Harmonischer Oszillaor: Bewegungsgleichung m F D m& D ω D m && + ω WiSe 8/9
Harmonischer Oszillaor: Energieberachung E ges D + m& D & + m&& & Differenzieren nach cons &( D + m& gil für alle Zeien D + m& D && ω m && + ω Lineare homogene Differenzialgleichung. Ordnung WiSe 8/9
Harmonischer Oszillaor: Lösung der Differenialgleichung Lösungsansaz ( ep( λ & ( λ ep( λ λ( && ( λ ep( λ λ ( &&+ ω λ ep( λ + ω ep( λ ( λ + ω ep( λ && + ω ( λ + ω λ ± iω Allgemeine Lösung der Differenialgleichung: ( ( + (, ep( iω +, ep( iω, : aus Anfangsbedingungen besimmbare Konsanen WiSe 8/9 3
Harmonischer Oszillaor: Lösung der Differenialgleichung Spezialfall: ( v ( &( ( ( + (, ep( iω +, ep( iω v( & ( iω, ep( iω iω, ep( iω iω(,, +,, ( [ ep( iω + ep( iω ],,,, [ cos( ω + i sin( ω +,, cos( ω i sin( ω ] ( cos( ω WiSe 8/9 4
Harmonischer Oszillaor: Spezialfälle ( cos( ω v( & ( ω sin( ω a( & ( ω cos( ω WiSe 8/9 5
Harmonischer Oszillaor: Spezialfälle Spezialfall: ( v ( & ( v ( ( + (, ep( iω +, ep( iω v( & ( iω, ep( iω iω, ep( iω, +,,, v iω(,, v,, iω v v ( [ ep( iω ep( iω ] [ cos( ω + i sin( ω cos( ω + isin( ω ] iω iω v sin( ω ( ω WiSe 8/9 6
Harmonischer Oszillaor: Darsellungen ( ( + (, ep( iω +, ep( iω ( a ( cos( ω + a Acos( ω sin( ω + ϕ a, a, A,ϕ : Unbekanne, die aus Anfangsbedingungen besimm werden WiSe 8/9 7
Harmonischer Oszillaor: Energie Kineische Energie der schwingenden Masse E Körper kin mv Poenielle Energie der gedehnen und gesauchen Feder m& E Feder po D E ges cs WiSe 8/9 8
Harmonischer Oszillaor: Energieerhalung ( cosω & ( ω sin ω Kineische Energie der schwingenden Masse E Körper kin m & Elasische Energie der Feder D m ω sin ω m sin ω m D sin ω D ( cos ω 4 E Feder po D D cos ω D ( + cos ω WiSe 8/9 9
Harmonischer Oszillaor: Energieerhalung Gesame Energie E E + ges kin E po D ( cos ω + 4 D cons 4 ( + cos ω D WiSe 8/9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Realisischer Fall: Schwingendes Sysem wird gedämpf durch Reibungskräfe Reibungskraf proporional zur Geschwindigkei viskose (Sokes sche Reibung F 6πηrv η : Viskosiä [ η] Pa * s F Feder D bv b& F Feder WiSe 8/9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Bewegungsgleichung des freien, gedämpfen Oszillaors m & D b& ω D m b m && + & + ω Lösungsansaz ( ep( λ & ( λ ep( λ λ( && ( λ ep( λ λ ( WiSe 8/9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: && + & + ω λ ( + λ( + ω ( λ + λ + ω λ ±, ω ( Allgemeine Lösung der Differenialgleichung: [ ] ep( ω + ep( ω ( + ( ep(,,, : aus Anfangsbedingungen besimmbare Konsanen WiSe 8/9 3
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: schwach gedämpfer (unerkriisch << ω ω ω λ ± ± iω, ω Allgemeine Lösung der Differenialgleichung: ( [ ] ep( ω + ep( ω ( + ( ep(,, [ ep( iω + ep( iω ] ( ( + ( ep(,, ( Aep( cos( ω + ϕ ω ω ω < Gedämpfe Schwingung mi eponeniell abklingender Ampliude (Schwingfall WiSe 8/9 4
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: schwach gedämpfer (unerkriisch Zahlenbeispiel m kg D 4N / m b.kg / s ω D m s.5s ω ω s π T 3. s ω m kg D 4N / m ω D m s b kg / s s. 73 ω ω s π T 3. 6s ω WiSe 8/9 5
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: schwach gedämpfer (unerkriisch ( Aep( cos( ω + ϕ T π ω : Schwingungszei ( + T ( [ ( + T ] Aep cos( ω( + T + ϕ Aep( cos( ω + ϕ ep( T Nach der Zei τ / is die Einhüllende der gedämpfen Schwingung auf /e des Anfangsweres abgesunken b.kg / s b kg / s.5s s τ s τ s WiSe 8/9 6
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: sark gedämpfer (überkriisch >> ω α ω λ ±, ω λ ± α [ ep( α + ep( α ] ( ( + ( ep(,,, [( + α ] + ep[ ( ] ep (,, α Die allgemeine Lösung is eine Überlagerung eponeniell gedämpfer Kurven τ + α τ + α WiSe 8/9 7
Physik für Mecharoniker WiSe 8/9 8 8 Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Gedämpfer harmonischer Oszillaor: sark gedämpfer (überkriisch sark gedämpfer (überkriisch >> ω ω α ω α ω + ω α τ ep( ep (,, ω + Die allgemeine Lösung is eine Überlagerung eponeniell gedämpfer Kurven τ >> α τ + ω ω + ω
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: sark gedämpfer (überkriisch ω, ep, + ω v ω ( ep, Spezialfall ( (, +, (, v ( ( v,, ep( & ep( ω v (,, v, v ω + v >> ω v ω + ( v ω ( ep ep(, WiSe 8/9 9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: sark gedämpfer (überkriisch Zahlenbeispiel m kg D 4N / m b 5kg / s,,8,6,4, ( v ω ( ep v ω ep ep( ω D m s 5s, -, -,4 ( v ep( -,6 -,8 -,,,,4,6,8, WiSe 8/9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: sark gedämpfer (überkriisch v Spezialfall ( v ( & ( ω, ep, ep( +, +, ( ω ω, ep, ep( ω,, ω,,, <<,, 4 >> ω m kg ω ( ep D 4N / m b 5kg / s ( Sehr langsam kriechende Funkion: Kriechfall WiSe 8/9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung ω λ ± ω, Differenialgleichung Charakerisische Gleichung is enare && + & + ω Es werden Besimmungsgrößen gebrauch! Neuer Ansaz ( a( ep( &( a& ( ep( && ( a&& ( ep( a& ( ep( a& ( ep( + a( ep( a&& ( ep( a& ( ep( + a( ep( a( ep( WiSe 8/9
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung && + & + ω a&& ( ep( a& ( ep( + a( ep( + ( a( ep( a( ep( + & + a( ep( a& ( ep( a& ( ( ( a + a ep( & a &( a a ( a + a Fall ineressan in der Prais weil Auslenkung ohne zu schwingen und ohne zu kriechen abkling! WiSe 8/9 3
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung Spezialfall ( v ( & ( ( ( a + a ep( ( a v( a ep( ( a + aep( a a ( ( + ep( v( a a WiSe 8/9 4
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung 4 ( ( + ep( ( ( + ( ep( ( ( + ep( Kein Maimum außer bei Kein Unerschwinger WiSe 8/9 5
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung Zahlenbeispiel m kg D 4N / m b 4kg / s ω D m s s WiSe 8/9 6
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung Spezialfall ( v ( ( v & ( ( a + a ep( ( a v( a ep( ( a + aep( ( v ep( v ( a a v a v WiSe 8/9 7
Gedämpfer harmonischer Oszillaor: Aperiodischer Grenzfall (kriische Dämpfung, ( v ep(,8,6 ( v,4, ( ep( ( v ep( ( läuf über ein Maimum, ( kling ohne Unerschwinger gegen ab WiSe 8/9 8
Gedämpfer harmonischer Oszillaor Schwingfall (unerkriische Dämpfung Eigenfrequenz verschoben zu kleineren Frequenzen im Vergleich zum ungedämpfen Oszillaor Kreichfall (überkriische Dämpfung Aperiodischen Grenzfall (kriische Dämpfung Ineressan für Anwendungen (Soßdämpfer, Lausprechermebranen WiSe 8/9 9