ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού. Προκειμένου να αναπαραστήσουμε προβλήματα αυτού του τύπου, τα γραφικά συστήματα πρέπει να δίνουν στο χρήστη τη δυνατότητα δημιουργίας γεωμετρικών οντοτήτων, όπως είναι οι γραμμές, κύκλοι κ.λ.π, καθώς και τη δυνατότητα μετασχηματισμού αυτών των οντοτήτων αλλάζοντας το μέγεθος, τη θέση ή τον προσανατολισμό τους μ ένα οργανωμένο και αποτελεσματικό τρόπο. Αυτοί οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί παίζουν έναν σπουδαίο ρόλο στη δημιουργία και στην προοπτική των μοντέλων και αποτελούν ένα σημαντικό εργαλείο για όλα τα σύγχρονα συστήματα CAD. Παρουσίαση της δισδιάστατης γεωμετρίας Στα γραφικά υπολογιστών το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων χαρακτηρίζονται από δισδιάστατες αριθμητικές περιγραφές, που σχετίζονται με ένα σύστημα συντεταγμένων, που τις περισσότερες φορές δεν είναι άλλο από τις γνωστές καρτεσιανές συντεταγμένες x,. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε στο μοντέλο ένα σύνολο από γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, προκειμένου να το μετατοπίσουμε, να αλλάξουμε το μέγεθος ή τον προσανατολισμό του. Το βασικό στοιχείο ενός δισδιάστατου μοντέλου είναι το σημείο. Μία γραμμή, για παράδειγμα, αναπαρίσταται από τα δύο σημεία και μία επιφάνεια παριστάνεται από ένα σύνολο σημείων. Όλες οι δισδιάστατες απεικονίσεις μπορούν γι αυτό το λόγο να οριστούν από ένα σύνολο x, συντεταγμένων ή σημείων, που θεωρούνται ως τα στοιχειώδη συστατικά ενός μοντέλου. Η εικόνα 4.1 δείχνει την αναπαράσταση ενός τριγώνου από τις x, συντεταγμένες των κορυφών του. Αυτό το τρίγωνο μπορεί επίσης να παρασταθεί από ένα πίνακα [3 2] ως εξής: [ P] TRIANGLE = x x x (4.1) όπου κάθε ζεύγος x, είναι ένα διάνυσμα θέσης σύμφωνα με το καθορισμένο σύστημα συντεταγμένων. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 1

2 Β(χ 2, ψ 2 ) Α(χ 1, ψ 1 ) Γ(χ 3, ψ 3 ) Εικόνα 4.1 Αναπαράσταση τριγώνου σε ένα x, σύστημα συντεταγμένων Η σημειογραφία του πίνακα είναι πολύ χρήσιμη για το γεωμετρικό προσδιορισμό και για το χειρισμό στις εφαρμογές γραφικών. Γι αυτό θα ήταν βολικό όλες οι γεωμετρικές αναπαραστάσεις να μπορούσαν να παρασταθούν σ αυτήν τη μορφή. Η χρήση όμως του συνηθισμένου καρτεσιανού συστήματος αποκλείει αυτήν την πιθανότητα, αφού, όπως θα φανεί και από τα επόμενα, μερικοί γεωμετρικοί μετασχηματισμοί προκύπτουν από πολλαπλασιασμό πινάκων ενώ άλλοι από πρόσθεση διανυσμάτων. Προκειμένου να αποφύγουμε προβλήματα αυτού του τύπου, στα γραφικά υπολογιστών αλλά και στα γεωμετρικά μοντέλα, συνήθως χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες αντί των συνηθισμένων καρτεσιανών συντεταγμένων. Η αναπαράσταση των σημείων σε ομογενείς συντεταγμένες παρέχει μια ενιαία προσέγγιση στην περιγραφή των γεωμετρικών μετασχηματισμών. Προκειμένου να κατανοήσουμε τις ομογενείς συντεταγμένες, ας φανταστούμε ένα σημείο P 1 (x 1, 1 ) του δισδιάστατου χώρου ορισμένο σ έναν τρισδιάστατο χώρο, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.2. Τα σημεία, που βρίσκονται πάνω στην ακτίνα και συνδέουν το P 1 με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων, μπορούν να περιγραφούν μέσω μιας παραμέτρου h, όπως φαίνεται παρακάτω: P (x,, z) = P (hx 1, h 1, h) (4.2) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 2

3 Κάθε σημείο του δισδιάστατου χώρου μπορεί να απεικονισθεί από ένα από τα σημεία που βρίσκονται κατά μήκος της ακτίνας στο τρισδιάστατο χώρο (και ο οποίος ονομάζεται ομογενής χώρος), εκτός του σημείου που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων (επομένως, πρέπει h ). P h (hχ 1, hψ 1,h) Z=3 Z=1 Z=2 P 1 (χ 1, ψ 1,1) P 2 (2χ 1, 2ψ 1,2) P 3 (3χ 1, 3ψ 1,3) Eικόνα 4.2 Τρισδιάστατη αναπαράσταση ομογενούς χώρου Οι κανονικές συντεταγμένες αντιστοιχούν στο σημείο, όπου η ακτίνα τέμνει το επίπεδο z = 1 (βασική παράσταση με z = 1). ιαφορετικά σημεία σε κανονικές συντεταγμένες αναπαριστώνται από διαφορετικές ακτίνες στον ομογενή χώρο. Γι αυτό το λόγο, στις ομογενείς συντεταγμένες ένα σημείο μπορεί να αναπαρασταθεί ως P(hx, h, h). Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το σημείο P(2, 4) σε κανονικές συντεταγμένες. Οι ακόλουθες ομογενείς απεικονίσεις αναγνωρίζουν όλες το ίδιο σημείο: Ρ(4, 8, 2), Ρ(6, 12, 3), Ρ(2, 4, 1). οσμένων των ομογενών συντεταγμένων ενός σημείου, όπως το P(m, n, h), οι κανονικές συντεταγμένες μπορούν να βρεθούν από την αναπαράσταση P(m/h, n/h, 1), οπότε: m x = h n = h (4.3) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 3

4 Όταν χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες, η αναπαράσταση των σημείων ενός αντικειμένου στο δισδιάστατο χώρο γίνεται με πίνακες [n 3], όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του αντικειμένου. Το τρίγωνο στην εικόνα 4.1 μπορεί να περιγραφεί ως εξής: x1 1 1 [Ρ] TRIANGLE = x (4.4) x3 3 1 Ένας γεωμετρικός μετασχηματισμός περιλαμβάνει τον υπολογισμό των νέων συντεταγμένων για τα σημεία που σχηματίζουν ένα αντικείμενο, από τις αρχικές τους θέσεις ως τις θέσεις μετασχηματισμού. Επανατοποθετεί κάθε σημείο σύμφωνα με καθορισμένους κανόνες. Μπορούμε, λοιπόν, με έναν απλό μετασχηματισμό των συντεταγμένων στα καθορισμένα σημεία να επιτύχουμε τη μετατόπιση, την περιστροφή και τη μεγέθυνση. Αυτοί οι μετασχηματισμοί δεν παραμορφώνουν το αντικείμενο κατά τη διάρκεια της κίνησης. Για κάθε ένα από τα αρχικά σημεία παίρνουμε ένα και μόνο ένα μετασχηματιζόμενο σημείο. Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να μελετήσουμε τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς: Ο πρώτος είναι ο μετασχηματισμός αντικειμένου, ο οποίος αλλάζει τις συντεταγμένες των σημείων που σχηματίζουν το αντικείμενο, χωρίς να αλλάξει το τρέχον σύστημα συντεταγμένων. O δεύτερος είναι ο μετασχηματισμός του συστήματος συντεταγμένων, ο οποίος δημιουργεί ένα νέο σύστημα συντεταγμένων και στη συνέχεια αναπαριστά όλα τα σημεία που σχηματίζουν το αντικείμενο στο καινούριο σύστημα. Και οι δύο προσεγγίσεις που αναφέραμε είναι ισοδύναμες: οι μετασχηματισμοί συντεταγμένων λειτουργούν αντίθετα από τους μετασχηματισμούς αντικειμένων. Συνήθως στα γραφικά υπολογιστών χρησιμοποιούμε μετασχηματισμούς αντικειμένων, τους οποίους θα περιγράψουμε παρακάτω. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 4

5 Αλλαγή κλίμακας Οι μετασχηματισμοί αλλαγής κλίμακας επιτρέπουν σ ένα αντικείμενο να μετατραπεί, είτε επεκτείνοντας είτε συρρικνώνοντας τις διαστάσεις του. Οι σταθερές παραμόρφωσης στις κατευθύνσεις x και προκαλούν αλλαγές στο μήκος. Αν είναι μεγαλύτερες της μονάδος, οι σταθερές παριστάνουν μεγέθυνση, ενώ, αν είναι μικρότερες από την μονάδα, τότε παριστάνουν σμίκρυνση. Επίσης, οι σταθερές αυτές είναι πάντα θετικές εφόσον οι αρνητικές τιμές προκαλούν ένα φαινόμενο που είναι γνωστό ως ανάκλαση. Sx= 2 S= 1 Sx= 1 S= 2 Εικόνα 4.3 Μετασχηματισμός αλλαγής κλίμακας Μαθηματικά οι μετασχηματισμοί παραμόρφωσης ενός σημείου P(x, ) σε P*(x*, *) μπορούν να γραφούν ως : x* = x Sx * = S (4.5) ή σε μορφή πίνακα: [x* * 1] = [x 1] S x S 1 (4.6) Η εικόνα 4.3 αποτελεί ένα παράδειγμα της επίδρασης αυτού του μετασχηματισμού σε ένα τετράγωνο. Αν οι παράγοντες αλλαγής κλίμακας που εφαρμόζονται στις κατευθύνσεις x, είναι διαφορετικοί, τότε το μέγεθος και το σχήμα, που αρχικά υπάρχει, Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 5

6 αλλάζει, όπως φαίνεται και στην εικόνα 4.3. Τα συστήματα CAD περιλαμβάνουν πάντα μια εντολή «αλλαγής κλίμακας», για να εκτελέσουν αυτήν την συνάρτηση. Η αλλαγή κλίμακας στη φόρμα που περιγράφηκε ονομάζεται αλλαγή κλίμακας ως προς την αρχή των αξόνων, εφόσον κάθε σημείο στο αντικείμενο αλλάζει μέγεθος, θέση ή και τα δύο ως προς την αρχή των αξόνων. Αν οι παράγοντες αλλαγής κλίμακας στις κατευθύνσεις x και είναι ισοδύναμοι, έχει επικρατήσει η παραμόρφωση να ονομάζεται ομοιόμορφη. Αυτό είναι αντίστοιχο με τη εντολή magnif που υπάρχει στα συστήματα CAD, και η οποία επιτρέπει στο χρήστη να μεγεθύνει μια καθορισμένη περιοχή στην οθόνη έκθεσης. Μετατόπιση Η ικανότητα να μετακινούμε μέρη ενός μοντέλου είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό οποιουδήποτε συστήματος γραφικών. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, την κίνηση ενός εμβόλου μέσα σ έναν κύλινδρο. Οι διάφορες θέσεις του πιστονιού και τα στοιχεία του μπορούν εύκολα και αποτελεσματικά να παρασταθούν ως μία μετατόπιση από την αρχική σε μία νέα θέση. Οι μετασχηματισμοί προκαλούν την μετατόπιση ενός αντικειμένου σε μια καθορισμένη κατεύθυνση και απόσταση, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.4. ( x,) T ( x*,* ) Tx Εικόνα 4.4 Μετασχηματισμός μετατόπισης Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 6

7 Μαθηματικά, αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής: x* = x + Tx (4.7) * = + T ή σε μορφή πίνακα: [ x* * 1] = [ x 1] 1 1 Tx T 1 (4.8) Είναι φανερό το πλεονέκτημα που μας προσφέρει η χρήση των ομογενών συντεταγμένων: οι μετασχηματισμοί σταθερού σώματος στις συνήθεις συντεταγμένες δεν μπορούν να παρασταθούν με τη μορφή πίνακα. Περιστροφή Η περιστροφή είναι ένας σημαντικός γεωμετρικός μετασχηματισμός στα γραφικά υπολογιστών. Χρησιμοποιείται συχνά, για να επιτρέψει στο θεατή να δει ένα αντικείμενο από διαφορετικές κατευθύνσεις ή να δημιουργήσει οντότητες τοποθετημένες σε μια κυκλική διάταξη.. Ο μετασχηματισμός περιστροφής είναι μια περιστροφή γύρω από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων με μια καθορισμένη γωνία θ. Ας θεωρήσουμε ένα σημείο P(x, ), όπως φαίνεται στην εικόνα 4.5, περιστρέφοντάς το στη θέση P*(x*, *) κατά γωνία θ. Εφόσον πρέπει να υιοθετήσουμε μια σύμβαση σχετικά με την κατεύθυνση της περιστροφής, υποθέτουμε ότι οι περιστροφές, που είναι αντίθετες από την φορά των δεικτών του ρολογιού, είναι θετικές ενώ οι δεξιόστροφες αρνητικές. Η μετασχηματισμένη θέση P* του σημείου Ρ σύμφωνα με την περιστροφή μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση απλών τριγωνομετρικών σχέσεων: x = r cos φ = r sin φ (4.9) όπου φ και r είναι οι παράμετροι που φαίνονται στην εικόνα 4.5 και : x* = r cos (φ + θ) = r cos φ cos θ - r sin φ sin θ Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 7

8 * = r sin (φ + θ) = r sin φ cos θ - r cos φ sin θ (4.1) Y P*(x*,*) - Γ Θ P(x,) Φ X Εικόνα 4.5 Περιστροφή ενός σημείου Αντικαθιστώντας τα x και για τις σταθερές τιμές: x* = x cos θ - sin θ * = x sin θ + cos θ ή σε μορφή πίνακα: [ x* * 1] [ x 1] cosθ sinθ = sinθ cosθ 1 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 8

9 Σύνθετοι ισδιάστατοι Μετασχηματισμοί Τα περισσότερα δισδιάστατα προβλήματα απαιτούν όχι έναν αλλά μια σειρά από μετασχηματισμούς, προκειμένου να επιτύχουν τον επιθυμητό στόχο. Αυτή η ακολουθία μετασχηματισμών μπορεί να περιλαμβάνει, για παράδειγμα, μια αλλαγή στην κλίμακα, που ακολουθείται από μια μετατόπιση ή μια περιστροφή. Οι πίνακες που παριστάνουν κάθε μετασχηματισμό ανεξάρτητα πολλαπλασιάζονται με καθορισμένη σειρά ή κατά αλληλουχία και κατόπιν εφαρμόζονται στον πίνακα σημείων, για να επιτύχουν τις νέες θέσεις για κάθε σημείο. Ο χρόνος υπολογισμού που χρειάζεται για τον πολλαπλασιασμό των πινάκων μειώνεται με αυτήν την προσέγγιση - χωρίς αλληλουχία κάθε πίνακας θα έπρεπε να πολλαπλασιαστεί χωριστά με τον πίνακα σημείων, όπως έγινε στο παράδειγμα 4.1. Ιδιαίτερα πρέπει να προσέξουμε τη σειρά που πολλαπλασιάζονται οι πίνακες, γιατί μερικές από τις λειτουργίες μπορεί να μην είναι μεταβατικές. Για παράδειγμα, οι σειριακές περιστροφές δεν είναι μεταβατικές: δηλαδή η σειρά των λειτουργιών επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα. Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν τις προσεγγίσεις για να πετύχουμε σύνθετους μετασχηματισμούς. Παράδειγμα 4.1 Περιστρέψτε το ορθογώνιο που σχηματίζεται από τα σημεία Ρ 1 (1, 1), Ρ 2 (2, 1), Ρ 3 (2, 3), Ρ 4 (1, 3) κατά 3 μοίρες αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού γύρω από το σημείο S (3, 2) Λύση Η λύση περιλαμβάνει την παρακάτω ακολουθία μετασχηματισμών: 1) Μετατόπιση του S στην αρχή, γεγονός που αυτόματα κινεί το ορθογώνιο σε μια νέα θέση. (Αυτό μπορεί να περιγραφεί και ως μια κίνηση από την αρχή στο σημείο S) 2) Περιστροφή 3 μοιρών, αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, CCW). 3) Μετατόπιση του S πίσω στην αρχική θέση, γεγονός που αυτόματα κινεί το ορθογώνιο σε μια νέα θέση. Η εικόνα 4.6 δείχνει την εφαρμογή αυτών των βημάτων. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 9

10 μετατόπιση περιστροφή μετατόπιση Εικόνα 4.6 Σύνθετος μετασχηματισμός Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η λύση χρησιμοποιώντας αλληλουχία. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 1

11 Στην περίπτωση μοντέλων που περιγράφουν ένα μεγάλο αριθμό σημείων, υπάρχει ένας περισσότερο αποτελεσματικός υπολογιστικά τρόπος, προκειμένου να επιτύχουμε σύνθετους μετασχηματισμούς. Ο τρόπος αυτός είναι να πολλαπλασιάσουμε πρώτα όλους τους πίνακες και μόνο τότε να εφαρμόσουμε τον πίνακα σημείων. Το παράδειγμα 4.1 με την μέθοδο αυτή λύνεται ως εξής: Λύση [T] = = και [P]* = [P] [T] = = Άλλοι μετασχηματισμοί Εκτός από τους βασικούς τύπους των δισδιάστατων γεωμετρικών μετασχηματισμών αλλαγή κλίμακας, μετατόπισης και περιστροφής, μπορούμε να μελετήσουμε και άλλους τύπους. Από αυτούς οι πιο γνωστοί είναι η ανάκλαση και η στρέβλωση. Ανάκλαση Η ιδέα της ανάκλασης μπορεί να γίνει κατανοητή, αν σκεφτούμε ομοιώματα σ έναν καθρέφτη. Οι μετασχηματισμοί ανάκλασης είναι χρήσιμοι στη κατασκευή συμμετρικών αντικειμένων. Για παράδειγμα, μπορούμε να δημιουργήσουμε μισό αντικείμενο και στη συνέχεια να το «καθρεφτίσουμε», ώστε να δημιουργήσουμε όλη την εικόνα. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 11

12 Ανάκλαση μπορεί να υπάρξει τόσο για ένα σημείο όσο και για μια γραμμή. Ο πίνακας ανάκλασης που έχει σχέση με τους άξονες x, ή με την αρχή των αξόνων μπορεί να γραφεί με την εξής μορφή: [ T ] RFL = α b 1 Οι ακόλουθες περιπτώσεις δείχνουν διαφορετικές πιθανές ανακλάσεις ενός τριγώνου: 1) Ως προς τον άξονα x: οι τιμές x διατηρούνται, ενώ οι τιμές αντιστρέφονται. [ T RFL ] χ 1 = 1 1 2) Ως προς τον άξονα : οι τιμές διατηρούνται, ενώ οι τιμές x αντιστρέφονται. [ T RFL ] 1 = 1 1 Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 12

13 3) Ως προς την αρχή των αξόνων: τόσο οι τιμές x όσο και οι τιμές αντιστρέφονται. [ T RFL ] o 1 = 1 1 Είναι επίσης πιθανές άλλες ανακλάσεις μέσω των γενικών γραμμών ή σημείων. Μια από αυτές τις περιπτώσεις είναι η ανάκλαση ενός τριγώνου ως προς τη γραμμή = x. Ανάκλαση ως προς τη γραμμή = x [T ] = RFL (Y=X) Cos45 O O -sin45 O O Sin45 Cos Cos45 O O sin45 O O -Sin45 Cos45 1 Περιστροφή ως προς άξονα χ Ανάκλαση ως προς τον άξονα χ Περιστροφή,επιστροφή στην αρχική θέση Y=x Y=x x x x x Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 13

14 Παράδειγμα 4.3 ημιουργήστε το είδωλο του ευθύγραμμου τμήματος που σχηματίζεται από τα σημεία Α(-1, -1) και Β(2, 1) ως προς τον άξονα x = -2. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα πριν και μετά το μετασχηματισμό. Λύση Τα βήματα για την επίλυση του προβλήματος είναι (βλ. Εικόνα 4.7): 1) Μετακίνηση του άξονα (x = -2), ώστε να συμπέσει με τον άξονα. 2) Ανάκλαση της γραμμής ΑΒ ως προς τον άξονα. 3) Μετακίνηση του άξονα ανάκλασης στην αρχική του θέση. Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τα βήματα αυτά: [T] = = Εφαρμόζοντας τον πίνακα αλληλουχίας στον πίνακα σημείου παράγονται τα καθρεπτιζόμενα σημεία: = Οι μετασχηματισμένες θέσεις είναι: Α* ( -3, -1) Β* ( -6, 1) Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 14

15 Y B*(-6,1) B(2,1) A*(-3,-1) A(-1,-1) X X=-2 Εικόνα 4.7 Σύνθετος μετασχηματισμός Στρέβλωση Οι μετασχηματισμοί στρέβλωσης αλλάζουν την τιμή μιας συντεταγμένης προσθέτοντας σ αυτήν μια γραμμική συνάρτηση της άλλης συντεταγμένης. Ο γενικός πίνακας στρέβλωσης είναι: [T SH ] = 1 b c 1 1 Στη συνέχεια, περιγράφεται η στρέβλωση ενός τετραγώνου για συγκεκριμένες περιπτώσεις. κάποιες Η x-διεύθυνσης στρέβλωση (επηρεάζει μόνο τη x συντεταγμένη) δίδεται από τον πίνακα: Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 15

16 [T SH ] x = 1 SH x 1 1 και η -διεύθυνσης στρέβλωση (επηρεάζει μόνο την συντεταγμένη) από τον πίνακα: [T SH ] = 1 SH 1 1 Y Y (X,, 1). ((X+SHX Y), Y, 1) X Y Y (X,, 1) X. ((X+SHX Y), Y, 1) X Περίληψη Οι δισδιάστατες αναπαραστάσεις μοντέλων, χρησιμοποιούνται συχνά στη λύση πολλών προβλημάτων, που εξετάζονται σ αυτό το κεφάλαιο. ιάφοροι μετασχηματισμοί, όπως περιστροφή, αλλαγή κλίμακας και ανάκλαση, έχουν οριστεί και συσχετιστεί με ειδικές εντολές που χρησιμοποιούνται σε καινούρια συστήματα CAD. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι οι δισδιάστατοι μετασχηματισμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν αποτελεσματικά σε πολλές εφαρμογές. Εργαστήριο Τεχνολογίας Πολυμέσων & Γραφικών Η/Υ, ΤΕΠ, ΠΜ 16