Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Transcript

1 Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss Νίκος Ν. Αρπατζάνης

2 Εισαγωγή Ο νόµος του Gauss: Μπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου. Βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική δύναµη που αναπτύσσεται µεταξύ σηµειακών φορτίων ακολουθεί το νόµο του αντίστροφου τετραγώνου. Μας διευκολύνει στον υπολογισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου κατανοµών φορτίου µε υψηλό βαθµό συµµετρίας. Είναι σημαντικός για την κατανόηση και την επαλήθευση των ιδιοτήτων των αγωγών που βρίσκονται σε ηλεκτροστατική ισορροπία.

3 Ροή διανυσματικού πεδίου Ως ροή ενός πεδίου, μέσα από μια επιφάνεια, ορίζουμε το πλήθος των δυναμικών γραμμών που περνούν μέσα απ την επιφάνεια. Το πεδίο ανάμεσα στις φορτισμένες πλάκες είναι ομογενές (σταθερή ένταση) με μέτρο 25 δυναμικές γραμμές ανά m 2. Η οριζόντια επιφάνεια έχει εμβαδό 1 m 2. Ποια είναι η ροή μέσα απ την επιφάνεια; Ροή = (πυκνότητα δυναμικών γραμμών) x (εμβαδό επιφάνειας) = Ροή = (πυκνότητα δυναμικών γραμμών) x (εμβαδό επιφάνειας) = = (25 δυν. γραμμές/m 2 x 1 m 2 ) = 25 δυναμικές γραμμές

4 Ροή διανυσματικού πεδίου (παραδείγματα) Η ταχύτητα του νερού μέσα σε έναν σωλήνα είναι διανυσματικό μέγεθος. Δηλαδή στο εσωτερικό του σωλήνα υπάρχει διανυσματικό πεδίο των ταχυτήτων του νερού. Νερό με πυκνότητα 1000 kg/m 3 ρέει σε οριζόντιο σωλήνα, διατομής 1 m 2, με ταχύτητα 3 m/s. Ποια είναι η ροή του νερού (α) Μέσα από κατακόρυφο επίπεδο (β) Μέσα από οριζόντιο επίπεδο (α) Ροή = 1000 kg/m 3 x 3 m/s x 1 m 2 = 3000 kg/s (β) Ροή = 0. Το νερό ρέει παράλληλα στο οριζόντιο επίπεδο. Ποια είναι η ροή του νερού, μέσα απ το κατακόρυφο επίπεδο στο σωλήνα σχήματος U; Ροή πάνω = 1000 kg/m 3 x 3 m/s x 1 m 2 = 3000 kg/s Ροή κάτω = 1000 kg/m 3 x (-3 m/s) x 1 m 2 = kg/s Ροή = Ροή πάνω + Ροή κάτω = 0.

5 Ηλεκτρική ροή Ως ηλεκτρική ροή ορίζεται το γινόµενο του µέτρου της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου επί το εµβαδόν A της επιφάνειας που είναι κάθετη στις δυναμικές γραµµές του Φ E = E A (μονάδες: N m 2 / C)

6 Ηλεκτρική ροή Η ηλεκτρική ροή είναι ανάλογη του πλήθους των δυναμικών γραμμών του ηλεκτρικού πεδίου που διαπερνούν την επιφάνεια. Οι γραµµές του πεδίου µπορεί να σχηματίζουν γωνία θ με την κάθετη στην επιφάνεια. Σε αυτή την περίπτωση είναι: Φ E = E A cos θ

7 Ηλεκτρική ροή Κατανόηση της εξίσωσης Η ηλεκτρική ροή έχει µέγιστη τιµή όταν η επιφάνεια είναι κάθετη στο πεδίο. θ = 0 Η ηλεκτρική ροή έχει µηδενική τιµή όταν η επιφάνεια είναι παράλληλη στο πεδίο. θ = 90 Αν το πεδίο δεν έχει την ίδια ένταση σε κάθε σημείο της επιφάνειας, τότε η σχέση Φ E = E A cosθ ισχύει µόνο για µια στοιχειώδη επιφάνεια ΔΑ.

8 Ηλεκτρική ροή Γενική περίπτωση Στην πιο γενική περίπτωση, εξετάζουµε ένα στοιχειώδες τμήμα επιφάνειας. Ai Η ηλεκτρική ροή μέσα απ την επιφάνεια Φ = E A cosθ = E i A E i i i i i Η ροή μέσα απ όλη την επιφάνεια: ή Φ = lim Φ ( E i A ) E Ai 0 i i i E = EidA Η παραπάνω εξίσωση είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωµα, δηλαδή πρέπει να υπολογιστεί σε ολόκληρη την υπό εξέταση επιφάνεια. Ai

9 Ηλεκτρική ροή Κλειστή επιφάνεια Θεωρούµε µια κλειστή επιφάνεια. Τα διανύσµατα δείχνουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις. Ai Σε κάθε σηµείο, είναι κάθετα στην επιφάνεια. Λόγω σύµβασης, δείχνουν προς τα έξω.

10 Ηλεκτρική ροή Κλειστή επιφάνεια Στο στοιχείο (1), οι γραµµές του πεδίου διαπερνούν την επιφάνεια από το εσωτερικό προς το εξωτερικό: θ < 90 o και η ροή Φ είναι θετική. Στο στοιχείο (2), οι γραµµές του πεδίου εφάπτονται στην επιφάνεια: θ = 90 o και η ροή Φ = 0. Στο στοιχείο (3), οι γραµµές του πεδίου διαπερνούν την επιφάνεια από το εξωτερικό προς το εσωτερικό: 180 o > θ > 90 o και η ροή Φ είναι αρνητική.

11 Ηλεκτρική ροή Κλειστή επιφάνεια Η συνολική ηλεκτρική ροή που διέρχεται από την επιφάνεια είναι ανάλογη του συνολικού πλήθους των γραμμών που εξέρχονται απ την επιφάνεια. Ο συνολικός αριθµός των γραµµών ισούται µε τη διαφορά του πλήθους των γραµµών που εξέρχονται από την επιφάνεια µείον το πλήθος των γραµµών που εισέρχονται σε αυτήν. Αν E n είναι η συνιστώσα του πεδίου η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια, τότε: Φ = EidA = E da E και η ολοκλήρωση γίνεται στην κλειστή επιφάνεια n

12 Ροή που διέρχεται από κύβο Οι γραµµές του ηλεκτρικού πεδίου διέρχονται κάθετα από δύο έδρες του κύβου και είναι παράλληλες στις άλλες τέσσερις. Για την έδρα 1, Για την έδρα 2, Φ = E l E Φ = E l E 2 2 Για τις υπόλοιπες έδρες, Φ E = 0 Εποµένως, Φ E, συν = 0

13 Παράρτημα Διάνυσμα Ένα διάνυσµα συνδέει έναν αριθµό µε µια κατεύθυνση του χώρου. Ο αριθµός αυτός είναι το µέτρο της προβολής του διανύσµατος στην δεδοµένη κατεύθυνση. Ένα διάνυσµα, στο χώρο των τριών διαστάσεων, απαιτεί 3 αριθµούς για την παράστασή του. Σε καρτεσιανές συντεταγµένες το διάνυσµα A θα γράφεται: A = A xˆ + A yˆ + A zˆ x y z με μέτρο A = A + A + A x y z

14 Παράρτημα Πράξεις διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα: - Πρόσθεση: - Πολλαπλασιασμός: A = A xˆ + A yˆ + A zˆ x y z (α) Βαθμωτό (εσωτερικό) γινόμενο: AiB = A B = A B + A B + A B B = B xˆ + B yˆ + B zˆ x y z A ± B = A ± B xˆ + A ± B yˆ + A ± B zˆ ( ) ( ) ( ) cosθ x x y y z z Είναι βαθμωτό μέγεθος (αριθμός). (β) Διανυσματικό (εξωτερικό) γινόμενο: Μέτρο: A B = A B sinθ ( ) ( ) ( ) x x y y z z C = A B Διεύθυνση: Κάθετο στο επίπεδο των διανυσμάτων Φορά: Η φορά του καθορίζεται απ τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, όταν το πρώτο διάνυσμα στρέφεται προς το δεύτερο ακολουθώντας την µικρότερη γωνία

15 Παράρτημα Υπολογισμός διανυσματικού γινομένου Για τα διανύσματα: A = A xˆ + A yˆ + A zˆ x y z B = B xˆ + B yˆ + B zˆ x y z xˆ yˆ zˆ xˆ yˆ zˆ xˆ yˆ A B = A A A = A A A A A = x y z x y z x y B B B B B B B B x y z x y z x y = A B xˆ + A B yˆ + A B zˆ A B zˆ A B xˆ A B yˆ = y z z x x y y x z y x y ( y z z y ) ( z x x y ) ( x y y x ) = A B A B xˆ + A B A B yˆ + A B A B zˆ