Ασκήσεις υναµικής 3 η ενότητα: Κινητική σωµατιδίου: ενέργεια, ορµή, κρούση 1. Mόλις τεθεί σε κίνηση µε σταθερή ταχύτητα, ο µάζας 1000 kg ανελκυστήρας Α ανεβαίνει µε ρυθµό έναν όροφο (3 m) το δευτερόλεπτο. Προσδιορίστε την ισχύ εισόδου του ηλεκτροκινητήρα Μ αν η συνδυασµένη µηχανική και ηλεκτρική απόδοση του συστήµατος είναι e=0.8. 2. To µάζας 10 kg κουτί του σχήµατος, αφήνεται από την ηρεµία από το σηµείο Β, όπου το ελατήριο έχει επιµηκυνθεί κατά 0.5 m από τη θέση Α που είναι απαραµόρφωτο. Ο συντελεστής της τριβής ολισθήσεως µεταξύ του κουτιού και του δαπέδου είναι 0.30. Υπολογίστε (α) την ταχύτητα υ του κουτιού καθώς αυτό περνάει από το σηµείο Α και (β) τη µέγιστη απόσταση x στα αριστερά του Α που διανύει το κουτί.
3. Το κολλάρο έχει µάζα 2 kg και είναι συνδεδεµένο µε ελατήριο το οποίο έχει δυσκαµψία k=30 N/m και απαραµόρφωτο µήκος 1.5 m. Το κολλάρο αφήνεται από την ηρεµία στο Α και γλιστράει πάνω στη λεία ράβδο υπό την επίδραση µιας σταθερής δύναµης 50 Ν όπως στο σχήµα. Υπολογίστε την ταχύτητα υ του κολλάρου καθώς αυτό περνάει από τη θέση Β. 4. Ένας τεχνητός δορυφόρος κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τη γη και στο σηµείο Α της τροχιάς του, σε υψόµετρο 2200 km έχει ταχύτητα 25000 km/h. Προσδιορίστε την ταχύτητα υ Β στο σηµείο Β σε υψόµετρο 2500 km. Θεωρείστε τη γη σφαίρα ακτίνας R=6370 km και χρησιµοποιήστε g=9.825 m/sec 2 στην επιφάνεια της γης. Απ.: υ Β =24170 km/h
5. Ένα διαστηµόπλοιο µάζας 1000 kg ταξιδεύει στο διάστηµα µε ταχύτητα υ s =2000 m/sec όταν ένας µικρός µετεωρίτης µάζας 10 kg και κινούµενος µε ταχύτητα υ m =5000 m/sec στη διεύθυνση που εικονίζεται, προσκρούει στο διαστηµόπλοιο και ενσωµατώνεται σε αυτό. Προσδιορίστε την τελική ταχύτητα υ του κέντρου βάρους του διαστηµοπλοίου. Υπολογίστε επίσης τη γωνία β µεταξύ υ και υ s. Απ.: υ=36.9i+1951j-14.76k m/sec, b=1.167 o 6. To µάζας 45.9 gr µπαλάκι του γκολφ κτυπάται από το µπαστούνι και αποκτά την ταχύτητα που εικονίζεται σε χρόνο 0.001 sec. Προσδιορίστε το µέτρο R r της µέσης δύναµης που δέχεται το µπαλάκι. Τι επιτάχυνση a r προκαλεί η δύναµη αυτή και σε πόση απόσταση d επιτυγχάνεται η ταχύτητα εκτόξευσης που φαίνεται στο σχήµα υποθέτωντας σταθερή επιτάχυνση;
Απ.: R r =2110Ν, a r =46000 m/sec 2, d=23 mm 7. To βαλλιστικό εκκρεµές είναι µια απλή συσκευή για τη µέτρηση της ταχύτητας των βληµάτων υ µετρώντας τη µέγιστη γωνία θ κατά την οποία το κουτί µε την άµµο αφού βληθεί από τη σφαίρα, αποκλίνει σε σχέση µε την κατακόρυφο. Υπολογίστε τη γωνία θ αν το µάζας 60-gr βλήµα βάλλεται οριζόντια προς το κουτί άµµου (µάζας 20-kg) µε ταχύτητα υ=600 m/sec. Επίσης προσδιορίστε το ποσοστό απώλειας ενέργειας κατά την κρούση.
8. Σε ένα παιχνίδι µπιλιάρδου η άσπρη µπάλα Α πρέπει να χτυπήσει την µάυρη µπάλα «8» στο σηµείο που φαίνεται στο σχήµα για την στείλει στην τρύπα P µε ταχύτητα u 2. Η άσπρη µπάλα έχει ταχύτητα u 1 πριν την κρούση και ταχύτητα u 1 µετά. Εάν ο συντελεστής επαναφοράς είναι 0.9 και οι µπάλες έχουν ίδια µάζα και διάµετρο υπολογίστε την γωνία θ µετά την κρούση για την µπάλα Α και το κλάσµα η του ποσού της κινητικής ενέργειας που χάθηκε κατά την κρούση. Απ: θ = 2.86 ο, η = 0.0475 9. Το παιδί του σχήµατος πετά την µπάλα από το σηµείο Α µε ταχύτητα 15 m/sec. Η µπάλα χτυπά τον τοίχο στο σηµείο Β και επιστρέφει ξανά στο σηµείο Α. Υπολογίστε την απαιτούµενη γωνία α εκτόξευσης της µπάλας, εάν ο συντελεστής επαναφοράς µε τον τοίχο είναι e = 0.5. Απ: α = 11.55 ο ή 78.4 ο
10. «Οδηγοί» έχουν τοποθετηθεί πάνω στον ταινιόδροµο του σχήµατος σε ίσες αποστάσεις d = 300 mm. Τέσσερα κιβώτια µάζας 4 κιλών το καθένα τοποθετούνται στον ταινιόδροµο όταν αυτός είναι σε ηρεµία. Εάν σταθερή δύναµη P µεγέθους 60 Ν εφαρµόζεται για να κινείται ο ταινιόδροµος, υπολογίστε την ταχύτητα του πρώτου και δεύτερου κιβωτίου όταν πέφτουν από τον ταινιόδροµο στο σηµείο Α. Υποθέστε οτι η µάζα της ταινίας και των τροχαλίων είναι µικρές σε σχέση µε την µάζα των κιβωτίων. 11. Το έµβολο µάζας 8 κιλών βρίσκεται σε ηρεµία και ελευθερώνεται από ύψος h και σταµατά απο δύο ελατήρια όπως φαίνεται στο σχήµα. Οι σταθερές ελατηρίων είναι: για το εξωτερικό ελατήριο k 1 = 3 kn/m και για το εσωτερικού k 2 = 10 kn/m. Εάν η µέγιστη συµπίεση για το εξωτερικό ελατήριο είναι 150mm, υπολογίστε το αρχικό ύψος h από όπου ελευθερώθηκε το έµβολο.
12. Για το µπλοκ του σχήµατος γνωρίζοντας ότι r = 800mm βρείτε (α) την ελάχιστη ταχύτητα u 0 για την οποία το µπλοκ αφήνει την επιφάνεια ΑΒD στο σηµείο Β καθώς και την απόσταση d, (β) τις ελάχιστες δυνατές τιµές των h και d όταν η ταχύτητα u 0 είναι σχεδόν µηδενική. Η ταχύτητα u 0 δίνεται από τη σχέση u 0 = 0.5 gr και οι συντελεστές τριβής είναι µηδενικοί. 13. Το ασανσέρ Ε έχει µάζα 2200 kgr και συνδέεται µε αντίβαρο W των 1000 κιλών.υπολογίστε την δύναµη που απαιτείται από το ηλεκτρικό µοτέρ οταν το ασανσέρ: (α) κινείται προς τα πάνω µε σταθερή ταχύτητα 4.5 m/s και (β) όταν έχει στιγµιαία ταχύτητα 4.5 m/s και επιτάχυνση 0.9 m/sec 2 µε κατεύθυνση και τα δύο προς τα επάνω.
14. Ένας προφυλακτήρας έχει σχεδιασθεί για να προφυλάσσει ένα αυτοκίνητο που ζυγίζει 1100 kg από τη σύγκρουση όταν χτυπά σε έναν τοίχο σε ταχύτητες άνω των 8km/h. Θεωρώντας καθαρή πλαστική κρούση, καθορίστε α) την ενέργεια που απορροφάται από τον προφυλακτήρα κατά την κρούση, β)την ταχύτητα στη οποία το αυτοκίνητο µπορεί να χτυπήσει ένα άλλο αυτοκίνητο ίδιας µάζας χωρίς να προκληθεί ζηµιά σε κανένα από τα δύο, και τα δύο αυτοκίνητα να σταµατήσουν χωρίς φρένα. 15. Μια µπάλα µάζας m A κινείται µε ταχύτητα v A και χτυπάει κεντρικά µια δεύτερη µπάλα µάζας m B η οποία είναι ακίνητη. Αποδείξτε ότι το ο συντελεστής επαναφοράς e, µεταξύ της µπάλας Α και Β, δείχνει ότι το ποσοστό της ενέργειας 2 100(1 e ) που χάνεται κατά την κρούση δίνεται από τη σχέση : 1+ ( m A / m B )
16. Το κολλάρο Β έχει µάζα 5 kg και είναι συνδεδεµένο µε το ελατήριο σταθεράς 800 N/m και απαραµόρφωτο µήκος ίσο µε 450 mm, όπως δείχνει το σχήµα. Το σύστηµα τίθεται σε κίνηση µε r =300 mm, v θ =5 m/s, και v r =0. Αµελώντας τη µάζα της ράβδου και την επίδραση της τριβής, καθορίστε τις συνιστώσες της ταχύτητας της ράβδου όταν r=525 mm. 17. Ένας δορυφόρος εκτοξεύεται στο διάστηµα µε µια ταχύτητα v 0 σε µια απόσταση r 0 από το κέντρο της γης, στο τελευταίο στάδιο της εκτόξευσής του. Η ταχύτητα v 0 έχει σχεδιασθεί να θέσει το δορυφόρο σε κυκλική τροχιά ακτίνας r 0. Όµως, εξαιτίας δυσλειτουργίας του συστήµατος ο δορυφόρος δεν εκτοξεύεται οριζόντια, αλλά υπό γωνία α µε την ορίζοντιο και σαν αποτέλεσµα διαγράφεται ελειπτική τροχιά, όπως δείχνει το σχήµα. Καθορίστε τις µέγιστες και ελάχιστες τιµές της απόστασης από το κέντρο της γης στο δορυφόρο.
18. Ένας υπάλληλος του αεροδροµίου, σπρώχνει µια βαλίτσα µε µια οριζόντια ταχύτητα των 2.5 m/s πάνω σε ένα καρότσι µεταφορών βάρους 30 kg. Γνωρίζοντας ότι το καρότσι είναι αρχικά σε ηρεµία και ότι µπορεί να κινηθεί ελεύθερα, καθορίστε: α) Την ταχύτητα που θα αποκτήσει το καρότσι αφού η βαλίτσα θα έχει συρθεί και σταµατήσει πάνω σε αυτό, β)την αναλογία της τελικής κινητικής ενέργειας του καροτσιού και της βαλίτσας προς την αρχική ενέργεια της βαλίτσας. 19. Το αυτοκίνητο Α ταξίδευε βόρεια κατά µήκος µιας διασταύρωσης όταν χτυπήθηκε από το αυτοκίνητο Β που ταξίδευε ανατολικά. Ενώ και οι δυο οδηγοί παραδέχτηκαν ότι αγνόησαν τα σήµατα του στοπ στη διασταύρωση, ο καθένας υποστήριξε ότι πήγαινε µε ταχύτητα 55 km/h και ότι ο άλλος έτρεχε πολύ πιο γρήγορα. Ξέροντας ότι το αυτοκίνητο Α έχει µάζα 900 kg και το αυτοκίνητο Β έχει µάζα 1600 kg και ότι στη διασταύρωση έγινε η σύγκρουση και τα δυο αυτοκίνητα ακολούθησαν ενιαία πορεία όντας κολληµένα σε µια πορεία 40 ο βορειοανατολικά,
να καθορισθεί α) Ποιο από τα δύο αυτοκίνητα ταξίδευε µε 55 km/h β) Πόσο πιο γρήγορα ταξίδευε το άλλο αυτοκίνητο; 20. Η σφαίρα του σχήµατος που ζυγίζει 1 kg, ελευθερώνεται από την ηρεµία υπό γωνία θ=45 ο και χτυπά µια σφαίρα 3 kg η οποία είναι ακίνητη. Γνωρίζοντας τον συντελεστή επαναφοράς e=0.75, να καθορίσετε τις τιµές θ Α και θ Β αντιστοιχίζοντας τες στο ψηλότερο σηµείο στο οποίο θα φθάσουν οι σφαίρες µετά την κρούση.