Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1. Ελεγξιμότητα (μέρος 1ο) Νίκος Καραμπετάκης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Ενότητας Ελεγξιμότητα. Εφικτότητα. Κριτήρια Ελεγξιμότητας. 4

5 Σκοποί Ενότητας Μελέτη των εννοιών της ελεγξιμότητας και εφικτότητας ενός συστήματος στο χώρο των καταστάσεων. Μελέτη των κριτηρίων ελεγξιμότητας. 5

6 Ελεγξιμότητα (Controllability) (1) Ορισμός. Το σύστημα x t = Ax t + Bu t 1 όπου t x t = e At x + e A t τ Bu τ dτ (ή το ζεύγος A R n n, B R n m ) ονομάζεται ελέγξιμο (controllable) αν για κάθε αρχική συνθήκη x R n 1 και χρόνο t 1 > υπάρχει είσοδος u t, t, t 1 τέτοια ώστε η κατάσταση x t 1 =. 6

7 Ελεγξιμότητα (Controllability) (2) 7

8 Ελεγξιμότητα (Controllability) (3) x () t 3 xt () x() x () t 1 x () t 2 8

9 Εφικτότητα (Reachability) (1) Ορισμός. Το σύστημα x t = Ax t + Bu t όπου t x t = e At x + e A t τ Bu τ dτ (ή το ζεύγος A R n n, B R n m ) ονομάζεται εφικτό (reachable) αν για κάθε x f και x = R n 1 υπάρχει είσοδος u t, t, t 1 με t 1 > τέτοια ώστε η κατάσταση x t 1 = x f. 9

10 Εφικτότητα (Reachability) (2) 1

11 Θεώρημα 1 (1) Θεώρημα 1 Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: i. To σύστημα (1) ή το ζεύγος A, B είναι ελέγξιμο. ii. rank R λi n A B = n, λ C. iii. Το ζεύγος A, B δεν είναι όμοιο με ζεύγος της μορφής A 1 A 12 B k,n k A, 1 2. k,m iv. rank R B AB A n 1 B = n. 11

12 Θεώρημα 1 (2) v. Αν ξ T R 1 n είναι τέτοιο ώστε ξ T si n A 1 B = για κάθε s C, τότε ξ T =. vi. Ισοδύναμα, οι n γραμμές του si n A 1 B R s n m είναι γραμμικά ανεξάρτητες για s C. Αν ξ T R 1 n είναι τέτοιο ώστε ξ T e At B = για t, t 1 και αυθαίρετο t 1, τότε ξ T =. Ισοδύναμα, οι n γραμμές του e At B R n m είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε t, t 1. 12

13 Απόδειξη i ii (1) Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: i. To σύστημα (1) ή το ζεύγος A, B είναι ελέγξιμο. ii. rank R λi n A B = n, λ C. Απόδειξη. i ii Έστω ότι λ 1 C: rank R λ 1 I n A B < n ξ T = ξ 1 ξ 2 ξ n : ξ T λ 1 I n A B = ξ T A = λ 1 ξ T και ξ T Β = (2) Από την (2) και την (1) z t ξ T x t = ξ T Ax t + ξ T Bu t = λ 1 ξ T x t 2 13

14 Απόδειξη i ii (2) = λ 1 ξ 1 ξ 2 ξ n x 2 t x 1 t x n t = λ 1 ξ 1 x 1 t + ξ 2 x 2 t + + ξ n x n t λ 1 z t z t = λ 1 z t z t = e λ 1t z z t = ξ T x t = e λ 1t ξ T x (3) Αν το ξ T είναι τέτοιο ώστε ξ T x, τότε η (3) συνεπάγεται ότι ξ T x t, t 14

15 Απόδειξη i ii (3) Επομένως για το x(t) στην (1) ισχύει x t, u t και το ζεύγος A, B (από τον ορισμό) δεν είναι ελέγξιμο. Άρα i ii. 15

16 Απόδειξη ii iii (1) ii iii Έστω ότι υπάρχει μετασχηματισμός ομοιότητας T R n n τέτοιος ώστε όπου TAT 1 = A 1 A 12 k,n k A 2, TB = B 1 k,m A 1 R n k n k, A 12 R n k k, A 2 R k k Τ Έστω λ ιδιοτιμή του Α 2 και ξ 2 το αντίστοιχο αριστερό ιδιοάνυσμα: Α Τ 2 ξ 2 = λξ 2 ξ T 2 λi k A 2 = 1,k 16

17 Απόδειξη ii iii (2) Είναι 1,n k ξ 2 T T λi n A B T 1 I m = 1,n k ξ 2 T T(λI n A)T 1 TB = 1,n k ξ 2 T λi n A 1 A 12 B 1 k,n k λi n A 2 k,m = 1,n k 1,k 1,m rank λi n A 1 A 12 B 1 λi n A 2 < n η οποία αντιβαίνει στην (ii). Άρα ii iii. 17

18 Απόδειξη iii iv (1) Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: iii. Το ζεύγος A, B δεν είναι όμοιο με ζεύγος της μορφής A 1 A 12 B k,n k A, 1 2. k,m iv. rank R B AB A n 1 B = n. Απόδειξη. iii iv Έστω ότι rank R B AB A n 1 B < n και για < k < n είναι rank R B AB A n 1 B = n k 18

19 Απόδειξη iii iv (2) Τότε υπάρχουν k γραμμικά ανεξάρτητα ανύσματα που ανήκουν (παράγουν) στον αριστερό πυρήνα του πίνακα ελεγξιμότητας, δηλαδή υπάρχουν ξ T i R 1 n, ξ T i, i = 1,2,, k: T ξ i B AB A n 1 B = 1,nm 1 n n m Έστω T 2 ξ 1 T ξ 2 T ξ k T R k n, rankt 2 = k 19

20 Απόδειξη iii iv (3) Οι γραμμές ξ i T, i = 1,2,, k του T 2 παράγουν τον αριστερό πυρήνα του πίνακα ελεγξιμότητας και θα είναι T 2 B AB A n 1 B = k,nm ή ισοδύναμα T 2 A i B = n,m, i =,1,2,, n 1 (4) Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α si n A = α s = s n + a n 1 s n a 1 s + a Από το θεώρημα του Cayley Hamilton έχουμε ότι α A = A n + a n 1 A n a 1 A + a I n = n,n (5) Πολλαπλασιάζοντας την (5) από αριστερά με T 2 και 2

21 Απόδειξη iii iv (4) από δεξιά με B παίρνουμε την T 2 A n B + a n 1 T 2 A n 1 B + + a 1 T 2 AB + a T 2 B = k,m (6) Η (6) λόγω των (4) γράφεται ως T 2 A n B = k,m Μπορούμε τώρα εύκολα να δούμε ότι T 2 A B AB A n 1 B = T 2 AB A 2 B A n B = k,nm Άρα ο πίνακας T 2 A ανήκει στον αριστερό πυρήνα του πίνακα ελεγξιμότητας κι έτσι θα υπάρχει πίνακας A 2 R k k τέτοιος ώστε T 2 A = A 2 T 2 (7) 21

22 Απόδειξη iii iv (5) Σχηματικά η (7) είναι: k T 2 n A A2 T2 k k k n n n 22

23 Απόδειξη iii iv (6) Έστω T 1 R n k n : rankt 1 = n k έτσι ώστε ο πίνακας T T 1 T 2 R n n να έχει rankt = n, δηλαδή να είναι ομαλός ( T ) και έστω ότι A 1 R n k n k, A 12 R n k k πίνακες που να ορίζονται από την σχέση έτσι ώστε A 1 A 12 T 1 A T 1 T

24 Απόδειξη iii iv (7) και άρα να έχουμε ότι TA = T 1 A = T 1A T 2 T 2 A = 7 ή Επίσης από την (4) είναι T 1 A = A 1 A 12 T 1 T 2 (8) T 1 A A 2 T 2 = 8 A 1 A 12 k,n k A 2 T 1 T 2 = A 1 A 12 k,n k A 2 T ΤΑΤ 1 = A 1 A 12 k,n k A 2 (9) 24

25 Απόδειξη iii iv (8) έτσι ώστε όπου T 2 Β = k,μ ΤΒ = T 1 T 2 Β = T 1Β T 2 Β =: Β 1 (1) Β 1 T 1 Β R n k m Οι (9) και (1) αντιβαίνουν στην (iii). Άρα iii iv. 25

26 Απόδειξη iv v (1) Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: iv. rank R B AB A n 1 B = n. v. Αν ξ T R 1 n είναι τέτοιο ώστε ξ T si n A 1 B = για κάθε s C, τότε ξ T =. Ισοδύναμα, οι n γραμμές του si n A 1 B R s n m είναι γραμμικά ανεξάρτητες για s C. Απόδειξη. iv v Είναι L 1 si n A 1 = e At = I n + 1 1! At + 1 2! A2 t 2 + si n A 1 = 1 s I n + 1 s 2 A + 1 s 3 A2 + 26

27 Απόδειξη iv v (2) Έστω τότε ξ T : ξ T si 2 A 1 B =, s C ξ T si n A 1 B = ξ T 1 s I n + ξ T 1 s 2 A + ξt 1 s 3 A2 + B =, s C η οποία συνεπάγεται ότι για κάθε k ξ T B = ξ T AB = ξ T A k B = 27

28 Απόδειξη iv v (3) ή ξ T B AB A n 1 B = rank R B AB A n 1 B < n η οποία αντιβαίνει στην (iv). Άρα iv v. 28

29 Απόδειξη v (vi) (1) Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: v. Αν ξ T R 1 n είναι τέτοιο ώστε ξ T si n A 1 B = για κάθε s C, τότε ξ T =. Ισοδύναμα, οι n γραμμές του si n A 1 B R s n m είναι γραμμικά ανεξάρτητες για s C. vi. Αν ξ T R 1 n είναι τέτοιο ώστε ξ T e At B = για t, t 1 και αυθαίρετο t 1, τότε ξ T =. Ισοδύναμα, οι n γραμμές του e At B R n m είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε t, t 1. Απόδειξη. v (vi) Υποθέστε ότι η (vi) δεν ισχύει. 29

30 Απόδειξη v (vi) (2) Υποθέστε δηλαδή ότι υπάρχει ξ T R 1 n, ξ T : ξ T e At B =, t, t 1 τότε οι σχέσεις d k dt k ξt e At B = ξ T A k e At B =, k =,1,2, Για t = συνεπάγονται τις σχέσεις ξ T A k B =, k =,1,2, οι οποίες λόγω της ξ T si n A 1 B = ξ T 1 s I n + 1 s 2 A + 1 s 3 A2 + B = 3

31 Απόδειξη v (vi) (3) = 1 s ξt B + 1 s 2 ξt AB + 1 s 3 ξt A 2 B + συνεπάγονται την ξ T si n A 1 B =, s C η οποία αντιβαίνει στην (v). Άρα v (vi). 31

32 Απόδειξη vi i (1) Οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: vi. Αν ξ T R 1 n είναι τέτοιο ώστε ξ T e At B = για t, t 1 και αυθαίρετο t 1, τότε ξ T =. Ισοδύναμα, οι n γραμμές του e At B R n m είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε t, t 1. i. To σύστημα (1) ή το ζεύγος A, B είναι ελέγξιμο. Απόδειξη. vi i Έστω ο πίνακας t M t 1 1 e At BB T e ATt dt R n n (11) 32

33 Απόδειξη vi i (2) Αν η (vi) ισχύει, αν δηλαδή οι γραμμές του e At B είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε t, t 1, τότε ο M t 1 είναι ομαλός για κάθε t 1 >, M t 1. Πράγματι, έστω ότι ο M t 1 δεν είναι ομαλός. Τότε θα υπάρχει ξ 1 ξ ξ = 2 ξ n τέτοιο ώστε M t 1 ξ = (12) 33

34 Απόδειξη vi i (3) Πολλαπλασιάζοντας την (12) από αριστερά με ξ T και λαμβάνοντας υπόψη την (11) παίρνουμε την t 1 ξ T M t 1 ξ = ξ T e At BB T e ATt dt = ξ T e At B t 1 1 m = x T t 1 1 m B T e ATt ξ dt m 1 x dt m 1 = x T 2 dt t 1 ξ 34

35 Απόδειξη vi i (4) t = 1 ξ T e At B 2 dt ξ T M t 1 ξ = Σημείωση για την (13) Αν x = t 1 x 1 x 2 x n (13) ξ T e At B 2 dt R n = 35

36 Απόδειξη vi i (5) x 1 x T x x = x 1 x 2 x 2 n = x x x n x n και η Ευκλείδεια νόρμα του x είναι άρα x = x T = x x x n 2 = x T x Σύμφωνα με τα παραπάνω η x T x = x 2 = x T 2 36

37 Απόδειξη vi i (6) ξ T M t 1 ξ = t 1 ξ T e At B 2 dt = συνεπάγεται ότι ξ T e At B = για t, t 1 (14) και εφόσον ο πίνακας e At B έχει γραμμικά ανεξάρτητες γραμμές για t, t 1, η (14) συνεπάγεται την ξ T = (15) Αλλά η (15) αντιβαίνει στην υπόθεση ότι ξ T. Άρα αν η (vi) ισχύει, τότε ο πίνακας M t 1 e At BB T e ATt dt t 1 R n n 37

38 Απόδειξη vi i (7) είναι ομαλός για κάθε t 1 >. Έστω τώρα ότι επιλέγουμε είσοδο την u t B T e ATt M t 1 1 x (16) Η είσοδος u (t) στην (16) «φέρνει» την κατάσταση x(t) από το x στο x t 1 = R n 1 σε χρόνο t = t 1. Πράγματι x t 1 = e At 1x + e A t 1 t Bu t dt = e At 1x + e A t 1 t B B T e ATt M t 1 1 x dt t 1 t 1 = = 38

39 Απόδειξη vi i (8) t 1 = e At 1x e At 1 e At BB T e ATt dt M t 1 1 x = e At 1 x M t 1 M t 1 1 x = e At 1 x x = άρα (vi) i. Ποια είναι η είσοδος που θα μεταφέρει σε ένα ελέγξιμο σύστημα μια τυχαία κατάσταση x() στο ; 39

40 Minimum energy control (1) u t B T e ATt M t 1 1 x Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και δεύτερη είσοδος v(t) που οδηγεί το σύστημα στο Τότε x t 1 = = e At 1x + e A t 1 t Bv t dt x t 1 = = e At 1x + e A t 1 t Bu t dt t 1 t 1 = e A t 1 t B v t u t t 1 w t dt = 4

41 Minimum energy control (2) = e At 1 e At B v t u t t 1 w t Η ενέργεια που οφείλεται στην νέα είσοδο v(t) θα είναι t 1 v t 2 dt t 1 dt = u t + w t 2 dt = B T e ATt M t 1 1 x t 1 u t = B T e ATt M t 1 1 x + w t t 1 + w t dt = 2 + w t dt T B T e ATt M t 1 1 x 41

42 Minimum energy control (3) t 1 = x T 1 M t 1 e At BB T e AT t dt M t 1 M t 1 t 1 + w t 2 dt 2x T M t 1 1 e At Bw t dt = x T M t 1 1 x + w t 2 dt t 1 t 1 1 x 42

43 Minimum energy control (4) Για να έχουμε ελάχιστη ενέργεια θα πρέπει w(t) = ή v(t) u(t) = δηλ. v(t) = u(t). Παρατήρηση Η ελεγξιμότητα εξασφαλίζει την ύπαρξη της εισόδου u (t), η οποία πραγματοποιεί τη «μετάβαση» από μία αυθαίρετη αρχική κατάσταση x στη μηδενική κατάσταση x T = σε αυθαίρετο χρόνο T >. Δεν περιγράφει την «τροχιά» x(t). 43

44 Minimum energy control (5) xt () x() T t 44

45 Βιβλιογραφία Βαρδουλάκης Α.Ι.Γ., 212, Εισαγωγή στην Μαθηματική Θεωρία Σημάτων, Συστημάτων και Ελέγχου, Τόμος Β.. Εκδόσεις Τζιόλα. Antsaklis P. and Michel A.N., 1977, Linear Systems, The McGraw-Hill Companies Inc. New York. Charles Ε., Donald G., James L., Melsa J., Rohrs C., Schultz D., 1996, Γραμμικά συστήματα αυτομάτου ελέγχου, Εκδόσεις Τζιόλα. Chen C.T., 197, Introduction to Linear System Theory, Holt, Renehart and Winston Inc. New York. Kailath T., 198, Linear Systems, Prentice Hall. 45

46 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Νικόλαος Καραμπετάκης. «. Ενότητα 1. Ελεγξιμότητα (μέρος 1ο)». Έκδοση: 1.. Θεσσαλονίκη 214. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 46

47 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1] 47

48 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 48

49 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο