ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τµ ηµα Φυσικ ης Εξ εταση στη Μηχανικ η Ι 6 Σεπτεµ ρ ιου 2005 Τµ ηµα Π Ιω αννου & Θ Αποστολ ατου Απαντ ηστε και στα 4 Θ εµατα µε σαφ ηνεια και απλ οτητα Οι ολοκληρωµ ενες απαντ ησεις εκτιµ ωνται ιδιαιτ ερως Καλ η σας επιτυχ ια ΘΕΜΑ Α (25 µον αδες) 1 Γρ αψτε το ενεργ ο δυναµικ ο για ενα κεντρικ ο πεδ ιο που δι επεται απ ο δυναµικ ο της µορφ ης 2 Υπολογ ιστε τη συχν οτητα της κυκλικ ης κ ινησης, ακτ ινας, εν ος σωµατιδ ιου σε ενα τ ετοιο δυναµικ ο Υπολογ ιστε ακ οµη τη στροφορµ η του σωµατιδ ιου στην τροχι α αυτ η 3 Αναπτ υσσοντας το ενεργ ο δυναµικ ο γ υρω απ ο την ακτ ινα και κρατ ωντας την ιδια τιµ η της στροφορµ ης του σωµατιδ ιου υπολογ ιστε τη συχν οτητα µικρ ων ακτινικ ων ταλαντ ωσεων του σω- µατιδ ιου 4 Για ποι ες τιµ ες της παραµ ετρου οι δ υο συχν οτητες των ερωτηµ ατων (2) και (3) εχουν ρητ ο λ ογο ; Εξηγ ηστε ποια ε ιναι η συν επεια εν ος τ ετοιου αποτελ εσµατος στο σχ ηµα της τροχι ας ΘΕΜΑ Β (25 µον αδες) υο αστεροειδε ις περιφ ερονται γ υρω απ ο τον Ηλιο σε κλειστ ες τροχι ες που διαγρ αφονται στο ιδιο επ ιπεδο Κ αποια στιγµ η και οι δ υο αστεροειδε ις βρ ισκονται σε ιδια απ οσταση,, απ ο τον Ηλιο και οι αντ ιστοιχες επι ατικ ες ακτ ινες σχηµατ ιζουν µεταξ υ τους γων ια Τη στιγµ η αυτ η οι ταχ υτητες των δ υο αστεροειδ ων ε ιναι και οι δ υο και ε ιναι κ αθετες στις αντ ιστοιχες επι ατικ ες ακτ ινες ( ε ιναι η µ αζα του Ηλιου και κ αποιος πραγµατικ ος θετικ ος αριθµ ος) 1 Τι τροχι α διαγρ αφει ο καθ ενας απ ο τους δ υο αστεροειδε ις ως συν αρτηση της τιµ ης της παρα- µ ετρου ; Εξαρτ αται το σχ ηµα της τροχι ας απ ο τη µ αζα του κ αθε αστεροειδ η ; (Θεωρ ηστε οτι η µοναδικ η δ υναµη που ασκε ιται στους αστεροειδε ις ε ιναι η βαρυτικ η ελξη του Ηλιου εν ω η µεταξ υ τους ελξη καθ ως και η ελξη απ ο τους αλλους πλαν ητες θεωρε ιται αµελητ εα) 2 Σχεδι αστε ποιοτικ α την εξ ελιξη της απ οστασης µεταξ υ των αστεροειδ ων ως συν αρτηση του χρ ονου δε ιχνοντας µε ενα σχ ηµα σε ποιες θ εσεις της τροχι ας τους βρ ισκονται οι αστεροειδε ις στο µ εγιστο και στο ελ αχιστο της µεταξ υ τους απ οστασης 3 Υπολογ ιστε το λ ογο της µ εγιστης προς την ελ αχιστη απ οσταση µεταξ υ των αστεροειδ ων ως συν αρτηση της τιµ ης της παραµ ετρου 4 Εξηγ ηστε γιατ ι οι ακρα ιες τιµ ες της ε ιναι αυτ ες που βρ ηκατε, γιατ ι στις τιµ ες αυτ ες ο λ ογος των αποστ ασεων τε ινει στο απειρο και γιατ ι οταν η ε ιναι µον αδα ο λ ογος πα ιρνει την ελ αχιστη τιµ η του Ποια ε ιναι αυτ η ; ΘΕΜΑ Γ (25 µον αδες) υο γραµµικο ι αρµονικο ι ταλαντωτ ες µπορο υν να κινο υνται επ ι της ιδιας ευθε ιας δ ιχως τρι ες εχοντας κοιν ο κ εντρο ταλ αντωσης Οι δ υο ταλαντωτ ες εχουν µ αζες #" % και σταθερ ες ελατηρ ιων &" αντ ιστοιχα, διαφορετικ ες µεταξ υ τους αλλ α µε κοιν ο λ ογο % Αρχικ α ο αριστερ ος ταλαντωτ ης (ο 2) βρ ισκεται ακ ινητος στη θ εση ισορροπ ιας του, εν ω ο δεξι ος ταλαντωτ ης (ο 1) αφ ηνεται ακ ινητος απ ο τη θ εση ' 1
1 Εξηγ ηστε γιατ ι οι ταλαντωτ ες θα συνατιο υνται και θα συγκρο υονται π αντα στο κοιν ο σηµε ιο ισορροπ ιας τους (Η σ υγκρουση θεωρε ιται ελαστικ η) 2 Υπολογ ιστε τα πλ ατη της ταλ αντωσ ης τους µετ α την πρ ωτη ελαστικ η κρο υση 3 Υπολογ ιστε τα πλ ατη της ταλ αντωσ ης τους µετ α και τη δε υτερη κρο υση Εξηγ ηστε απ ο µαθη- µατικ ης αποψης γιατ ι τα πλ ατη αυτ α ε ιναι ιδια µε τα αρχικ α (' και 0 αντ ιστοιχα) [Υποδ Τι ε ιδους σ υστηµα εξισ ωσεων λ υνει κανε ις για να υπολογ ισει τις ταχ υτητες µετ α απ ο κ αθε κρο υση ;] 4 Σχεδι αστε τα διαγρ αµµατα φ ασης των δ υο ταλαντωτ ων 5 Ο αριστερ ος ταλαντωτ ης, και γενικ α το δι αστηµα αριστερ α απ ο το σηµε ιο ισορροπ ιας, ε ιναι κρυµ- µ ενος π ισω απ ο ενα π ετασµα Για ποιο υς λ ογους µαζ ων αυτ ο που βλ επουµε δεν µπορο υµε να το ξεχωρ ισουµε απ ο την κ ινηση εν ος µ ονο απλο υ αρµονικο υ ταλαντωτ η του οπο ιου δεν φα ινεται το αριστερ ο µ ερος ; () θα εξακολουθ ησουµε (στην περ ιπτωση που ισχ υει το ερ ωτηµα (5)) να νοµ ιζουµε πως παρακολουθο υµε το ηµισυ της ταλ αντωσης εν ος απλο υ αποσ υν οµενου ταλαντωτ η ; 6 Αν οι δ υο ταλαντωτ ες εχουν απ οσ εση µε κοιν ο συντελεστ η απ οσ εσης ( m 0 x ΘΕΜΑ (25 µον αδες) *,+- 1 Υπολογ ιστε το δυναµικ ο κατ α µ ηκος του αξονα συµµετρ ιας εν ος ηµισφαιρικο υ φλοιο υ συνολικ ης µ αζας + και ακτ ινας, ως συν αρτηση της απ οστασης απ ο το κ εντρο της σφα ιρας 2 Στη συν εχεια υπολογ ιστε τη δ υναµη που ασκε ιται απ ο το φλοι ο σε µια σηµειακ η µ αζα Ποι α η τιµ η του ορ ιου αυτ ης της δ υναµης οταν η σηµειακ η µ αζα πλησι αζει την επιφ ανεια του φλοιο υ ; 3 Με γεωµετρικ α επιχειρ ηµατα δε ιξτε οτι η βαρυτικ η δ υναµη που ασκε ιται στην, οταν αυτ η βρ ισκεται στο εσωτερικ ο του φλοιο υ, οφε ιλεται µ ονο στην πλησι εστερη µ αζα του ηµισφαιρ ιου (παχι α γραµµ η στο σχ ηµα), που περικλε ιεται στον κ ωνο που αποκ οπτουν οι χορδ ες οι οπο ιες δι ερχονται απ ο την περιφ ερεια του ηµισφαιρ ιου και απ ο τη θ εση της 4 ε ιξτε οτι στο οριο που η προσεγγ ιζει το φλοι ο, αποµ ενει να ασκε ι βαρυτικ η ελξη µ ονο ο απειροστ ος, σχεδ ον επ ιπεδος κυκλικ ος δ ισκος, ο οπο ιος εχει ακτ ινα οση και η σχεδ ον µηδενικ η απ οσταση της απ ο το φλοι ο 5 Υπολογ ιστε το δυναµικ ο απ ο εναν επ ιπεδο κυκλικ ο δ ισκο σταθερ ης επιφανειακ ης πυκν οτητας κατ α µ ηκος του αξονα αυτο υ και σε απ οσταση τ οση οση και η ακτ ινα του κ υκλου και στη συν εχεια υπολογ ιστε την αντ ιστοιχη δ υναµη σε µια µ αζα ε ιξτε οτι στο οριο της µηδενικ ης απ οστασης πα ιρνετε ακρι ως το αποτ ελεσµα του ερωτ ηµατος (3) 2
W = s C D c ΘΕΜΑ Α 1 0/&/ 21 3547698<; = 0> 3 0/&/ # BA 2 Απ ο @ και C D βρ ισκουµε FE Απαντ ησεις H FN H PO M H LK)M 3 Αναπτ υσσοντας µ εχρι 2η τ αξη αφο υ η πρ ωτη παρ αγωγος ε ιναι 0 πα ιρνουµε 0/&/Q @RB# S0/&/Q & VUW Αντικαθιστ ωντας την τιµ η της C 0/&/Q @RB# S0/&/Q & C YX ^U Z H PO M [ H I PO M [ & & και συνεπ ως η συχ- Ο συντελεστ ης σκληρ οτητας του αρµονικο υ ταλαντωτ η ε ιναι λοιπ ον ` ν οτητα ακτινικ ων ταλαντ ωσεων ε ιναι 4 Ο λ ογος των δ υο συχνοτ ητων ε ιναι A " ΘΕΜΑ Β D 3 dn H I " e " κλπ) η τροχι α ε ιναι κλειστ η H I O M ]\ _\ &HO LK)M 3Lb 698 =Ha 1 &HO Οταν αυτ ος ο λ ογος ε ιναι ρητ ος (πχ για I 1 Και οι δ υο διαγρ αφουν ελλλειψη και µ αλιστα ιδιου σχ ηµατος Για να ε ιναι κλειστ η η τροχι α θα ( =ταχ υτητα διαφυγ ης) Η µ αζα του αστεροειδ η δεν πα ιζει καν ενα ρ ολο Οι 2 ιδιες ελλε ιψεις σχηµατ ιζουν γων ια (οι µεγ αλοι τους ηµι αξονες) πρ επει gf e 2 Αφο υ θα κινο υνται επ ι ιδιων ελλειπτικ ων τροχι ων κ αθε στιγµ η θα σχηµατ ιζουν (µε τον Ηλιο) ενα ισοσκελ ες τρ ιγωνο γων ιας και πλευρ ας οση η επι ατικ η ακτ ινα του καθεν ος i,j5,j5lk5m7n@ Αφο υ η,j5 ακολουθε ι µια ταλαντωτικ η κ ινηση µε ελ αχιστο στο περι ηλιο και µ εγιστο στο αφ ηλιο αντ ιστοιχη ταλ αντωση θα εκτελε ι και η απ οσταση των αστεροειδ ων 3 Σ υµφωνα µε τα προηγο υµενα ε ιναι ο λ ογος αφηλ ιου περι ηλιο Για να τον υπολογ ισουµε χρησιµοποιο υµε διατ ηρηση εν εργειας και στροφορµ ης για τις δ υο αυτ ες θ εσεις (επειδ η δεν γνωρ ιζουµε αν η αρχικ η θ εση ε ιναι περι ηλιο η αφ ηλιο -επι ατικ η θ εση κ αθετη στην ακτ ινα- τις δ υο θ εσεις ασχετα τι ε ιναι η καθεµ ια τις ονοµ αζουµε " ) Λ υνοντας βρ ισκουµε opb " ps 9 ο λ ογος ε ιναι µικρ οτερος του 1 ( = περι ηλιο) εν ω αν rf Ετσι αν rq ο λ ογος ε ιναι µεγαλ υτερος 9 του 1 ( = αφ ηλιο) Συνεπ ως ο λ ογος µ εγιστης προς ελ αχιστη απ οσταση αστεροειδ ων ε ιναι και s αν tf K s αν tq 3
' A ' A ' ua 4 Ο παραπ ανω λ ογοι απειρ ιζονται για Στην 1η περ ιπτωση η τροχι α µετατρ επεται σε παρα ολ η οπ οτε δεν κλε ινει και οι αστεροειδε ις συνεχ ως αποµακρ υνονται και στη 2η περ ιπτωση οι αστεροειδε ις π εφτουν ακτινικ α στον Ηλιο οπ οτε πλησι αζουν συνεχ ως µεταξ υ τους µ εχρι να συγκρουστο υν Για v οι τροχι ες ε ιναι κυκλικ ες και οι αστεροειδε ις κρατο υν σταθερ η απ οσταση ο ενας απ ο τον αλλο ΘΕΜΑ Γ 1 Αφο υ οι 2 συχν οτητες ε ιναι ιδιες θα ε ιναι ιδιες και οι περ ιοδοι και οι ηµιπερ ιοδοι Αν συγκρουστο υν λοιπ ον αρχικ α στο σηµε ιο ισορροπ ιας τους οτι ταχ υτητα και αν εχουν µετ α (θετικ η η αρνητικ η) θα ξανακαταλ ηξουν στο ιδιο σηµε ιο µετ α απ ο µια ηµιπερ ιοδο 2 Απ ο διατ ηρηση εν εργειας και ορµ ης βρ ισκουµε Μετ α τη σ υγκρουση θα εχουµε D % % y % % %w %o x" " ' (1) % D % 3 Αφο υ οι ιδιες εξισ ωσεις ισχ υουν και για τις διστονες ταχ υτητες (µετ α τη δε υτερη κρο υση) και το σ υστηµα ε ιναι δευτ ε ρου βαθµο υ θα εχει το πολ υ δ υο σετ λ υσεων, αυτ ες που βρ ηκαµε προηγου- µ ενως και τις αρχικ ες ταχ υτητες εποµ ενως και τα αρχικ α πλ ατη 4 Τα διαγρ αµµατα φ ασης ε ιναι ηµικ υκλια ( η ηµι ελλειψη εξαρτ αται απ ο την κλ ιµακα των αξ ονων) για τον κ αθε ταλαντωτ η για την κ αθε ηµιπερ ιοδο Αν qz% ο πρ ωτος ταλαντωτ ης διαγρ αφει ενα ηµικ υκλιο δεξι α και ενα µικρ οτερο αριστερ α Αν fd% ο πρ ωτος ταλαντωτ ης διαγρ αφει ενα ηµικ υκλιο δεξι α και ενα µικρ οτερο π αλι δεξι α Και στις 2 περιπτ ωσεις ο δε υτερος ταλαντωτ ης διαγρ αφει π αντα ενα αριστερο ηµικ υκλιο ερχεται στο σηµε ιο ισορροπ ιας (κ εντρο) και περιµ ενει εκε ι µ εχρι να τον ξαναχτυπ ησει ο 1 µετ α απ ο µια ηµιπερ ιοδο για να ξαναγρ αψει το ιδιο ηµικ υκλιο 5 Οπως ε ιπαµε για q_% ο 1 ταλαντωτ ης περν α τη µισ η περ ιοδο π ισω απ ο το π ετασµα οπ οτε φα ινεται η δεξι α πλευρ α της ταλ αντωσης η οπο ια δεν διαφ ερει απ ο το µισ ο µιας απλ ης αρµονικ ης ταλ αντωσης 6 Οι συχν οτητες θα αλλ αξουν αλλ α θα ε ιναι π αλι ισες µεταξ υ τους, οπ οτε π αλι για την ιδια σχ εση µαζ ων θα παρακολουθο υµε το µισ ο µιας απλ ης αποσ υν οµενης αρµονικ ης ταλ αντωσης ΘΕΜΑ Γ 1 *,+-{ ^ @} i)~ Y Y ^k5m7nƒ i J 9 e + + Z k οπου } η επιφανειακ η πυκν οτητα µ αζας, και + η γων ια που σχηµατ ιζει η επι ατικ η ακτ ινα του κ αθε δακτυλ ιου µε τον αρνητικ ο αξονα των Μετ α απ ο πρ αξεις καταλ ηγουµε στο αποτ ελεσµα,+-{ + ˆ + e + wš η οπο ια ε ιναι σωστ η και για + q και για + f 4
U + Œ [ Ž U [ 2 Στο οριο + Ž,,+- i i +,+% @{ = + K ^ e + e + + 3 Βλ σηµει ωσεις θεωρ ιας Οι επιφ ανειες του ηµισφαιρ ιου εκτ ος των δ υο κ ωνων που σχηµατ ιζονται ασκο υν µηδενικ ες συνολικ α βαρυτικ ες δυν αµεις Αποµ ενει µ ονο η παχι α επιφ ανεια να ασκε ι ελξη 4 Οταν η σηµειακ η µ αζα πλησι αζει τη σφαιρικ η επιφ ανεια οι χορδ ες τε ινουν να σχηµατ ισουν γων ια QỸ Οπ οτε η ελξη οφε ιλεται σε ενα απιειροστ ο δ ισκο ο οπο ιος βρ ισκεται σε απ οσταση οση η ακτ ινα του + 5 Απ ο δ ισκο ακτ ινας και σε απ οσταση απ ο το κ εντρο του *,+- @} Y i e + @} Y e + Bš+ š œ Ετσι η δ υναµη που ασκε ι ενας τ ετοιος δ ισκος στο οριο που γ ινεται µικροσκοπικ ος και αντιστο ιχως ερχεται απε ιρως κοντ α ε ιναι @} Y e Αν αντικαταστ ησει κανε ις την πυκν οτητα } του (2) ερωτ ηµατος + @} Y e Y της σαφ ιρας καταλ ηγει στο αποτ ελεσµα 5