Δίκτυα ΙΙ. Ενότητα: Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων Κωνσταντίνος Οικονόμου Τμήμα Πληροφορικής

Δίκτυα ΙΙ Ενότητα: Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων Κωνσταντίνος Οικονόμου Τμήμα Πληροφορικής

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο«ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ιόνιο Πανεπιστήμιο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Περιεχόμενα Αʹ Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων 1 Αʹ.1 ΤαΔικτυαΣτονΠραγματικοΚοσμο........... 2 Αʹ.1.1 ΟΜικρόςμαςΚόσμος... 2 Αʹ.1.2 Ομαδοποιήσεις... 3 Αʹ.1.3 ΗΚατανομήτουΑριθμούτωνΓειτόνων.... 3 Αʹ.2 ΤοΜοντελοτων Erdős-Rényi............. 4 Αʹ.2.1 ΜερικέςΙδιότητεςτουΜοντέλουτων Erdős-Rényi... 5 Αʹ.3 ΝεωτεραΜοντελα.......... 6 Αʹ.3.1 ΤοΜοντέλοτων Watts-Strogatz.... 7 Αʹ.3.2 ΤοΜοντέλοτων Albert-Barabási... 8 Αʹ.4 ΤοΦαινομενοτηςΜεταβασηςΦασης.......... 9 Βιβλιογραφία 11 ii

Κατάλογος Σχημάτων Αʹ.1 Power Lawκατανομήτωνγειτονικώνκόμβων..... 5 Αʹ.2 Η κατανομή του αριθμού των γειτόνων σε ένα δίκτυο που έχει δημιουργηθεί μετομοντέλοτων Erdős-Rényiείναι Poisson..... 7 Αʹ.3 Τοφαινόμενοτηςμετάβασηςφάσηςσυντελείταιγια S = 1... 10 iii

Κατάλογος Πινάκων iv

Κεφάλαιο Αʹ Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΗΣ σημασίας για την κατανόηση των ιδιοτήτων των δικτύων, πριν ακόμα γίνει η μελέτη της συμπεριφοράς τους, είναι η μελέτη της δημιουργίας τους. Μέσω της μελέτης αυτής μπορούν να κατανοηθούν διάφορα χαρακτηριστικά τουδικτύου(όπωςημορφήτηςτοπολογίας, οόγκοςκαιηκατεύθυνσητηςκίνησηςτων δεδομένων κ.ά.) που αφορούν άμεσα τη συμπεριφορά του. Είναι δυνατόν, σε γενικές γραμμές, να χωριστούν τα δίκτυα σε δύο κατηγορίες αναφορικά με τον τρόπο δημιουργίας τους: (α) τα δίκτυα που προέκυψαν ύστερα από συγκεκριμένο σχεδιασμό(π.χ., ένα εταιρικό δίκτυο) και(β) τα δίκτυα που προέκυψαν με ελεύθερη βούληση(π.χ., το δίκτυο των ιστοσελίδων που οι κάτοχοί τους επιλέγουν οι ίδιοι τις ιστοσελίδες άλλων χρηστών στις οποίες θα υπάρχει υπερσύνδεση 1 ). Εδώ θα επικεντρωθούμε κατά κύριο λόγο στη δεύτερη κατηγορία δικτύων και θα παρουσιαστούν οι βασικές έννοιες γύρω από μοντέλα τα οποία έχουν προταθεί κατά καιρούς. Το διασημότερο μοντέλο έχει προταθεί από τους Erdős και Rényi. Πρόσφατα, οι Albert-Barabási καθώς και οι Watts-Strogatz άρχισαν να δίνουν μια διαφορετική διάσταση στο ζήτημα της γένεσης των δικτύων. Η ανάγκη για μοντέλα που να δημιουργούν δίκτυα που να ανταποκρίνονται στις ιδιότητες των υπαρχόντων δικτύων είναι σημαντική γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να αντιληφθούμε τους βασικούς μηχανισμούς λειτουργίας τους, τη συμπεριφορά τους και γενικότερα να μπορέσουμε να τα αναπτύξουμε ως εύρωστα και αποδοτικά ανάλογα με τις εκάστοτε ανάγκες,[18]. Πριν όμως εξετάσουμε τα μοντέλα αυτά ας κάνουμε μερικές παρατηρήσεις πάνω στα υπάρχοντα δίκτυα. 1 Αντιστοιχείστονόρο link. 1

2 Κεφάλαιο Αʹ. Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων Αʹ.1 Τα Δίκτυα Στον Πραγματικό Κόσμο Οι πρωτεΐνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και δημιουργούν ένα δίκτυο. Οι άνθρωποι δημιουργούν σχέσεις μεταξύ τους με τον ίδιο τρόπο που οι αεροπορικές εταιρείες δρομολογούν τα αεροπλάνα τους ώστε να συνδέσουν διαφορετικούς προορισμούς. Το δίκτυο των ιστοσελίδων είναι ακόμα ένα παράδειγμα όπως και το ίδιο το Διαδίκτυο. Αναζητώντας, λοιπόν, περιπτώσεις δικτύων όχι κατ ανάγκη στον χώρο των επικοινωνιών, μπορεί κανείς να βρει δίκτυα τα οποία έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά και τις ίδιες ιδιότητες, όπως π.χ., τη small-world ιδιότητα. Αʹ.1.1 Ο Μικρός μας Κόσμος Ο όρος small-world δεν αντιστοιχεί στον όρο μικρόκοσμος αλλά μάλλον στην καθημερινή μας παρατήρηση πως ο Κόσμος είναι Μικρός. Από τεχνολογικής πλευράς αυτό αντιστοιχεί σε δίκτυα με μικρά κατά μέσο όρο μονοπάτια. Πρωτοπόρος σε αυτόν τον ερευνητικό τομέα ήταν ο Stanley Milgram ο οποίος το 1967 διεξήγαγε ένα ιδιαίτερα ενδιαφέρον πείραμα. Συγκεκριμένα, ένας αριθμός γραμμάτων εστάλη σε διάφορους κατοίκους της Nebraska με τελικό στόχο να καταλήξουν σε συγκεκριμένους παραλήπτες στη Βοστόνη. Αρκεί να σημειωθεί πως η Nebraska με τη Βοστόνη απέχουν πολύ ακόμα και για τα δεδομένα των Η.Π.Α. Σε κάθε παραλήπτη του γράμματος περικλείονταν αναλυτικές οδηγίες και κανόνες. Ειδικότερα, ο κάθε παραλήπτης, αν δεν ήταν ο τελικός, θαέπρεπεναπροωθήσειτογράμμα προςτοντελικό. Αντον γνώριζε οίδιος,δηλαδήαν επρόκειτο για κάποιον με τον οποίο συνομιλούσε με το μικρό του όνομα, τότε μπορούσε να τουστείλειαπευθείαςτογράμμα.ανόχιθαέπρεπεναπροωθήσειτογράμμασεκάποιονάλλο που τον γνώριζε. Αν δεν γνώριζε τίποτα για τον τελικό παραλήπτη τότε απλά θα προωθούσε τογράμμασεκάποιονπουθαγνώριζεμετομικρότουόνομακαικατάτηνκρίσητουθαείχε πιθανότητες να γνωρίζει είτε τον τελικό παραλήπτη είτε κάποιον άλλο ενδιάμεσο. Παρόλοπουμόλις 25%απόταγράμματααυτάέφτασαντελικάστονπροορισμότουςτοπολύ σημαντικό αποτελέσματα ήταν πως χρειάστηκαν κατά μέσο όρο έξι άλματα. Αυτό το αποτέλεσμα επηρέασε και εξακολουθεί να επηρεάζει και σήμερα την αντίληψή μας απέναντι στην κοινωνία και ειδικότερα απέναντι στο δίκτυο των ανθρωπίνων σχέσεων που ονομάζουμε κοινωνία. Μας δείχνει πόσο εύκολα μπορεί να διαρρεύσει μια φήμη(είτε καλή είτε κακή), μας δείχνειπωςσανάτομαδενείμαστεμόνοιμαςαλλάκυρίωςδείχνειπωςόλοιοιάλλοιείναι πολύ κοντά και οτιδήποτε αφορά οποιονδήποτε στον πλανήτη μέσα από περίπου έξι άλματα μας αφορά όλους. Χρησιμοποιώντας όρους από την πλευρά της θεωρίας των γράφων, η έννοια small-world

Αʹ.1. Τα Δίκτυα Στον Πραγματικό Κόσμο 3 αναφέρεται στο φαινόμενο σε σχετικά μεγάλους γράφους η απόσταση(ο αριθμός των αλμάτων κατά το μήκος ενός ελάχιστου μονοπατιού) ανάμεσα σε δύο κόμβους να είναι σχετικά μικρή. Εν τέλει, η ίδια η διάμετρος του δικτύου(η μεγαλύτερη ελάχιστη απόσταση ανάμεσα σε δύο κόμβους) είναι σχετικά μικρή. Επίσης, στα δίκτυα με αυτά τα χαρακτηριστικά υπάρχει συνήθως ένας αριθμός κόμβων(σχετικά μικρός) οι οποίοι έχουν έναν μεγάλο αριθμό συνδέσεων. Αʹ.1.2 Ομαδοποιήσεις Χρησιμοποιώντας σαν παράδειγμα την κοινωνία των ανθρώπων και ελπίζοντας πως είναι άμεση η αναγωγή των ισχυρισμών σε άλλα δίκτυα(π.χ., το δίκτυο των πρωτεϊνών, το δίκτυο των ιστοσελίδων, το δίκτυο επιχειρηματικών σχέσεων κ.ο.κ.) είναι δυνατόν να παρατηρήσει κανείς πως οι άνθρωποι τείνουν να δημιουργούν ομάδες(π.χ., οι φίλοι κάθε ανθρώπου αν μιλάμε για το δίκτυο των φιλικών σχέσεων, οι συνεργάτες του αν μιλάμε για το δίκτυο των επιχειρηματικών τουσχέσεωνκ.ο.κ.).πρόκειταιγιατηνιδιότητατηςομαδοποίησης 2. Προκειμένου να δωθεί ένας πιο ακριβής ορισμός της έννοιας της ομαδοποίησης χρησιμοποιούνταικαιπάλιόροιαπότηθεωρίατωνγράφων. Εστωοκόμβος uοοποίοςσυνδέεταιμεάλλους S u κόμβους(γείτονες).τότε,όλοιοικόμβοιαυτοίθαήτανμέλημιαςπλήρουςομάδαςανόλοι μαζίσυγκροτούσανένανπλήρηγράφοήαλλιώς,αντοσύνολοτωνμεταξύτουςπλευρών 3 ήταν S u Su 1 2. Αντελικάείναι E u τοσύνολοτωνυπαρχουσώνπλευρώνανάμεσαστους κόμβουςτουσυνόλου S u {u},τότεείναιδυνατόναοριστείοσυντελεστήςομαδοποίησης C u ωςολόγοςτωνυπαρχουσώνπλευρώνπροςτιςπλευρέςπουθαείχεηπλήρηςομάδα, C u = 2 E u S u ( S u 1). (Αʹ.1) Αʹ.1.3 Η Κατανομή του Αριθμού των Γειτόνων Είναι παραδεκτό πως ο αριθμός των γειτόνων των κόμβων ενός δικτύου δίνει κατά κάποιο τρόπο μια άποψη για τις ιδιότητες αυτού του δικτύου. Για παράδειγμα, σε ένα κατά περίπτωση δίκτυο στο οποίο ο αριθμός των γειτόνων δεν είναι μεγάλος αναμένονται μειωμένες παρεμβολές από άλλους κόμβους και συνεπώς να είναι επιτεύξιμες υψηλές τιμές της ρυθμαπόδοσης του συστήματος. Από την άλλη πλευρά, ένα πολύ πυκνό δίκτυο προδιαθέτει μάλλον για το αντίστροφο. 2 Αντιστοιχείστονόρο clustering. 3 Οιόροιπλευράκαιζεύξηενδέχεταιναχρησιμοποιούνταιεναλλακτικάστησυνέχεια. Είναισαφέςπως ότανγίνεταιαναφοράσεέναδίκτυοτότευπάρχειζεύξηανάμεσασεδύοκόμβους,ενώόταντοδίκτυοαυτό μελετάται με όρους της θεωρίας των γράφων, χρησιμοποιείται συνήθως ο όρος πλευρά.

4 Κεφάλαιο Αʹ. Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων Εναςπρώτοςτρόποςγιανααποκτήσεικανείςμιαάποψηγιατοπόσο πυκνό ή αραιό είναιένα δίκτυο είναι να υπολογίσει τη μέση τιμή του αριθμού των γειτόνων για όλους τους κόμβους. Γιαπαράδειγμαγιατοδίκτυο G(V,E),έστω S ομέσοςαριθμόςγειτόνωνστοδίκτυοκαιο οποίος δίνεται από τη σχέση, S = 1 V u V S u. (Αʹ.2) Ενας δεύτερος τρόπος απεικόνισης που επιτρέπει να προβληθεί περισσότερη πληροφορία(που ο μέσος όρος εξαιτίας της παραπάνω άθροισης δυστυχώς δεν το καταφέρνει), αφορά την κατανομή του αριθμού των γειτόνων, συμβολιζόμενης ως P(S). Σε αυτές τις απεικονίσεις εδρεύει και μία από τις σημαντικότερες παρατηρήσεις αυτών των πολύπλοκων δικτύων: πως ακολουθούν κατανομή δύναμης ή Power Law. Αυτό ισχύει για το δίκτυο των ιστοσελίδων, [19], για το Διαδίκτυο,[20], κ.ά. Ειδικότερα ισχύει, P(S) = cs γ, (Αʹ.3) όπουτα cκαι γείναισταθερέςπουεξαρτώμενεςκάθεφοράαπότοίδιοτοδίκτυο. Ενατέτοιο παράδειγμα παρουσιάζεται στο Σχήμα Αʹ.1.α. Κάνονταςαπλέςπράξειςμετηνπροηγούμενησχέση,μπορούμεναδούμεπως log(p(s)) = log(cs γ ) = log(c)+log(s γ ).Τελικά, log(p(s)) = γlog(s)+log(c). (Αʹ.4) Αυτή είναι η περίπτωση που παρουσιάζεται στο Σχήμα Αʹ.1.β. Είναι σαφές πως η σταθερά γ αναφέρεται στην κλίση της ευθείας και συνεπώς είναι πιο απλός ο υπολογισμός της με αυτή την αναπαράσταση όταν υπάρχουν πειραματικά δεδομένα. Αʹ.2 Το Μοντέλο των Erdős-Rényi Προκειμένου να γίνει η μελέτη των ιδιοτήτων των δικτύων έχουν προταθεί διάφορα μοντέλα μεπιογνωστόαυτόπουπροτάθηκεαπότους Erdősκαι Rényiμετιςδιάσημεςεργασίεςτους στιςαρχέςτηςδεκαετίαςτου1960. Μετοντρόποαυτόμπήκανουσιαστικάοιβάσειςτης λεγόμενης Θεωρίας των Τυχαίων Γράφων. Η συγκεκριμένη θεωρία άνοιξε νέους ορίζοντες γιατημαθηματικήσκέψηόχιμόνοστοεπίπεδοτηςθεωρίαςτωνγράφωναλλάκαιστονκόσμο των πιθανοτήτων ενώ μόλις τώρα το μοντέλο της δημιουργίας των δικτύων έχει αρχίσει να ξεπερνάται από νεώτερες εργασίες. Η αλήθεια είναι πως με τη χρήση του συγκεκριμένου μοντέλου δεν είναι δυνατή η απεικόνιση

Αʹ.2. Το Μοντέλο των Erd}os-Rényi 5 P(S) log(p(s)) S log(s) α. Αναπαράσταση του P(S). β. Αναπαράσταση του log(p(s)). Σχήμα Αʹ.1: Power Law κατανομή των γειτονικών κόμβων. των προηγούμενων πολύπλοκων δικτύων. Αυτό όμως καθόλου δεν μειώνει την αξία του συγκεκριμένου μοντέλου, αφού άλλωστε αποτέλεσε τη βάση παρατηρήσεων για να προταθούν νεώτερα μοντέλα ευθύς ως έγιναν αντιληπτές οι ιδιότητες των δικτύων. Αξίζει να σημειωθεί πως πρόκειται για ένα ιδιαίτερα απλό μοντέλο στην περιγραφή του αλλά και στην υλοποίησή του. Το Μοντέλο των Erdős-Rényi για τη Δημιουργία Τυχαίων Γράφων: Για κάθε νέο κόμβο που εισέρχεται στο δίκτυο, δημιούργησε μία πλευρά με κάθε έναν από τους ήδη υπάρχοντες κόμβους στο δίκτυο με πιθανότητα p. Αʹ.2.1 Μερικές Ιδιότητες του Μοντέλου των Erdős-Rényi Είναι σχετικά απλό να υπολογιστούν διάφορα χαρακτηριστικά ενός δικτύου που έχει δημιουργηθεί με βάση το παραπάνω μοντέλο. Υποθέτοντας πως N κόμβοι έχουν εισέλθει στο δίκτυο G(V,E)(N = V ),οαριθμόςτωνπιθανώνπλευρώντουαντίστοιχουγράφουείναιγνωστός απότηθεωρία(πλήρηςσυνεκτικόςγράφος)πωςισούταιμε N(N 1) 2.Δεδομένουπωςείναι p η πιθανότητα να υφίσταται η κάθε πλευρά, ο μέσος αριθμός των ζεύξεων στο δίκτυο αυτό, συμβολιζόμενος με E, δίνεται από, E = p N(N 1). (Αʹ.5) 2 Μια διαφορετική ερμηνεία του μεγέθους E δίνεται αν θεωρηθεί πως πρόκειται για το μέσο όρο του E γιαένανμεγάλοαριθμόδικτύωνμεαριθμόκόμβων Nταοποίαέχουνγεννηθείμετο

6 Κεφάλαιο Αʹ. Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων μοντέλο των Erdős-Rényi. Ο μέσος όρος γειτόνων μπορεί επίσης να εξαχθεί με σχετική ευκολία. Ειδικότερα, αφού κάθε πλευρά του γράφου που αναπαριστά το δίκτυο είναι ισοπίθανη με πιθανότητα p, είναι σαφές πως τελικά κάθε κόμβος θα είναι συνδεδεμένος κατά μέσο όρο με pn κόμβους. Τελικά, S = pn. (Αʹ.6) Αναφορικά με την κατανομή του αριθμού των γειτόνων κάθε κόμβου ενός δικτύου που έχει δημιουργηθεί με χρήση του μοντέλου των Erdős-Rényi, αξίζει να σημειωθεί πως οι ίδιοι οι Erdős και Rényi ασχολήθηκαν με το θέμα αυτό. Βέβαια, το τελικό αποτέλεσμα υπάρχει χάρη της εργασίας του Bollobás, μαθητή του Erdős,[21]. Απότονορισμότουμοντέλουείναιπροφανέςπωςσεέναντυχαίογράφοοαριθμόςτων γειτόνων S u ενόςκόμβου uδίνεταιαπόμιαδιωνυμικήκατανομήμεπαραμέτρουςτα N 1 και p. P( S u = S) = CN 1 S ps (1 p) N 1 S, (Αʹ.7) όπου το S συμβολίζει έναν τυχαίο ακέραιο αριθμό. Τελικά, για μεγάλες τιμές του N, η παραπάνω διωνυμική κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί με σχετική ακρίβεια από την ακόλουθη κατανομή Poisson, P( S u = S) e pn(pn)s S! = e S S S S!. (Αʹ.8) Σχηματικά η απεικόνιση της Poisson κατανομής φαίνεται στο Σχήμα Αʹ.2. Αʹ.3 Νεώτερα Μοντέλα Η πραγματικότητα των παρατηρήσεων έχει οδηγήσει στην παραδοχή πως τα πραγματικά δίκτυα έχουν κατανομή δύναμης(power law distribution), όπως αυτή απεικονίζεται στο Σχήμα Αʹ.1. Η κατανομή αυτή, όμως, έρχεται σε αντίθεση με την κατανομή των δικτύων που βασίζονται στο μοντέλο των τυχαίων γράφων και που απεικονίζεται στο Σχήμα Αʹ.2. Για τον λόγο αυτό αλλάκαιγιαάλλουςυπότοίδιοπνεύμα,έγινεφανερόπωςτομοντέλοτων Erdős-Rényiδεν επαρκεί για να περιγράψει τα χαρακτηριστικά των σημερινών δικτύων. Τα τελευταία χρόνια γίνεται μια μεγάλη προσπάθεια να δημιουργηθούν μοντέλα που να καταλήγουν σε δίκτυα με μεγάλες ομοιότητες με τα πραγματικά. Ανάμεσα σε αυτές τις προσπάθειες αξίζει να γίνει αναφορά σε δύο μοντέλα: των Watts-Strogatz και των Albert-Barabási.

Αʹ.3. Νεώτερα Μοντέλα 7 Poisson µ P(S) S Σχήμα Αʹ.2: Η κατανομή του αριθμού των γειτόνων σε ένα δίκτυο που έχει δημιουργηθεί με το μοντέλο των Erdős-Rényi είναι Poisson. Αʹ.3.1 Το Μοντέλο των Watts-Strogatz Οι Watts-Strogatz πρότειναν το 1998,[22], ένα νέο μοντέλο επηρεασμένοι από διάφορες παρατηρήσεις μέσα από τα δίκτυα των ανθρώπινων σχέσεων. Η πιο ενδιαφέρουσα παρατήρηση ήταν πως οι άνθρωποι τείνουν να γνωρίζουν τους γνωστούς των γνωστών τους. Για παράδειγμα, σε μια εκδήλωση αν στο τέλος της φύγει κάποιος έχοντας κάνει νέες γνωριμίες αυτές μάλλον θα οφείλονται στο γεγονός πως κάποιος γνωστός του τού σύστησε κάποιους και όχι γιατί τυχαία εντελώς ο ίδιος κατάφερε να μιλήσει σε κάποιους. Κοντολογίς, η πραγματικότητα δεν είναι καθόλου τυχαία σε αντίθεση με ό,τι πρεσβεύει το μοντέλο των Erdős-Rényi. Το μοντέλο που πρότειναν οι Watts και Strogatz προσπαθεί να ενσωματώσει αυτό το χαρακτηριστικό με το να επιτρέπει τη δημιουργία συνδέσεων με αυξημένη πιθανότητα όταν υπάρχει ήδη μια ζεύξη με έναν γειτονικό κόμβο. Για παράδειγμα, όταν ο κόμβος u είναι ήδη γειτονικός ενόςκόμβου v,τότεονέοςκόμβος xοοποίοςμόλιςέγινεγείτοναςτου uέχειμεγαλύτερες πιθανότητες πλέον να γίνει γείτονας και του κόμβου v. Το μοντέλο περικλείει τα εξής δύο βήματα: 1. Εναρξη: Θεωρείται ένας δακτύλιος με N κόμβους τέτοιον ώστε κάθε κόμβος να συνδέεται με τους K κοντινότερους γείτονες (K/2 για κάθε πλευρά). Θεωρείται πως N K lnn 1. 2. Τυχαία Αναδιάταξη: Γίνεται αναδιάταξη της κάθε πλευράς του δακτυλίου με πιθανότητα

8 Κεφάλαιο Αʹ. Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων p, με τέτοιο τρόπο ώστε να μην υπάρχουν συνδέσεις προς τον εαυτό κανενός κόμβου και ούτε διπλές συνδέσεις. Είναιπροφανέςπωςμεαυτότομοντέλο,για p = 0,δενεκτελείταιτοδεύτεροβήμακαιτο δίκτυο παραμένει όμοιο με αυτό του δακτυλίου. Σε αυτή την περίπτωση η πληροφορία που παίρνουμε είναι πως κάποιος γνωρίζει μόνο όσους βρίσκονται μερικά άλματα μακριά του. Ομως, αυτή νομοτελειακή θεώρηση δεν είναι πάντα αληθείς ακόμα και στο δίκτυο των ανθρωπίνων σχέσεων. Ολοι γνωρίζουν κάποιους ανθρώπους που ενδεχόμενα απέχουν μεταξύ τους και δεν είναι πιθανό να γνωριστούν(π.χ., οι παιδικοί φίλοι ενός επιχειρηματία να γνωριστούν με κάποιους πελάτες του). Αυτή η ιδιαιτερότητα εξασφαλίζεται για τιμές του p > 0. Σαφώς, για p = 1, τότε βάσει του παραπάνω μοντέλου υπάρχει πλήρης αναδιάταξη των συνδέσεων με αποτέλεσμα να παράγεται πάλι ο τυχαίος γράφος. Αʹ.3.2 Το Μοντέλο των Albert-Barabási Ηβασικήιδέαπουκρύβεταιπίσωαπότομοντέλοπουπροτάθηκετο1999απότους Albert και Barabási,[23], αφορά την εξής παρατήρηση: σε ένα δίκτυο αν ένας κόμβος έχει πολλές συνδέσεις είναι πολύ πιθανό καθώς εισέρχονται νέοι κόμβοι στο δίκτυο να προσελκύει πολύ περισσότερες νέες συνδέσεις. Ο λόγος που ο κόμβος αυτός έχει εξαρχής πολλές συνδέσεις είναι γιατί μάλλον είναι αρεστός λόγω κάποιων εξαιρετικών ιδιοτήτων του. Για παράδειγμα, έχει μεγάλες πιθανότητες να εισάγει κάποιος μια υπερσύνδεση για έναν δικτυακό τόπο με τον οποίο συνδέεται με μεγάλες ταχύτητες από κάποιον άλλο ο οποίος καθυστερεί υπερβολικά. Συνεπώς, η πρωταρχική αιτία που έκανε κάποιον κόμβο να αποκτήσει πολλές συνδέσεις αν συνεχίσει να υφίσταται θα προκαλέσει πολλές νέες συνδέσεις από τους νεοεισερχόμενους κόμβους. Ακόμα όμως και αν υπάρχει κάποιος άλλος κόμβος με την ίδια καλή συμπεριφορά αλλάοοποίοςέχειμπειπρόσφαταστοδίκτυο,οπρώτοςκόμβοςθαεξακολουθείναέχει το προβάδισμα λόγω παλαιότητας ή αλλιώς, λόγω του ότι είναι ήδη γνωστός. Αν κάποιος νέος κόμβος όμως, επιδείξει καλύτερη συμπεριφορά τότε σε βάθος χρόνου αναμένεται να υπερκεράσει τον υπάρχων κόμβο. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα τέτοιας συμπεριφοράς στην καθημερινή μας ζωή. Για παράδειγμα, έστω κάποια μάρκα γάλακτος ιδιαίτερα καλής ποιότητας η οποία διαθέτει τα προϊόντα της σε προσιτές τιμές. Προφανώς σε κάποιο βάθος χρόνου η εταιρεία αυτή θα γίνει γνωστή και πολλοί καταναλωτές θα την προτιμούν. Αν κάποια άλλη νεώτερη εταιρεία προσφέρει την ίδια ποιότητα σε υψηλότερες τιμές ή χαμηλότερη ποιότητα στις ίδιες τιμές, είναι σχεδόν καταδικασμένη. Αν η νέα εταιρεία δώσει, όμως, την ίδια ποιότητα στις ίδιες τιμές, το γεγονός πως είναι νεώτερη δεν θα της επιτρέψει να επεκταθεί τόσο κυρίως γιατί η αρχική εταιρεία έχει ήδη δημιουργήσει το δίκτυο των πελατών της που δεν υπάρχει λόγος να προτιμήσουν τη νέα

Αʹ.4. Το Φαινόμενο της Μετάβασης Φάσης 9 εταιρεία ενώ θα συνεχίζει να αποκτά νέους πελάτες. Συνεπώς, η παλαιότητα ή καλύτερα η πρωτοπορία επιβραβεύεται. Το ενδιαφέρον είναι αν η νέα εταιρεία δώσει την ίδια ποιότητα σε χαμηλώτερες τιμές ή υψηλότερη ποιότητα στις ίδιες τιμές. Τότε, ένα μεγάλο ποσοστό των νέων πελατών θα προτιμήσουν αυτή την εταιρεία η οποία θα αρχίσει να μεγαλώνει με γρήγορους ρυθμούς. Αν συνυπολογιστεί το γεγονός πως πλέον γίνεται γνωστή (οι πελάτες μιλούν μεταξύ τους), τότε είναι λογικό να υποθέσουμε πως παραδοσιακοί πελάτες της αρχικής εταιρείας θα αρχίσουν να προτιμούν τηνέαεταιρείαενώηαρχικήθαοδηγείταισιγάσιγάσεμαρασμό. Το παραπάνω παράδειγμα δεν είναι το μόνο. Πολλά μπορούν να βρεθούν σε οποιαδήποτε επίπεδο σχέσεων(π.χ., το δίκτυο των φιλικών σχέσεων, των πολιτικών σχέσεων κ.ο.κ.). Η φιλοδοξία του μοντέλου των Albert-Barabási είναι συμπεριλάβει αυτά τα χαρακτηριστικά συμπεριφορών, με την εισαγωγή της έννοιας της προτιμώμενης σύνδεσης(δηλαδή να προτιμάται κάποιος κόμβος έναντι άλλων με μεγαλύτερη πιθανότητα). Το μοντέλο περικλείει τα εξής δύο βήματα: 1. Εναρξη: Θεωρείταιέναςμικρόςαριθμός(m 0 )κόμβων. Κάθεφοράπροστίθεταιένας νέοςκόμβοςμε m(m m 0 )πλευρέςπουτονσυνδέουνμε mαπότουςυπάρχοντες κόμβους στο δίκτυο. 2. Προτιμώμενη Σύνδεση: Οταν γίνεται η επιλογή των κόμβων με τους οποίους συνδέεται ονέοςκόμβος,θεωρείταιπωςηπιθανότητα Π u ονέοςκόμβοςνασυνδεθείμετονκόμβο uεξαρτάταιαπότοναριθμότωνγειτόνων S u τουκόμβου u, Π u = S u v V S v. (Αʹ.9) Αʹ.4 Το Φαινόμενο της Μετάβασης Φάσης Μία ενδιαφέρουσα ιδιότητα των δικτύων είναι η λεγόμενη μετάβαση φάσης. Πρόκειται ουσιαστικά για μια απότομη μεταβολή στο δίκτυο τέτοια ώστε μια ιδιότητα που πριν υπήρχε με πιθανότητα μικρή που έτεινε στο μηδέν, τώρα ξαφνικά να υπάρχει με πιθανότητα πολύ μεγάλη πουνατείνειστοένα. Εστω, για παράδειγμα, η διάμετρος του δικτύου(το μέγιστο ελάχιστο μονοπάτι ανάμεσα σε δύοκόμβους). Οτανομέσοςαριθμόςγειτόνων S στοδίκτυοείναιμικρός( S < 1)τότε αναμένεται να υπάρχουν πολλά μικρά δίκτυα(υπογράφοι). Σε αυτή την περίπτωση η διάμετρος του δικτύου αναμένεται να είναι μικρή. Καθώς το S αυξάνεται παρατηρείται πως η διάμετρος

10 Κεφάλαιο Αʹ. Μοντέλα Δημιουργίας των Δικτύων των δικτύων συνεχίζει να αυξάνει. Αυτό ερμηνεύεται διαισθητικά από το γεγονός πως για ένα δίκτυο με τον ίδιο αριθμό κόμβων τώρα υπάρχουν περισσότερες ζεύξεις ανάμεσά τους και κάποιες ενδεχομένως να συνδέουν τους διάφορους υπογράφους του δικτύου συντελώντας στην τελική αύξηση της διαμέτρου. Αυτή η περίπτωση απεικονίζεται στο Σχήμα Αʹ.3 για S < 1. Αυτόπουέχειπαρατηρηθείείναιπωςηδιάμετροςμεγιστοποιείταιγια S = 1ενώ σταδιακά αρχίζει και μειώνεται καθώς το S αυξάνει για τιμές μεγαλύτερες της μονάδας. µ 1.0 µ «µ»µ 0 1.0 S Σχήμα Αʹ.3: Το φαινόμενο της μετάβασης φάσης συντελείται για S = 1. Προκειμένου να ερμηνευτεί αυτή η συμπεριφορά που απεικονίζεται στο Σχήμα Αʹ.3, είναι χρήσιμοναδούμεαπόκοντάτισυμβαίνειστοδίκτυοτηστιγμήπουτο S τείνειναγίνει μονάδα από αριστερά. Τότε, τα διάφορα διασπαρμένα απομονωμένα κομμάτια του δικτύου(οι υπογράφοι) σχεδόν όλα συνδέονται μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από τη δεύτερη καμπύλη του Σχήματος Αʹ.3 που είναι δηλωτική του αριθμού των κόμβων που ανήκουν σε ένα κομμάτι (υπογράφο) του δικτύου. Πρόκειται δηλαδή για την εμφάνιση του γιγαντωμένου στοιχείου του δικτύου αφού ξαφνικά τη στιγμή που το S γίνεται μονάδα σχεδόν όλοι οι κόμβοι ανήκουν στον ίδιο υπογράφο του δικτύου. Στη συνέχεια, και καθώς το S συνεχίζει να αυξάνει, περισσότερες πλευρές δημιουργούνται μέσα στον γράφο οι οποίες τελικά μειώνουν τη διάμετρο του δικτύου.

Βιβλιογραφία [1] K. Oikonomou, N. B. Pronios, Ad-Hoc Networking: A Unified Evaluation Framework, IST Mobile & Communications Summit 2003, Aveiro- Portugal, 15-18 June 2003. [2] Hend Koubaa, Reflections on Smart Antennas for MAC Protocols in Multihop Ad Hoc Networks, European Wireless 2002, February 25-28, 2002, Florence, Italy. [3] T. Rappaport, Wireless Communications: Principles and Practice, Prentice Hall; 2nd edition, December 31, 2001. [AAhmad-2005] Aftab Ahmad, Wireless and Mobile Data Networks, John Wiley & Sons Inc., 2005. [Murthy-2004] C. Siva Ram Murthy, and B. S. Manoj, Ad Hoc Wireless Networks, Architectures and Protocols Prentice Hall PRT, Pearson Education Inc., 2004. [TRappaport-2002] Theodore S. Rappaport, Wireless Communications, Principles and Practice, 2nd Edition, Prentice Hall Inc., 2002. [4] N. Pronios, Performance considerations for slotted spread-spectrum random access networks with directional antennas, in Proc. of IEEE GLOBECOM 89, Nov. 1989. [5] Y.B. Ko, V. Shankarkumar, and N.H. Vaidya, Medium access control protocols using directional antennas in ad hoc networks, in Proceedings of IEEE Conference on Computer Communications (INFOCOM), volume 1(3), pages 13 21, Tel Aviv, Israel, Mar. 26 30 2000. [6] J. Ward and R. T. Compton, Improving the Performance of Slotted ALOHA Packet Radio Network with an Adaptive Array, IEEE Transactions on Communications, 40(2):292 300, February 1992. 11

12 Βιβλιογραφία [7] R. T. Compton, Jr. and J. Ward, High throughput slotted ALOHA packet radio networks with adaptive arrays, IEEE Trans. Comm., vol. 41, no. 3, pp. 460-470, March 1993. [8] R. Wattenhofer, L. Li, P. Bahl, and Y. M. Wang, Distributed topology control for power efficient operation in multihop wireless ad hoc networks, in Proc. IEEE Infocom, 2001. [9] M. Kubisch, H. Karl, A. Wolisz, L. C. Zhong and J. Rabaey, Distributed Algorithms for Transmission Power Control in Wireless Sensor Networks, in WCNC 2003, New Orleans, LA, March 2003. [10] J. Monks, V. Bharghavan, and W. W. Hwu, Transmission power control for multiple access wireless packet networks, in Proceedings of The 25th Annual IEEE Conference on Local Computer Networks (LCN 2000), Tampa, FL, November 2000. [11] S. Narayanaswamy, V. Kawadia, R. S. Sreenivas, and P. R. Kumar, Power control in ad-hoc networks: Theory, architecture, algorithm and implementation of the COMPOW protocol, in Proceedings of European Wireless Conference, 2002. [12] J. P. Monks, J.-P. Ebert, A. Wolisz, and W. mei W. Hwu, A study of the energy saving and capacity improvement potential of power control in multi-hop wireless networks, in Workshop on Wireless Local Networks, Tampa, Florida, USA, also Conf. of Local Computer Networks (LCN), Nov. 2001. [13] R. Zheng and R. Kravets, On-demand power management for ad hoc network, IEEE Infocom 2003, San Franciso, CA, USA, March 30 - April 3, 2003. [14] R. Kravets and P. Krishnan, Power management techniques for mobile communication, in Proc. ACM Mobicom 99, pages 24 35, 1999. [15] W. Ye, J. Heidemann, and D. Estrin, An energy-efficient MAC protocol for wireless sensor networks, in INFOCOM 2002, New York, June 23-27, 2003. [16] S. Singh and C. S. Raghavendra, PAMAS: Power Aware Multi-Access protocol with Signalling for Ad Hoc Networks, (to appear) ACM Computer Communications Review, 1999. [17] U. Kozat, I. Koutsopoulos and L. Tassiulas, A Framework for Cross-layer Design of Energy-efficient Communication with QoS Provisioning in Multi-hop Wireless Networks,

Βιβλιογραφία 13 [18] R. Albert and A.-L. Barabási, Statistical mechanics of complex networks, Rev. Mod. Phys., in press. [19] R. Albert, H. Jeong and A.-L. Barabási, 1999, Nature (London), 401, 130. [20] M. Faloutsos, P. Faloutsos and C. Faloutsos, Computer Communications Review, 29, 251. [21] B. Bollobas, 1981, Discrete Math. 33. 1. [22] D. J. Watts and S. H. Strogatz, 1998, Nature (London), 393, 440. [23] A.-L Barabási and R. Albert, 1999, Science 286, 509. [24] R. Krishnan and J.P.G. Sterbenz, An Evaluation of the TSMA Protocol as a Control Channel Mechanism in MMWN, Technical report, BBN Technical Memorandum No. 1279, 2000. [25] Dimitri Bertsekas and Robert Gallager, Data networks, 2nd edition, Prentice-Hall, Inc., 1992. [26] G. Wang and N. Ansari, Optimal Broadcast Scheduling in Packet Radio Networks Using Mean Field Annealing, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, VOL. 15, NO. 2, pp 250-260, February 1997. [27] IEEE 802.11, Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) specifications, Nov. 1997. Draft Supplement to Standard IEEE 802.11, IEEE, New York, January 1999. [28] P. Karn, MACA- A new channel access method for packet radio, in ARRL/CRRL Amateur Radio 9th Computer Networking Conference, pp. 134-140, 1990. [29] F. A. Tobagi and L. Kleinrock, Packet Switching in Radio ChannelsQ Part II - the Hidden Terminal Problem in Carrier Sense Multiple Access Modes and the Busy-Tone Solution, IEEE Transactions on Communications, Vol. 23, pp. 1417-1433, 1975. [30] V. Bharghavan, A. Demers, S. Shenker, and L. Zhang, MACAW: A Media Access Protocol for Wireless LAN s, Proceedings of ACM SIGCOMM 94, pp. 212-225, 1994. [31] F. Talucci, M. Gerla and L. Fratta, MACA-BI (MACA By Invitation): A Receiver- Oriented Access Protocol for Wireless Multihop Networks, PIMRC 97, the 8th IEEE International Symposium on Personal Indoor and Mobile Communications, Vol. 2, 1997, pp. 435-39.

14 Βιβλιογραφία [32] J. Deng and Z. J. Haas, Busy Tone Multiple Access (DBTMA): A New Medium Access Control for Packet Radio Networks, in IEEE ICUPC 98, Florence, Italy, October 5-9, 1998. [33] C. Wu and V.O.K. Li, Receiver-Initiated Busy Tone Multiple Access in Packet Radio Networks, ACM Computer Communications Review, 17(5):335-342, August 1987. [34] R. Nelson, L. Kleinrock, Spatial TDMA, A collision-free Multihop Channel Access Protocol, IEEE Transactions on Communications, Vol. COM-33, No. 9, September 1985. [35] C. Zhu and S.M. Corson, A Five-Phase Reservation Protocol (FPRP) for Mobile Ad Hoc Networks, in Proceedings of IEEE Infocom 98, Vol. 1, Pp. 322-331, San Francisco, CA, March/April 1998. [36] I. Chlamtac and A. Farago, Making Transmission Schedules Immune to Topology Changes in Multi-Hop Packet Radio Networks, IEEE/ACM Trans. on Networking, 2:23-29, 1994. [37] J.-H. Ju and V. O. K. Li, An Optimal Topology-Transparent Scheduling Method in Multihop Packet Radio Networks, IEEE/ACM Trans. on Networking, 6:298-306, 1998. [38] J. A. Stankovic, T. Abdelzaher, C. Lu, L. Sha, J. Hou, Real-Time Communication and Coordination in Embedded Sensor Networks, Proceedings of the IEEE, 91(7): 1002-1022, July 2003. (invited paper). [39] R. Rozovsky and P. R. Kumar, SEEDEX: A MAC protocol for ad hoc networks, ACM Mobihoc 01, October 2001. [40] Ian Stewart, Galois Theory, Chapman & Hall/CRC Mathematics, 3rd Edition, 2004. [41] K. Oikonomou and I. Stavrakakis, Analysis of a Probabilistic Topology-Unaware TDMA MAC Policy for Ad-Hoc Networks, IEEE JSAC Special Issue on Quality-of- Service Delivery in Variable Topology Networks, Vol. 22, No. 7, September 2004, pp. 1286-1300. [42] C. P.. P. Bhagwat, Highly Dynamic Destination-Sequenced Distance Vector Routing (DSDV) for Mobile Computers, Proceedings of ACM SIGCOMM 94, pp. 234-244, September 1994.

Βιβλιογραφία 15 [43] S. Murthy and J.J. Garci-Luna-Aceves, A Routing Protocol for Packet Radio Networks, in Proceedings of ACM First International Conference on Mobile Computing & Networking (MOBICOM 95), November 1995. [44] C. Perkins and E. Royer, Ad-Hoc On-Demand Distance Vector Routing, Proceedings of 2nd IEEE Workshop on Mobile Computing Systems and Applications, February 1999. [45] D. B. Johnson and D. A. Maltz, Mobile Comupting, Kluwer Academic Publishers, 1996. [46] M.R. Pearlman, Z.J. Haas, Determining the Optimal Configuration for the Zone Routing Protocol, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 17(8), 1395-1414, August 1999. [47] Y,-B. Ko and N.H. Vaidya, Location-Aided Routing (LAR) in Mobile Ad Hoc Networks, in Proceedings of the 4th ACM/IEE International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom), pp. 66-75, Dallas, Texas, October 1998.