ si( si( 3si(5 si d 3 5 διαθορεηικά Άξα θαη έηζη
( ( ( 5 5 u( si e si e si 5 e 7 49 si e si e 3si 5 e 3 57 Πξνζδηνξίζηε ηε ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο Λύση: Έρνπκε όπνπ u 4 u ( u( si( si( 3si(5 [ ] u ( 3si( si(4 5si(6 [ ] u( u( u( cos b si si( si( si( 3si(5 si d 3 5 διαθορεηικά 3 / 4 / 8 4 3si( si(4 5si(6 si d 5 / 5 διαθορεηικά Επνκέλσο 3 u( cos si( cos 4 si 4 si( 4 5 si 4 si(4 3cos si si(5 8 Σελ 43: 6 Έζησ όπνπ h: D D έλα θξαγκέλν ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν Θεσξνύκε ην ΠΣΤ κνλαδηθόηεηα ηεο ιύζεο u uyy ζηο D u h ζηο D δνζείζα ζπλάξηεζε Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο δείμηε Λύση: Θα δείμνπκε ηε κνλαδηθόηεηα ηεο κεδεληθήο ιύζεο γηα ην εμήο ΠΣΤ
3 u uyy ζηο D u ζηο D Η κνλαδηθόηεηα ηνπ δνζέληνο πξνβιήκαηνο ζα έπεηαη σο εμήο; Έζησ u u δύν ιύζεηο ηνπ δνζέληνο πξνβιήκαηνο Τόηε ε u = u u ζα ηθαλνπνηεί ην πην πάλσ πξόβιεκα θαη ιόγσ κνλαδηθόηεηαο ηεο κεδεληθήο ιύζεο ζα έρνπκε όηη u = u Υπελζπκίδνπκε ηελ εμήο ηαπηόηεηα ηνπ Gree: w vwddy v w ddy v ds D D D Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε ζην D: uuddy Φξεζηκνπνηνύκε ηε πην πάλσ ηαπηόηεηα θαη έρνπκε D u u uddy u ds u uddy u uyddy D D D D Τν πην πάλσ ιέεη όηη u = u y = πνπ ζεκαίλεη όηη u = ζηαζεξά Αθνύ u = ζην ζύλνξν ζα πξέπεη λα είλαη κεδέλ παληνύ (ζην D 63 Έζησ όπνπ D f h : D έλα θξαγκέλν ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν Θεσξνύκε ην ΠΣΤ u uyy f ζηο D u h ζηο D δνζείζεο ζπλαξηήζεηο Δείμηε όηη γηα λα έρεη ιύζε ην πην πάλσ ΠΣΤ ζα πξέπεη λα ηζρύεη D f ( y ddy h( y ds D Λύση: Φξεζηκνπνηνύκε ηελ ηαπηόηεηα ηνπ Gree κε v = w = u θαη έρνπκε πνπ δίλεη ην δεηνύκελν D u uddy w ddy ds D D D f ( y ddy h( y ds D 64 Έζησ D έλα θξαγκέλν ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν Θεσξνύκε ην ΠΣΤ u uyy f ζηο D u h ζηο D
όπνπ f h : D δνζείζεο ζπλαξηήζεηο Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο 3 δείμηε όηη αλ u u είλαη δύν ιύζεηο ηόηε u u = ζηαζεξά Λύση: Έζησ u u δύν ιύζεηο ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο Τόηε ε u = u u ηθαλνπνηεί u uyy ζηο D u ζηο D Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε πην πάλσ ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε ζην D: uuddy Φξεζηκνπνηνύκε ηε ηαπηόηεηα ηνπ Gree θαη έρνπκε D u u uddy u ds u uddy u uyddy D D D D Τν πην πάλσ ιέεη όηη u = u y = πνπ ζεκαίλεη όηη u = ζηαζεξά 65 Έζησ όπνπ D f h : D έλα θξαγκέλν ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν Θεσξνύκε ην ΠΣΤ u uyy u f ζηο D u h ζηο D δνζείζεο ζπλαξηήζεηο Φξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο δείμηε κνλαδηθόηεηα ηεο ιύζεο Λύση: Έζησ u u δύν ιύζεηο ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο Τόηε ε u = u u ηθαλνπνηεί u uyy u ζηο D u ζηο D Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε πην πάλσ ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε ζην D: u u u ddy uuddy u ddy D D D Φξεζηκνπνηνύκε ηε ηαπηόηεηα ηνπ Gree γηα ην πξώην νινθιήξσκα θαη έρνπκε u u u ddy u ds u ddy u u ddy u ddy D D D D D y y u u ddy u ddy u u u ddy D D D Τν πην πάλσ ιέεη όηη u u u πνπ ζεκαίλεη όηη u = δει u = u y
66 Έζησ D έλα θξαγκέλν ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν Θεσξνύκε ην ΠΣΤ u uyy ζηο D u h ζηο D Η ελέξγεηα κηαο νκαιήο ζπλάξηεζεο w: D νξίδεηαη σο E( w w w ddy D 33 Απνδείμηε όηη γηα θάζε νκαιή ζπλάξηεζε v ηέηνηα ώζηε v h ζηο D ηζρύεη E( u E( v Λύση: Έζησ v ηέηνηα ώζηε v h ζηο D θαη έζησ w = u v Τόηε E( v v v ddy u w u w ddy D u u ddy w w ddy w uddy u u u ddy w w ddy w uddy w D D D D E( u E( w D D D D Απηό καο ιέεη όηη E( u E( v 69 Φξεζηκνπνηήζηε ρσξηζκό ησλ κεηαβιεηώλ γηα λα πξνζδηνξίζεηε ηε ιύζε ηνπ ΠΣΤ όπνπ b > u uyy ζηο ( ( b u( f ( ζηο [ ] u( b ζηο [ ] u( y u( y ζηο [ b] Λύση: Χάρλνπκε γηα ιύζε ζηε κνξθή u( y X ( Y ( y Η ΜΔΕ δίδεη X ( Y( y X ( Y ( y X ( Y( y X ( Y ( y Παίξλνπκε έηζη ηα δύν πξνβιήκαηα X ( X ( Y( y Y ( y Y( b X ( X ( Γηα ην πξώην έρνπκε όηη λ > άξα κε λ = β βξίζθνπκε X ( C si( D cos( C D X( D έηζη X ( C si( X ( C cos( / / ( / Άξα
/ X ( si / 34 Επίζεο Οξίδνπκε Y ( y Y ( y Y ( y / Y( y Y( y E sih / ( b y F cosh / ( b y E F Y ( b F Y ( y sih / ( b y u( y X ( Y ( y si / sih / ( b y κε ηα ηέηνηα ώζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε ζπλνξηαθή ζπλζήθε u( f ( ζηο [ ] f ( u( X ( Y ( si / sih / ( b f ( si / d b sih / : 6 Έζησ D έλα θξαγκέλν ζπλεθηηθό ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν νκαιή κε κεδεληθή ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο u u ζηο D u ζηο D Με ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο απνδείμηε όηη θαη u κηα Λύση: Πξώηα παξαηεξνύκε όηη γηα λ = βξίζθνπκε u = πνπ δελ είλαη επηηξεπηό άξα Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε πην πάλσ ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε ζην D: uuddy D D u ddy Φξεζηκνπνηνύκε ηε ηαπηόηεηα ηνπ Gree γηα ην νινθιήξσκα ζηα αξηζηεξά θαη έρνπκε ιόγσ ζπλνξηαθώλ ζπλζεθώλ u u ddy u ds u ddy u u ddy u ddy D D D D D D u u ddy D u ddy u
6 Έζησ D έλα θξαγκέλν ζπλεθηηθό ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν θαη u κηα νκαιή κε κεδεληθή ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο Με ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο απνδείμηε όηη u u ζηο D u ζηο D 35 Λύση: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε πην πάλσ ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε ζην D: uuddy D D u ddy Φξεζηκνπνηνύκε ηε ηαπηόηεηα ηνπ Gree γηα ην νινθιήξσκα ζηα αξηζηεξά θαη έρνπκε ιόγσ ζπλνξηαθώλ ζπλζεθώλ u u ddy u ds u ddy u u ddy u ddy D D D D D D u u ddy D u ddy u Όκσο λ = είλαη επηηξεπηό αθνύ ηόηε u = ζα είλαη ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο Έηζη 6 Έζησ D έλα θξαγκέλν ζπλεθηηθό ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν νκαιή κε κεδεληθή ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο Με ηε κέζνδν ηεο ελέξγεηαο απνδείμηε όηη u u u ζηο D u ζηο D θαη u κηα Λύση: Πνιιαπιαζηάδνπκε ηε πην πάλσ ΜΔΕ κε u θαη νινθιεξώλνπκε ζην D: όπνπ ( u uddy u ddy u ddy u uddy ( u ddy D D D D D uuddy D D u ddy Από ην πξνεγνύκελν πξόβιεκα ( 63 Έζησ ηαπηόηεηα ηνπ Gree D έλα θξαγκέλν ζπλεθηηθό ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν Απνδείμηε ηε
ρξεζηκνπνηώληαο ηνπο ηύπνπο όπνπ w vwddy v wddy v ds D D D vw ddy v wddy vw ds vw ddy v wddy vw ds y y D D D D D D ( ην θάζεην κνλαδηαίν εμσηεξηθό δηάλπζκα ζην D 36 Λύση: Θέηνληαο w~ w ζηνλ πξώην ηύπν θαη w~ w ζην δεύηεξν παίξλνπκε vw ddy v w ddy vw ds vw ddy v w ddy vw ds yy y y y D D D D D D έηζη πξνζζέηνληαο ηνπο έρνπκε yy y y y v w w ddy v w v w ddy v w w ds D D D w vwddy v wddy v ds D D D 64 Έζησ όπνπ ( D ( ( b Απνδείμηε ην ηύπν vw ddy v wddy vw ds D D D ην θάζεην κνλαδηαίν εμσηεξηθό δηάλπζκα ζην D Λύση: Έρνπκε ρξεζηκνπνηώληαο νινθιήξσζε θαηά κέιε Απνκέλεη λα δείμνπκε όηη Τώξα D b b vwddy v( y w ( y ddy v( y w ( y ddy b v( y w( y v ( y w( y ddy b b ( ( ( ( v y w y ddy v y w y dy b ( ( ( ( D b v y w y ddy v y w y dy v( y w( y dy vw ds D b b D Παξαηεξνύκε όηη vw ds v( y w( y dy v( y w( y dy b b b b v ( y w ( y dy v ( y w ( y v ( y w ( y dy v ( y w ( y dy v ( y w ( y dy πνπ δείρλεη όηη πξάγκαηη ηα δύν ηζνύληαη
37 67 Έζησ D έλα θξαγκέλν ζπλεθηηθό ρσξίν κε νκαιό ζύλνξν θαη έζησ uu ιύζεηο ησλ πην θάησ πξνβιεκάησλ όπνπ f f h : D u f ζηο D u f ζηο D u h ζηο D u h ζηο D δνζείζεο νκαιέο ζπλαξηήζεηο Αλ f ( y f ( y ( y D δείμηε όηη u( y u( y ( y D Λύση: Έζησ ηθαλνπνηεί w( y u( y u( y Θα δείμνπκε όηη w( y ( y D Η w w u u f f : g ( y D w ζηο D κηα θαη f f ( y D u u ζηο D Επίζεο παξαηεξνύκε όηη w = δελ κπνξεί λα είλαη ιύζε ηνπ πην πάλσ πξνβιήκαηνο άξα w Τν όηη w g καο επηηξέπεη λα δείμνπκε όηη ε w ιακβάλεη ην κέγηζηό ηεο ζην D ζην D Γηα ην λα δνύκε ππνζέηνπκε όηη ε w ιακβάλεη ην κέγηζηό ηεο ζε έλα εζσηεξηθό ζεκείν ( y Τόηε ζα ίζρπε πνπ είλαη άηνπν Επνκέλσο θαη αθνύ w w ( y w ( y έρνπκε ην δεηνύκελν yy w( y