ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

Transcript

1 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΚΕΦ.. 23

2 Ροή (γενικά): Ηλεκτρική Ροή Η ποσότητα ενός μεγέθους που διέρχεται από μία επιφάνεια. Ε Ε dα dα θ Ε Ε θ Ηλεκτρική ροή dφ Ε μέσω στοιχειώδους επιφάνειας da (αφού da στοιχειώδης επιφάνεια τότε μπορώ να θεωρήσω στο σημείο αυτό Ε=σταθερό): Όταν Ε//dA τότε dφ Ε =Ε da αλλιώς dφ Ε =Ε (da cosθ) =(Ε cosθ) da ΓΕΝΙΚΑ: dφ Ε =E da

3 Περιγραφή του ηλεκτρικού πεδίου με δυναμικές γραμμές διεύθυνση του πεδίου στο σημείο P = διεύθυνση της (εφαπτόμενης της) δυναμικής γραμμής στο P. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από την πυκνότητα δυναμικών γραμμών («πυκνότητα της ροής») dφ = = dφ Ε Ε E da κάθετη da cos θ

4 Ηλεκτρική Ροή Και μέσω μακροσκοπικής επιφάνειας; Τη χωρίζω σε στοιχειώδη dα και αθροίζω τις στοιχειώδεις ροές ΦΕ = Ε da Ε ι da ι i: το κομμάτι i da E da Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω σε ΟΛΗ ΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Το αποτέλεσμα (ολική ηλεκτρική Ροή) είναι ΒΑΘΜΩΤΗ ποσότητα Είναι κάθετο προς την επιφάνεια και κατευθύνεται προς τα ΕΞΩ Χρησιμοποιεί την ΚΑΘΕΤΗ συνιστώσα του E στην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Η ηλεκτρική ροή μέσω της επιφάνειας είναι το άθροισμα των κάθετων συνιστωσών τουηλεκτρικούπεδίουπάνωσεόλητην επιφάνεια. Προσέχουμε την κατεύθυνση της κάθετης συνιστώσας καθώς τέμνει την επιφάνεια, είναι προς τα έξω ή προς τα μέσα ; προς τα έξω είναι προς τα μέσα είναι

5 Ηλεκτρική Ροή Και μέσω κλειστής μακροσκοπικής επιφάνειας; Τη χωρίζω και πάλι σε στοιχειώδη dα και αθροίζω τις στοιχειώδεις ροές ΦΕ Ε da Ε ι da ι i: το κομμάτι i da E da Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται πάνω στην ΚΛΕΙΣΤΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Το αποτέλεσμα (ολική ηλεκτρική Ροή) είναι ΒΑΘΜΩΤΗ ποσότητα Είναι κάθετο προς την επιφάνεια και κατευθύνεται προς τα ΕΞΩ Χρησιμοποιεί την ΚΑΘΕΤΗ συνιστώσα του E στην ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Η ηλεκτρική ροή μέσω της κλειστής επιφάνειας είναι το άθροισμα των κάθετων συνιστωσών τουηλεκτρικούπεδίουπάνωσεόλη την επιφάνεια. Προσέχουμε την κατεύθυνση της κάθετης συνιστώσας καθώς τέμνει την επιφάνεια, είναι προς τα έξω ή προς τα μέσα ; προς τα έξω είναι προς τα μέσα είναι

6 Ηλεκτρική Ροή Πυκνότητα ροής στην επιφάνεια σφαίρας, ακτίνας r, που περιέχει σημειακό φορτίο στοκέντροτης: E Er () = 4πε r 0 2 R 1 R 2 =2R 1 Σφαιρική συμμετρία: Ε κάθετο σε κάθε σημείο της σφαίρας Ε σταθερό σε κάθε σημείο της σφαίρας ΦΕ Ε da = Ε da = Ε da = Ε S σφαίρας Σφαίρα R 1 Σφαίρα R 2 2 ΦE = 4πR1 = 4πε R Φ E ε 0 της R 2 ΦE = 4 π(4 R1 ) = 4 πε (4 ) = Φ της R = ε 1 E R1 0 ε 0

7 Ηλεκτρική Ροή Και εάν η δεύτερη επιφάνεια έχει τυχαία μορφή; Κάθετή στην επιφάνεια Προς τα έξω και πάλι η στοιχειώδης ροή από μία στοιχειώδη επιφάνεια dα σε απόσταση r θα είναι η ίδια με αυτή από τη στοιχειώδη επιφάνεια μίας σφαίρας με ακτίνα r τυχαία επιφάνεια dφ 1 =Ε da=e cosφ da σφαίρα dφ 2 =ΕdA =E cosφ da dφ 1 =dφ 2 Το κάνω για όλη την επιφάνεια και προφανώς Φ 1 =Φ 2

8 ΝόμοςΝόμος του Gauss (ΒΑΣΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ): Η συνολική ηλεκτρική ροή μέσω κάθε κλειστής επιφάνειας είναι ανάλογη προς το φορτίο που περικλείεται εντός αυτής. Πως εφαρμόζεται;; encl ΦΕ Ε da = ε Η παραπάνω είναι αληθής, δεν φαίνεται όμως εύκολη στην εφαρμογή Είναι πολύ χρήσιμη στην εύρεση του E όταν το πρόβλημα παρουσιάζει μεγάλο βαθμό ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Για να λύσουμε ως προς E, πρέπει να μπορούμε να ΕΠΙΛΕΞΟΥΜΕ μια κλειστή επιφάνεια ώστε το ολοκλήρωμα να υπολογίζεται ΕΥΚΟΛΑ Κατεύθυνση: η επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε το E να είναι είτε παράλληλο είτε κάθετο σε κάθε τμήμα της επιφάνειας Μέτρο: η επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε το E να έχει την ίδια τιμή σε όλα τα σημεία στα οποία το E είναι κάθετο στην επιφάνεια Συνεπώς: αυτό επιτρέπει να βγάλουμε το E έξω από το ολοκλήρωμα 0

9 ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ E, ΜΕ ΤΟ ΝΟΜΟ Στρατηγική ΤΟΥ GAUSS 1. Μελέτησε τη συμμετρία της κατανομής φορτίου 2. Επέλεξε την κατάλληλη γκαουσσιανή επιφάνεια (GS) 3. Υπολόγισε το κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα Φ = Ε dα Ε Όπου το da κατευθύνεται προς τα έξω. Φ 4. Εξίσωσε το και λύσε ως προς E. Ε = ε encl 0 Σημείωση: Η συμμετρία επιβάλλει το αναλλοίωτο ως ορισμένους μετασχηματισμούς ( συμμετρίας ) όπως: περιστροφή και μετάθεση στο χώρο, κατοπτρισμός ή αλλαγή πρόσημου ( ). enc μπορεί να είναι:, Σ, ρv, λl, σa ή ένα ολοκλήρωμα πυκνότητας φορτίου.

10 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ και ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εάν το E είναι σταθερό πάνω σε μια επιφάνεια, και κάθετο σε αυτή παντού, μπορούμε να πάρουμε το E έξω από το ολοκλήρωμα, αφήνοντας μόνο το εμβαδόν της επιφάνειας z Ε da = E da x a b c y ds = 2 ac 2bc 2ab z R R ds = 4πR 2 L ds 2 = 2πR 2πRL

11 Εφαρμογές (του νόμου του Gauss) (a) Ομοιόμορφα φορτισμένη κοίλη σφαίρα (π.χ. Μεταλλική σφαίρα, ακτίνας R, με φορτίο, ομοιόμορφα κατανεμημένο στην επιφάνεια της με πυκνότητα σ = /4πR 2 ) 1. Η κατανομή φορτίου είναι σφαιρικά συμμετρική (δηλ. συμμετρική ως προς περιστροφές γύρω από κάθε άξονα που περνά από το κέντρο). Έχει επίσης κατοπτρική συμμετρία. Αναμένουμε το πεδίο να κατευθύνεται ακτινικά προς τα έξω για r > R και (πιθανόν) ακτινικά προς τα μέσα για r < R. 2. Επιλέγουμε ομόκεντρες σφαίρες ακτίνας r ως GS, επειδή το E είναι κάθετο και έχει σταθερό μέτρο πάνω στην GS, δηλ. cosθ = 1 and E(r) = σταθ. για r = σταθ.. 3. Είτε κατευθυνόμενο προς τα μέσα είτε προς τα έξω, εάν βέβαια μη μηδενικό, το E θα είναι κάθετο στην GS και θα έχει σταθερό μήκος. Συνεπώς το ολοκλήρωμα δίνει Φ E = 4π r 2 E. 4. Για r < R, η GS δεν περιέχει φορτία, άρα enc /ε 0 = 0, συνεπώς E = 0 παντού μέσα στην κοίλη σφαίρα. Για r > R, enc =. Οπότε, λύνοντας την Φ E = enc /ε 0 ως προς E βρίσκουμε E = /4πε 0 r 2, και το E να κατευθύνεται προς τα έξω.

12 Το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από ομοιόμορφα φορτισμένη κοίλη σφαίρα μηδενίζεται στο εσωτερικό και είναι ισοδύναμο προς πεδίο σημειακού φορτίου ευρισκόμενου στο κέντρο της σφαίρας, για r > R. Στο σχήμα φαίνεται το E(r) vs. r και για r < R και για r > R.

13 (b) Ομογενώς φορτισμένη στερεά σφαίρα (π.χ. Πλαστική σφαίρα, ακτίνας R, με φορτίο, ομογενώς κατανεμημένο Τα σημεία (1) (3) είναι όπως προηγουμένως. Το σημείο (4) είναι διαφορετικό για r < R. Για r > R, enc =, οπότε πάλι το πεδίο είναι αυτό σημειακού φορτίου στο κέντρο. r ομογενώς κατανεμημένο πυκνότητα φορτίου R ρ = /[(4/3)πR 3 ] παντού σταθερή

14 Για r<r enc r r = π ρ = π / πr = r / R Συνεπώς νόμος του Gauss rer 2 encl 4 π ( ) r = = ε ε R Λύνοντας ως προς Ε(r) Er () = 4 πε R 0 3 r Άρα, για r < R το πεδίο αυξάνει γραμμικά με το r από 0 έως R. Συζήτηση Το πεδίο εκφρασμένο συναρτήσει του δίνεται από: E() r = πε r Er () = πε r<r 3 r>r 2 4 0R 4 0r Για r = R και οι δυο σχέσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, δηλ. E(R) = /(4πε 0 R 2 ). Συνεπώς, το E(r) είναι συνεχής συνάρτηση στην επιφάνεια (r =R).

15

16 (c) Λεπτό φορτισμένο σύρμα απείρου μήκους (π.χ. λεπτό σύρμα, γραμμική πυκνότητα φορτίου λ =d/dl = σταθ). 1. Υπάρχει κυλινδρική συμμετρία (περιστροφές γύρω από τον άξονα (σύρμα)) και κατοπτρική συμμετρία. 2. Συνεπώς το E είναι κάθετο και έχει σταθερό μέτρο πάνω σε κάθε ομοαξονική κυλινδρική GS ακτίνας r και πεπερασμένου μήκους l. 3. Το ολοκλήρωμα ανάγεται στο Φ E = 2π r l E. 4. Εξισώνοντας αυτό με enc /ε 0 = λ l/ε 0 καιλύνονταςωςπροςe δίνει l Φ =Ε = = λ Ε enc r 2π rl ε0 ε0 y E r E r GS Ε () r = λ 2πε r 0 E =0 r l x

17 (d) Ομογενώς φορτισμένο επίπεδο απείρου εκτάσεως, επιφανειακή πυκνότητα φορτίου σ Η κατανομή έχει περιστροφική συμμετρία γύρω από άξονα κάθετο στο επίπεδο και συμμετρία μετάθεσης σε οποιαδήποτε διεύθυνση. Συνεπώς το πεδίο πρέπει να είναι ομογενές και κάθετο στο επίπεδο. Επιλέγουμε ως GS ένα κυλινδρικό κουτί οποιουδήποτε μήκους και βάσεως εμβαδού A, που τέμνει φορτίο enc = σa. Η ολική προς τα έξω ροή από τις δυο βάσεις του κουτιού είναι Φ E =2A E = σa/ε 0, το οποίο δίνει το μέτρο του E E σ = 2ε 0

18 A A A (e) Δυο άπειρα φύλλα (σ=σταθερό 0 στις έσω πλευρές) E=0 E=0 E σ σ Το πεδίο εκτός των φύλλων πρέπει να είναι μηδέν. Δυο τρόποι να το δούμε: Επαλληλία Πεδίο μεταξύ των φύλλων ΔΕΝ είναι μηδέν: Επαλληλία Η GS περικλείει μηδενικό φορτίο Η GS περικλείει μη μηδενικό φορτίο σα 0 σ E ε = A σ σ

19 Μονωτές vs. Αγωγούς Μονωτές ξύλο, λάστιχο, styrofoam, κεραμικά, etc. Αγωγοί χαλκός, χρυσός, ειδικά κεραμικά, etc. Μερικές φορές ταυτίζονται με τα μέταλλα Μονωτές φορτία δεν μπορούν να κινηθούν. Συνήθως κατανέμονται σε όλη τη μάζα του σώματος Αγωγοί φορτία κινούνται ελεύθερα. Σε μονωμένους αγωγούς όλα τα φορτία κινούνται στην επιφάνεια του.

20 Φορτία σε Αγωγούς Γιατί τα φορτία στους αγωγούς πάντοτε κινούνται στην επιφάνεια τους; Το λέει ο νόμος του Gauss!! E = 0 εντός αγωγού που βρίσκεται σε ισορροπία (ηλεκτροστατική)!» Γιατί; Εάν E 0, τότε τα φορτία θα δέχονταν δυνάμεις και θα έπρεπε να κινούνται! Συνεπώς από τον νόμο του Gauss, το φορτίο σε αγωγό πρέπει να διαμένει στις επιφάνειες! Αγώγιμο επίπεδο Αγώγιμη σφαίρα

21 Αγωγοί vs. Μονωτές

22 Gauss Coulomb Απόδειξη για την περίπτωση δυο σημειακών φορτίων και q σε απόσταση R. Ο νόμοςτουgauss εμπεριέχει τον νόμο του Coulomb. q E Συμμετρία To E σημειακού φορτίου είναι ακτινικό και σφαιρικά συμμετρικό Γράφουμε σφαίρα ακτίνας R με κέντρο το. R Νόμος του Gauss μας δίνει την ένταση του πεδίου Που δημιουργεί το σε απόσταση R 2 4πR E = E= ε 4πε R E = 1 4πε 0 R 2 r Οπότε η Δύναμη μεταξύ των και q είναι 1 1 q Αυτή είναι ακριβώς η F = qe = q r = r 4πε R πε0 R δύναμη coulomb μεταξύ των και q.