Ακουστική και συμβολομετρική ανάλυση της Κρητικής λύρας

Ακουστική και συμβολομετρική ανάλυση της Κρητικής λύρας Σ. Γυμνόπουλος 1, Ε. Μπακαρέζος 1, Β. Βάθης 1, Λ. Χαρτοφύλακας 1, Σ. Μπρέζας 1, Ι. Ορφανός 1,2, Ε. Μαραβελάκης 3, Χ. Παπαδόπουλος 4, Μ. Ταταράκης 5, Α. Αντωνιάδης 3 και Ν.Α. Παπαδογιάννης 1 1 Τμήμα Μουσικής Τεχνολογίας & Ακουστικής, Τ.Ε.Ι. Κρήτης, Ε. Δασκαλάκη 1, 74100 Ρέθυμνο 2 Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής Δομής & Λέιζερ, Ι.Τ.Ε., Βασιλικά Βουτών, 71110 Ηράκλειο 3 Τμήμα Φυσικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Τ.Ε.Ι. Κρήτης, Ρωμανού 3, 73133 Χανιά 4 Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών, Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου, Αθήνα 5 Τμήμα Ηλεκτρονικής, Τ.Ε.Ι. Κρήτης, Ρωμανού 3, 73133 Χανιά ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα ακουστικά χαρακτηριστικά των εγχόρδων οργάνων έχουν μελετηθεί σε μεγάλο βαθμό κατά τις περασμένες δεκαετίες. Οι μέθοδοι μελέτης περιλαμβάνουν πολλές τεχνικές, για παράδειγμα ανάλυση κανονικών τρόπων ταλάντωσης με χρήση ολογραφικής συμβολομετρίας, ανάλυση συχνοτικής απόκρισης και ανάλυση ηχητικών φασμάτων εκπομπής. Η παρούσα εργασία στοχεύει στην δημιουργία μιας ολοκληρωμένης μεθόδου για τον καθορισμό των ακουστικών χαρακτηριστικών διαφόρων τύπων Κρητικής λύρας. Η συμβολομετρική τεχνική που χρησιμοποιείται είναι η χρονικά ολοκληρωμένη ηλεκτρονική συμβολομετρία ψηφίδων (ESPI), με την οποία μπορούν να εξαχθούν ισοϋψείς καμπύλες πλάτους της ταλάντωσης κάθετα προς την δονούμενη επιφάνεια. Τα αποτελέσματα αυτής της τεχνικής συγκρίνονται με την πειραματική συχνοτική απόκριση και τα φάσματα ηχητικής εκπομπής. Τα πειραματικά αποτελέσματα ελέγχονται θεωρητικά μέσω μοντέλου ανάλυσης πεπερασμένων στοιχείων, το οποίο είναι ικανό να προβλέψει με ακρίβεια τις ιδιομορφές και τις αντίστοιχες συχνότητες ενός συγκεκριμένου οργάνου ή μερών αυτού. Κατά την καλύτερη γνώση των συγγραφέων, αυτή είναι η πρώτη φορά που τέτοιου είδους όργανα μελετώνται με αυτές τις τεχνικές. Laser interferometric and acoustical analysis of the Cretan lyra ABSTRACT Acoustical characteristics of string instruments have been extensively studied over the past decades. The methods of study include several techniques, for example modal analysis using holographic interferometry, frequency response analysis and sound spectra analysis. This work aims at the establishment of a complete method

for the determination of the acoustical characteristics of various types of Cretan lyre. The interferometric technique that we use is the time-average ESPI, with which contours of equal out-of-plane vibration amplitude can be extracted. The results of this technique are compared to the experimentally obtained frequency response and to the emitted sound spectra. The experimental results are theoretically tested by a finite element analysis model capable of accurately predicting the eigenmodes and respective frequencies of a particular instrument or a part of it. This is, to the best of our knowledge, the first time that such instruments are studied by these techniques. Εισαγωγή Σκοπός αυτής της εργασίας είναι η μελέτη των δονήσεων του μουσικού οργάνου Κρητική λύρα και μερών αυτής χρησιμοποιώντας μηχανικές και οπτικές τεχνικές καθώς και ακουστική ανάλυση του εκπεμπόμενου ήχου. Επίσης έχει αναπτυχθεί θεωρητικό μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων, το οποίο προβλέπει τις δονήσεις μερών των μουσικών οργάνων. Στις υπόλοιπες παραγράφους γίνεται κατ αρχήν αναφορά στον τρόπο λειτουργίας της Κρητικής λύρας, και έπειτα ανάλυση και παρουσίαση αποτελεσμάτων: της χρησιμοποιούμενης μηχανικής τεχνικής (κρουστική απόκριση), της χρησιμοποιούμενης οπτικής τεχνικής (ESPI) καθώς και του μοντέλου των πεπερασμένων στοιχείων. Επίσης, γίνεται αρχική παρουσίαση των μετρήσεων και των πρώτων αναλύσεων της ακουστικής εκπομπής ολοκληρωμένων οργάνων.ο τελικός στόχος της εργασίας είναι η εύρεση ολοκληρωμένης μεθόδου που συνδυάζει τα προτερήματα των προαναφερθέντων τεχνικών, πειραματικών και θεωρητικών, για την κατανόηση της λειτουργίας των μελετούμενων παραδοσιακών μουσικών οργάνων και την πρόβλεψη της ηχητικής τους ποιότητας κατά τα διάφορα στάδια κατασκευής τους. 1. Λειτουργία οργάνου Η κρητική λύρα είναι ένα μικρό, αχλαδόσχημο όργανο με τρεις χορδές χορδισμένες στις νότες G-D-A. Τομή τυπικής Κρητικής λύρας φαίνεται στο σχήμα 1.1.α. Η διέγερση των χορδών γίνεται μέσω δοξαριού, το οποίο συλλαμβάνει τις χορδές και λόγω στατικής τριβής αυτές μετατοπίζονται από τη θέση ισορροπίας τους. Τη στιγμή της απελευθέρωσης η χορδή έχει σχήμα πριονωτό, με χρονική εξέλιξη της μετατόπισής της όπως αυτή που φαίνεται στο σχήμα 1.1.β. Η χορδή συνεχίζει να ολισθαίνει πάνω στο δοξάρι μέχρι να ξανασυλληφθεί όταν οι σχετικές ταχύτητες δοξαριού χορδής οδηγήσουν ξανά σε στατική τριβή. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται περιοδικά. Χαρακτηριστικό φάσμα της πριονωτής αυτής διαμόρφωσης της χορδής φαίνεται στο σχήμα 1.1.γ με εκθετικά μειούμενους αρμονικούς. Η βασική συχνότητα εξαρτάται από το μήκος της χορδής το οποίο αλλάζει ακινητοποιώντας ο εκτελεστής τη χορδή σε ορισμένα σημεία με τα νύχια του. Η ένταση του εκπεμπόμενου ήχου από τη χορδή είναι εξαιρετικά μικρή, λόγω της μικρής της διατομής. Γι αυτό απαιτείται ενίσχυση του ήχου που επιτυγχάνεται με το αντηχείο. Οι δονήσεις της χορδής μέσω της γέφυρας και της ψυχής μεταφέρονται στο εμπρός και στο πίσω μέρος του αντηχείου. Σημειώνεται ότι η ψυχή συνδέει απ ευθείας το ένα άκρο της γέφυρας με το πίσω μέρος του αντηχείου, σε αντίθεση με το βιολί. Οι δονήσεις αυτές

συντονίζονται στο αντηχείο με δύο βασικούς τρόπους: τον αέρινο συντονισμό, που είναι ο συντονισμός Helmholtz του αέρα που είναι εγκλωβισμένος στο αντηχείο (εξαρτάται από τον όγκο του αντηχείου και από τη επιφάνεια των οπών) και τους συντονισμούς του ξύλου, και κυρίως αυτών του εμπρόσθιου μέρους, όπου λόγω της χαμηλής μάζας συντονίζεται ευκολότερα και εκπέμπει το μεγαλύτερο μέρος του ήχου. Το χαρακτηριστικό φάσμα των χορδών διαμορφώνεται λόγω των συντονισμών του αντηχείου για την τελική εκπομπή του χαρακτηριστικού ηχοχρώματος του οργάνου. Από τα παραπάνω συμπεραίνεται ότι η μελέτη των δονήσεων του εμπρόσθιου μέρους του οργάνου είναι πρωτεύουσας σημασίας. Γ Κ Π Ψ (α) Μετατόπιση Πλάτος 1 2 (β) Χρόνος (γ) Συχνότητα Σχήμα 1.1 (α) τομή τυπικής Κρητικής λύρας: Γ-γέφυρα, Κ-καπάκι, Π-πλάτη, Ψ-ψυχή, (β) χρονική εξέλιξη πριονωτής μετατόπισης χορδής κατά το παίξιμό της με δοξάρι: σημείο 1-μέση θέση δόνησης χορδής, σημείο 2-θέση ηρεμίας χορδής, και (γ) συχνοτικό φάσμα της πριονωτής μετατόπισης της χορδής. 2. Πειραματικές τεχνικές και αποτελέσματα 2.1 Κρουστική απόκριση Το υπό μελέτη όργανο ή μέρος διεγείρεται μέσω κρουστικού σφυριού, το οποίο διαθέτει αναδραστικό αισθητήρα για την καταγραφή της διέγερσης. Η απόκριση του οργάνου καταγράφεται με επιταχυνσιόμετρο. Τα σήματα διέγερσης και απόκρισης οδηγούνται σε ειδικό σύστημα (Symphonie Measuring System by 01dB-Stell), και αναλύονται μέσω ειδικού λογισμικού. Τόσο η διέγερση όσο και η απόκριση μετρούνται σε διάφορα σημεία του οργάνου για την καταγραφή μέσων τιμών. Με αυτήν την τεχνική καταγράφεται η συνάρτηση συχνοτικής ετεροσυσχέτισης, H2, που δίνεται από τη σχέση:

+ y( t) e i2π f t dt 2 H 2 = (2.1) + + i2π f t i2π f t x( t) e dt y( t) e dt όπου y(t) είναι το σήμα του επιταχυνσιόμετρου, x(t) είναι το σήμα ανάδρασης του κρουστικού σφυριού. Όπου παρουσιάζεται γραφικά το Η2 ως συνάρτηση της συχνότητας, στον άξονα-y είναι η ποσότητα 20log( H 2 ) σε db. 2.2 ESPI Στα οπτικά πειράματα χρησιμοποιείται η μέθοδος της χρονικά ολοκληρωμένης ηλεκτρονικής συμβολομετρίας ψηφίδων (time-average ESPI), η οποία έχει τις παρακάτω θεωρήσεις: Υποθέτουμε ότι μία επιφάνεια δονείται εγκάρσια και η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, w, σε κάθε σημείο της (x,y) για κάθε χρονική στιγμή, t, δίνεται από τη σχέση: w( x, y, t) = A( x, y)cos ω t + φ0 ( x, y) (2.2) όπου A( x, y) [ ] είναι η κατανομή του πλάτους ταλάντωσης πάνω στην επιφάνεια, ω η συχνότητα της ταλάντωσης και φ 0 ( x, y) είναι η κατανομή της φάσης πάνω στην επιφάνεια. Χρησιμοποιώντας μια πειραματική διάταξη όπως αυτή του σχήματος 2.1 φως από laser συνεχούς μήκους κύματος, μονού εγκάρσιου και διαμήκους ρυθμού, διαχωρίζεται σε δύο δέσμες μέσω οπτικού διαχωριστή. Η μια από αυτές τις δέσμες (δέσμη αναφοράς) οδηγείται μέσω ανακλάσεων σε ψηφιακή κάμερα υψηλής ανάλυσης, αφού έχει υποστεί παράλληλη χωρική μεγέθυνση. Η δεύτερη δέσμη (δέσμη αντικειμένου) διαμορφώνεται από αποκλίνοντα φακό και φωτίζει το αντικείμενο. Η ανάκλασή της από το αντικείμενο συλλέγεται και διαμορφώνεται από κατάλληλο οπτικό σύστημα ώστε να έχει τα ίδια γεωμετρικά χαρακτηριστικά με τη δέσμη αναφοράς κατά την πρόσπτωσή της στην ψηφιακή κάμερα. Θεωρώντας ότι τ είναι ο χρόνος έκθεσης της κάμερας η κατανομή της φωτεινής έντασης που ανιχνεύει η κάμερα δίνεται από τη σχέση: τ 1 2π I1 = I A + I B + 2 I AI B cos φ + ( 1+ cosθ ) Acos( ω t + φ0 ) τ λ dt (2.3) 0 όπου Ι Α και Ι Β είναι οι κατανομές έντασης των δεσμών αναφοράς και αντικειμένου αντίστοιχα, φ είναι η διαφορά φάσης μεταξύ των παραπάνω δεσμών, θ είναι η γωνία ανάκλασης από το αντικείμενο (στην περίπτωσή μας θ 0 ). Θέτοντας Γ = (2π/λ)(1+cosθ) και τ = 2mπ/ω, όπου m είναι ακέραιος, και ολοκληρώνοντας η εξίσωση (2.3) γίνεται [1-3]: ( ) J ( ΓA) I1 = I A + I B + 2 I AI B cosφ 0 (2.4) όπου J 0 είναι η συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης πρώτου είδους. Λόγω της χρονικής ολοκλήρωσης στην (2.4) έχει εξαλειφθεί η φάση της δόνησης. Καθώς η o

ταλάντωση του αντικειμένου συνεχίζεται, υποθέτουμε ότι το πλάτος της ταλάντωσης αλλάζει, λόγω αστάθμητων παραγόντων, κατά ένα μικρό ποσό και από Α γίνεται Α+ΔΑ. Τότε μια δεύτερη εικόνα καταγράφεται, της οποίας η ένταση φωτός μπορεί παρομοίως να εκφραστεί, μετά από ανάπτυγμα Taylor, ως [3]: 1 2 2 I 2 = I A + I B + 2 I AI B ( cosφ ) 1 Γ ( ΔA ) J 0 ( ΓA) (2.5) 4 Οι διαδοχικές εικόνες Ι 1 και Ι 2 αφαιρούνται μέσω κατάλληλου λογισμικού που αναπτύχθηκε πλήρως στο εργαστήριο, και το αποτέλεσμα εκφράζεται σαν: I AI B 2 2 I = I 2 I1 = ( cosφ ) Γ ( ΔA ) J 0 ( ΓA) (2.6) 2 Η εικόνα Ι(x,y) καταγράφεται συνεχώς καθώς αλλάζει η συχνότητα της διέγερσης. Σε κάθε συχνότητα καταγράφονται αρκετές εικόνες. Όταν πλησιάζει την συχνότητα συντονισμού εμφανίζονται κροσσοί, με τον αριθμό τους να μεγιστοποιείται ακριβώς στη συχνότητα συντονισμού. Με αυτό τον τρόπο βρίσκεται και η συχνότητα συντονισμού και η κατανομή του κανονικού τρόπου ταλάντωσης της επιφάνειας. Φ ΠΔ ΔΔ Κ ΔΔ Λ ΑΦ Α ΣΚ ΓΣ ΕΣ Σχήμα 2.1 Πειραματική διάταξη ESPI: Λ-λέιζερ, ΔΔ-διαχωριστής δέσμης, Φ-φίλτρο μεταβλητής απορρόφησης, ΠΔ-παραλληλοποιητής δέσμης, Κ-κάμερα CCD, ΑΦαποκλίνων φακός, Α-αντικείμενο, ΣΚ-σύστημα καταγραφής, ΓΣ-γεννήτρια συχνοτήτων, ΕΣ-ενισχυτής σήματος. 2.1 Πειραματικά αποτελέσματα Με τις παραπάνω πειραματικές τεχνικές μελετήθηκαν 3 καπάκια λυρών και 7 λύρες διαφορετικών κατασκευαστών και τεχνοτροπιών. Τυπικά αποτελέσματα αυτών των τεχνικών δίνονται στο σχήμα 2.2 για την περίπτωση ενός καπακιού κατασκευής Σταγάκη. Οι κορυφές στο φάσμα συχνοτικής απόκρισης αντιστοιχούν στις ιδιοσυχνότητες του καπακιού. Οι εικόνες δείχνουν τις αντίστοιχες ιδιομορφές όπως αυτές μετρήθηκαν με την τεχνική ESPI. Παρ όλο που οι δύο πειραματικές τεχνικές εφαρμόστηκαν ανεξάρτητα, οι ιδιοσυχνότητες που μετρήθηκαν με τις δύο τεχνικές είναι σε εξαιρετική συμφωνία.

db Συχνότητα (Hz) Σχήμα 2.2 Αποτελέσματα πειραματικών τεχνικών για καπάκι λύρας κατασκευής Σταγάκη. Το γράφημα είναι η συχνοτική απόκριση, αποτέλεσμα της τεχνικής κρουστικής απόκρισης, όπου οι κορυφές αντιστοιχούν στις ιδιοσυχνότητες του καπακιού. Οι εικόνες είναι τα αποτελέσματα της τεχνικής ESPI και απεικονίζουν τις αντίστοιχες ιδιομορφές. Σχήμα 2.2 Αποτελέσματα φασματικής καταγραφής για τις νότες C4,G4,D#5 (a,b,c) και κρουστικής απόκρισης (d) εφτά ολοκληρωμένων οργάνων Σε συνέχεια των παραπάνω πειραμάτων μελετήσαμε τόσο με την μέθοδο της κρουστικής απόκρισης όσο με την ESPI εφτά διαφορετικά ολοκληρωμένα όργανα διαφορετικών κατασκευαστών και τεχνοτροπιών. Στα ολοκληρωμένα όργανα γίνονται επίσης μετρήσεις φασματικής καταγραφής με ειδική μέθοδο που θα αναλυθεί σε επόμενο άρθρο. Τα πρώτα αποτελέσματα δείχνουν πολλά ενδιαφέροντα στοιχεία των ολοκληρωμένων οργάνων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την πλήρη κατανόηση της λειτουργίας τους. Για παράδειγμα στο σχ. 2.3α,β,γ φαίνεται

το φάσμα τριών διαφορετικών τόνων κατά την ώρα που εκτελούνται από τον οργανοπαίχτη. Είναι εμφανής σε όλες της λύρες η μικρή ένταση της θεμελιώδους συχνότητας της νότας C4 (262 Hz) (σχ. 2.3α) που οφείλεται στην χαμηλή απόκριση στις χαμηλές συχνότητες του αντηχείου της λύρας που φαίνεται στο σχ. 2.3δ. Επίσης στις φασματικές περιοχές από 800Hz έως 2500Hz όπου η κρουστική απόκρισης είναι σχεδόν επίπεδη η πτώση της έντασης των αρμονικών είναι ακριβώς αυτή της πριονωτής δόνησης της χορδής αφού απλώς αυξάνει με ίδιο τρόπο την ένταση σε όλες αυτές τις συχνότητες. 3. Μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) και αποτελέσματα Το ΜΠΣ βασίζεται σε τρισδιάστατες σαρώσεις των υπό μελέτη αντικειμένων και αποτελείται από εισοσακομβικά και δεκαπεντακομβικά τρισδιάστατα στοιχεία. Με τη χρήση του μοντέλου αυτού είναι δυνατός ο θεωρητικός υπολογισμός των ιδιοσυχνοτήτων και των αντίστοιχων κατανομών του πλάτους δόνησης της επιφάνειας των υπό μελέτη αντικειμένων. Το υλικό των αντικειμένων θεωρείται ότι είναι ορθοτροπικής φύσεως και ότι έχει διαφορετικές ελαστικές ιδιότητες κατά τη διεύθυνση των τριών κύριων αξόνων. Οι ορθοτροπικές ιδιότητες του κέδρου Λιβάνου, υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένα τα καπάκια, είναι διαθέσιμες στη διεθνή βιβλιογραφία [4]. Όμως οι ελαστικές ιδιότητες ενός συγκεκριμένου αντικειμένου επηρεάζονται από παράγοντες όπως η ύπαρξη ανομοιογενειών, το ποσοστό υγρασίας αλλά και η χημική επεξεργασία καθώς και οι θερμοκρασιακές αλλαγές που αυτό έχει υποστεί. Γι αυτούς τους λόγους οι διαθέσιμες στη βιβλιογραφία τιμές των ορθοτροπικών ιδιοτήτων του συγκεκριμένου ξύλου τροποποιήθηκαν ανάλογα, ώστε οι χαμηλές ιδιοσυχνότητες που προκύπτουν από το ΜΠΣ να συμπίπτουν με τις πειραματικά μετρούμενες. Στο ΜΠΣ τα καπάκια θεωρούνται απλά αναρτημένα στα δύο άκρα ώστε να προσομοιωθούν οι πειραματικές συνθήκες. Η Ανάλυση ιδιοσυχνοτήτων από 0-1500Hz έγινε χρησιμοποιώντας το εμπορικά διαθέσιμο κώδικα πεπερασμένων στοιχείων HKS/ABAQUS. Τυπικά αποτελέσματα της κατανομής πλάτους ταλάντωσης σε καπάκι λύρας κατασκευής Σταγάκη που υπολογίσθηκαν με το ΜΠΣ παρουσιάζονται στο σχήμα 3.1.. Το μοντέλο λαμβάνει υπ όψη το επιπρόσθετο βάρος του πιεζοηλεκτρικού στοιχείου διέγερσης καθώς και της θέσης του πάνω στο καπάκι. 176Hz 268Hz 298Hz 388Hz 176Hz 268Hz 320Hz 403Hz Σχήμα 3.1 Ιδιομορφές και αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες υπολογισμένες με το ΜΠΣ (επάνω) καθώς και αντίστοιχα αποτελέσματα πειραματικής τεχνικής ESPI (κάτω).

4. Σχολιασμός και συμπεράσματα Η ανεξάρτητη εφαρμογή των τεχνικών της κρουστικής απόκρισης και ESPI και η εξαιρετική συμφωνία των αποτελεσμάτων στον πειραματικό προσδιορισμό των ιδιοσυχνοτήτων, εξασφαλίζει τον αδιαμφισβήτητο προσδιορισμό της κατανομής του πλάτους ταλάντωσης των ιδιομορφών. Το γεγονός αυτό επιτρέπει τους κατασκευαστές των μουσικών οργάνων να κουρδίζουν κατά βούληση τα καπάκια σε επιθυμητές συχνότητες αλλά και να ελέγχουν την συμμετρία της ακουστικής τους εκπομπής. Επισημαίνεται επίσης η εξαιρετική συμφωνία της κατανομής του πλάτους ταλάντωσης που υπολογίζεται με το ΜΠΣ με την μετρούμενη με την τεχνική ESPI (σχήμα 3.1), παρά το γεγονός ότι οι αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες δεν συμπίπτουν ακριβώς μεταξύ τους. Αυτή η μικρή ανακολουθία αποδίδεται στο γεγονός ότι οι τιμές των ελαστικών ιδιοτήτων του ξύλου μπορεί να αλλάζουν σημαντικά αναλόγως της εφαρμογής και επηρεάζονται από διάφορους παράγοντες, όπως οι περιβαλλοντολογικές συνθήκες και η διαδικασία επεξεργασίας. Το αναπτυχθέν ΜΠΣ μπορεί να αποτελέσει ένα ανεκτίμητο εργαλείο στα χέρια των κατασκευαστών μουσικών οργάνων, αφού θα μπορούν να αλλάζουν επιλεκτικά τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες των υλικών για την εκτίμηση ή την βελτίωση των ακουστικών χαρακτηριστικών των μερών των μουσικών οργάνων πριν την κατασκευή τους. Συνοψίζοντας, δύο διαφορετικές πειραματικές τεχνικές εφαρμόστηκαν για την μέτρηση των ιδιομορφών και των αντίστοιχων ιδιοσυχνοτήτων Κρητικών λυρών και μερών αυτών. Αναπτύχθηκε ένα θεωρητικό μοντέλο που επιβεβαιώνει τα πειραματικά αποτελέσματα, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη της δονητικής συμπεριφοράς των υπό μελέτη αντικειμένων. Όλα τα παραπάνω μπορούν να αποτελέσουν μια ολοκληρωμένη μέθοδο για την πρόβλεψη και την αξιολόγηση των ακουστικών χαρακτηριστικών των εγχόρδων οργάνων. Η μέθοδος μπορεί να βρει εφαρμογή σε οποιαδήποτε έγχορδα όργανα, όπως σε βιολιά και κιθάρες. 4. Αναφορές [1] P.K. Rastogi, Digital speckle pattern interferometry and related techniques, John Wiley & Sons Ltd., Chichester (2001). [2] R. Jones και C. Wykes, Holographic and speckle interferometry, Cambridge University Press, Cambridge (1989). [3] C-H. Huang et al, «Experimental and numerical investigations of resonant vibration characteristics for piezoceramic plates», J. Acoust. Soc. Am. 109, pp 2780-2788 (2001). [4] Forest Product Laboratory, Wood Handbook Wood as an engineering material, Technical report FPL-GTR-113 (1999).