ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ FRACTAL ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ ΔΕΝΔΡΙΤΩΝ ΠΟΥ ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΙ ΣΕ ΣΤΕΡΕΕΣ ΜΟΝΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΟΝΤΟΠΑΝΑΓΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ του ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΦΟΙΤΗΤΗ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ: ΛΕΚΤΟΡΑΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑ ΠΥΡΓΙΩΤΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΑΤΡΑ 2008 1

ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η διπλωματική εργασία με θέμα: «ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ FRACTAL ΔΙΑΣΤΑΣΗΣ ΔΕΝΔΡΙΤΩΝ ΠΟΥ ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΙ ΣΕ ΣΤΕΡΕΕΣ ΜΟΝΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΥΨΗΛΩΝ ΤΑΣΕΩΝ» του φοιτητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών: ΚΟΝΤΟΠΑΝΑΓΟΥ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ του ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Α.Μ.:5050 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάσθηκε στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών στις... 2008 και εγκρίθηκε από την ακόλουθη Εξεταστική Επιτροπή: Επιβλέπων: Συνεξεταστής: Πυργιώτη Ελευθερία Λέκτορας Πανεπιστημίου Πατρών Σπύρου Νικόλαος Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Λέκτορας Πυργιώτη Ελευθερία Καθηγητής Αλεξανδρίδης Αντώνιος 2

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τις ηλεκτρικές διασπάσεις διηλεκτρικών. Είναι γνωστό ότι η ηλεκτρική διάσπαση των διηλεκτρικών επέρχεται μέσω της ανάπτυξης λεπτών καναλιών πλάσματος(streamers leaders). Η πειραματική μελέτη των μηχανισμών διάσπασης και κυρίως η οπτική παρατήρηση των διαδοχικών φάσεων της εκκένωσης οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η διάδοση στο χώρο τόσο των streamers όσο και των leaders παρουσιάζει έντονα στοχαστικά και fractal χαρακτηριστικά. Η διαπίστωση αυτή οδήγησε την κοινότητα των επιστημόνων στη ανάπτυξη των λεγόμενων στοχαστικών μοντέλων διάσπασης διηλεκτρικών τα οποία παρουσιάζουν πλεονεκτήματα σε σχέση με τα φυσικά μοντέλα που είχαν αναπτυχθεί μέχρι τότε. Στα πλαίσια της εργασίας παρουσιάζονται τα κυριότερα στοχαστικά μοντέλα όπως το NPW από τα αρχικά των Niemeyer, Pietronero και Wiesmann, το μοντέλο FFC, το μοντέλο Δανίκα καθώς και το μοντέλο biller το οποίο μάλιστα χρησιμοποιήθηκε έπειτα στην υλοποίηση του προγράμματος. Επίσης γίνονται αναφορές στον τρόπο που διαδίδονται οι streamers στο χώρο καθώς και στον τρόπο δημιουργίας ηλεκτρονικών στοιβάδων σε ομογενές Η.Π κάτι το οποίο είναι απαραίτητο για την καλύτερη κατανόηση του θέματος Όπως αναφέρθηκε οι δενδρίτες αποτελούν ουσιαστικά fractal σχήματα. Η έννοια του fractal μας είναι γνωστή από το χώρο των μαθηματικών ωστόσο στη παρούσα εργασία γίνεται μια σχετικά λεπτομερής αναφορά στα fractal, σε ιδιότητες που τα χαρακτηρίζουν όπως η αυτό-ομοιότητα και η μη ακέραια διάσταση για παράδειγμα. Ωστόσο κύριος στόχος της διπλωματικής αποτελεί όπως αναφέρει και ο τίτλος της άλλωστε η ανάπτυξη προγράμματος μέσω του οποίου θα μπορεί να υπολογίζεται η fractal διάσταση ενός δενδρίτη. Η fractal διάσταση ενός fractal ουσιαστικά είναι το μέγεθος που το 3

διαφοροποιεί από τα υπόλοιπα fractals και δηλώνει το βαθμό της πολυπλοκότητας του. Όσο πιο μεγάλη είναι αυτή η μη ακέραια διάσταση τόσο μεγαλύτερη πολυπλοκότητα υπάρχει. Το πρόγραμμα γράφτηκε σε c++ και ουσιαστικά είναι σε θέση να διαβάζει μια fractal εικόνα και να μπορεί να υπολογίζει την fractal διάστασή της μέσω της box counting μεθόδου. Η προαναφερθείσα μέθοδος δεν είναι η μόνη αλλά αυτή αποφασίστηκε από κοινού με τον Δρ Χαραλαμπάκο Βασίλειο λόγω της σχετικής ευκολίας της εφαρμογής της αλλά και της ευρύτερης αποδοχής που λαμβάνει. Κάποιες άλλες μέθοδοι υπολογισμού παρουσιάζονται στα πλαίσια της εργασίας στις οποίες γίνεται και η κατηγοριοποίηση αν μιλούμε για διδιάστατη fractal εικόνα ή τρισδιάστατη(πραγματικού δενδρίτη). Το γεγονός ότι συναντούμε αρκετά διαφορετικά αποτελέσματα στον υπολογισμό της fractal διάστασης ανάλογα με το ποια μέθοδο χρησιμοποιούμε γεννά το ερώτημα ποια μέθοδος είναι η κατάλληλη σε κάθε εφαρμογή κάτι το οποίο δεν βρίσκει απάντηση στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας. 4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 7 2. Στοχαστικά μοντέλα διάσπασης διηλεκτρικών... 9 2.1 Εισαγωγή... 9 2.2 Μηχανισμός διάσπασης διηλεκτρικών... 11 2.3 Ηλεκτρονική στοιβάδα σε ομογενές Η.Π... 12 2.4 Streamers - Leaders... 14 2.4.1 Διάδοση του streamer... 15 2.4.2 Δημιουργία νέου streamer... 16 2.4.3 Συνοπτική παρουσίαση του συστήματος streamer - leader... 17 2.5 Στοχαστικά μοντέλα...... 19 2.5.1 Μοντέλο Niemeyer Pietronero - Wiesmann... 19 2.5.2 Μοντέλο FFC... 24 2.5.3 Μοντέλο Biller... 27 2.5.4 Μοντέλο Δανίκα... 28 2.5.5 Μοντελοποίηση της διάσπασης με ισοδύναμο ηλεκτρικό δίκτυο... 29 2.6 Συμπεράσματα - Ανακεφαλαίωση... 32 3. Ο κόσμος των Fractal... 35 3.1 Εισαγωγή στα Fractal... 35 3.2 Fractal γεωμετρία... 43 3.2.1 Στοιχεία από τη θεωρία διαστάσεων... 43 3.2.2 Fractal σύνολα αυτοομοοιότητα... 46 3.3 Νόμος του Horton... 48 3.4 Μέθοδοι προσδιορισμού της fractal διάστασης... 50 3.4.1 Συσχέτιση μήκους με βήμα μέτρησης... 52 3.4.2 Φασματική ανάλυση... 52 3.4.3 Γραμμική παλινδρόμιση του φάσματος μηκοτομής... 54 3.4.4 Συνάρτηση μεταβλητότητας... 54 3.4.5 Συσχέτιση εμβαδού - περιμέτρου... 57 3.4.6 Μέθοδος Box - counting... 58 3.4.7 Γενικά... 60 3.5 Εκτίμηση της fractal διάστασης σε πραγματικούς δενδρίτες... 61 5

3.5.1 Εκτίμηση της fractal διάστασης από διδιάστατες εικόνες... 61 3.5.2 Fractal ανάλυση 3-διάστατων δενδριτών... 64 3.6 Συμπεράσματα... 68 4. Ανάπτυξη λογισμικού για την εκτίμηση της fractal διάστασης... 69 4.1 Γενική ιδέα προγράμματος... 69 4.2 Αποτελέσματα υλοποιήσεων - Συμπεράσματα... 70 Παράρτημα Α-Ο πηγαίος κώδικας σε c++... 74 Παράρτημα B-Προϋπάρχον κώδικας... 102 Βιβλιογραφία... 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται διασπάσεις αερίων διηλεκτρικών υπό την εφαρμογή υψηλής τάσης. Οι διασπάσεις έγιναν σε περιβάλλον εξομοίωσης και όχι σε εργαστήριο. Το χρησιμοποιούμενο πρόγραμμα είναι το cygwin και το περιβάλλον που εισήχθησαν οι διάφοροι κώδικες υλοποίησης ο winedt. Επίσης η χρησιμοποιούμενη γλώσσα προγραμματισμού είναι η C++, μια δυνατή, ευρέως χρησιμοποιούμενη και ενδεικνύμενη για τέτοιες εφαρμογές γλώσσα. Σκοπός της εργασίας είναι να τονίσει τη χρησιμότητα της fractal ανάλυσης για τον ηλεκτρολόγο μηχανικό γενικά και ειδικότερα στον τομέα των μονώσεων. Είναι πολύ σημαντικό από την εικόνα και μόνο ενός διηλεκτρικού, και από τον σχηματιζόμενο δενδρίτη να μπορούμε να βγάζουμε ευρύτερα συμπεράσματα. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να επιτευχθεί εάν καταφέρουμε να συσχετίσουμε την fractal διάσταση του δενδρίτη με τον κίνδυνο διάσπασης του διηλεκτρικού. Να χρησιμοποιηθεί δηλαδή η fractal διάσταση του δενδρίτη ως εργαλείο διάγνωσης και εκτίμησης του κινδύνου διάσπασης του διηλεκτρικού. Στη παρούσα εργασία αναπτύχθηκε πηγαίος κώδικας σε C++ ο οποίος έχει ως σκοπό να υπολογίζει τη fractal διάστασή ενός δενδρίτη βλέποντας την εικόνα του. Ο κώδικας προσαρμόστηκε στο μοντέλο(ageing) το οποίο αποτελεί τροποποίηση των ήδη υπαρχόντων μοντέλων(biller,mestl). Χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο ageing ώστε να συμπεριληφθεί και η έννοια της γήρανσης που υφίστανται τα αέρια διηλεκτρικά, κάτι που κάνει τις προσομοιώσεις να βρίσκονται πιο κοντά στην πραγματικότητα. 7

Η εργασία χωρίζεται σε 4 κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο είναι η εισαγωγή. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά τα κυριότερα στοχαστικά μοντέλα διάσπασης αερίων-υγρών-στερεών διηλεκτρικών που αναπτύχθηκαν κυρίως μετά το 1983 και κατέστησαν δυνατή την συστηματικότερη μελέτη διασπάσεων που προκύπτουν από προσομοιώσεις σε κατάλληλο λογισμικό. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται βασικές αρχές και γνωρίσματα των fractals. Επίσης παρατίθενται γνωστές fractal δομές και μέθοδοι για τον υπολογισμό της fractal διάστασης. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η γενική ιδέα του προγράμματος που δημιουργήθηκε για την εκτίμηση της fractal διάστασης καθώς και αποτελέσματα εξομοιώσεων. Παρέχονται επίσης σχόλια ώστε να είναι ευανάγνωστος και επίσης μέσω του κώδικα έχει δημιουργηθεί και ένα νέο αρχείο ώστε να εξασφαλιστεί η μεταφερσιμότητά του. Ακολουθεί το παράρτημα Α όπου βρίσκεται ο δημιουργηθέντας κώδικας, το παράρτημα Β που βρίσκεται ο προϋπάρχον κώδικας βάσει του οποίου έγιναν οι εξομοιώσεις καθώς και η σχετική βιβλιογραφία. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα την λέκτορα Ελευθερία Πυργιώτη καθώς και τον Δρ Χαραλαμπάκο Βασίλειο και Χρήστο Σταματελάτο για την πολύτιμη βοήθεια τους καθώς και τον φίλο και συνάδελφο Δρ Μπεργελέ Χρήστο χωρίς τους οποίους θα ήταν ιδιαίτερα δύσκολο το πέρας της εργασίας. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝTΕΛΑ ΔΙΑΣΠΑΣΗΣ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ 2.1 Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι η ηλεκτρική διάσπαση των αερίων διηλεκτρικών σε πιέσεις ίσες ή μεγαλύτερες της ατμοσφαιρικής και σε διάκενα μεγαλύτερα των 2-3cm επέρχεται μέσω της ανάπτυξης λεπτών καναλιών πλάσματος (streamer και leader) τα οποία γεφυρώνουν το διάκενο, διαδιδόμενα υπό την επίδραση ενός εσωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Ανάλογοι φυσικοί μηχανισμοί είναι υπεύθυνοι και για τη διάσπαση υγρών και στερεών διηλεκτρικών. Η ανάγκη για μια πιο συστηματική μελέτη των φυσικών μηχανισμών διάσπασης των διηλεκτρικών, σε συνδυασμό με το υψηλό κόστος των πειραματικών μετρήσεων και την αύξηση των δυνατοτήτων των Η/Υ, οδήγησε πολλούς επιστήμονες στην ανάπτυξη μιας σειράς μοντέλων τα οποία ονομάσθηκαν φυσικά μοντέλα. Τα μοντέλα αυτά εξομοιώνουν τη διάδοση των streamers και των leaders στο χώρο ανάμεσα στα ηλεκτρόδια σε μια ή δυο διαστάσεις. Μέσα στις δυνατότητες των μοντέλων αυτών περιλαμβάνεται ο υπολογισμός του ρεύματος των streamers και των leaders κατά τη διάρκεια της προεκκένωσης, καθώς και της ταχύτητας διάδοσής των. Ταυτόχρονα όμως τα φυσικά μοντέλα έχουν και μια σειρά από 9

μειονεκτήματα τα οποία περιορίζουν σημαντικά τις δυνατότητές τους. Δεν λαμβάνουν υπόψη τη στοχαστική φύση των μηχανισμών διάσπασης, όπως το statistical time lag, την ύπαρξη περισσοτέρων του ενός streamer ή leader καθώς και το γεγονός ότι κατά την πορεία τους οι streamers και οι leaders δεν ακολουθούν πάντα τις γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου αλλά αλλάζουν συχνά και με τυχαίο τρόπο κατεύθυνση διάδοσης. Επιπλέον η εφαρμογή τους περιορίζεται συνήθως σε διάκενα λίγων εκατοστών. Η πειραματική μελέτη των μηχανισμών διάσπασης και ειδικότερα η οπτική παρατήρηση των διαδοχικών φάσεων της εκκένωσης μέσω φωτογραφιών οδήγησε στο συμπέρασμα ότι η ανάπτυξη στο χώρο τόσο των streamers όσο και των leaders παρουσιάζει έντονα στοχαστικά και fractal χαρακτηριστικά (π.χ. Lichtenberg figures, ανάπτυξη δενδριτών σε πολυμερή, ανάπτυξη streamers σε υγρά διηλεκτρικά, κεραυνοί κλπ.). Το γεγονός αυτό οδήγησε ορισμένους επιστήμονες ήδη από τα μέσα της δεκαετίας του '80, να αναπτύξουν μια νέα κατηγορία μοντέλων, τα λεγόμενα στοχαστικά με τα οποία επιτυγχάνεται η εξομοίωση της μορφής των streamers και των leaders καθώς διαδίδονται στο χώρο. Τα μοντέλα αυτά, άλλα σε μεγαλύτερο και άλλα σε μικρότερο βαθμό πέτυχαν να αναπαράγουν τη μορφή των streamers και των leaders όπως αυτή αποτυπώνεται στις φωτογραφίες πραγματικών εκκενώσεων. Ακολούθως έγινε προσπάθεια να μελετηθούν τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των παραγόμενων από τα στοχαστικά μοντέλα ιχνογραφημάτων, μέσω του υπολογισμού της μορφοκλασματικής (fractal) διάστασης, και με τη βοήθεια αυτής να εξαχθούν μια σειρά ποιοτικών συμπερασμάτων σχετικά με τους φυσικούς μηχανισμούς της ηλεκτρικής διάσπασης. Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση των κυριότερων στοχαστικών μοντέλων τα οποία αναπτύχθηκαν από το 1983 έως σήμερα. Ωστόσο πριν παρουσιαστούν τα στοχαστικά μοντέλα θα αναφερθούμε στον μηχανισμό διάσπασης διηλεκτρικών μέσω των streamers και leaders. 10

2.2 Μηχανισμός διάσπασης διηλεκτρικών Ο φυσικός μηχανισμός διάσπασης τύπου streamer είναι ένας γρήγορος μηχανισμός, ο οποίος αναπτύσσεται σε χρόνους μικρότερους από τον χρόνο παραμονής των ηλεκτρονίων στο χώρο του διακένου. Ο μηχανισμός τύπου streamer προτάθηκε από τους Loeb, Meek και Raether τη δεκαετία του 1940[2][3]. Ο streamer θεωρήθηκε ως ένα κανάλι ασθενώς ιονισμένου πλάσματος το οποίο διαδίδεται μέσα στο διάκενο υπό την παρουσία ενός σχετικά ασθενούς εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Σύμφωνα με τις νεότερες θεωρίες που αναπτύχθηκαν, με βάση την ανάλυση πειραματικών δεδομένων που ελήφθησαν με τεχνικές όπως η φασματοσκοπία εκπομπής καθώς και αριθμητικά αποτελέσματα, ο streamer θεωρείται ως ένα κύμα ιονισμού, το οποίο διαδίδεται στο χώρο με ταχύτητα πολύ μεγαλύτερη από αυτής της ολίσθησης των ηλεκτρονίων. Στις παρακάτω ενότητες όμως ο streamer θα αναλυθεί με βάση την κλασσική θεωρία, καθώς τα στοχαστικά μοντέλα που παρουσιάζονται στην συνέχεια, θεωρούν τον streamer ως ένα ασθενές ιονισμένο κανάλι που αποτελεί προέκταση του ηλεκτροδίου από το οποίο ξεκίνησε. Γίνεται επίσης μια σύντομη αναφορά στην ανάπτυξη της ηλεκτρονικής στοιβάδας που αποτελεί απαραίτητο στοιχείο κάθε μηχανισμού διάσπασης. Σχήμα 2.1: Εξέλιξη μιας ηλεκτρονικής στιβάδας στον χρόνο μέσα σε ομογενές Η.Π 11

2.3 Ηλεκτρονική Στιβάδα σε ομογενές Η.Π. Θεωρούμε μια στοιβάδα ηλεκτρονίων η οποία βρίσκεται μέσα σε ένα ομογενές ηλεκτρικό πεδίο E 0.(σχήμα 2.1). Η στοιβάδα αυτή δημιουργήθηκε από ένα ηλεκτρόνιο το οποίο ξεκίνησε από την κάθοδο την χρονική στιγμή t=0. Το ηλεκτρόνιο αυτό υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου κατευθύνεται προς την άνοδο προκαλώντας ιονίζουσες κρούσεις στην διάρκεια της πορείας του, με αποτέλεσμα τη δημιουργία νέων ελεύθερων ηλεκτρονίων που προκαλούν και αυτά με τη σειρά τους ιονίζουσες κρούσεις και οδηγούν στην δημιουργία της στοιβάδας. Πέρα από τις ιονίζουσες κρούσεις, ηλεκτρόνια παράγονται και από φυσικές διαδικασίες όπως αποκόλληση, επίδραση εξωτερικών παραγόντων(φωτισμός UV) κλπ. Ταυτόχρονα λαμβάνουν χώρα φυσικές διαδικασίες οι οποίες προκαλούν απώλειες ηλεκτρονίων, όπως είναι επανασύνδεση ηλεκτρονίων σε θετικά ιόντα, ενσωμάτωση ηλεκτρονίων σε άτομα, διαδικασίες μεταφοράς ηλεκτρονίων όπως είναι η διάχυση κλπ. Οι διαδικασίες αυτές εκφράζονται στις ποσοτικές περιγραφές του φαινομένου δημιουργίας ηλεκτρονικών στοιβάδων μέσω των συντελεστών a-συντελεστής ιονισμού, λ-συντελεστής αποκόλλησης, β-συντελεστής επανασύνδεσης, η-συντελεστής ενσωμάτωσης, D e -συντελεστής διάχυσης. Κατά τη διάρκεια της δημιουργίας της ηλεκτρονικής στοιβάδας παράγονται, εκτός από ελεύθερα ηλεκτρόνια, θετικά και αρνητικά ιόντα, των οποίων ο αριθμός αυξάνεται καθώς η στοιβάδα προχωρά. Θεωρώντας ότι τα δύο ηλεκτρόδια είναι απείρων διαστάσεων και ότι η εκκένωση ξεκινάει από ένα στοιχειώδες ρεύμα το οποίο προκαλείται από φωτισμό της καθόδου μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις συνέχειας ή εξισώσεις διατήρησης των σωματιδίων(ηλεκτρονίων, θετικών και αρνητικών ιόντων). 12

n t e = ( nev e) + D x n x 2 e α nev e βne n+ ηn eve + λn e 2 (1) 2 n+ ( n+ v+ ) n = neve βnen + + D + + + 2 t α (2) x x n t 2 ( n v ) n = η neve λn + D 2 (3) x x Τα θετικά ιόντα τα οποία συγκεντρώνονται στην ουρά της στοιβάδας αυξάνονται και αυτά κατά εκθετικό τρόπο, καθώς η στοιβάδα προχωρά προς την άνοδο. Εάν ο αριθμός των φορτίων της στοιβάδας γίνει αρκετά μεγάλος τότε τα φορτία χώρου δημιουργούν ένα δικό τους πεδίο E το οποίο προστίθεται διανυσματικά στο εξωτερικό πεδίο E και το παραμορφώνει. Η παραμόρφωση αυτή γίνεται ισχυρότερη καθώς ο πολλαπλασιασμός των φορτίων συνεχίζεται και επηρεάζει εν συνεχεία τη διαδικασία του ιονισμού. Τα φορτία χώρου σχηματίζουν ένα είδος διπόλου, με τα ηλεκτρόνια να συγκεντρώνονται στην κεφαλή της στοιβάδας και τα θετικά ιόντα στην ουρά. Όσο το εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο συντελεστής ιονισμού α εξαρτάται από το E o o δεν έχει παραμορφωθεί έντονα ο E o. Όταν όμως το πεδίο του φορτίου χώρου E γίνει αρκετά ισχυρό, τότε η παραμόρφωση γίνεται έντονη και το πεδίο στη κεφαλή της στοιβάδας γίνεται ισχυρότερο από το E o και ίσο με E = E o + E.Τόσο ο συντελεστής ιονισμού όσο και η κατανομή των φορτίων της στοιβάδας εξαρτώνται πλέον από το E και όχι από το E (σχήμα 2.2). Όταν το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται από τα o φορτία χώρου E αποκτήσει την ίδια τάξη μεγέθους με το εξωτερικό πεδίο E τότε η στοιβάδα μετατρέπεται σε streamer. o 13

Σχήμα 2.2:Απεικόνιση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα διάκενο παρουσία ηλεκτρονικής στοιβάδας (a) Οι δυναμικές γραμμές του εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου και του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται από το φορτίο χώρου παρίστανται ξεχωριστά. (b) Αναπαρίστανται οι δυναμικές γραμμές του συνιστάμενου ηλεκτρικού πεδίου. 2.4 Streamers-Leaders Προτού παρουσιαστούν τα στοχαστικά μοντέλα κρίνεται αναγκαία μια πιο ενδελεχής ματιά στους streamers καθώς και στους leaders. Ο streamer είναι ένα λεπτό κανάλι ασθενώς ιονισμένου πλάσματος το οποίο δημιουργείται από μια αρχική ηλεκτρονική στιβάδα, υπό την επίδραση ενός ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου. Ο streamer μπορεί να κατευθυνθεί από το ένα ηλεκτρόδιο στο άλλο, ή να αναπτυχθεί σε κάποιο σημείο εντός του διακένου και να κατευθυνθεί και προς τα δυο ηλεκτρόδια ταυτόχρονα. Όταν φτάσει στο αντίθετο ηλεκτρόδιο και γεφυρώσει το διάκενο, ένα ισχυρό ανάστροφο κύμα ιονισμού δημιουργείται, οδηγώντας στη διάσπαση του διακένου. Οι streamers μπορούν να διακριθούν σε 2 κατηγορίες ανάλογα με το είδος του φορτίου που κυριαρχεί στη κεφαλή 14

τους(ενεργός περιοχή). Θετικοί streamer(positive ή cathode directed): Είναι οι streamers που ξεκινούν από την άνοδο και κατευθύνονται προς την κάθοδο. Στην κεφαλή του streamer κυριαρχούν τα θετικά ιόντα. Αρνητικοί streamer(negative ή anode directed): Είναι οι streamers που ξεκινούν από την κάθοδο και κατευθύνονται προς την άνοδο. Στην κεφαλή του streamer κυριαρχούν τα ηλεκτρόνια. 2.4.1 Διάδοση του streamer Για την προώθηση ενός streamer(π.χ θετικού) προς την κάθοδο είναι πολύ σημαντική η ύπαρξη ελευθέρων ηλεκτρονίων μπροστά από την κεφαλή του. Σύμφωνα με μια διαδεδομένη θεωρία, κυρίαρχο ρόλο στη δημιουργία ελευθέρων ηλεκτρονίων παίζει ο φωτοϊονισμός. Τα φωτόνια εκπέμπονται από άτομα αζώτου Ν 2 τα οποία έχουν διεγερθεί από κρούσεις με τα ηλεκτρόνια της αρχικής στιβάδας και προκαλούν την απόσπαση ηλεκτρονίων από άτομα Ο 2. Τα ηλεκτρόνια που δημιουργούνται με τη βοήθεια των παραπάνω μηχανισμών, δημιουργούν δευτερογενείς στιβάδες. Οι δευτερογενείς στιβάδες κατευθύνονται προς την κεφαλή του streamer υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου διεγείροντας και αυτά με την σειρά τους άτομα που εκπέμπουν καινούρια φωτόνια. Στο τέλος της πορείας τους τα ηλεκτρόνια αναμιγνύονται με τα θετικά φορτία που βρίσκονται στη κεφαλή σχηματίζοντας την παθητική περιοχή (quasineutral plasma). Τα θετικά φορτία που βρίσκονται στην ουρά των δευτερογενών στιβάδων αποτελούν πλέον τη νέα κεφαλή του streamer(ενεργός περιοχή). Αυτά τα θετικά φορτία ελκύουν νέα ηλεκτρόνια τα οποία θα δημιουργήσουν νέες δευτερογενείς στιβάδες κ.ο.κ. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνεται η διάδοση ενός streamer στο χώρο ανάμεσα στα ηλεκτρόδια.[1] Με βάση πειραματικές μελέτες, η ταχύτητα του streamer μειώνεται όσο αυξάνεται το μήκος του και αυξάνεται όσο ισχυρότερο είναι το εξωτερικό 15

ηλεκτρικό πεδίο. Η ταχύτητα ενός streamer είναι της τάξης των 10 8 cm/sec, όταν η ταχύτητα ολίσθησης των ηλεκτρονίων είναι της τάξης των 10 7 cm/sec. Η διάμετρος του streamer είναι περίπου ίση με τη διάμετρο της ηλεκτρονικής στιβάδας ακριβώς πριν αυτή μετατραπεί σε streamer, δηλαδή της τάξης των 10-2 cm. Επίσης σε καμία περίπτωση η πυκνότητα των ηλεκτρονίων δεν είναι μικρότερη από τη μέγιστη πυκνότητα της ηλεκτρονικής στιβάδας, δηλαδή της τάξης των 10 12 cm -3.Κατά τη διάρκεια της διάδοσης του streamer μέσα στο διάκενο, είναι πολύ συνηθισμένο να έχουμε διακλαδώσεις και συνεχείς αλλαγές πορείας(ζιγκ-ζαγκ). Οι συνεχείς αυτές αλλαγές της πορείας μπορούν να αποδοθούν στο γεγονός ότι τα φωτόνια εκπέμπονται και απορροφώνται με ένα τυχαίο τρόπο, με αποτέλεσμα τα αρχικά ηλεκτρόνια που δημιουργούνται από φωτοϊονισμό και προκαλούν τις δευτερογενείς στιβάδες, να βρίσκονται σε τυχαίες θέσεις γύρω από την κεφαλή του streamer και όχι αναγκαστικά στην διεύθυνση διάδοσής του. 2.4.2 Δημιουργία νέου streamer Στη μέχρι τώρα ανάλυση που έγινε για την διάδοση του streamer μέσα στο διάκενο, θεωρήθηκε ότι ο streamer προϋπήρχε. Για να δημιουργηθεί όμως ένας καινούριος streamer πρέπει να πληρούνται 2 προϋποθέσεις: 1) Η ύπαρξη ενός τουλάχιστον ελεύθερου ηλεκτρονίου σε κατάλληλη απόσταση από την άνοδο. Τα ελεύθερα αυτά ηλεκτρόνια αποκολλώνται από αρνητικά ιόντα κάτω από την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου και είναι αυτά που θα δημιουργήσουν την αρχική στιβάδα. 2) Η ύπαρξη ενός ηλεκτρικού πεδίου. Αυτό το πεδίο θα πρέπει να είναι αρκετά ισχυρό ώστε η στιβάδα που θα δημιουργηθεί από το ελεύθερο ηλεκτρόνιο να μετατραπεί σε streamer. Στην αντίθετη περίπτωση τα ηλεκτρόνια της στιβάδας θα φύγουν απλώς από το διάκενο, αφήνοντας πίσω τους ένα ασθενές θετικό φορτίο χώρου.[1] 16

2.4.3 Συνοπτική παρουσίαση του συστήματος streamer-leader Η διάσπαση ενός διακένου μέσω του μηχανισμού των streamer είναι εφικτή μόνο όταν έχουμε μικρά διάκενα (<40cm).Σε μεγαλύτερες αποστάσεις και καθώς ο streamer διαδίδεται μέσα στο διάκενο, το ηλεκτρικό πεδίο μπροστά του προοδευτικά εξασθενεί και κάποια στιγμή γίνεται μικρότερο από την ελάχιστη τιμή η οποία απαιτείται για έχουμε φαινόμενα ιονισμού και δημιουργία ηλεκτρονικών στιβάδων. Έτσι η διάδοση του streamer σταματά. Η συνολική απόσταση που μπορεί να διανύσει ένας streamer εξαρτάται κυρίως από την εφαρμοζόμενη τάση στο διάκενο. Κυμαίνεται από 10-100cm, ενώ σε ηλεκτροθετικά αέρια μπορεί να ξεπεράσει το 1m. Για να ήταν δυνατή η διάσπαση ενός μεγάλου διακένου V μέσω του μηχανισμού streamer, θα έπρεπε η μέση πεδιακή ένταση E AV = D να είναι περίπου ίση με τη μέση πτώση τάσης του streamer E S. Σε διάκενα όμως μήκους 10-30m η μέση πεδιακή ένταση είναι E AV = 1-2 KV/cm όταν η μέση πτώση τάσης του streamer είναι E S 5 kv/cm. Γίνεται φανερό ότι στη περίπτωση αυτή η διάσπαση λαμβάνει χώρα μέσω ενός νέου μηχανισμού, που ονομάζεται leader. Ο leader μπορεί να θεωρηθεί ως ένα λεπτό κανάλι ισχυρά ιονισμένου πλάσματος, το οποίο διαδίδεται μέσα σε ένα διάκενο, ακολουθώντας το δρόμο που έχουν δημιουργήσει προηγουμένως οι streamers. Η πτώση τάσης του leader είναι σημαντικά μικρότερη από αυτή του streamer με αποτέλεσμα αυτός να συμπεριφέρεται ως προέκταση της ανόδου και να μεταφέρει το δυναμικό της σχεδόν ακέραιο, καθώς προωθείται προς την κάθοδο. Όπως συμβαίνει και με το μεταλλικό άκρο της ανόδου, από το άκρο του leader και λόγω του ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου που αναπτύσσεται εκεί, γεννιούνται συνεχώς καινούριοι streamers. Οι νέοι αυτοί streamers προετοιμάζουν τον δρόμο για την περαιτέρω προώθηση του leader. Η 17

διαδικασία αυτή συνεχίζεται μέχρι το σύστημα leader-streamer να γεφυρώσει το διάκενο και να προκαλέσει τη διάσπασή του(σχήμα 2.3). Το πιο κρίσιμο σημείο στην περιγραφή του συστήματος leader-streamer είναι η δημιουργία του leader ή αλλιώς ο μετασχηματισμός των streamers σε leader. Σημαντική συμβολή στη κατανόηση του φαινομένου αυτού έχει προσφέρει η θεωρία που αναπτύχθηκε από τον Gallimberti,[4] καθώς και άλλες ενδιαφέρουσες θεωρίες κάτι που ωστόσο ξεφεύγει από τα ενδιαφέροντα του παρόντος συγγράμματος. Σχήμα 2.3: Ο leader διαδίδεται στο διάκενο ξεκινώντας από την άνοδο και ακολουθώντας το μονοπάτι που έχουν προετοιμάσει οι streamers. 18

2.5 Στοχαστικά μοντέλα 2.5.1 Μοντέλο Niemeyer-Pietronero-Wiesmann Το πρώτο στοχαστικό μοντέλο αναπτύχθηκε από τους Niemeyer, Pietronero και Wiesmann[5] το 1984 και πήρε το όνομά του από τα αρχικά των συγγραφέων, NPW model. Το μοντέλο αυτό δημιουργήθηκε προκειμένου να αναπαράγει τη μορφή των streamers και των leaders σε υγρά και αέρια διηλεκτρικά καθώς και των δενδριτών σε στερεά, προκειμένου να μελετηθούν ευκολότερα τα fracta1 χαρακτηριστικά που παρουσιάζει η διάδοσή τους. Εξομοιώθηκε η επιφανειακή εκκένωση η οποία δημιουργείται όταν το ηλεκτρόδιο τής ανόδου (συγκεκριμένα το άκρο μιας ακίδας) εφάπτεται επάνω σε ένα λεπτό φύλλο μονωτικού υλικού (π.χ. γυαλί). Για την πραγματοποίηση της εξομοίωσης, ο χώρος στον οποίο γίνεται η εκκένωση διακριτοποιείται με ένα δισδιάστατο πλέγμα σημείων. Το κεντρικό σημείο του πλέγματος αναπαριστά το σημείο επαφής της ανόδου με το μονωτικό υλικό. Το μοντέλο δημιουργεί ένα ιχνογράφημα, το οποίο αναπαριστά το ίχνος της διαδρομής της εκκένωσης στο χώρο, η κίνηση του οποίου καθορίζεται από συγκεκριμένους κανόνες οι οποίοι είναι οι εξής: Το ιχvoγράφημα της διάσπασης που δημιουργείται από το μοντέλο, αναπτύσσεται στο χώρο με διακριτά βήματα. Ένα τέτοιο ιχνογράφημα φαίνεται στο σχήμα 4 μετά από μερικές επαναλήψεις του προγράμματος. Αποτελείται από σημεία (με μαύρο χρώμα) τα οποία ενώνονται μεταξύ τους με γραμμές, που ονομάζονται δεσμοί. Το δυναμικό σε κάθε σημείο του πλέγματος, υπολογίζεται μέσω της επίλυσης της εξίσωσης Laplace με οριακές συνθήκες φ=0 στην άνοδο και το ιχνογράφημα (το οποίο θεωρείται ισοδυναμικό) και φ= 1 σε ένα υποθετικό εξωτερικό κυκλικό ηλεκτρόδιο. 19

Σε κάθε επανάληψη του προγράμματος, ένα ακόμη σημείο προστίθεται στο ιχνογράφημα, μέσω ενός δεσμού.στο σχήμα 4, τα λευκά σημεία που ενώνονται μέσω διακεκομμένων γραμμών με τα μαύρα, αναπαριστούν όλες τις πιθανές διευθύνσεις ανάπτυξης του ιχνογραφήματος. Σε κάθε μια από τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης αντιστοιχίζεται μια πιθανότητα, η οποία είναι συνάρτηση της διαφοράς δυναμικού μεταξύ ενός σημείου που ανήκει στο ιχνογράφημα (i, k, φ=0, μαύρο χρώμα) και ενός γειτονικού του(i,k, λευκό χρώμα). Στη συγκεκριμένη εργασία η πιθανότητα διάδοσης συσχετίστηκε με τη διαφορά δυναμικού μέσω της σχέσης: pik (, i, k ) = ( Φ ) i, κ ( Φ ) ik, n n (4) Φί',k' είναι η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στα σημεία i,k και i,k. Ο παρανομαστής είναι το άθροισμα των δυναμικών σε όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης του ιχνογραφήματος, ενώ η τιμή του εκθέτη n προκύπτει από τη σύγκριση της μορφοκλασματικής διάστασης πραγματικών εκκενώσεων και ιχνογραφημάτων που προκύπτουν από τις εξομοιώσεις. Στην πράξη παίρνει τιμές μεταξύ 0 και 1. Αφού υπολογιστεί η πιθανότητα για κάθε δυνατή διεύθυνση, επιλέγεται ένα καινούργιο σημείο το οποίο θα προστεθεί στο ιχνογράφημα σε κάθε επανάληψη του προγράμματος, με βάση τεχνική η οποία δεν είναι του ενδιαφέροντος του παρόντος συγγράμματος. Το δυναμικό σε κάθε σημείο του πλέγματος υπολογίζεται από την επίλυση της εξίσωσης Lαplαce 2 φ = 0, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. Η τιμή του n επηρεάζει άμεσα τη μορφή του ιχνογραφήματος, μειώνοντας τις διακλαδώσεις του, καθώς αυξάνεται η τιμή του. 20

Σχήμα 2.4: Παράδειγμα ιχνογραφήματος το οποίο δημιουργείται από το στοχαστικό μοντέλο NPW. Το κεντρικό σημείο αναπαριστά το ένα ηλεκτρόδιο και ο κύκλος το δεύτερο. Το ιχνογράφημα αποτελείται από τα μαύρα σημεία τα οποία ενώνονται με ευθείες γραμμές και θεωρούνται ισοδυναμικά. Οι διακεκομμένες γραμμές υποδεικνύουν όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης[9]. Το μοντέλο NPW, παρά το γεγονός ότι εξομοιώνει τη μορφή της εκκένωσης αρκετά καλά, έχει μερικά σοβαρά μειονεκτήματα. Το πρώτο είναι ότι το ιχνογράφημα θεωρείται ισοδυναμικό, κάτι που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα και το δεύτερο είναι η απουσία μιας ελάχιστης τιμής κατωφλίου για τη διαφορά δυναμικού μεταξύ δυο σημείων, πάνω από την οποία θα θεωρείται ότι είναι δυνατή η διάδοση του ιχνογραφήματος. Η απουσία μιας τιμής κατωφλίου είναι πολύ σημαντική καθώς επιτρέπει τη δημιουργία ιχνογραφήματος για οποιαδήποτε τιμή εφαρμοζόμενης τάσης στα ηλεκτρόδια, ακόμη και αν αυτή είναι πολύ μικρή. Ένα ακόμη μειονέκτημα του μοντέλου αυτού είναι και η απουσία του χρόνου, κατά τη διάρκεια της εξομοίωσης. Τα μειονεκτήματα αυτά, οδήγησαν τους Wiesmann και Zeller[6] να προχωρήσουν στην περαιτέρω εξέλιξη του μοντέλου NPW, με την εισαγωγή μιας τιμής κατωφλίου 21 E C για το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο, καθώς και την εισαγωγή μιας σταθερής πτώσης τάσης E S κατά μήκος των δεσμών του ιχνογραφήματος με συνέπεια η σχέση (4) να μετατραπεί σε:

( E i, k i ' k ') p( i, k i ', k ') = ( E i, k) n n όταν E E i, k i ' k ' C (5) Όταν η τιμή της τάσης κατωφλίου δεν ξεπερνιέται, η πιθανότητα διάδοσης γίνεται μηδενική. Εισήγαγαν επίσης την δυνατότητα δημιουργίας διαγωνίων δεσμών. Τα αποτελέσματα της εξομοίωσης έδειξαν ότι η μορφή του ιχνογραφήματος εξαρτάται σημαντικά τόσο από την τιμή κατωφλίου όσο και από την πτώση τάσης στους δεσμούς. Πιο συγκεκριμένα η αύξηση των τιμών των δύο αυτών παραμέτρων οδηγεί σε μείωση του αριθμού των δεσμών που συνθέτουν το ιχνογράφημα. Δυο χαρακτηριστικά παραδείγματα ιχνογραφημάτων απεικονίζονται στα σχήματα 2.5a, b. Σχήμα 2.5:Παράδειγμα δημιουργίας ιχνογραφήματος εκκένωσης, σε διάταξη ακίδαπλάκα. Η τάση στην ακίδα είναι V=0 και στην πλάκα V=V 0.a) Εξομοίωση διάσπασης με E C 0 και E S 0.b)Η τάση κατωφλίου είναι E C =0 και η πτώση τάσης στους δεσμούς E S =0. Το μοντέλο NPW Χρησιμοποιήθηκε ευρέως από άλλους συγγραφείς προκειμένου να μελετηθεί η μορφοκλασματική διάσταση της διάσπασης υγρών και στερεών διηλεκτρικών, ενώ απετέλεσε το σημείο αναφοράς για 22

την εξέλιξη και άλλων στοχαστικών μοντέλων. Πιο συγκεκριμένα στην εργασία οι συγγραφείς θεώρησαν ότι η πιθανότητα για την δημιουργία ενός νέου δεσμού, δεν εξαρτάται από όλες τις πιθανές διευθύνσεις διάδοσης (παρανομαστής στην σχέση 4), αλλά μόνο από τις γειτονικές της. Θεωρήθηκε δηλαδή ότι η δυναμική της ανάπτυξης των ηλεκτρονικών στιβάδων προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση εξαρτάται μόνο από το στάδιο εξέλιξης των γειτονικών προς αυτές στιβάδων. Στην εργασία οι συγγραφείς προσπάθησαν να εξομοιώσουν τη διάδοση του κεραυνού, θεωρώντας τη δημιουργία ενός δεσμού αντίστοιχη με τη βηματική διάδοση του 1eader. Για το λόγο αυτό εισήγαγαν σημαντικές βελτιώσεις στο μοντέλο NPW, οι οποίες αφορούσαν την πτώση τάσης στους δεσμούς και τον τρόπο υπολογισμού του ηλεκτρικού πεδίου. Συγκεκριμένα ελήφθη υπόψη η αγωγιμότητα των streamers η οποία μάλιστα δεν ήταν σταθερή κατά τη διάρκεια της εξομοίωσης αλλά μεταβαλλόταν συναρτήσει της ενέργειας που απελευθερώνεται στους δεσμούς από την ροή του ρεύματος. Η κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου στο χώρο, υπολογίστηκε από την επίλυση της εξίσωσης: div(e)=ρ/ε (6) Όπου ε είναι η διηλεκτρική σταθερά και Ρ είναι η πυκνότητα του ηλεκτρικού φορτίου του 1eader. Η κατανομή του φορτίου αυτού υπακούει στη σχέση: dρ/dt=-divj (7) Όπου j η πυκνότητα του ηλεκτρικού ρεύματος στους δεσμούς του ιχνογραφήματος. Το ρεύμα στους δεσμούς υπολογίστηκε από την σχέση: I=σSE l (8) Όπου I είναι το ρεύμα, σ η αγωγιμότητα ενός συγκεκριμένου δεσμού, E l το ηλεκτρικό πεδίο μέσα στο δεσμό και S η διατομή του leader, η οποία 23

θεωρείται σταθερή. Προσεγγιστικά θεωρήθηκε ότι η αγωγιμότητα μεταβάλλεται συναρτήσει της εκλυόμενης ενέργειας ως εξής: dσ/dt=ξσe l 2 (9) Όπου ξ είναι παράμετρος του μοντέλου η οποία καθορίζει το ρυθμό αύξησης της αγωγιμότητας. Εκτός όμως από το μοντέλο NPW και τα παράγωγά του, δημιουργήθηκαν και μοντέλα τα οποία βασίστηκαν σε διαφορετική λογική. Στη συνέχεια ακολουθεί μια σύντομη περιγραφή των μοντέλων αυτών. 2.5.2 Μοντέλο FFC Το μοντέλο FFC (Field Fluctuation Model) Χρησιμοποιήθηκε για την εξομοίωση της μορφής της προεκκένωσης σε υγρά διηλεκτρικά και αναπτύχθηκε με βάση μια τελείως διαφορετική λογική σε σχέση με το NPW και τα συγγενή με αυτό μοντέλα. Σύμφωνα με το FFC προς κάθε πιθανή διεύθυνση διάδοσης για την οποία ισχύει: Ei > E * - δ (10) δημιουργείται και ένας νέος δεσμός. Στη σχέση (10) το Εi(kV/cm) είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο, το E * (kv/cm) είναι μια παράμετρος η οποία εξαρτάται από τη φύση του διηλεκτρικού και το δ είναι μια τυχαία μεταβλητή η οποία έχει και αυτή μονάδες ηλεκτρικού πεδίου. Η ποσότητα 'Ε * - δ' θεωρείται ότι λαμβάνει υπόψη όλους τους τυχαίους παράγοντες που μπορούν να επηρεάσουν τη διάδοση ενός streamer στο χώρο, όπως είναι οι τοπικές ανομοιογένειες του διηλεκτρικού, η κοσμική ακτινοβολία, ο εξωτερικός ιονισμός, η υγρασία, η θερμοκρασία κλπ. Η τιμή της τυχαίας μεταβλητής δ παρά το γεγονός ότι μπορεί να εξαχθεί από οποιαδήποτε γνωστή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, προκύπτει από την εκθετική κατανομή καθώς η δημιουργία ενός νέου δεσμού θεωρείται ως μια 24

διαδικασία Poisson: f(δ)= exp(-δ/g)/g (11) όπου g είναι η μέση τιμή της κατανομής. Στην πράξη η τιμή της παραμέτρου δ επιλέγεται με βάση τη σχέση: δ = -gln(ξ) (12) όπου ξ είναι μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Η πιθανότητα ένας νέος δεσμός να προστεθεί στο ιχνογράφημα κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριμένου βήματος χρόνου, όταν το Εi < E *, ισοδυναμεί με τη πιθανότητα να ισχύει: δ > E * E i (13) Από τη σχέση 2.10 προκύπτει ότι η πιθανότητα δεσμού δίνεται από τη σχέση: δημιουργίας ενός νέου p( E ) = f ( ) dδ i E * 25 E i δ (14) Στα σχήματα 2.6a, b φαίνονται τα ιχνογραφήματα της διάσπασης που δημιουργούνται από το μοντέλο FFC για δυο διαφορετικές τάσεις στο διάκενο καθώς και για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου g. Στο μοντέλο FFC εισάγεται για πρώτη φορά η δυνατότητα δημιουργίας περισσοτέρων του ενός δεσμών κατά τη διάρκεια μιας επανάληψης του προγράμματος, διαχωρίζοντας έτσι τα στοχαστικά μοντέλα σε 'sίngle element models', στα οποία δημιουργείται μόνο ένας δεσμός κάθε φορά (π.χ. μόντέλο NPW) και σε 'mu1ti element models', στα οποία ένας ή περισσότεροι δεσμοί δημιουργούνται σε ένα κύκλο του προγράμματος (π.χ. μοντέλο FFC). Στα μειονεκτήματα του μοντέλου FFC περιλαμβάνονται η απουσία του χρόνου καθώς και η αδυναμία προσδιορισμού συγκεκριμένων

τιμών για τις παραμέτρους Ε * και g. Σχήμα 2.6: Ιχνογραφήματα διασπάσεων που δημιουργήθηκαν από το μοντέλο FFC για διάφορες τιμές των παραμέτρων Ε o και g. (a) Ε ο = 0.2, Ε * = 1, g = 0.08 και (b) E o = 0.4. E * =1 και g = 0.1. 26

2.5.3 Μοντέλο Biller Το μοντέλο Biller παρουσιάσθηκε το 1993. Η πρωτοτυπία του έγκειται στο γεγονός ότι για πρώτη φορά γίνεται εισαγωγή του χρόνου σε ένα στοχαστικό μοντέλο. Πιο συγκεκριμένα θεωρείται ότι η διαδικασία δημιουργίας ενός δεσμού είναι μια διαδικασία Poisson και σε κάθε πιθανή διεύθυνση διάδοσης του ιχνογραφήματος υπολογίζεται ο χρόνος δημιουργίας ενός δεσμού από τη σχέση: t i ln( ξ ) = (15) r( E ) i όπου ξ είναι μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [0, 1] και r(e i ) είναι μια συνάρτηση του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου η οποία ορίζεται από τον συγγραφέα ως growth rate function. Η επιλογή της σχέσης 15 προκύπτει από το γεγονός ότι η διαδικασία δημιουργίας ενός δεσμού θεωρείται ως διαδικασία Poisson, όπως και στο μοντέλο FFC. Σε κάθε επανάληψη του προγράμματος ο δεσμός με το μικρότερο χρόνο δημιουργίας προστίθεται στο ιχνογράφημα και το βήμα του χρόνου ισούται με το χρόνο δημιουργίας του συγκεκριμένου δεσμού τ= min{t i. H σχέση r(e i ) έχει συνήθως την ακόλουθη δυναμική μορφή. E r ) i n ( E i ) ( (16) E o Το E i είναι το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο ενώ το E o είναι παράμετρος του μοντέλου η οποία στην προκειμένη περίπτωση παίρνει την τιμή Ε o = U/d, όπου U είναι το δυναμικό της ανόδου και d το μήκος του διακένου. Κυριότερο μειονέκτημα του μοντέλου αποτελεί η απουσία παραμέτρων 27

αντιστοίχων των Ec και Es του μοντέλου Wiesmann Zeller. Μια παραλλαγή του μοντέλου του Biller αποτελεί το μοντέλο MESTL (Mu1ti Element Stochastic Time Lag).Η διαφορά του με το μοντέλο του Biller έγκειται στο γεγονός ότι το βήμα του χρόνου είναι προκαθορισμένο και παραμένει σταθερό κατά τη διάρκεια της εξομοίωσης. Στο ιχνογράφημα προστίθενται όσοι δεσμοί έχουν χρόνο δημιουργίας μικρότερο από το βήμα του χρόνου t i < τ. 2.5.4 Μοντέλο Δανίκα Το συγκεκριμένο στοχαστικό μοντέλο αναπτύχθηκε το 1996 στο Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης για την εξομοίωση της διαδικασίας διάσπασης σε στερεά διηλεκτρικά και της διάδοσης των δενδριτών μέσα σε αυτά. Μετά την εύρεση του δυναμικού σε κάθε σημείο του πλέγματος μέσω της επίλυσης της εξισώσεως Laplace ή Poisson (ανάλογα με την παρουσία ή όχι φορτίων χώρου), το τοπικό ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται από τη σχέση: E i ΔΦi = ε i (17) d όπου ε i είναι η σχετική διαπερατότητα του υλικού, ΔΦ i η διαφορά δυναμικού ανάμεσα σε δυο σημεία του πλέγματος (το ένα από τα οποία ανήκει στο ιχνογράφημα) και d η μεταξύ τους απόσταση. Οι συγγραφείς υπέθεσαν ότι η διαπερατότητα του υλικού σε κάθε σημείο δεν είναι σταθερή αλλά είναι μια ομοιόμορφα μεταβαλλόμενη τυχαία μεταβλητή η οποία παίρνει τιμές μεταξύ 2.1 και 2.25 (για το συγκεκριμένο υλικό στο οποίο αναφέρεται η εργασία). Κατ' αυτό τον τρόπο εισάγονται τοπικές διακυμάνσεις στη τιμή του ηλεκτρικού πεδίου, οι οποίες στοιχειοθετούν τη στοχαστική φύση του μοντέλου. Χρησιμοποιώντας το στοχαστικό μοντέλο γίνονται εξομοιώσεις που αφορούν την εξέλιξη των δενδριτών μέσα στο διηλεκτρικό παρουσία ή μη φορτίων χώρου. Στην πρώτη περίπτωση για τον υπολογισμό του δυναμικού σε κάθε σημείο του χώρου επιλύεται η 28

εξίσωση Poisson αντί της εξισώσεως Laplace. Ένα ενδεικτικό αποτέλεσμα εξομοίωσης με το μοντέλο Δανίκα φαίνεται στο σχήμα 2.7. Σχήμα 2.7: Ανάπτυξη δενδρίτη σε στερεό μονωτικό υλικό πάχους 10mm. Η εφαρμοζόμενη τάση είναι +80kV και το φορτίο χώρου στη κοιλότητα του αέρα 4Cb/m 3. 2.5.5 Μοντελοποίηση της διάσπασης με ισοδύναμο ηλεκτρικό δίκτυο Το μοντέλο αυτό αναπτύχθηκε για την εξομοίωση της διάδοσης του ίχνους των streamers μέσα σε υγρά διηλεκτρικά. Αποτελέσματα της εξομοίωσης φαίνονται προς το τέλος αυτής της παραγράφου στο σχήμα 2.8. Για τον έλεγχο της διάδοσης του ιχνογραφήματος έχουν εισαχθεί δύο κριτήρια: i) Αρχικά το ηλεκτρικό πεδίο μπροστά από το streamer θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο μιας τιμής κατωφλίου. Το πεδίο υπολογίζεται από τη 2 V σχέση: Ehead = r log( 4 ( d L )/ r ) (18) o capa axial o 29

όπου V capa είναι η τάση στο τμήμα εκείνο του διακένου που δεν έχει ακόμη γεφυρωθεί (δηλαδή η διαφορά δυναμικού ανάμεσα στο άκρο του συγκεκριμένου streamer και του απέναντι ηλεκτροδίου), d είναι το μήκος του διακένου, L axial είναι το μήκος της προβολής του streamer επάνω στον άξονα της διάδοσης και r 0 η ακτίνα του. Η τιμή κατωφλίου μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το είδος του streamer (θετικός ή αρνητικός). ii) Η θερμική ενέργεια W joule η οποία παράγεται λόγω της ροής του ρεύματος μέσα στο streamer πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια που δαπανάται για την εξάτμιση του υγρού. Η παραγόμενη ενέργεια δίνεται από τη σχέση: W joule = R est I 2 R Δt (19) όπου R est είναι η ωμική αντίσταση του streamer και I R είναι το ρεύμα που διαρρέει το streamer. Η στοχαστική φύση του μοντέλου απορρέει από τον τρόπο υπολογισμού του μήκους των νέων δεσμών streamers καθώς και από τον τρόπο προσδιορισμού της διεύθυνσης διάδοσής των. Πιο συγκεκριμένα, κατά τη διάρκεια ενός βήματος χρόνου, το μήκος ενός νέου δεσμού δίνεται από τη σχέση: newlength = oldlength φ(τ ) (20) όπου φ τ) = 0,25+ 0, 5 τ ( (21) Στη σχέση (21) η παράμετρος τ είναι μια τυχαία μεταβλητή, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [0,1]. Στη σχέση (20) ως oldlength ορίζεται το μήκος του δεσμού στο προηγούμενο βήμα του χρόνου και ως newlength το νέο μήκος του στο παρόν βήμα. Όταν οι συνθήκες για τη δημιουργία ενός νέου δεσμού ικανοποιούνται υπολογίζεται και η 30

κατεύθυνση της διάδοσης, βάση μιας γωνίας α η οποία εξαρτάται και αυτή από μια τυχαία μεταβλητή κ, ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [0,1]. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1)Εάν το κ είναι μικρότερο ή ίσο με 0,5 τότε ισχύει: newdir = olddir + arccos( 1 + log( κ a 2 + a1)) α (22) 2)Εάν το κ είναι μεγαλύτερο από την τιμη 0,5 τότε ισχύει: newdir = olddir + arccos( 1 + α log( 2 κ α 2 α 1 )) (23) 2 2 όπου α = 0, 25, α 1 = exp( ), α 2 = 2 (1 exp( ) α α 31

Σχήμα 2.8: Παραδείγματα από ιχνογραφήματα streamer τα οποία δημιούργησε το μοντέλο όταν η διάταξη των ηλεκτροδίων είναι ακίδα-πλάκα, μετά την παρέλευση χρόνου ίσου με 30μs. Το μήκος του διακένου είναι 10mm, η τάση 30kV και η ακτίνα των streamer r o =5μm. Στις σχέσεις (22), (23) η παράμετρος olddir ορίζεται ως η παλιά κατεύθυνση του streamer και ως newdir η καινούρια. Το βήμα του χρόνου σε κάθε επανάληψη υπολογίζεται από μια σχέση ανάλογη με αυτή του μοντέλου Biller (σχέση 15). Οι ίδιοι συγγραφείς έχουν μοντελοποιήσει και την διάσπαση μεγάλων διακένων αέρα με την χρήση ενός ισοδύναμου ηλεκτρικού κυκλώματος χωρίς όμως να εισάγουν στο μοντέλο τους στοχαστικά χαρακτηριστικά. 2.6 Συμπεράσματα-Ανακεφαλαίωση Στο κεφάλαιο αυτό έγινε μια σύντομη παρουσίαση των σημαντικότερων στοχαστικών μοντέλων που έχουν αναπτυχθεί από το 1984 έως σήμερα. Τα μοντέλα αυτά μπορούν να διακριθούν σε δυο γενικές κατηγορίες. Σε αυτά τα οποία έχουν ως βάση ανάπτυξης το μοντέλο NPW και σε αυτά τα οποία ακολουθούν μια διαφορετική λογική όσον αφορά τα κριτήρια διάδοσης του ιχνογραφήματος στο χώρο. Τα στοχαστικά μοντέλα μπορούν επίσης να διακριθούν σε single element 32

models,δηλαδή σε μοντέλα στα οποία μόνο ένας δεσμός μπορεί να προστεθεί στο ιχνογράφημα σε κάθε βήμα του χρόνου και σε multi element models, δηλαδή σε μοντέλα στα οποία περισσότεροι του ενός δεσμοί μπορούν να προστεθούν σε κάθε βήμα. Πέρα από τη παραπάνω κατηγοριοποίηση τα μοντέλα παρουσιάζουν κάποια κοινά σημεία όσο και επιμέρους διαφορές. Τα κοινά σημεία είναι τα εξής: Σε όλες τις περιπτώσεις ο χώρος και ο χρόνος διακριτοποιείται. Οι κανόνες που διέπουν τη διάδοση και τη δημιουργία των νέων δεσμών είναι στοχαστικοί και είναι συνάρτηση του τοπικού ηλεκτρικού πεδίου Θεωρείται ότι οι στοχαστικοί κανόνες διάδοσης περιλαμβάνουν όλες τις αβεβαιότητες που διέπουν τη διάδοση των streamers και των leaders στο διάκενο κατά τη φάση της προεκκένωσης Δεν λαμβάνεται υπόψιν η ακτίνα του streamer. Οι επιμέρους διαφορές είναι οι εξής: Σε ορισμένα μοντέλα, τα σημεία του πλέγματος που ανήκουν στο ιχνογράφημα θεωρείται ότι έχουν το ίδιο δυναμικό (η πτώση τάσης θεωρείται μηδενική), ενώ σε άλλα εισάγεται μια σταθερή πτώση τάσης κατά μήκος των δεσμών. Το δυναμικό στα υπόλοιπα σημεία του πλέγματος υπολογίζεται μέσω της επίλυσης της εξισώσεως Laplace με οριακές συνθήκες στα ηλεκτρόδια και στο ιχνογράφημα. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις στις οποίες στη θέση της σταθερής πτώσης τάσης έχει εισαχθεί μια πεπερασμένη αγωγιμότητα στο ιχνογράφημα με 33

αποτέλεσμα το δυναμικό στους κόμβους (του ιχνογραφήματος και του διηλεκτρικού) να υπολογίζεται μέσω της εξισώσεως Poisson ταυτόχρονα με την εξίσωση της ροής ηλεκτρικού ρεύματος στους δεσμούς του ιχνογραφήματος Το βήμα του χρόνου σε ορισμένα μοντέλα θεωρείται σταθερό καθ όλη τη διάρκεια της εξομοίωσης, ενώ σε άλλα υπολογίζεται σε κάθε επανάληψη του προγράμματος μέσω μιας κατάλληλης σχέσης. Η ακολουθία των βημάτων του χρόνου, η οποία υπολογίζεται μέσω κάποιας σχέσης καλείται στην διεθνή βιβλιογραφία φυσικός χρόνος(physical time) Μια ειδική περίπτωση αποτελεί το μοντέλο που αναπτύχθηκε στην ενότητα 2.5.5. Αν και η φύση των κανόνων που διέπουν τη διάδοση του ιχνογραφήματος είναι στοχαστική, παρουσιάζει ουσιώδεις διαφορές με τα υπόλοιπα μοντέλα δεδομένου ότι: Δεν υπάρχει σταθερό πλέγμα στο χώρο. Ο υπολογισμός του πεδίου μπροστά από το streamer δε γίνεται με την επίλυση της εξισώσεως Laplace ή Poisson, αλλά με τη χρήση της εξισώσεως (18). Η ακτίνα των streamer λαμβάνεται υπόψη. Παρά τις ουσιώδεις διαφορές του πάντως σε σχέση μα τα υπόλοιπα στοχαστικά μοντέλα θα μπορούσαμε να το κατατάξουμε στη κατηγορία των multi element models, δεδομένου ότι περισσότεροι του ενός δεσμοί μπορούν να εμφανιστούν κατά τη διάρκεια ενός βήματος χρόνου. 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ FRACTAL 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ FRACTAL O όρος fractals έχει κάνει την εμφάνιση του σε επιστημονικά εγχειρίδια πριν ακόμη εμφανιστούν οι υπολογιστές στη ζωή μας. Η πρώτη φορά ήταν όταν Άγγλοι δημιουργοί χαρτών καταπιάστηκαν με το πρόβλημα της μέτρησης του μήκους της ακτής της Μεγάλης Βρετανίας. Σε ένα χάρτη μεγάλης κλίμακας μετρήθηκε γύρω στα 5000 km. Όμως σε ένα χάρτη μικρότερης κλίμακας μετρήθηκε γύρω στα 8000 km. Έπειτα κοιτώντας σε χάρτες ακόμα πιο λεπτομερείς, που είχαν μόνο το νησί, υπολογίστηκε διπλάσια της αρχικής. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι ο παγκόσμιος χάρτης για παράδειγμα δεν έχει όλους τους όρμους και τα λιμάνια. Ένας χάρτης μόνο τις Βρετανίας έχει όλα μεν τα λιμάνια και τους όρμους αλλά δεν έχει όλους τους μικρούς κολπίσκους και τους πορθμούς. Όσο πιο κοντά κοιτούσαν, τόσο περισσότερες λεπτομέρειες ανακάλυπταν και τόσο μεγαλύτερη γινόταν η ακτογραμμή(σχήμα 3.1). Μια περιορισμένη επιφάνεια(το νησί της Μεγ. Βρετανίας) οριοθετούνταν από μια μη πεπερασμένη γραμμή. Προφανώς τότε δεν γνώριζαν ότι αυτό είναι κάτι που αποτελεί ζήτημα των fractals. 35

Σχήμα 3.1 Το δεύτερο περιστατικό σημειώθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Gaston Julia[7]. Αναρωτήθηκε πως αναπαρίσταται μια πολυωνυμική μιγαδική συνάρτηση της μορφής z 2 +c όπου c είναι μια μιγαδική σταθερά που αποτελείται από πραγματικό και φανταστικό μέρος. Η ιδέα που βρίσκεται πίσω από αυτή την εργασία είναι ότι παίρνεις τις x και y συντεταγμένες ενός σημείου και τις προσαρμόζεις σε μια μεταβλητή z της μορφής x+y*i όπου i είναι η τετραγωνική ρίζα του -1. Έπειτα τετραγωνίζουμε αυτόν τον αριθμό και προσθέτουμε τη σταθερά c. Στη συνέχεια προσαρμόζουμε τα ζευγάρια - αποτελέσματα των πραγματικών και φανταστικών αριθμών ξανά στη z, τρέχουμε την εξίσωση ξανά και συνεχίζουμε να το κάνουμε μέχρι το αποτέλεσμα να είναι μεγαλύτερο από κάποιο αριθμό. Ο αριθμός των φορών που χρειάζονται για να τρέξει η εξίσωση ώστε η συνάρτηση να βγεί έξω από τη τροχιά της προσδιορίζονται με ένα χρώμα και το συγκεκριμένο σημείο(x,y) παίρνει αυτό το χρώμα εκτός από τις συντεταγμένες που δε μπορούν να βγουν έξω από τη τροχιά οι οποίες παίρνουν μαύρο χρώμα. Αυτό που δε γνώριζε ο Julia είναι ότι τα δημιουργούμενα σχήματα αποτελούν fractal δομές. Το επόμενο βήμα έγινε από τον Benoit Mandelbrot[8], έναν υπάλληλο της IBM, ο οποίος έτρεξε τις αντίστοιχες συναρτήσεις σε 36

υπολογιστές της εταιρίας και ήταν ο πρώτος που κατάφερε να χρησιμοποιήσει την υπολογιστική ισχύ που διέθεταν οι υπολογιστές ώστε να κάνει τον απαιτούμενο αριθμό επαναλήψεων που ήταν απαραίτητος για να φαίνεται το fractal όπως πρέπει. Μάλιστα ο όρος fractal πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τον Mandelbrot και προέρχεται από το λατινικό fractus, ένα επίθετο που σημαίνει ακανόνιστος και κομματιαστός. Αν και αναφερθήκαμε επανειλημμένα στην έννοια του fractal δεν έχει δοθεί ακόμη ένας αυστηρός ορισμός. Fractal ονομάζουμε κάθε σύνολο σημείων που χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες ιδιότητες.[9] Εμφανίζει δομή μέσα σε δομή δηλαδή νέες λεπτομέρειες σε κάθε κλίμακα μεγέθυνσης. Επί μέρους τμήματα του είναι παρόμοια με άλλα τμήματα του συνόλου σε διαφορετική κλίμακα, παρουσιάζει δηλαδή αυτό που λέμε αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας. Η αυτοομοιότητα ενός fractal δεν είναι απαραίτητα ακριβής και δεν είναι γενικά αποτέλεσμα αλλαγής μιας μόνο κλίμακας. Ένα fractal μπορεί να περιγράφεται από μια άπειρη ακολουθία κλιμάκων, η δε αυτοομοιότητά του μπορεί ναι είναι και στατιστική ιδιότητα του συνόλου. Συχνά ένα fractal κατασκευάζεται ή δημιουργείται μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας, σε κάθε βήμα της οποίας εφαρμόζονται οι ίδιοι μαθηματικοί μετασχηματισμοί (αλλαγή κλίμακας, μετάθεση και στροφή). Πιο σύντομος ή και πιο αυστηρός ορισμός του τι είναι fractal δεν είναι εφικτός. Η λέξη fractal λέει ο K. Falconer[9] είναι σαν τη ζωή: 37

Μπορείς να περιγράψεις τις βασικές ιδιότητες και τα θεμελιώδη στοιχεία που την αποτελούν, αλλά δεν μπορείς να την κλείσεις σε έναν ορισμό. Για να γίνει κατανοητή η έννοια της αυτοομοιότητας υπό αλλαγή κλίμακας που αναφέρθηκε κατά τον ορισμό του fractal παρουσιάζουμε το παράδειγμα του περίφημου τριαδικού συνόλου του Cantor(σχήμα. 2) Ξεκινώντας με ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 1, πάνω στην ευθεία των αριθμών μεταξύ του 0 και του 1, αφαιρούμε στο πρώτο βήμα της διαδικασίας το μεσαίο τρίτο του, δηλαδή το διάστημα μεταξύ των αριθμών 1/3 και 2/3. Έπειτα αφαιρούμε το μεσαίο τρίτο των δυο τμημάτων που απομένουν, δηλαδή τα διαστήματα μεταξύ των αριθμών 1/9,2/9 και 7/9,8/9. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο αυτή τη κατασκευή και αφαιρώντας σε κάθε βήμα από όλα τα ευθύγραμμα τμήματα το μεσαίο τρίτο τους, είναι λογικό να αναρωτηθούμε τι απομένει από το αρχικό τμήμα μετά από άπειρα βήματα.to τελικό σύνολο θα αποτελείται από σημεία αφού δεν είναι δυνατόν να αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα γιατί από αυτά θα έπρεπε να αφαιρεθεί το μεσαίο τρίτο τους κάτι που θα σήμαινε ότι δεν έχουμε φτάσει ακόμα στο τέλος της διαδικασίας. Το σύνολο των σημείων που απομένει ονομάζεται τριαδικό σύνολο Cantor. Σχήμα. 3.2 Παρατηρούμε στο σχήμα 2 ότι καθένα από τα δυο ζεύγη τμημάτων που έχουν δημιουργηθεί στο βήμα 2 είναι πανομοιότυπο με τα δύο τμήματα του βήματος 1 αν τα σμικρύνει κανείς κατά 1/3. Το ίδιο ακριβώς 38

ισχύει και για όλα τα ζεύγη τμημάτων του βήματος 3, σε σχέση με τα αντίστοιχα ζεύγη του βήματος 2 από τα οποία προήλθαν. Το φαινόμενο αυτό που παρατηρείται μεταξύ όλων των διαδοχικών τμημάτων της κατασκευής του συνόλου Cantor, ονομάζεται αυτοομοιότητα υπό αλλαγή κλίμακας και η συγκεκριμένη κλίμακα που συνδέει εδώ τα διαδοχικά ζεύγη τμημάτων είναι το 1/3. Μέσω αυτού του παραδείγματος ανακαλύψαμε ότι η πολυπλοκότητα ενός σύνθετου αντικειμένου μπορεί να ανιχνευθεί μέσω μιας διαδικασίας σμικρύνσεων(ή μεγεθύνσεων) κατά μια συγκεκριμένη κλίμακα. Ένα από τα μοναδικά χαρακτηριστικά των fractals είναι ότι έχουν μη ακέραιες διαστάσεις, κάτι που είναι ασυμβίβαστο με τα όσα γνωρίζουμε από την κλασσική Ευκλείδια γεωμετρία. Όπως είναι γνωστό στη κλασσική γεωμετρία η διάσταση ενός αντικειμένου είναι πάντα ένας ακέραιος αριθμός( 0 για το σημείο,1 για μια καμπύλη,2 για το επίπεδο και 3 για τον χώρο).ωστόσο στη fractal γεωμετρία αυτό δεν ισχύει. Μπορεί να ειπωθεί ότι η fractal διάσταση ενός αντικειμένου ποσοτικοποιεί το επίπεδο της στατικής γεωμετρίας του.[10]. Οι μέθοδοι σύμφωνα με τις οποίες υπολογίζεται αυτή η διάσταση παρουσιάζονται παρακάτω. Είναι πολύ σημαντικό να τονιστεί ότι εκτός από τον κόσμο των μαθηματικών συναρτήσεων, fractal σχήματα υπάρχουν παντού! Τα σύννεφα, διάφορα πετρώματα, τα φύλλα των δέντρων, κυτταρικοί όγκοι ακόμα και το σύστημα των αιμοφόρων αγγείων στο σώμα μας αποτελούν fractal δομές. Παρακάτω, παρουσιάζονται πολύ γνωστά fractal σχήματα από τον επιστημονικό χώρο αλλά και από το πραγματικό κόσμο. 39

Σχήμα. 3.3: το τρυπητό του Sierpinski Σχήμα 3.4: Η νήσος του Mandelbrot Σχήμα 3.5: σύνολο Julia Σχήμα 3.6: το μοντέλο του Lorenz 40

Σχήμα 3.7: ηλεκτρική εκκένωση Σχήμα 3.8: Η γνωστή νιφάδα του koch (με τα 4 πρώτα στάδια πραγματοποίησής της) 41

Σχήμα 3.9: ένα βακτήριο Σχήμα 3.10: ένα φύλλο Σχήμα 3.11: το γνωστό μας μπρόκολο Σχήμα 3.12: κεραυνός Προτού αναφερθούμε στην εύρεση της fractal διάστασης είναι χρήσιμο να ξεκαθαρίσουμε κάποιες βασικές έννοιες που εμπλέκονται στην fractal γεωμετρία. 42

3.2 FRACTAL ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η θεωρία της fractal γεωμετρίας έχει προταθεί από τον Mandelbrot, για να περιγράψει γεωμετρικούς νόμους που διέπουν τη φύση και να ερμηνεύσει ορισμένα από τα μαθηματικά παράδοξα που ενέχουν αυτοί οι νόμοι. Η fractal γεωμετρία της φύσης είναι διατυπωμένη σε 3 βιβλία του Mandelbrot και σε μια εκτεταμένη συλλογή από δημοσιεύσεις. Πρωταρχικό αντικείμενο της fractal γεωμετρίας αποτελεί η περιγραφή εκείνων των φυσικών δομών που χαρακτηρίζονται από ακανόνιστη, τραχεία ή τεμαχισμένη μορφή. Οι ανωμαλίες των δομών αυτών ποικίλλουν ως προς το μέγεθος και χαρακτηρίζονται από μια ειδική σχέση μεταβολής της κλίμακας. Η fractal γεωμετρία χαρακτηρίζει την δομή ενός συνόλου σημείων του χώρου μέσω ενός αριθμού D που ονομάζεται fractal διάσταση. Η θεωρία της fractal γεωμετρίας αν και σχετικά πρόσφατη βρίσκει εφαρμογές σε ένα ευρύ φάσμα επιστημονικών περιοχών. Αυτό το φάσμα εκτείνεται από την οικονομία (κλασματικό μοντέλο κλιμάκωσης τιμών) και τη στατιστική (σφάλματα σε τηλεφωνικά μηνύματα), ως τη φυσική (κρυσταλλογραφία), τη βιολογία (κυρίως στον τομέα της μοριακής βιολογίας) και τη χαρτογραφία. Για την καλύτερη κατανόηση των θεμελιακών αρχών της θεωρίας της fractal γεωμετρίας αναπτύσσονται αρχικά ορισμένα στοιχεία από το χώρο της γεωμετρίας και ειδικότερα της θεωρίας διαστάσεων. 3.2.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η θεμελίωση της fractal γεωμετρίας όπως διατυπώνεται από τον Mandelbrot προϋποθέτει τον ορισμό της διάστασης Hausdorff- Besicovitch. Η διάσταση Hausdorff-Besicovitch σχετίζεται άμεσα με τη διαδικασία μέτρησης του μεγέθους ενός συνόλου σημείων του χώρου στο επίπεδο. Για παράδειγμα, το μέγεθος ενός συνόλου σημείων που 43