Ηλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά

Transcript

1 Ηλεκτρική Μετατόπιση- Γραμμικά Διηλεκτρικά

2 Δομή Διάλεξης Ηλεκτρική Μετατόπιση: Ορισμός-Χρησιμότητα-Οριακές συνθήκες Γραμμικά Διηλεκτρικά: Ορισμός - Εφαρμογές Ενέργεια σε Διηλεκτρικά Δυνάμεις σε Διηλεκτρικά Σύνοψη

3 Ηλεκτρική Μετατόπιση Ολικό φορτίο σε διηλεκτρικα: άθροισμα δέσμιων και ελεύθερων φορτίων Άρα ο νόμος του Gauss γράφεται ως: Ορισμός διανύσματος ηλεκτρικής μετατόπισης D: H ηλεκτρική μετατόπιση υπολογίζεται εύκολα (αρκεί να ξέρουμε τα ελεύθερα φορτία): Αλλά δεν οδηγεί εύκολα στο ηλεκτρικό πεδίο (εκτός αν μα δίνεται η πόλωση P)

4 Παράδειγμα Φορτισμένη γραμμή με διηλεκτρικό περίβλημα: Γραμμική πυκνότητα φορτίου λ (ρ=0), διηλεκτρικό περίβλημα (0<ρ<a). Εύρεση ηλεκτρικής μετατόπισης παντού. Από γενικευμένο νόμο Gauss έχουμε με Gaussian κυλινδρική επιφάνεια ακτίνας s έχουμε: Το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να βρεθεί μόνο στο εξωτερικό του διηλεκτρικού αφού δεν μας δίνεται η πόλωση P:

5 Ηλεκτρική μετατόπιση και Νόμος Coulomb E: Μπορεί να υπολογιστεί η ηλεκτρική μετατόπιση από ολοκλήρωμα σε ελεύθερα φορτία με νόμο Coulomb? Α: Όχι γιατί ο στροβιλισμός του D δεν μηδενίζεται πάντα λόγω της πόλωσης.

6 Συνοριακές Συνθήκες για Ηλεκτρική Μετατόπιση Από νόμο Gauss έχουμε: Από στροβιλισμό έχουμε: Φυσικά ισχύουν πάντα οι συνοριακές συνθήκες για το ηλεκτρικό πεδίο αλλά δεν είναι το ίδιο χρήσιμες:

7 Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 4.15, 4.16

8 Γραμμικά Διηλεκτρικά Σε γραμμικά διηλεκτρικά η πόλωση είναι ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου: Ηλεκτρική επιδεκτικότητα Σε γραμμικά διηλεκτρικά η ηλεκτρική μετατόπιση είναι και αυτή ανάλογη του ηλεκτρικού πεδίου: Ηλεκτρική διαπερατότητα Διηλεκτρική σταθερά ή σχετική διαπερατότητα

9 Μεταλλική σφαίρα με διηλεκτρικό περίβλημα Περίβλημα διαπερατότητας ε: Ηλεκτρική μετατόπιση από γενικευμένο νόμο Gauss (r<a μηδενίζεται): Μείωση ηλεκτρικού πεδίου λόγω πόλωσης (ε>ε 0 ): Δυναμικό στο κέντρο της σφαίρας:

10 Μεταλλική σφαίρα με διηλεκτρικό περίβλημα Πόλωση διηλεκτρικού: Χωρική πυκνότητα δέσμιου φορτίου: Επιφανειακή πυκνότητα δέσμιου φορτίου (εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια διηλεκτρικού:

11 Χωρητικότητα πυκνωτή με διηλεκτρικό Μείωση ηλεκτρικού πεδίου, μείωση διαφοράς δυναμικού, αύξηση χωρητικότητας Τανυστής επιδεκτικότητας:

12 Συνοριακές συνθήκες με διηλεκτρικά Δέσμιο φορτίο από ελεύθερο φορτίο: Συνοριακές συνθήκες για λύση εξίσωσης Laplace-Poisson: To δυναμικό είναι παντού συνεχές:

13 Παράδειγμα Σφαίρα διηλεκτρικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο: Συνοριακές συνθήκες: Γενική λύση στο εσωτερικό (αποφυγή απειρισμού): Γενική λύση στο εξωτερικό:

14 Υπολογισμός συντελεστών Σφαίρα διηλεκτρικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο:

15 Υπολογισμός συντελεστών Σφαίρα διηλεκτρικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο:

16 Υπολογισμός συντελεστών Σφαίρα διηλεκτρικού σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο:

17 Ημιχώρος με διηλεκτρικό Δύναμη σε φορτίο q Επιφανειακή πυκνότητα δέσμιου φορτίου: Εύρεση ηλεκτρικού πεδίου από q και σ b : Ηλεκτρικό πεδίο από q: Ηλεκτρικό πεδίο από σ b :

18 Ημιχώρος με διηλεκτρικό Ολικό δέσμιο φορτίο σε επιφάνεια: Εύρεση ηλεκτρικού πεδίου με ολοκλήρωση: Εναλλακτικά: Χρήση μεθόδου ειδώλων

19 Χρήση μεθόδου ειδώλων Συνοριακές συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται: Συνέχεια δυναμικού Ασυνέχεια κάθετης συνιστώσας παραγώγου δυναμικού: Δυναμικό ειδώλου που ικανοποιεί τα παραπάνω: z<0 z>0 Άρα η δύναμη στο φορτίο q είναι η δύναμη λόγω του ηλεκτρικού πεδίου του φορτίου ειδώλου q b :

20 Ενεργεία σε διηλεκτρικά Ενέργεια πυκνωτή: ε r W Φυσική σημασία αύξησης ενέργειας: Απαιτείται να μεταφερθεί περισσότερο φορτίο από τον ένα οπλισμό στον άλλο για να επιτευχθεί η ίδια διαφορά δυναμικού αφού μέρος της διαφοράς δυναμικού εξουδετερώνεται αππο την πόλωση. Ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει αν θεωρήσουμε τν ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο ηλεκτρικό πεδίο: Απόδειξη: Το έργο που απαιτείται για την μεταφορά ελεύθερου φορτίου Δq=Δρ f dτ από τον ένα οπλισμό στον άλλο είναι

21 Ενεργεια σε διηλεκτρικά Απόδειξη: Το έργο που απαιτείται για την μεταφορά ελεύθερου φορτίου Δq=Δρ f dτ από τον ένα οπλισμό στον άλλο είναι Αυτό είναι το έργο που απαιτείται για την μεταφορά ελεύθερου φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή (δεν περιλαμβάνει την ενέργεια για την δημιουργία δέσμιων φορτίων).

22 Δυνάμεις σε διηλεκτρικά Ε: Τι δύναμη πρέπει να ασκήσουμε για να αφαιρέσουμε το διηλεκτρικό από τον πυκνωτη; Έργο που παράγουμε κατά την έξοδο (μη μηδενικό αφού το πεδίο δεν είναι ακριβώς ομογενές): Εύρεση της ενέργειας ως συνάρτηση του x (σταθερό φορτίο στον πυκνωτη): εε rr ll xx + xx = εε rr ll xx(εε rr 1)

23 Δυνάμεις σε διηλεκτρικά Ε: Τι δύναμη πρέπει να ασκήσουμε για να αφαιρέσουμε το διηλεκτρικό από τον πυκνωτη;

24 Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 4.18, 4.19, 4.20, 4.22, 4.24, 4.26, 4.28

25 Σύνοψη Η ηλεκτρική μετατόπιση είναι γραμμικός συνδυασμός του ηλεκτρικού πεδίου και της πόλωσης και υπολογίζεται αν γνωρίζουμε μόνο τα ελεύθερα φορτία (είναι ανεξάρτητη από τα δέσμια φορτία). Στα γραμμικά διηλεκτρικά η πόλωση και η ηλεκτρική μετατόπιση είναι ανάλογες του ηλεκτρικού πεδίου με σταθερές αναλογίας που εξαρτώνται μόνο από το υλικό. Οι συνοριακές συνθήκες για γραμμικά διηλεκτρικά υπολογίζονται από το νόμο του Gauss για την ηλεκτρική μετατόπιση και χρησιμοποιούνται για την προσαρμογή της γενικής λύσης της εξίσωσης Laplace σε φυσικά συστήματα με διηλεκτρικά και για την εφαρμογή της μεθόδου των ειδώλων. Η ενέργεια σε χώρο με διηλεκτρικά προκύπτει από το ολοκλήρωμα σε όλο το χώρο του εσωτερικού γινομένου της ηλεκτρικής μετατόπισης επί το ηλεκτρικό πεδίο Η δύναμη που ασκείται δε διηλεκτρικά σε χώρο με ηλεκτρικά πεδία προκύπτει από την παράγωγο της ολικής ενέργειας στον χώρο όπου βρίσκεται το διηλεκτρικό ως προς την μετατόπιση του διηλεκτρικού στην διεύθυνση όπου θέλουμε να υπολογίσουμε την δύναμη..