2.Ηλεκτρικέςδυναμικέςγραμμές, ηλεκτρικήροήκαιονόμοςτουgauss Οιηλεκτρικέςδυναμικέςγραμμές Ενα ηλεκτρικό πεδίο περιγράφεται εποπτικά με τις ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές,οιοποίεςέχουντιςεξείςιδιότητες: (1) Σε κάθε σημείο τους, το διάνυσμα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναιεφαπτόμενο. (2) Δεντέμνονται. (3) Ξεκινούν από θετικά φορτία και καταλήγουν σε αρνητικά φορτία, ή το άπειρο(ότανυπάρχειφορτίοπουπλεονάζει). (4) Ο αριθμός των δυναμικών γραμμών που διέρχονται από μία μοναδιαία επιφάνεια κάθετη σε αυτές είναι ανάλογος προς την ένταση του ηλεκτρικούπεδίουστηνπεριοχήαυτή.(δηλαδή,τοηλεκτρικόπεδίοείναι ισχυρώτερο όπου οι δυναμικές γραμμές είναι πυκνώτερες, και αντίστροφα). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Σε ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, η ένταση είναι σταθερή κατά μέτρο, διεύθυνση και φορά. Οιδυναμικέςγραμμέςείναιπαράλληλεςκαιισαπέχουσες. Πραγματοποιείται στον χώρο μεταξύ δύο επιπέδων μεταλλικών πλακών οι οποίες είναι φορτισμένες με αντίθεταφορτίακαιβρίσκονταικοντάημίαστηνάλλη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ2Το(ανομογενές)ηλεκτρικόπεδίοενόςσημειακούθετικούή αρνητικούφορτίου. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) (1) Οιδυναμικέςγραμμέςκαταλήγουνήπροέρχονταιαπότοάπειρο. (2) ΣτοπαραπάνωΣχήμα,βλέπουμετιςδυναμικέςγραμμέςπουπεριέχονται στο επίπεδο που περιλαμβάνει το φορτίο. Στην πραγματικότητα, οι γραμμέςαποκλίνουναπότοφορτίοστοντριδιάστατοχώρο. 14
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ3Δύο(απολύτως)ίσαομώνυμαήετερώνυμαηλεκτρικάφορτία. Εδώ, οι δυναµικές γραµµές έχουν κυλινδρική συµµετρία ως προς τον άξονα που συνδέει τα δύο φορτία. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ4Ηλεκτρικόπεδίοενόςφορτίου+2qκοντά σεφορτίο q. Οιμισέςαπότιςδυναμικέςγραμμέςπουαναδύονταιαπότο θετικό σημειακό φορτίο +2q καταλήγουν στο αρνητικό φορτίο q. Οι άλλες μισές καταλήγουν στο άπειρο. Εάν το +2q αυξηθεί απεριόριστα ως προς το q, το πεδίο θα καταλήξειστηνμορφήτουσχήματος2(α). Ηηλεκτρικήροή Κάθεστοιχειώδηςεπιφάνεια μπορείναπαρασταθείωςέναδιάνυσμα το οποίοέχειμέτροίσομετοστοιχειώδεςεμβαδό καιδιεύθυνσηκάθετηπροςτο στοιχειώδες εμβαδό:, όπου είναι μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια. Μίαπεπερασμένηανοικτήεπιφάνειαπεριγράφεταιμετοδιάνυσμα Η στοιχειώδης ηλεκτρική ροή dφ που διέρχεται από μία στοιχειώδη επιφάνειαdsηοποίαβρίσκεταισεηλεκτρικόπεδίο ορίζεταιωςτοεσωτερικό γινόμενο της έντασης του πεδίου επί το διάνυσμα που παριστάνει την στοιχειώδηεπιφάνεια: Η ηλεκτρική ροή μέσω μίας πεπερασμένης ανοικτής επιφάνειας S είναι 15 Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
Η ηλεκτρική ροή είναι φυσικό μέγεθος που περιγράφει ποσοτικά τον αριθμό τωνηλεκτρικώνδυναμικώνγραμμώνπουδιέρχονταιαπόμίαεπιφάνεια. ΟνόμοςτουGauss ΟνόμοςτουGaussαναφέρειότιησυνολικήηλεκτρικήροήΦπουδιέρχεταιαπό μίακλειστήεπιφάνειαείναιανάλογητουσυνολικούφορτίου πουβρίσκεται στοεσωτερικότηςεπιφάνειας όπου είναιηηλεκτρικήδιαπερατότητατουκενού. Ο νόμος του Gauss βρίσκει εφαρμογή στον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικούπεδίουενόςπλήθουςπροβλημάτωνταοποίαπαρουσιάζουνμεγάλη συμμετρία. Παράδειγμα1 Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r από ένα σημειακόηλεκτρικόφορτίο q > 0. Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) Επιλέγουμε ως επιφάνεια Gauss την επιφάνεια σφαίρας με ακτίνα r και κέντρο το φορτίο. Στην επιφάνεια το μέτρο της έντασης του πεδίου είναισταθερό,ηδιεύθυνσηείναιεκείνητηςακτίνα καιηφοράπροςταέξω. E ds = E ds = E ds Άρα, E = 1 = E 4π r 2 = q ε 0 Επιπλέον,ηδύναμητηνοποίαδέχεταιέναδοκιμαστικόφορτίο q 0 στην επιφάνεια είναι F = q 0 E = 1 q 0 q r 2 q r 2 Δηλαδή, καταλήγουμε στην έκφραση του νόμου του Coulomb. Επομένως, ο νόμοςτουgaussείναιισοδύναμοςμετοννόμοτουcoulomb. 16
Παράδειγμα2 Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r από το κέντρομίαςσυμπαγούςσφαίρας,ομοιόμορφαφορτισμένηςμεφορτίο Q > 0. Στηνπεριοχή1,επιλέγουμεωςεπιφάνειαGauss τηνεπιφάνειασφαίραςμε ακτίνα r > R. Εχουμε E 1 ds = E 1 ds = E 1 ds Άρα, E 1 = 1 Q r 2 = E 1 4π r 2 = Q ε 0 Στηνπεριοχή2,επιλέγουμεωςεπιφάνειαGauss τηνεπιφάνειασφαίραςμε ακτίνα r < R.ΕάνηφορτισμένησφαίραέχειχωρικήπυκνότηταφορτίουQ,η σφαίρα περιέχειφορτίο q = ρv SG = ρ 4 3 πr3 = Q 4 3 πr3 4 3 πr3 = Q r3 R 3 ΑποτοννόμοτουGaussέχουμε E 2 ds = E 2 ds = E 2 ds Άρα, = E 2 4π r 2 = q ε 0 E 2 = 1 q r = 1 1 2 r Q r3 2 R = 1 3 Q R 3 r 17 Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
1 Ηέντασητουηλεκτρικούπεδίου(σεμονάδες )ωςσυνάρτησητης απόστασηςδίδεταιστηνεπόμενηγραφικήπαράσταση. Παράδειγμα3 Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση r από μία ευθεία,ομοιόμορφαφορτισμένημεγραμμικήπυκνότηταφορτίου λ > 0. ΕπιλέγουμεωςεπιφάνειαGauss τηνεπιφάνειαενόςκυλίνδρουμήκους lμε άξονατηνευθείακαιακτίναr. Λόγωτηςσυμμετρίαςτουπροβλήματος,τοολοκλήρωμαGaussγράφεται Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015) 18
E ds = E2πrl = q ε 0 όπουq = λl.άρα, E2πrl = λl ε 0,οπότε E = 1 2πε 0 λ r Παράδειγμα3 Να υπολογίσετε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση από μία άπειρηεπίπεδηεπιφάνεια,ομοιόμορφαφορτισμένημεεπιφανειακήπυκνότητα φορτίουσ > 0. ΕπιλέγουμεωςεπιφάνειαGauss τηνεπιφάνειαενόςκυλίνδρουμεαυθαίρετο μήκος και βάσεις τοποθετημένες συμμετρικά ως προς την φορτισμένη επιφάνεια.εάνσυμβολίσουμεμεsτοεμβαδόκάθεβάσης,τοηλεκτρικόφορτίο πουπεριέχειοκύλινδροςείναι q = σ S.ΟνόμοςτουGaussδίνει E ds = E2S = q ε 0 Άρα, E2S = σ S ε 0,οπότε E= σ 2ε 0 19 Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
Για εύκολη αναφορά, τα προηγούμενα αποτελέσματα δίδονται στον επόμενο Πίνακα. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ορισμένων προβλημάτων με χρήση τουνόμουτουgauss Κατανομήφορτίου Ηλεκτρικόπεδίο ΜονωτικήσφαίραμεακτίναR, ομοιόμορφαφορτισμένημεσυνολικό φορτίοq. Λεπτόσφαιρικόκέλυφοςμεακτίνα R,ομογενώςφορτισμένομεσυνολικό φορτίοq. Ευθύγραμμοςαγωγόςαπείρου μήκουςομογενώςφορτισμένοςμε γραμμικήπυκνότηταφορτίουλ. Επίπεδηεπιφάνειααπείρων διαστάσεωνφορτισμένημε επιφανειακήπυκνότηταφορτίουσ. Αγωγόςφορτισμένοςμεεπιφανειακή πυκνότηταφορτίουσ. Αγωγοίσεηλεκτροστατικήισορροπία Ένας αγωγός βρίσκεται σε ηλεκτροστατική ισοροπία όταν δεν υπάρχει μετακίνησηφορτίωνπροςκάποιαδιεύθυνσημέσαστοναγωγό.έναςαγωγόςσε ηλεκτροστατικήισορροπίαέχειτιςεξείςιδιότητες: 1. Στοεσωτερικότουαγωγού,τοηλεκτρικόπεδίοείναιμηδέν. 2. Όλοτοηλεκτρικόφορτίοκατανέμεταιστηνεπιφάνειατουαγωγού. 20 Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)
3. Τοηλεκτρικόπεδίολίγοέξωαπότηνεπιφάνειατουαγωγούείναικάθετο στην επιφάνεια και είναι ίσο με, όπου σ είναι η τοπική επιφανειακήπυκνότηταφορτίου. 4. Εάνοαγωγόςέχειακαθόριστοσχήμα,τοφορτίοτείνεινασυσσωρεύεται σταμέρηόπουηακτίνακαμπυλότητοςείναιμικρότερη(ακίδεςήαιχμηρά σημεία). 21 Ν.Γ.Νικολής,ΔιαλέξειςΗλεκτρισμούκαιΜαγνητισμού(2015)