ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 8: Πιθανότητες ΙΙ Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

2 ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 ΑΣΚΗΣΗ 1 (1) 1. Ποια η πιθανότητα σε μία τράπουλα 52 φύλλων να επιλέξουμε τυχαία ένα φύλλο που να είναι σπαθί; Λύση Ως γνωστό ένα τραπουλόχαρτο μπορεί να είναι σπαθί(1), καρό(2), κούπα(3), ή μπαστούνι(4).

6 ΑΣΚΗΣΗ 1 (2) Τα 52 τραπουλόχαρτα χωρίζονται σε τέσσερεις ομάδες των 13 χαρτιών που κάθε μία ομάδα είναι σπαθί, καρό, κούπα, ή μπαστούνι. Ορίζουμε το ενδεχόμενο Α: το τραπουλόχαρτο που θα επιλεγεί να είναι σπαθί.

7 ΑΣΚΗΣΗ 1 (3) Σύμφωνα με τον ορισμό της πιθανότητας θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Είναι σαφές ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα όταν επιλέγω τυχαία ένα τραπουλόχαρτο είναι 52.

8 ΑΣΚΗΣΗ 1 (4) Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή πόσα από τα τραπουλόχαρτα είναι σπαθί. Όπως είδαμε και προηγουμένως από τα τραπουλόχαρτα τα 13 είναι σπαθί.

9 ΑΣΚΗΣΗ 1 (5) Άρα σύμφωνα με τον ορισμό της πιθανότητας θα έχουμε: 13 1 P( A) E ,25 Επομένως σε μία τράπουλα 52 φύλλων έχουμε 25% πιθανότητα να επιλέξουμε τυχαία σπαθί.

10 ΑΣΚΗΣΗ 2 (1) 2. Ποια η πιθανότητα σε μία τράπουλα 52 φύλλων να επιλέξουμε τυχαία ένα φύλλο που να είναι σπαθί ή φιγούρα; Λύση: Σε αυτή την άσκηση θα πρέπει να οριστούν δύο ενδεχόμενα: Α: το τραπουλόχαρτο που θα επιλεγεί να είναι σπαθί.

11 ΑΣΚΗΣΗ 2 (2) και Β: το τραπουλόχαρτο που θα επιλεγεί να είναι φιγούρα. Τα 52 τραπουλόχαρτα εκτός από σπαθί, καρό, κούπα, ή μπαστούνι, μπορούν να χωριστούν και σε φιγούρες (Βαλές, Ντάμα, Ρήγας) και αριθμούς από το 1 ως το 10. Κάθε ομάδα των 13 φύλλων αποτελείται από τους 10 αριθμούς και τις φιγούρες Βαλές, Ντάμα, Ρήγας.

12 ΑΣΚΗΣΗ 2 (3) Η ζητούμενη πιθανότητα ανήκει στην ένωση των ενδεχομένων Α, Β, δηλαδή στην A B Επομένως P( A P( A) P( P( A Όπως υπολογίστηκε στην προηγούμενη άσκηση P( A) 1 4

13 ΑΣΚΗΣΗ 2 (4) Για να υπολογιστεί το P( θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχομένου Β. Όπως αναλύθηκε και προηγουμένως το πλήθος των φιγούρων μιας τράπουλας είναι τρεις για κάθε ένα από τα σπαθί, καρό, κούπα και μπαστούνι.

14 ΑΣΚΗΣΗ 2 (5) Άρα συνολικά θα έχουμε 12 φιγούρες. Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα θα είναι: 12 P( Άρα χρησιμοποιώντας το νόμο της πρόσθεσης των πιθανοτήτων θα έχουμε:

15 ΑΣΚΗΣΗ 2 (6) P( A P( A) P( P( A Επομένως θα πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα: P( A

16 A B : ΑΣΚΗΣΗ 2 (7) Είναι το ενδεχόμενο το τραπουλόχαρτο που επιλέγουμε τυχαία να είναι φιγούρα σπαθί. Από τις 52 δυνατές περιπτώσεις οι ευνοϊκές που πληρούν την ιδιότητα φιγούρα σπαθί είναι 3. Άρα: P( A 3 52

17 ΑΣΚΗΣΗ 2 (8) Επομένως χρησιμοποιώντας το νόμο της πρόσθεσης των πιθανοτήτων έχουμε: P( A P( A) P( 0,423 P( A

18 ΑΣΚΗΣΗ 3 (1) 3. Ποια η πιθανότητα σε μία τράπουλα 52 φύλλων να επιλέξουμε τυχαία ένα φύλλο και να είναι Ρήγας δεδομένου του ότι μας έχει δοθεί ήδη η πληροφορία ότι είναι φιγούρα; Λύση: Πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα, αφού έχουμε την πληροφόρηση ότι είναι φιγούρα.

19 ΑΣΚΗΣΗ 3 (2) Άρα θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο: P( A P( A/, P( P( 0 Ορίζουμε τα ενδεχόμενα Α: Το τραπουλόχαρτο να είναι Ρήγας Β: Το τραπουλόχαρτο να είναι Φιγούρα

20 ΑΣΚΗΣΗ 3 (3) Όπως υπολογίστηκε και προηγουμένως: P( A B : P( A Το ενδεχόμενο το τραπουλόχαρτο να είναι Ρήγας και φιγούρα, δηλ. να είναι Ρήγας. 4 52

21 ΑΣΚΗΣΗ 3 (4) Άρα 4 P( A 52 4 P( A/ P(

22 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ