ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

Transcript

1 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

2 Υπενθύμιση/Εισαγωγή: Λέμε ότι ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής και της τελικής θέσης του σώματος (και ανεξάρτητη της διαδρομής που ακολουθήσαμε). Υπάρχει, δηλαδή, μία αριθμητική συνάρτηση της θέσης και μόνο του σώματος, η ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ U(r), τέτοια ώστε W Fdr [ Ur ( ) Ur ( )] Κάθε κατανομή φορτίου μπορεί να αναλυθεί σε απειροστά φορτία dq και άρα μας ενδιαφέρει να δούμε τι συμβαίνει κατά την κίνηση ενός φορτίου q μέσα στο πεδίο ενός σημειακού φορτίου q. Επίσης, για το ηλεκτρικό πεδίο ισχύει ότι F=q E.

3 Έργο και δυναμική ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου Το παραγόμενο έργο κατά την κίνηση ενός φορτίου q κάτω από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου ενός φορτίου q: 1 qq 1 qq W ˆ r dr πε r 4πε r dr ΠΡΟΣΟΧΗ: «Επιβιώνει» πάντα μόνον η ακτινική συνιστώσα. qq qq ( ) [ U ( r ) U ( r )] 4πε r 4πε r ιατηρητικό πεδίο ΠΡΟΣΟΧΗ: Συνάρτηση μόνον της αρχικής και τελικής απόστασης από το φορτίο q.

4 Η υναμική Ενέργεια προσδιορίζεται ως προς σημείο αναφοράς Η διαφορά δυναμικής ενέργειας από ένα σημείο του χώρου σε ένα άλλο, είναι το έργο που παράγεται από (ή αποθηκεύεται στο) πεδίο κατά τη μετακίνηση ενός σώματος από το ένα σημείο στο άλλο. Αφού σημασία έχει η διαφορά δυναμικής ενέργειας, για να τη μετράμε επιλέγουμε αυθαίρετα ένα «βολικό» σημείο αναφοράς. Έτσι για την προηγούμενη περίπτωση επιλέγουμε U(r)= για r και έχουμε: Ur ( ) 1 4πε qq r Επέκταση: υναμική ενέργεια λόγω συστήματος φορτίων Ur ( ) N q 4 πε i1 ri q i (αλγεβρικό άθροισμα!! )

5 Ορισμός του Ηλεκτροστατικού υναμικού: Όπως στο θέμα της ηλεκτροστατικής δύναμης (δύναμη Coulomb), αποδώσαμε μία ιδιότητα στο χώρο, την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε, ώστε να αποδεσμευθούμε μ από το δοκιμαστικό φορτίο q, έτσι και εδώ ορίζουμε το ηλεκτροστατικό δυναμικό σε ένα σημείο του χώρου V() ώστε: W q E dr q E dr [ U ( r ) U ( r )] Ur () Ur ( ) E dr V r V r q q [ ] [ ( ) ( )] W [ U( r) U( r )] q[ V( r) V( r )] = δυναμικό", μεταβολή δυναμικού" ή «πτώση δυναμικού».

6 Τι εκφράζει το δυναμικό; Ενέργεια ανά μονάδα φορτίου: Μονάδες: [V] = [U/q] = Newton m/cb = Joule Cb -1 = V( (volt) δηλ. Ένα volt είναι το έργο που απαιτείται ανά μονάδα φορτίου, όταν μετακινούμε το φορτίο κατά 1 m εντός πεδίου εντάσεως 1 Netwon/Cb". 1 Cb Volt=1 Newton m Άλλη μονάδα ενέργειας (για μικρές τιμές της): Ηλεκτρονιοβόλτ (ev). Η ενέργεια για τη μετακίνηση ενός ηλεκτρονίου σε διαφορά δυναμικού 1 Volt. 1eV=1.6x1-19 Joule Μετατροπή: μονάδες ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει του Volt [E] = Newton/Cb = Newton m /(Cb m) = Volt/m

7 Έχοντας την έννοια του δυναμικού: (a) υναμικό στο σημείο στο πεδίο ενός σημειακού φορτίου q. V( r) 1 4πε q r όπου θεωρήσαμε ότι για r V(r)= (β) υναμικό συστήματος φορτίων N 1 V r q i ( ) πε r 4 i1 i Επαλληλία λί δυναμικών (αλγεβρικό λ β ό άθροισμα) ) όπου θεωρήσαμε και πάλι ότι για r V(r)=

8 Ενέργεια ιάταξης Φορτίων Πόση ενέργεια χρειάζεται για να βάλουμε τα 2 φορτία στις θέσεις τους; Το έργο που καταβάλουμε για να φέρουμε ένα φορτίο από το άπειρο σε δεδομένη απόσταση από το άλλο φορτίο. Για την τοποθέτηση του πρώτου φορτίου δεν απαιτείται καταβολή έργου. 1) Πρώτο φορτίο ελεύθερο V 1 1 q 1 4πε r 2) εύτερο φορτίο είναι στο πεδίο του πρώτου: 1 qq Εάν τα φορτία είναι ομόσημα τότε η δυναμική ενέργεια είναι θετική, συνεπώς το έργο του πεδίου είναι αρνητικό, δηλαδή καταβάλουμε 4πε r12 ενέργεια η οποία «αποθηκεύεται» στο πεδίο. U W q V

9 Ενέργεια ιάταξης Φορτίων Πόση ενέργεια χρειάζεται για να βάλουμε τα 3 φορτία στις θέσεις τους; 1) Γνωρίζουμε για τα 2 πρώτα 2) Φέρνουμε και το τρίτο: q q q W3 q3( V1V2) 4πε r r Ολική ενέργεια διατάξεως: 1 qq qq qq U W2 W3 U12 U13 U23 4πε r12 r13 r23

10 Ενέργεια ιάταξης Φορτίων Γενίκευση: υναμική ενέργεια U που αποθηκεύεται σε κατανομή N σημειακών φορτίων 1 qi q ( N) ( N)... U 4πε r U U U U U U U U Ίδιο με: για όλα τα ζεύγη ij(φυσικά i,j για ij) ij U U ( U U ) ( U U U ) ( U U U U ) j N 1 q N j 1 U q qv 4πε r 2 i i i i1 ji ij i1 Όπου V i του δυναμικό στη θέση του φορτίου q i εξαιτίας όλων των άλλων φορτίων. Και για συνεχή κατανομή. N 1 1 στοιχειώδης U qv i i ρ ( r ) V ( r ) dτ όγκος 2 2 i1 dq

11 Παραγωγή γή του E από το V B V E d r r A Α Β A ( x,y,z), B ( x+ x,y,z), r x xˆ ( xx, y, z) V Edr E ( xxˆ ) E x ( xyz,, ) x E x V V E E x = Ρυθμός μεταβολής του V x x x με y και z σταθερά

12 Παραγωγή του E από το V Εάν επαναλάβουμε το ίδιο και για τις άλλες συντεταγμένες: V V V Ex, Ey, Ez, E V x+ ˆ V y+ ˆ V zˆ x y z x y z V E V Ισοδύναμο με το συσχετισμό της δύναμης με την δυναμική ενέργεια που γνωρίζαμε από τη Μηχανική: x+ ˆ y+ ˆ zˆ x y z F U Τελεστής gradient: 1 ˆ 1 rˆ ˆ r r rsin 1 ˆ 1 V V rˆ V V ˆ E r r rsin

13 Παραγωγή του E από το V Όταν έχουμε συντηρητικό πεδίο τότε το δυναμικό αποτελεί έναν εύκολο τρόπο να περιγράψουμε το πεδίο δυνάμεων. Αντί να αντιστοιχίζουμε σε κάθε σημείο του χώρου τρεις τιμές Ε x, E y, E z (Οι οποίες προέκυψαν «δύσκολα» από διανυσματική επαλληλία των επιμέρους εντάσεων λόγω μίας κατανομής φορτίων). Αντιστοιχίζω σε κάθε σημείο του χώρου μία και μόνον τιμή δυναμικού V. (Που προκύπτει απλούστερα από την αλγεβρική επαλληλία των επιμέρους δυναμικών λόγω μίας κατανομής φορτίων). Και έχω μία σχέση για να υπολογίζω την ένταση του πεδίου από τη συνάρτηση δυναμικού E V

14 Γενικά Γνωρίζω ένταση κατανομής φορτίων υπολογίζω δυναμικό: E dr [ V ( r ) V ( r )] Γνωρίζω δυναμικό κατανομής φορτίων υπολογίζω ένταση: E V Γνωρίζω κατανομή φορτίων υπολογίζω ενέργεια κατανομής ή δυναμικό και μετά ενέργεια κατανομής: ιακριτή κατανομή Συνεχής κατανομή N 1 q N j 1 U q qv 4πε r 2 i i i i1 ji ij i1 1 U ρ( r) V( r) dτ 2 ( ) ( )

15 Υπολογίζοντας το δυναμικό από την ένταση (1) Αγώγιμη φορτισμένη σφαίρα ακτίνας R, φορτίου Q (i) Για r > R, E(r) ) = kq/r 2 (= πεδίο σημειακού φορτίου Q) [ ( ) ( )] E dr V r V r Θεωρώ V()= 1 Q 1 Q 1 Q V () r V ( ) E dr dr πε πε r πε r 2 4 r 4 r 4 (ii) Για r = R (iii) Για r < R, E(r) = V(r)=σταθερό

16

17 Υπολογίζοντας το δυναμικό από την ένταση (3) Γραμμική κατανομή απείρου μήκους, λ >. ΥΣΚΟΛΙΑ: Οπότε, εάν V( ) =, τότε V(r) =. Συνεπώς, για να έχει φυσικό νόημα η κατανομή δυναμικού θεωρήσαμε το δυναμικό μηδέν στο σημείο b.

18 Υπολογίζοντας το δυναμικό από την ένταση (2) Αντίθετα φορτισμένα πλακίδια, +σ στο y = d, -σ στο y = (V() = ) E dr [ V ( r ) V ( r )] y χ σ E Eyˆ yˆ ε Υπάρχει μόνον συνιστώσα κατά y και είναι σταθερή σε μέτρο y σ σ Δ V V ( y ) V () dy y E y ε ε ΔV V V(d) V( ) EdE V d

19 Υπολογίζοντας την ένταση από το δυναμικό (1) Φορτισμένος δακτύλιος, ακτίνας a, γραμμική πυκνότητα λ = Q/(2πa). Εύρεση δυναμικού σε απόσταση x από το κέντρο του δακτυλίου. Εφαρμογή της αρχής της υπέρθεσης a ηλ. δυναμικό σημειακού φορτίου

20 Γνωρίζω ρζ το V=V(x) άρα μπορώ να υπολογίσω την ένταση του πεδίου στην κατεύθυνση αυτή. Εύρεση της έντασης: V ( x ) 1 Q x a V( x) 1 xq 2 2 3/2 x 4 ( x a ) E( x)

21 Υπολογισμός έντασης πεδίου από δυναμικό (1) υναμικό κατά μήκος άξονα διπόλου ( e =q 2d) E 2 2 x 2 d d q q d V ( x ) ( ) 4πε x d x d 4 πε ( x d ) 4πε x Γνωρίζω το V=V(x) V(x) άρα μπορώ να υπολογίσω την ένταση του πεδίου στην κατεύθυνση αυτή. Εύρεση της έντασης: Ex ( ) V( x) 1 2 x = xx 4 πε ( x d ) e 2 2 2

22 Υπολογισμός έντασης πεδίου από δυναμικό (1) υναμικό διπόλου (p Ε =q 2d) y Ε 2 Ε 1 1 q q q r r ( ) 4πε r r 4πε r r Ε 2 1 V Συνεπώς d -q φ 2 r 2 φ d r r 1 φ 1 για r 2 d : r r 2dsin φ, r r r q 2dcosφ cos φ E +q 2 2 x 4πε r 4πε r E Γνωρίζω το V=V(r,φ) άρα μπορώ να υπολογίσω την ένταση του πεδίου (τις συνιστώσες E r, E φ ). Εύρεση της έντασης: V 2 E r V V 2 E cos φ 1 V V E sin φ = E 3 φ = 3 r 4πε r r φ 4πε r

23 Υπολογισμός Ενέργειας ομογενώς φορτισμένης σφαίρας R, φορτίου Q Είχαμε βρει με τη βοήθεια του νόμου του Gauss ότι: Βρίσκω το δυναμικό από: E dr [ V ( r ) V ( r )] Q E() r r, r R 3 4 R R Q V() r V( R) rdr r 3 4πε R 2 2 Q R r V() r ( ) V( R) 4πε R Όμως V(R) ίδιο με αυτό σημειακού φορτίου Q V( R) 1 Q 4πε R και ρ(r)=σταθερό=q/[(4/3)πr ) ρ ) 3 ]: 3 2 R Q 1 1 Q 2 U 5 ρ() r V() r dτ V()4 r πr dr πr 4πε R 3 Κάντε τις πράξεις!! πράξεις!!

24 Κίνηση η φορτισμένου σωματιδίου Ισχύουν όσα γνωρίζουμε από τη Μηχανική, συνυπολογίζοντας στις δυνάμεις και τις ηλεκτρικές. Έτσι υπολογίζουμε τα μεγέθη της κίνησης από: m 2 d r dt 2 F για σταθερή μάζα m. Καθώς το ηλεκτρικό πεδίο είναι συντηρητικό (και εάν δεν υπάρχει άλλο μη συντηρητικό πεδίο) ισχύει και η αρχή διατήρηση της ενέργειας: Ε ολική = Ε κινητική + Ε δυναμική = σταθερή Στη δυναμική ενέργεια συνυπολογίζεται και αυτή του ηλεκτρικού πεδίου U=q V.

25 Κίνηση φορτισμένου σωματιδίου Ηλεκτρόνιο κινούμενο με ταχύτητα v εισέρχεται σε χώρο σταθερού πεδίου E που είναι κάθετο προς την ταχύτητα του. ee ee a yˆ x και y y ay t t m m 1 ee x x x t και y= y y t a yt t 2 m t x y= ee 2 m x Παραβολική τροχιά