ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα m=1, βρίσκεται τη χρονική στιγµή t= στη θέση = i j + k µε ταχύτητα υ = i + k. Να βρεθεί η ενέργεια του σώµατος, η στροφορµή και η εξίσωση του επιπέδου της κίνησης. Είναι η κίνηση περατωµένη; Εξηγήστε. α) Είναι d = M = F = e Fe = =σταθ. dt Επίσης = m υ = σταθ. υ = σταθ. = υ Άρα η κίνηση πρέπει να γίνεται στο επίπεδο που είναι κάθετο και που ορίζεται από τα διανύσµατα, υ. Αφού, η εξίσωση του επιπέδου µπορεί να δοθεί από τη σχέση = β) Στο δοσµένο πεδίο δυνάµεων αντιστοιχεί το δυναµικό V( ) = 1/ E = mυ = υ = (1 + 1 ) = 1 + ( ) + 1 i j k i j k = m υ = m x y z = 1 1 = ( i + k) υ υ υ x y z 1 1 = ( i + k)( xi + yj + zk) = x+ z = Το πεδίο δύναµης είναι ελκτικό, αντιστρόφως ανάλογο του τετραγώνου της απόστασης. Άρα για Ε=1/ > η τροχιά του σώµατος θα είναι υπερβολή, δηλαδή µηπερατωµένη.. Να δείξετε ότι σε πεδίο ελκτικών δυνάµεων F () ένα σώµα µάζας m µπορεί πάντοτε να εκτελέσει κυκλική κίνηση ακτίνας µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. είξτε επίσης ότι η ταχύτητα u της κυκλικής τροχιάς δίνεται από τη σχέση F ( ) u =. m Από τη διαφορική εξίσωση m = F() που περιγράφει την κίνηση ενός m σώµατος m σε πεδίο ελκτικών δυνάµεων F () ως προς την ακτίνα του, βλέπουµε

2 ότι τα σηµεία ισορροπίας της αντιστοιχούν σε κυκλική κίνηση. Τα σηµεία ισορροπίας βρίσκονται από τη λύσης της εξίσωσης m = F( ) + =. Η εξίσωση m αυτή έχει πάντα λύση αν F () <, όταν δηλαδή έχουµε ελκτική δύναµη. Η γωνιακή ταχύτητα της κίνησης είναι ϑ = ω =, δηλαδή σταθερή. Για την ταχύτητα της m κίνησης έχουµε u = ω = = u = = F( = ). m m m m m m. Υλικό σηµείο µάζας m =1 κινείται στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων 5 F () =. Κάποια χρονική στιγµή βρίσκεται στη θέση ˆ 5 1 = 6iˆ+ 7ˆj k και η 1 ταχύτητα του είναι u1 = ( 4iˆ+ 67 ˆj+ 445k ˆ). Να βρεθεί το µέτρο της ταχύτητας του 86 όταν βρεθεί στη θέση ˆ = 5iˆ 5ˆj+ 6k Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουµε: 1 mu1 + V( 1 1) = mu + V( ). Επειδή = + + = και 1 ( 6) 7 ( 1) 86 = + + = έχουµε 5 ( 5) = V( 1) = V( ), οπότε και 1 1 mu1 = mu. Εποµένως 1 5 u = u1 = = Υλικό σηµείο µε µάζα m = 1 κινείται στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων που προέρχονται από το δυναµικό V() = k/( ), όπου k >. (α) Βρείτε την τιµή της ενέργειας της κυκλικής τροχιάς ακτίνας a. (β) Η κυκλική αυτή τροχιά είναι ευσταθής ή ασταθής; 4 α) Η κεντρική δύναµη που αντιστοιχεί στο δυναµικό είναι η F = k/. Η ταχύτητα της κυκλικής τροχιάς δίνεται από τη σχέση υ = F( )/ m, δηλαδή για =a k έχουµε υ =. Άρα η ενέργεια θα είναι a 1 1 k k k E = υ + V( a) = = a a 6a β) Για την µελέτη της ευστάθειας έχουµε F'( a) 1 + = < ασταθης Fa ( ) a a

3 5. α) Για το πεδίο κεντρικών δυνάµεων F () = k/, k> δείξτε ότι οι κυκλικές τροχιές υλικού σηµείου µάζας m αντιστοιχούν στην ελάχιστη τιµή ενέργειας και mk δείξτε ότι αυτή (η ελάχιστη τιµή) είναι η Emin =, όπου η στροφορµή. β) Για το κεντρικό πεδίο δυνάµεων F () = k/ + a/, a>, k>, να βρείτε την ακτίνα των κυκλικών τροχιών ως συνάρτηση της στροφορµής καθώς και την ευστάθειά τους. α) Η κυκλική τροχιά αντιστοιχεί στα ακρότατα του υποθετικού δυναµικού k V ' = +, m δηλαδή για ακτίνα = για την οποία dv ' k = η F ( ) + = + = = = d m m mk Το παραπάνω ακρότατο είναι ελάχιστο, άρα το υποθετικό δυναµικό έχει ελάχιστη τιµή V αυτή που αντιστοιχεί στην ενέργεια της κυκλικής τροχιάς Ε : ' min mk V ' = V '( ) = = E Άρα πρέπει E V ' min η E E β) Για κυκλική τροχιά µε = πρέπει k a + ma + + = = m km γ) Για την ευστάθεια έχουµε F'( ) k km + F () = a k = > + = = min Άρα η κυκλική τροχιά είναι ευσταθής για κάθε. 6. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση κινήσεως σε πεδίο κεντρικών δυνάµεων m = F() +, µετατρέποντας τις παραγώγους ως προς το χρόνο σε παραγώγους m ως προς τη γωνία, παίρνει τη µορφή 4 d d mf ( ) = dθ dθ β) Να βρεθεί το πεδίο κεντρικών δυνάµεων F = F() στο οποίο είναι δυνατή η ύπαρξη τροχιών της µορφής kθ =, k=σταθ..

4 α) Στον όρο m µετατρέπουµε τις παραγώγους ως προς το χρόνο σε παραγώγους ως προς τη γωνία και αντικαθιστούµε το θ από τη σχέση θ = / m. d d d d d d 1 d d(1/ ) m = m θ = m = + = dt dθ dt dθ m dt dθ dθ dt d d 1 d d d d = θ + θ d d d = d m 4 d θ θ θ θ θ d θ Εξισώνοντας την παραπάνω σχέση για το m µε το ο µέλος την ζητούµενη εξίσωση. F () + βρίσκουµε m β) Αντικαθιστώντας την καµπύλη = kθ στην εξίσωση του υπο-ερωτήµατος (α) βρίσκουµε 4 m k 6 k = F ( ) F ( ) = (6 k+ ) = (6 k+ ), k = σταθ. 4 4 m 7. Να βρεθεί το πεδίο κεντρικών δυνάµεων F() στο οποίο είναι δυνατή η ύπαρξη τροχιών της µορφής = asin( bθ ), µε ab>,. Ποία συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν C τα ab,, ώστε η δύναµη να είναι της µορφής F () =, όπου C σταθερά διάφορη του n µηδενός και n 1 φυσικός; 4 d d m Θεωρούµε δεδοµένη τη διαφορική εξίσωση = dϑ dϑ Παραγωγίζοντας την εξίσωση της τροχιάς δυο φορές παίρνουµε F(). d d abcos( b ) a b cos ( b ) a b 1 sin ( b ) b ( a ) d ϑ = = ϑ dϑ ϑ = ϑ =, d = ab sin( bϑ ) = b. dϑ Αντικαθιστώντας τις δυο παραπάνω σχέσεις στην διαφορική εξίσωση έχουµε 4 4 m a b m b b ( a ) = F () b + b = F () ( b 1 ) a b F () = 5 m Από την έκφραση της δύναµης βλέπουµε ότι για b = 1 και a > η δύναµη είναι της C a µορφής F () = µε C = και n = 5. n m

5 k 8. Σε πεδίο κεντρικών δυνάµεων F = e, k >, υλικό σηµείο εκτελεί ελλειπτική τροχιά µε εκκεντρότητα e και µεγάλο ηµι-άξονα a. Να βρεθεί η απόσταση στην οποία παρουσιάζεται η µικρότερη ταχύτητα υ min κατά µήκος της τροχιάς, καθώς και η υ min. Πόση πρέπει να γίνει η ταχύτητα στην απόσταση για να εκτελέσει το σώµα i) κυκλική τροχιά ii) παραβολική τροχιά; k 1 Από την σχέση υ = m a παρατηρούµε ότι η ελάχιστη ταχύτητα υ=υ min παρουσιάζεται όταν = max. Στην έλλειψη max =a(1+e) και άρα k 1 k 1 e υmin = = (1) m a(1 + e) a ma1 + e (i) Για κυκλική τροχιά θα είναι e= και a= και άρα από την (1) F ( ) k k υ = = = m m ma(1 + e) (ii) Η παραβολική τροχιά αντιστοιχεί σε Ε=, δηλαδή 1 k k k mυ = υ = υ = m ma( 1 + e) 9. ύο αστεροειδείς Σ 1 και Σ κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές γύρω από τον ήλιο µε µεγάλους ηµιάξονες a 1 =1, a = 4 ( 1.6) και εκκεντρότητες e 1 =.1 και e =., αντίστοιχα. Επίσης, η γραµµή των αψίδων τους συµπίπτει και τα περιήλιά τους βρίσκονται προς την ίδια πλευρά ως προς τον ήλιο. α) Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη µεταξύ τους απόσταση στην οποία θα µπορούσαν να βρεθούν οι αστεροειδείς πάνω στη γραµµή των αψίδων. β) Αν αρχικά οι δύο αστεροειδείς βρίσκονται στο περιήλιό τους και η περίοδος περιστροφής του Σ 1 είναι ίση µε Τ 1, σε πόσο χρόνο θα ξαναβρεθούν ταυτόχρονα και οι δύο στα περιήλιά τους; α) Όπως φαίνεται στο σχήµα, η ελάχιστη απόσταση στην οποία µπορούν να βρεθούν οι αστεροειδείς είναι όταν βρίσκονται και οι δύο στα περιήλιά τους ή στα αφήλιά τους, δηλαδή Α Α 1 Η Π Π 1 ΠΠ 1 =ΗΠ ΗΠ 1 = a(1 e) a1(1 e1) = 1.6(1.) 1(1.1) =.8 και ΑΑ =ΗΑ ΗΑ = a (1 + e ) a (1 + e ) = 1.6(1 +.) 1(1 +.1) =

6 Η µέγιστη απόσταση εµφανίζεται όταν ο ένας αστεροειδής είναι στο περιήλιο και ο άλλος στο αφήλιο. Είναι ΠΑ 1 =ΗΠ 1+ΗΑ = a1(1 e1) + a(1 + e) = 1(1.1) + 1.6(1 +.) =.8 και ΠΑ =ΗΠ +ΗΑ = a (1 e ) + a (1 + e ) = 1.6(1.) + 1(1 +.1) = Άρα η ελάχιστη απόσταση είναι ίση µε.8 και η µέγιστη ίση µε.8. β) Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Κέπλερ θα είναι T a a = = = T 1 T a a T T Άρα εξωτερικός αστεροειδής γυρίζει µε διπλάσια περίοδο. Ο Σ 1 βρίσκεται στο Π 1 τις χρονικές στιγµές, Τ 1, Τ 1, Τ 1 κλπ Ο Σ βρίσκεται στο Π τις χρονικές στιγµές, Τ =Τ 1, Τ,=4Τ 1 κλπ Άρα µετά τη χρονική στιγµή t= θα ξαναβρεθούν στα περιήλιά τους σε χρόνο t=t 1 1. Να αποδειχτεί ότι σε µια κεπλεριανή έλλειπτική τροχιά σώµατος µάζας m, η 1/ (1 e ) στροφορµή δίνεται από τη σχέση = π ma. T Ο ος νόµος που αναφέρεται στη κίνηση µε σταθερή εµδαδική ταχύτητα (δηλαδή σταθερή στροφορµή) ισχύει για οποιαδήποτε κεντρική δύναµη. Ο 1ος και ο ος νόµος ισχύουν µόνο για δυνάµεις -1/. β) Η στροφορµή είναι σταθερή κατά µήκος της έλλειψης. Θεωρούµε το περίκεντρο της έλλειψης όπου = mυ (1) (γιατί στις αψίδες περίκεντρο και αφήλιο είναι υ ) Είναι = a(1 e), k 1 υ =, m a k = GMm Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στην (1) και από τον τρίτο νόµο του Keple 4π την σχέση GM = a, προκύπτει το ζητούµενο αποτέλεσµα. T 11. ιαστηµικό σκάφος µάζας m κινείται γύρω από τη Γη (που τη θεωρούµε ακίνητη) σε ελλειπτική τροχιά µε εκκεντρότητα e=.5 και µεγάλο ηµιάξονα a. Τη στιγµή t= το σκάφος περνάει από το περίκεντρο της τροχιάς του µε ταχύτητα υ. (α) Πόσο πρέπει να αυξήσουµε το µέτρο της ταχύτητας του σκάφους σε σχέση µε τη υ ώστε η τροχιά του να γίνει παραβολική; (β) Πάνω στη παραβολική τροχιά, σε πόση απόσταση, σε σχέση µε την αρχική, θα βρίσκεται το σκάφος όταν η ταχύτητά του ξαναγίνει ίση µε υ ; γ) Πόση θα είναι η στροφορµή του σκάφους ως προς τη Γη στην παραπάνω απόσταση;

7 α) Το περίκεντρο της ελλειπτικής τροχιάς βρίσκεται σε απόσταση GMm 1 GM = a(1 e) = a/ µε ταχύτητα υ = υ =. m a a ' Για να έχουµε στο = παραβολική τροχιά πρέπει η ταχύτητα υ να είναι τέτοια ώστε Ε=. Άρα 1 GMm ' GM ' mυ' = υ = ή υ = υ 1.15υ (δηλαδή αύξηση a 15%) β) Έστω σηµείο της παραβολικής τροχιάς σε απόσταση µε ταχύτητα υ. Θα είναι 1 mυ GMm = ' = GMm = Gm = 4 a ή ' = ' mυ m GM / a γ) Η στροφορµή θα είναι ίδια µε αυτή της αρχικής θέσης (για την παραβολική τροχιά) ' όπου = = a/, υ = υ = GM και υ (περίκεντρο). Άρα a = mυ = m GMa 1. Υλικό σηµείο κινείται σε κυκλική τροχιά στο πεδίο κεντρικών δυνάµεων k F () =, k >. Αν απότοµα η σταθερά k ελαττωθεί στο µισό, να δειχθεί ότι η τροχιά γίνεται παραβολική. (α) Η ταχύτητα u µε την οποία κινείται το σώµα σε κυκλική τροχιά στο πεδίο k κεντρικών δυνάµεων F () = δίνεται από τη σχέση F ( ) k u = m = m. Όταν η σταθερά k ελαττωθεί στο µισό η ενέργεια το σώµατος γίνεται: 1 1 k ( k / ) E = mu + V( ) = m =. m Εποµένως έχουµε παραβολική τροχιά. 1. ορυφόρος µάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά σε απόσταση = R από το κέντρο της Γης (µάζας Μ). Σε κάποια χρονική στιγµή δέχεται παρόρµηση κατά τη διεύθυνση της κίνησής του, που αυξάνει το µέτρο της ταχύτητάς του κατά 5%. α) Να βρεθεί η ενέργεια και η στροφορµή του δορυφόρου πριν την παρόρµηση. β) Να βρεθεί η ενέργεια και η στροφορµή του δορυφόρου µετά την παρόρµηση. γ) Να βρεθεί η ελάχιστη και η µέγιστη απόσταση από το κέντρο της Γης από την οποία περνάει ο δορυφόρος µετά την παρόρµηση.

8 Σε κάθε περίπτωση (πριν και µετά την παρόρµηση) η ενέργεια και η στροφορµή δίνονται από τις σχέσεις 1 k E = mυ ( k = GMm), = m υ = mυ ( υ) k α) Πριν την παρόρµηση έχουµε = R, υ = υ = και αντικαθιστώντας στις mr σχέσεις (1) παίρνουµε k E =, = mrk R (1) υ υ R R R min R max Πριν την παρόρµηση Μετά την παρόρµηση 5 k β) Μετά την παρόρµηση είναι = R, υ = 1.5υ = και αντικαθιστώντας 4 mr στις σχέσεις (1) παίρνουµε 7k 5 E =, = mrk R 4 γ) Αφού και µετά την παρόρµηση είναι Ε<, η τροχιά θα είναι έλλειψη µε µεγάλο ηµιάξονα και εκκεντρότητα k k 16R a = = = E 7k 7 R 7k 5 mr k E R 16 9 e = mk = mk = 16 Άρα 16R 9 min = a(1 e) = (1 ) = R και R 9 5 = a(1 + e) = (1 + ) = R max

9 Σηµείωση, το γεγονός ότι min = R προκύπτει από το γεγονός ότι η ταχύτητα µετά την παρόρµηση είναι µεγαλύτερη από αυτή της κυκλικής τροχιάς και κάθετη στην ακτινική διεύθυνση. Άρα η αρχική θέση (=R) είναι περίγειο. 14. ορυφόρος µάζας m =1 kg κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη Γη. Τη στιγµή που περνάει από το µικρότερο ύψος, σε απόσταση =1 km (από το κέντρο της Γης) έχει ταχύτητα 6.6 km/sec. Ποια είναι η µέγιστη απόσταση του δορυφόρου από τη Γη και τι ταχύτητα έχει σε εκείνο το σηµείο; Πόσο χρόνο διαρκεί η µετάβαση από την ελάχιστη απόσταση στη µέγιστη απόσταση; ( ίνονται µάζα Γης kg, σταθερά βαρύτητας N m /kg. Οι υπολογισµοί να γίνουν κατά προσέγγιση) Το σηµείο µε την µικρότερη απόσταση = 1 =1 1 6 m είναι το περίκεντρο της τροχιάς, άρα 1 = a(1 e) (1), όπου a, e ο µεγάλος ηµιάξονας και η εκκεντρότητα της τροχιάς. Επίσης στο σηµείο αυτό η ταχύτητα είναι υ1=6.6 1 m/sec και θα ισχύει η σχέση υ1 k 1 = m 1 a (). Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιµές στους τύπους (1) και () και λύνοντας ως προς τον µεγάλο ηµιάξονα και την εκκεντρότητα βρίσκουµε a 16 km, e.5 Η µέγιστη απόσταση θα είναι αυτή του απόκεντρου της τροχιάς, δηλαδή η Η ταχύτητα σε αυτό το σηµείο θα είναι υ1 = a(1 + e) km k 1 = m a Η περίοδος T της τροχιάς δίνεται από τον νόµο του Keple υ1 4km/sec 4π T = GM T h. µάζα της Γης. Αντικαθιστώντας τις τιµές βρίσκουµε sec 5,5 Άρα ο χρόνος τ από το περίκεντρο στο απόκεντρο θα είναι τ=τ/, δηλαδή τ.75 h a, όπου Μ η 15. Σώµα µάζας m = 4 κινείται στο πεδίο απωστικών κεντρικών δυνάµεων 116 F () =. Αν τη χρονική στιγµή t = το σώµα βρίσκεται στη θέση = iˆ+ ˆj 4kˆ µε ταχύτητα u = iˆ+ ˆj+ kˆ, να υπολογίσετε την ενέργεια του E και την στροφορµή του τη χρονική στιγµή t =. (β) Η ενέργεια και η στροφορµή είναι ολοκληρώµατα της κίνησης οπότε η τιµή τους παραµένει σταθερή για κάθε χρονική στιγµή. Εποµένως η τιµή τους για t = είναι ίδια µε την τιµή τους για t =. Για t = έχουµε u = ( 1) = 11. Οπότε παίρνουµε = + + ( 4) = 9 και

10 1 k E = mu + = = 4, 9 iˆ ˆj kˆ = m u = 4 4 = 4 (9+ 4) iˆ (6 4) ˆj+ (+ ) kˆ = 5iˆ 8ˆj+ kˆ. 1 1