Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 12"

Αρισταίος Αρβανίτης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κεφάλαιο 1 Βαρύτητα Βαρύτητα Κεφ. 1 1

2 Νόμος βαρύτητας του Νεύτωνα υο ή περισσότερες μάζες έλκονται Βαρυτική δύναμη F G m1m ˆ Βαρυτική σταθερά G =667* N*m Nm /kg παγκόσμια σταθερά Βαρύτητα Κεφ. 1

3 Προσδιορισμός της τιμής του G Στα 1789 ο Heny Cavendish μέτρησε το G. Οι δυο μικρές σφαίρες στερεώνονται στα άκρα λεπτής οριζόντιας ράβδου. υο μεγάλες μάζες τοποθετούνται κοντά στις μικρές. Η γωνία στροφής μετράται από την απόκλιση του φωτός που ανακλάται από κάτοπτρο στερεωμένο στο κατακόρυφο άξονα στρέψης Βαρύτητα Κεφ. 1 3

4 Βαρύτητα και αρχή της επαλληλίας Για σύνολο αλληλεπιδρώντων σωματιδίων (μαζών), η συνολική βαρυτική δύναμη που ασκείται σε ένα από αυτά είναι: F n F 1, tot 1i i Για σωματίδιο που αλληλεπιδρά με μια συνεχή κατανομή μάζας το άθροισμα αντικαθίσταται από ολοκλήρωμα λή F 1, ώ ώ df Βαρύτητα Κεφ. 1 4

5 Θεώρημα φλοιών Για σωματίδιο που αλληλεπιδρά με ομογενή σφαιρικό φλοιό ύλης F 1, ό ό df Αποτέλεσμα ολοκλήρωσης: ομογενής σφαιρικός φλοιός έλκει το σωματίδιο ως όλη μάζα του φλοιού να ήταν συγκεντρωμένη στο κέντρο του φλοιού Βαρύτητα Κεφ. 1 5

6 Βαρυτική δύναμη πλησίον της επιφάνειας της Γης Η γη μπορεί να θεωρηθεί ως μια αλληλουχία φλοιών με τον ένα εντός του άλλου, ενώ καθένας έλκει το σωματίδιο που βρίσκεται έξω από την επιφάνεια της γης m m 1 F 1, G j R ˆ Gm m ˆj 1j g m 1 j R Οπότε η Γη συμπεριφέρεται ως σωματίδιο που βρίσκεται στο κέντρο της και έχει μάζα ίση προς τη μάζα της g = 9.81 m/s Αυτός ο τύπος προκύπτει θεωρώντας την Γη στάσιμη και με ιδανικό σφαιρικό σχήμα και ομογενή πυκνότητα. ˆ Βαρύτητα Κεφ. 1 6

7 Βαρυτική δύναμη πλησίον της επιφάνειας της Γης Στην πραγματικότητα το g δεν είναι σταθερό επειδή: Η Γη περιστρέφεται, Η Γη είναι κατά προσέγγιση ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής with a non-unifom πυκνότητα Βαρύτητα Κεφ. 1 7

8 Πεδίο βαρύτητας Υπάρχει βαρυτικό πεδίο σε κάθε σημείο του χώρου Όταν ένα σωματίδιο με μάζα βρεθεί σε σημείο που υπάρχει βαρυτικό πεδίο δέχεται δύναμη Το πεδίο ασκεί δύναμη στο σωματίδιο Το βαρυτικό πεδίο ορίζεται ρζ από την ένταση του ως: g F g m Συνεπώς το βαρυτικό πεδίο σε ένα σημείο του χώρου ορίζεται ως η βαρυτική δύναμη που δέχεται το σωματίδιο ελέγχου (σωματίδιο με μάζα τη μονάδα μάζας) Η παρουσία του σωματιδίου ελέγχου δεν είναι απαραίτητη για την ύπαρξη του πεδίου, είναι απλά το αισθητήριο όργανο για την διαπίστωση ύπαρξης του πεδίου Βαρύτητα Κεφ. 1 8

9 Πεδίο βαρύτητας Το σωματίδιο πηγή είναι ο δημιουργός του πεδίου Τα διανύσματα έντασης του βαρυτικού πεδίου κατευθύνονται προς την διεύθυνση της επιτάχυνσης που υφίσταται ένα σωματίδιο εάν τοποθετηθεί σε αυτό το πεδίο Gm R g Το μέτρο του είναι αυτό της επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης σε αυτό το σημείο Εάν το σώμα βρίσκεται σε απόσταση h από την επιφάνεια της Γης, το γίνεται R E + h. GME g R h E Το g ελαττώνεται καθώς ξαίνεται το h και για το g Βαρύτητα Κεφ. 1 9

10 Βαρυτική δυναμική ενέργεια Η βαρύτητα είναι διατηρητική δύναμη (το έργο είναι ανεξάρτητο της τροχιάς) f f Gm m U 1 F d d U Fd d Gm 1m i 1 1 i f 1 1 U U f Ui Gmm 1 i f i Βαρύτητα Κεφ. 1 10

11 Βαρυτική δυναμική ενέργεια Για να μετακινήσουμε ένα σωματίδιο από την αρχική του θέση στο άπειρο: 1 1 U Ui Gmm 1 i Θέτοντας U = 0 Gm m 1 i U ( ) i i Gm m 1 i Gm1m U ( ) F du d Gm 1m Gm 1m d d Βαρύτητα Κεφ. 1 11

12 Βαρυτική δυναμική ενέργεια Gm1 m U ( ) Βαρύτητα Κεφ. 1 1

13 Κεντρικό δυναμικό Η δύναμη κατευθύνεται προς ένα κέντρο και εξαρτάται από το 1/, οπότε η δυναμική ενέργεια είναι: Gm1m Αποτέλεσμα κεντρικής δύναμης U ( ) επίπεδη κίνηση: dl F Fuˆ ˆ ˆ ˆ Fu u Fu 0 L σταθ dt Λύση του προβλήματος των σωμάτων ενεργειακά. Είναι πρόβλημα -D. Γράφουμε την συνολική ενέργεια 1 d d E m U(),Όμως μ ς uˆ ˆ u dt dt Βαρύτητα Κεφ. 1 13

14 Εκφράζουμε και τη στροφορμή ως: Κεντρικό δυναμικό L zl ˆ m muˆ ( uˆ uˆ ) m ( ) L/ m L / m Γράφουμε λοιπόν την ενέργεια της κίνησης σε πολικές συντεταγμένες 1 1 E m U() m( L / m ) U() 1 1 L m U() m Βαρύτητα Κεφ. 1 14

15 Κάνουμε την εξής αντικατάσταση Κεντρικό δυναμικό U 1 L m peff, U() Και η ενέργεια παίρνει τη μορφή: 1 1 L 1 E m U m U, m () p, eff Αυτό παρατηρούμε είναι πρόβλημα μιας διάστασης και συνεπώς λύνεται ακριβώς Βαρύτητα Κεφ. 1 15

16 Κεντρικό δυναμικό 1 E m 1 L U p, eff U peff m Η μορφή της ολικής ενέργειας παραπέμπει σε σωματίδιο κινούμενο σε μια διάσταση εντός δυναμικού U peff, Γραφική παράσταση του Κεντρικού υναμικού f () U p,eff 10 Πηγάδι δυναμικού Σχηματισμός δέσμιων καταστάσεων 5 5 0, U() (-1/) (1/ ) (-1/+1/ ) Κοινό πρόβλημα σε όλα τα κεντρικά δυναμικά 10 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1, Βαρύτητα Κεφ. 1 16

17 Κίνηση δορυφόρων Εάν πάρουμε υπόψη τη μορφή της Γης στην περίπτωση ΒΟΛΗΣ, η κίνηση βλήματος πρέπει να τροποποιηθεί: Για κυκλική τροχιά R R ac g gr, T RT R Gm Gm R 3/ R R Βαρύτητα Κεφ. 1 17

18 ορυφόροι Για κυκλική τροχιά και από τον ο νόμο του Νεύτωνα F ma K GMm ( m ) Κινητική ενέργεια δορυφόρου m GMm U Ολική μηχανική ενέργεια δορυφόρου GMm GMm GMm E K U K Βαρύτητα Κεφ. 1 18

19 ορυφόροι Για ελλειπτική τροχιά μπορεί να αποδειχθεί ότι E GMm a Τροχιές με διαφορετική e αλλά το ίδιο a έχουν την ίδια ολική μηχανική ενέργεια Βαρύτητα Κεφ. 1 19

20 Γαιωσύγχρονος ορυφόρος ρ Γαιωσύγχρονος δορυφόρος φαίνεται να μένει σταθερός σε ένα σημείο πάνω από τη Γη. Για να συμβεί ο δορυφόρος πρέπει να έχει την ίδια περίοδο με την Γη. Μια μέρα Τ= ,09054 seconds Gm T 5 3 7,91 10 ad / s R 4 164km Η προκύπτουσα ακτίνα τροχιάς είναι km ή αφαιρώντας την γήινη ακτίνα, km, δίνει ύψος από την επιφάνεια της Γης km Βαρύτητα Κεφ. 1 0

21 Ταχύτητα διαφυγής Ταχύτητα διαφυγής: η ταχύτητα που απαιτείται για να διαφύγει σώμα από πλανήτη. K i U i K f U f m Gm m 1 planet R planet Gmplanet R planet Βαρύτητα Κεφ. 1 1

22 Νόμοι του Keple Tycho Bahe/ ( ) Johannes Keple Τρεις νόμοι του Keple ( ) 1. Νόμος των τροχιών: Όλοι οι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές, όπου ο Ήλιος βρίσκεται σε μια από τις εστίες. Νόμος των εμβαδών: Μια γραμμή που συνδέει τον Ήλιο και ένα πλανήτη διαγράφει ίσα εμβαδά πάνω στο επίπεδο της τροχιάς του σε ίσα χρονικά διαστήματα 3. Νόμος των περιόδων: Το τετράγωνο της περιόδου οποιουδήποτε πλανήτη είναι ανάλογο προς τον κύβο του μεγάλου άξονα της τροχιάς του Βαρύτητα Κεφ. 1

23 Πρώτος νόμος του Keple Οι ελλειπτικές τροχιές των πλανητών περιγράφονται από τον μεγάλο ημιάξονα a και την εκκεντρότητα e Για τους περισσότερους πλανήτες, οι εκκεντρότητες είναι πολύ μικρές (για τη Γη, e is ) Βαρύτητα Κεφ. 1 3

24 εύτερος νόμος του Keple Στοιχειώδες εμβαδόν που διαγράφεται από το διάνυσμα θέσης ενός πλανήτη ως προς τον Ήλιο είναι: 1 da d m L da ()( d ) dt dt m m Για σύστημα ήλιου-πλανήτη, η ολική στροφορμή είναι σταθερή (δεν υπάρχουν εξωτερικές ροπές), πράγματι: sin m m sin m L. sin Βαρύτητα Κεφ. 1 4

25 Τρίτος νόμος του Keple Για κυκλική τροχιά και τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα F ma GMm Από τον ορισμό της περιόδου 4 4 T T GM ( m)( ) GM 3 3 Για ελλειπτικές τροχιές T 4 a 3 GM Βαρύτητα Κεφ. 1 5

26 Μαύρη τρύπα Εάν υπάρχει αντικείμενο στο σύμπαν που η ταχύτητα διαφυγής του είναι: Gm 8 v object 3 10 m / s c R object Τίποτε (ακόμη και το φως) δεν μπορεί να διαφύγει από την επιφάνεια του είναι μια ΜΑΥΡΗ ΤΡΥΠΑ Μαύρη τρύπα είναι το απομεινάρι ενός άστρου που καταρρέει κάτω από την ιδία την του την βαρύτητα. Ο πυρήνας του άστρου πρέπει να έχει m>3m H Η Η κρίσιμη ακτίνα οπόταν η ταχύτητα διαφυγής ισούται με c ονομάζεται ακτίνα Schwazschild, R S Βαρύτητα Κεφ. 1 6

27 Μαύρη τρύπα Gmplanet Gm c R R R S planet Gm c Η νοητή σφαίρα με αυτήν την ακτίνα ονομάζεται ορίζοντας γεγονότων. Αυτό είναι το όριο του πόσο κοντά σε μαύρη τρύπα μπορούμε να δούμε Βαρύτητα Κεφ. 1 7 S

28 Μαύρες τρύπες και γαλαξίες Υπάρχουν ενδείξεις ότι υπάρχουν μεγάλες μαύρες τρύπες στα κέντρα των γαλαξιών. Αυτές οι τρύπες έχουν μάζες πολύ μεγαλύτερες από του Ήλιου. Π.Χ. στον δικό μας γαλαξία υπολογίζετε γζ ότι υπάρχει μαύρη τρύπα μάζας 3 εκατομμυρίων ηλιακών μαζών Βαρύτητα Section 13.6 Κεφ. 1 8

29 ΠΡOΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1.40, 1.4, 1,8, 1.88, Βαρύτητα Κεφ. 1 9

Σχετικά έγγραφα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης (Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 05 06 06 ΒΑΡΥΤΗΤΑ Νόμος της Βαρύτητας Βαρύτητα στο Εσωτερικό και Πάνω από