Αριθμητική Διερεύνηση της Υδροδυναμικής Συμπεριφοράς Πλωτού Κυματοθραύστη

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 9 Αριθμητική Διερεύνηση της Υδροδυναμικής Συμπεριφοράς Πλωτού Κυματοθραύστη Ε. Β. KΟΥΤΑΝΤΟΣ Θ. Β. ΚΑΡΑΜΠΑΣ Χ. Γ. ΚΟΥΤΙΤΑΣ Ερευνητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Σερρών Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη: Στη συγκεκριμένη εργασία εξετάζεται η υδροδυναμική συμπεριφορά ελαστικά αγκυρωμένων κυματοθραυστών. Το μαθηματικό ομοίωμα που συντάσσεται βασίζεται στις εξισώσεις Boussinesq ως προς την περιγραφή του κυματικού πεδίου. Στην περιοχή του πλωτού σώματος η εξίσωση ορμής τροποποιείται και η ροή προσομοιώνεται ως ροή υπό πίεση. Το πεδίο πιέσεων κάτω από το πλωτό σώμα προσδιορίζεται λύνοντας την εξίσωση Laplace για τη συνάρτηση δυναμικού Φ της ροής υπό πίεση με χρήση κατάλληλων οριακών συνθηκών. Παράλληλα, επιλύονται οι δυναμικές εξισώσεις κίνησης του πλωτού σώματος και εισάγονται οι διορθώσεις που προκύπτουν στην εξίσωση συνέχειας. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται ευνοϊκά με δημοσιευμένα πειραματικά αποτελέσματα, γεγονός που επιβεβαιώνει την αξιοπιστία του μαθηματικού ομοιώματος.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι πλωτοί κυματοθραύστες χρησιμοποιούνται για την προστασία ακτών και λιμενικών καταφυγίων. Η εφαρμογή τους, στις ειδικές τυποποιημένες βιομηχανικά παραγόμενες μορφές τους, αποτελεί διεθνή πρακτική που επεκτείνεται και στη χώρα μας, ιδίως εν όψει των κυματολογικών και περιβαλλοντικών συνθηκών που συχνά χαρακτηρίζουν τον παράκτιο χώρο της. Το σχετικά ήπιο κυματικό κλίμα ημιπροστατευμένων ακτών και η οικολογική ευαισθησία που τις χαρακτηρίζει τους καθιστούν την οικονομικότερη και περιβαλλοντικά φιλικότερη λύση. Ο προσπίπτων κυματισμός κατά ένα μέρος διαπερνά την πλωτή κατασκευή, ενώ κατά ένα άλλο σκεδάζεται ή και ανακλάται. Η ανάπτυξη στροβίλων στην περιοχή του πλωτού σώματος οδηγεί σε απορρόφηση σημαντικού μέρους της κυματικής ενέργειας. Παράλληλα, το σώμα τίθεται σε κίνηση και παράγει ακτινοβολούμενους κυματισμούς. Το σύστημα αγκύρωσης του πλωτού σώματος είναι εκείνο που καθορίζει και τους βαθμούς ελευθερίας κίνησης (οριζόντια, κατακόρυφη, περιστροφική). Υπάρχει σημαντικός αριθμός εργασιών με αντικείμενο την υδροδυναμική πλωτών κυματοθραυστών στα βαθιά νερά και σε νερά ενδιάμεσου βάθους. Οι αναλυτικές λύσεις, που έχουν αναπτυχθεί, αντιμετωπίζουν το γραμμικό υδροδυναμικό πρόβλημα, [], [3], []. Η σύζευξη της περίθλασης του κύματος και της κίνησης του σώματος προτάθηκε από Υποβλήθηκε: 4.. Έγινε δεκτή: 6..3 τους [], [4]. Στην εργασία [5] μελετήθηκε αναλυτικά η υπερπήδηση του πλωτού σώματος από τους κυματισμούς. Έχουν προταθεί διάφορα μαθηματικά ομοιώματα [], [3], [4], [8], [9] και [] για τον υπολογισμό των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, ενώ υπάρχει περιορισμένος αριθμός πειραματικών ερευνών, που ασχολήθηκαν με το συγκεκριμένο πρόβλημα : [6], [9] και []. Στην εργασία [4] εξετάστηκε η υδροδυναμική συμπεριφορά ενός πλωτού σώματος με βάση τις εξισώσεις ήπιας κλίσης γραμμικών κυματισμών. Στην παρούσα εργασία αναπτύσσεται ένα μαθηματικό ομοίωμα μετάδοσης μη γραμμικών διασπειρόμενων κυματισμών συζευγμένο με ένα διδδιάστατο υπολογιστικό μοντέλο για τον προσδιορισμό του πεδίου πίεσης κάτω από την πλωτή κατασκευή, προκειμένου να διερευνηθεί η αποτελεσματικότητα και η υδροδυναμική συμπεριφορά ελαστικά αγκυρωμένων κυματοθραυστών. Η πρωτοτυπία της εργασίας βρίσκεται στη χρήση του κυματικού μαθηματικού μοντέλου τύπου Boussinesq καθώς και στη σύζευξή του με το δισδιάστατο μοντέλο που βασίζεται στην επίλυση της εξίσωσης Laplace. Και στα δύο μαθηματικά ομοιώματα συμπεριλαμβάνονται και οι αλληλεπιδράσεις κίνησης σώματος και κυματικού πεδίου.. ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΣΥΜΒΟΛΩΝ B: πλάτος πλωτού κυματοθραύστη Β u : άνωση η οποία ασκείται στην πλωτή κατασκευή C r : συντελεστής ανάκλασης C t : συντελεστής διάδοσης C d : ο συντελεστής αντίστασης στην κατακόρυφη κίνηση της κατασκευής στο νερό C m : ο αδρανειακός συντελεστής μάζας d r : βύθισμα πλωτού κυματοθραύστη d x : η κλίση πυθμένα F: οριζόντια δύναμη που ασκείται στην κατασκευή H i : ύψος προσπίπτοντος κυματισμού H r : ύψος ανακλώμενου κυματισμού H t : ύψος διαδιδόμενου κυματισμού H h : οριζόντια μετακίνηση πλωτής κατασκευής

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No H v : κατακόρυφη μετακίνηση πλωτής κατασκευής h: βάθος θαλάσσης h e : ισοδύναμο βάθος I : η ακαμψία περιστροφής της κατασκευής K s : ισοδύναμη οριζόντια ελατηριακή σταθερά αγκύρωσης K s : ισοδύναμη κατακόρυφη ελατηριακή σταθερά αγκύρωσης K s3 : ισοδύναμη στροφική ελατηριακή σταθερά αγκύρωσης L: μήκος κύματος M Α : ροπή στρέψης που ασκείται από τις δυνάμεις πίεσης στην αριστερή πλευρά του σώματος M Β : ροπή στρέψης που ασκείται από τις δυνάμεις πίεσης στη δεξιά πλευρά του σώματος M u : στρεπτική ροπή που ασκείται από την άνωση P: πίεση στο δισδιάστατο υπολογιστικό μοντέλο q: ειδική παροχή q s : όρος που αναφέρεται στην αναδιάρθρωση της εξίσωσης συνέχειας λόγω της οριζόντιας κίνησης q s : ο όρος που αναφέρεται στην αναδιάρθρωση της εξίσωσης συνέχειας λόγω της κατακόρυφης κίνησης q s : ο όρος που αναφέρεται στην αναδιάρθρωση της εξίσωσης συνέχειας λόγω της στροφικής κίνησης του σώματος q u : είναι ο όρος της συνολικής ειδικής παροχής που αναφέρεται στη ροή υπό πίεση R st : δύναμη αντίστασης λόγω της κατακόρυφης κίνησης του σώματος στο νερό u: ταχύτητα στο δισδιάστατο υπολογιστικό μοντέλο U: μέση οριζόντια ταχύτητα x : οριζόντια μετακίνηση (sway) x : κατακόρυφη μετακίνηση (heave) x 3 : στροφή (roll) W: βάρος της κατασκευής ζ: διακύμανση ελεύθερης επιφάνειας ρ: πυκνότητα του θαλάσσιου ύδατος Φ: εξίσωση δυναμικού Σκοπός της συγκεκριμένης εργασίας είναι η διερεύνηση των υδροδυναμικών δυνάμεων (οριζόντιων και κατακόρυφων) που ασκούνται στους πλωτούς κυματοθραύστες, η δυναμική τους απόκριση και η διερεύνηση της αποτελεσματικότητάς τους σε ρηχά και ενδιάμεσου βάθους ύδατα. Οι βασικές υδροδυναμικές παραδοχές για τη διατύπωση του μαθηματικού ομοιώματος είναι : [Α] Το μοντέλο διάδοσης μη θραυόμενων κυματισμών βασίζεται στις εξισώσεις Boussinesq. Το μοντέλο εφαρμόζεται σε ρηχά και ενδιάμεσου βάθους νερά και δύναται να περιγράψει κυματισμούς περιόδου -7 sec. Ο πλωτός κυματοθραύστης με την κίνησή του παράγει ακτινοβολούμενους κυματισμούς με περιόδους της τάξης της ιδιοσυχνότητας της πλωτής κατασκευής (-3 sec). Έτσι, μονάχα ένα μοντέλο διασπειρομένων κυματισμών, όπως το προτεινόμενο, δύναται να περιγράψει κυματισμούς υψηλής και χαμηλής συχνότητας και να περιγράψει την αλληλεπίδραση μεταξύ τους. [Β] Το θαλάσσιο βάθος στην περιοχή του κυματοθραύστη είναι το ισοδύναμο θαλάσσιο βάθος που παράγει την ίδια ειδική παροχή κάτω από την επίδραση του εξεταζόμενου κυματισμού σε ρηχά και ενδιάμεσου βάθους νερά λόγω της αναδιαμόρφωσης της κατακόρυφης κατανομής της οριζόντιας ταχύτητας. Εξισώνοντας την οριζόντια ταχύτητα της θεωρίας των μακρών κυματισμών με εκείνη της γραμμικής θεωρίας κυματισμών, συνεπάγεται ότι : h e L tanh( h) (3.) L όπου h e είναι το ισοδύναμο βάθος σε ρηχά και ενδιάμεσου βάθους νερά και L είναι το μήκος κύματος. Παρόμοια τεχνική χρησιμοποιήθηκε και στις εργασίας [] και [3] για την παραμετροποίηση του ισοδύναμου βάθους στη μετάδοση κυματισμών πάνω από πορώδη κατασκευή. [Γ] Το ορθογωνικής διατομής ημιβυθισμένο σώμα περιοδικά κινητοποιεί τις μάζες του θαλάσσιου νερού ανάμεσα στη βυθισμένη οριζόντια πλευρά του και το θαλάσσιο πυθμένα. Η διαφορά πίεσης (σημεία Α, Β, σχ. (a)) ανάμεσα στα δύο άκρα της πλωτής κατασκευής είναι το γενεσιουργό αίτιο της περιοδικής ταλάντωσης, στην οποία υπόκειται το θαλάσσιο νερό κάτω από τον πλωτό κυματοθραύστη. Στην περίπτωση ελαστικά αγκυρωμένου κυματοθραύστη η διάδοση και η ανάκλαση του κύματος από την κατασκευή εξαρτώνται από την οριζόντια, κατακόρυφη και περιστροφική κίνηση του κυματοθραύστη που με τη σειρά τους εξαρτώνται από την ισοδύναμη ελατηριακή σταθερά κάθε κίνησης. 3. ΒΑΣΙΚΕΣ ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ 4. ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΟΜΟΙΩΜΑΤΟΣ 4.. Ροή με ελεύθερη επιφάνεια εκτός της περιοχής της πλωτής κατασκευής Σύμφωνα με τους συμβολισμούς του σχήματος το μαθηματικό ομοίωμα διαρθρώνεται από τις παρακάτω εξισώσεις [7], [8]: Εξίσωση συνέχειας : q (4.) t x Εξίσωση ορμής κατά x:

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No U U +U + g t x x 3 h U U x d h 3 x t x t 3 3 U h g 3 5 x t x hd 5 x U g xt x (4.) όπου ζ είναι η ανύψωση της ελεύθερης επιφάνειας, q η ειδική παροχή q=u(h+ζ), U η μέση οριζόντια ταχύτητα, h το βάθος θαλάσσης, d x η κλίση πυθμένα. 4.. Ροή υπό πίεση στην περιοχή του πλωτού κυματοθραύστη Στις άκρες, κατά την εγκάρσια έννοια, του πλωτού σώματος η εξίσωση συνέχειας τροποποιείται λόγω της κίνησης του κυματοθραύστη. Η ειδική παροχή q στα δύο άκρα της κατασκευής απαρτίζεται από τους παρακάτω επιμέρους όρους: q=q u +q s +q s +q s (4.3) όπου q u είναι ο όρος της συνολικής ειδικής παροχής που αναφέρεται στη ροή υπό πίεση, q s ο όρος που αναφέρεται στην αναδιάρθρωση της εξίσωσης συνέχειας λόγω της οριζόντιας κίνησης, q s ο όρος που αναφέρεται στην αναδιάρθρωση της εξίσωσης συνέχειας λόγω της κατακόρυφης κίνησης και q s ο όρος που αναφέρεται στην αναδιάρθρωση της εξίσωσης συνέχειας λόγω της περιστροφικής κίνησης του σώματος. Η ειδική παροχή η οποία δημιουργείται εκατέρωθεν του σώματος λόγω της μετατόπισης όγκου νερού κατά την οριζόντια, κατακόρυφη κίνηση και στροφή της κατασκευής περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις: qs dx z dt qs dx x dt qs dx3 x x dt (4.4) όπου x, x και x 3 είναι η οριζόντια μετακίνηση, η κατακόρυφη μετακίνηση και η στροφή του σώματος, αντίστοιχα. Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις ανάμεσα στα δύο άκρα της κατασκευής προκύπτουν οι σχέσεις (σχ. (a)): q q q s s s dx ( dr ) dt dx B dt dx3 B dt 8 (4.5) Στην περίπτωση σταθερού πλωτού κυματοθραύστη οι επιμέρους όροι, που παραμετροποιούν στα δύο άκρα της κατασκευής τις εκτοπιζόμενες μάζες νερού, μηδενίζονται στην εξίσωση συνέχειας. Η πίεση κάτω από την πλωτή κατασκευή προσδιορίζεται λύνοντας την εξίσωση Laplace: (4.6) για τη συνάρτηση δυναμικού Φ, σε ένα δισδιάστατο, χωρικά μεταβαλλόμενο υπολογιστικό πεδίο με χρονικά μεταβαλλόμενες οριακές συνθήκες. Στη συνέχεια διαχωρίζεται η πίεση σε κάθε υπολογιστικό κόμβο χρησιμοποιώντας την γενικευμένη εξίσωση Bernoulli. Η ολοκλήρωση της πίεσης κάτω από την πλωτή κατασκευή οδηγεί στην άνωση που ασκείται στον πλωτό κυματοθραύστη. Οι οριακές συνθήκες που χρησιμοποιούνται στο δισδιάστατο υπολογιστικό μοντέλο είναι οι ακόλουθες: α. Στο θαλάσσιο πυθμένα ισχύει η οριακή συνθήκη τύπου Newmann []: d dz (4.7) β. Στη δεξιά και την αριστερή πλευρά του δισδιάστατου υπολογιστικού πεδίου το δυναμικό είναι συνάρτηση του χρόνου και του βάθους αφού σε κάθε χρονικό βήμα ανανεώνεται η κατανομή του δυναμικού στο βάθος : Φ=f(z,t) (4.8) Σύμφωνα με τη γραμμική θεωρία κυματισμών η κατανομή της χρονικής μεταβολής του δυναμικού με το βάθος ακολουθεί τη σχέση: P u gz t (4.9) όπου P η πίεση, u η ταχύτητα και ρ η πυκνότητα του θαλάσσιου ύδατος. γ. Στην πάνω οριακή συνθήκη που συμπίπτει με τη βυθισμένη οριζόντια πλευρά του κυματοθραύστη, η κάθετη στο όριο παράγωγος της Φ είναι εν γένει συνάρτηση της οριζόντιας, της κάθετης, της στροφικής ταχύτητας του πλωτού κυματοθραύστη και της οριζόντιας μετακίνησης []: d dx dx dx 3 f (,,, x) (4.) dz dt dt dt

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Στην περίπτωση σταθερού πλωτού κυματοθραύστη ισχύει dφ/dz=, ενώ στην περίπτωση κυματοθραύστη με κατακόρυφη ελευθερία κίνησης dφ/dz=dx /dt. Το υπολογιστικό πεδίο αποτελείται από ίσα βήματα διακριτοποίησης κατά τη διεύθυνση x και από άνισα βήματα διακριτοποίησης κατά τη διεύθυνση z σε κάθε χρονικό βήμα. Το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, που προκύπτει λύνεται πεπλεγμένα σε κάθε χρονικό βήμα. Το χωρικό βήμα διακριτοποίησης dz είναι χρονικά και χωρικά μεταβαλλόμενο προκειμένου να προσαρμοστεί το δισδιάστατο υπολογιστικό πεδίο στο φυσικό πεδίο ροής που αλλάζει στο χρόνο λόγω της κίνησης της πλωτής κατασκευής. Το υπολογιστικό πεδίο και οι χρησιμοποιούμενες οριακές συνθήκες φαίνονται στο σχήμα. 4.3. Η τροποποιημένη εξίσωση ορμής στην περιοχή του πλωτού κυματοθραύστη Η τροποποιημένη εξίσωση ορμής στην περιοχή του πλωτού κυματοθραύστη βασίζεται στο γεγονός ότι η διαφορά πίεσης ανάμεσα στα δύο άκρα του πλωτού σώματος παρέχει την κινούσα δύναμη που συντηρεί την ταλαντούμενη ροή κάτω από τον πλωτό κυματοθραύστη: q u t P d B C m (4.) όπου d είναι η διαφορά ανάμεσα στο ισοδύναμο βάθος και το βύθισμα της κατασκευής d r (d=h e -d r ), δp η διαφορά πίεσης ανάμεσα στα δύο άκρα της πλωτής κατασκευής και C m ο συντελεστής αδρανειακής μάζας (Ο(C m )=.5-, σύμφωνα με πειραματικά δεδομένα [9], []). Ο συντελεστής C m είναι και η βασική παράμετρος βαθμονόμησης η οποία καθορίζει το ύψος του διαδιδόμενου κύματος. Πειραματικές εργασίες [9] έχουν αποδείξει ότι η παραδοχή ταλαντούμενης ροής, (σχ. 4.), είναι έγκυρη όταν ο λόγος, κυμαίνεται μεταξύ.-.4. Για τον υπολογισμό της πίεσης στα άκρα του κυματοθραύστη χρησιμοποιείται η κατανομή πίεσης κατά Boussinesq που ισχύει σε κάθε περίπτωση: h z h u p bouss g z xt όπου ρ είναι η πυκνότητα του νερού και: q U ( h ) 4.4. Δυναμική ανάλυση του πλωτού σώματος (4.) (4.3) Αρχικά το δυναμικό πρόβλημα καταστρώνεται ξεχωριστά για κάθε κίνηση του σώματος (οριζόντια, κατακόρυφη, περιστροφική). Στη συνέχεια με βάση την υπόθεση της γραμμικής αλληλεπίδρασης συντίθεται το συνολικό δυναμικό πρόβλημα της κατασκευής. Οριζόντια κίνηση (sway): Στην περίπτωση ελατηριακής αγκύρωσης, η οριζόντια κίνηση του κυματοθραύστη περιγράφεται από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στη διεύθυνση x : d x s m F K x (4.4) d t όπου F είναι η συνολική υδροδυναμική δύναμη, λόγω της πίεσης και της ροής, στις δύο πλευρές του κυματοθραύστη, K s η ισοδύναμη ελατηριακή σταθερά και m η μάζα του κυματοθραύστη (m=b d r ρ). Υποθέτοντας υδροστατική κατανομή της πίεσης στις παράπλευρες επιφάνειες της κατασκευής καταλήγουμε στη ακόλουθη σχέση για τη συνολική οριζόντια υδροδυναμική δύναμη: g dr dx dx dr dt dt A F (4.5) g dr dx dx dr dt dt B όπου οι δείκτες Α, Β αναφέρονται στις αντίστοιχες πλευρές. Κατακόρυφη κίνηση (heave): Η κατακόρυφη μετακίνηση του κυματοθραύστη περιγράφεται από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στην διεύθυνση z : d x u s m B Rst K x W (4.6) d t όπου B u είναι η άνωση που ασκείται στην πλωτή κατασκευή, η οποία είναι γνωστή από το δισδιάστατο μοντέλο, K s η ισοδύναμη κατακόρυφη ελατηριακή σταθερά, W το βάρος της κατασκευής, R st η δύναμη αντίστασης λόγω της κατακόρυφης κίνησης του σώματος στο νερό. Η τελευταία δίνεται από τη σχέση: dx dx R st Cd S / (4.7) dt dt όπου S είναι η βυθισμένη επιφάνεια και C d ένας συντελεστής με O(C d )=. Περιστροφική κίνηση (roll): Η περιστροφική κίνηση του κυματοθραύστη περιγράφεται από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα στο επίπεδο x-z : d x I d t 3 M M M K x (4.8) A B U όπου I είναι η ακαμψία περιστροφής της κατασκευής, M Α η ροπή στρέψης που ασκείται από τις δυνάμεις πίεσης στην αριστερή πλευρά του σώματος, M Β η ροπή στρέψης που ασκείται από τις δυνάμεις πίεσης στη δεξιά πλευρά του σώματος, M u η στρεπτική ροπή που ασκείται από την άνωση s3 3

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 3 και K s3 η ισοδύναμη περιστροφική ελατηριακή σταθερά του συστήματος αγκύρωσης. 6. Σύγκριση με τα πειραματικά αποτελέσματα του Tolba [] 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Οι διαφορικές εξισώσεις (4.), (4.) περιγράφουν το πεδίο κυματισμών εκτός της περιοχής του πλωτού κυματοθραύστη και συνδυάζονται με την εξίσωση (4.) για τον υπολογισμό της ροής κάτω από τον πλωτό κυματοθραύστη. Στη συνέχεια επιλύεται η εξίσωση Laplace (διδιάστατο μοντέλο) για να υπολογιστεί το πεδίο δυναμικού. Η εξίσωση (4.9) τροφοδοτείται με τις κατανομές της πίεσης του κυματικού μοντέλου στα άκρα του σώματος και δίνει τις τιμές της συνάρτησης Φ στα όρια (εξίσωση 4.8). Η γενικευμένη εξίσωση Bernoulli (εξ. 4.9) χρησιμοποιείται ξανά για να διαχωριστεί ο όρος της πίεσης σε κάθε υπολογιστικό κόμβο. Με δεδομένη την κατανομή της πίεσης υπολογίζεται η άνωση B u και η στρεπτική ροπή που ασκείται από την άνωση M u. Στην συνέχεια επιλύονται οι εξισώσεις κίνησης (4.4), (4.6) και (4.8) που τροποποιούν την εξίσωση συνέχειας στην περιοχή του πλωτού κυματοθραύστη, (εξισώσεις 4.3 και 4.5) και αναδιατάσσεται το δισδιάστατο υπολογιστικό πεδίο σύμφωνα με τις κινήσεις του σώματος. Το κυματικό μοντέλο χρησιμοποιεί τέταρτης τάξης μέθοδο πρόβλεψης-διόρθωσης (predictor-corrector) πεπερασμένων διαφορών στο χρόνο, και διακριτοποιεί τις πρώτης τάξης χωρικές παραγώγους με ακρίβεια τέταρτης τάξης σύμφωνα με το αριθμητικό σχήμα που προτείνεται από τους Wei και Kirby [6]. 6. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Τα αποτελέσματα του μαθηματικού ομοιώματος συγκρίνονται με δημοσιευμένα πειραματικά αποτελέσματα που αφορούν την περιοχή των ρηχών και ενδιάμεσου βάθους υδάτων [], []. Οι συγκρίσεις αυτές έγιναν και στην εργασία [4], η οποία αντιμετωπίζει πιο απλά το πρόβλημα χωρίς τη χρήση του μοντέλου μετάδοσης μη γραμμικών κυματισμών και του δισδιάστατου μοντέλου προσομοίωσης του πεδίου δυναμικού και της κατανομής πίεσης κάτω από το σώμα. Παρά τις απλοποιήσεις αυτές και όσον αφορά την αναπαραγωγή των παραπάνω πειραμάτων, τα αποτελέσματα των δύο μοντέλων, του παρόντος και του μοντέλου της εργασίας [4], για τους συντελεστές διάδοσης και ανάκλασης C t και C r καθώς και τις οριζόντιες και κατακόρυφες κινήσεις του σώματος είναι σχεδόν ίδια. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι και στις δύο περιπτώσεις γίνεται μακροσκοπική μελέτη του φαινομένου με εξαίρεση την περιοχή της κατασκευής στο παρόν μοντέλο. Ο Tolba εξέτασε την συμπεριφορά σταθερών και με ελευθερία κατακόρυφης κίνησης πλωτών σωμάτων και υπολόγισε τους συντελεστές διάδοσης (λόγος διαδιδόμενου κύματος προς προσπίπτον) και ανάκλασης (λόγος ανακλώμενου κύματος προς προσπίπτον). Το βάθος στο κανάλι των πειραμάτων του ήταν.3 m ενώ ο κυματοθραύστης ήταν ορθογωνικής διατομής πλάτους.5 m. Οι συντελεστές διάδοσης και ανάκλασης της παραπάνω πειραματικής εργασίας, για σταθερό λόγο B/d r, βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τους αντίστοιχους συντελεστές του μαθηματικού ομοιώματος για σταθερή τιμή του συντελεστή C m =.5 (Σχήματα και 3). 6. Σύγκριση με τα πειραματικά αποτελέσματα των Fugazza & Natale (988) Οι Fugazza & Natale (988) εξέτασαν τη δυναμική συμπεριφορά ελαστικά αγκυρωμένων κυματοθραυστών. Στα συγκεκριμένα πειράματα η προσομοίωση του συστήματος αγκύρωσης έγινε συνδέοντας το μοντέλο με ένα ελαστικό σύστημα στήριξης αποτελούμενο από τέσσερις μεταλλικές ράβδους. Η μεταβολή της ισοδύναμης ελατηριακής σταθεράς του συστήματος αγκύρωσης προσομοιώθηκε μεταβάλλοντας το πάχος των μεταλλικών ράβδων. Το εύρος της οριζόντιας ισοδύναμης ελατηριακής σταθεράς, K s, ήταν 65-5 N/m. Το σύστημα αγκύρωσης επέτρεπε στο μοντέλο να κινείται ελεύθερα κατά την κατακόρυφο. Οι συντελεστές διάδοσης των συγκεκριμένων πειραμάτων, για σταθερό λόγο Β/d r, και την ίδια οριζόντια και κατακόρυφη ισοδύναμη ελατηριακή σταθερά βρίσκονται σε άριστη συμφωνία με τα αντίστοιχα αποτελέσματα του μαθηματικού ομοιώματος για σταθερή τιμή του συντελεστή αδρανειακής μάζας C m =.5 (σχήμα 4). Στο σχήμα 4(Α) παρατηρείται ένα γόνατο στην αποτελεσματικότητα του κυματοθραύστη, το οποίο οφείλεται στην δυναμική συμπεριφορά της κατασκευής. Δυναμικά φαινόμενα είναι δυνατόν να βελτιώσουν ή και να χειροτερέψουν την αποτελεσματικότητα της πλωτής κατασκευής. Ο πρακτικός έλεγχος τέτοιων δυναμικών φαινομένων είναι δυνατόν να επιτευχθεί είτε με κατάλληλη ρύθμιση (προένταση) της ελατηριακής σταθεράς της αγκύρωσης είτε με προεπιλογή του βάρους της κατασκευής αλλάζοντας έτσι την ιδιοσυχνότητα του κυματοθραύστη υπό την επίδραση κυματισμών συγκεκριμένης περιόδου. H σύγκριση ανάμεσα στην οριζόντια κίνηση που καταγράφηκε στο πείραμα και σε εκείνη που προβλέπει το μαθηματικό μοντέλο παρουσιάζεται, για σταθερή ισοδύναμη οριζόντια ελατηριακή σταθερά (K s =65 N/m ), στο σχήμα 5 (Α). Στο σχήμα 5 (Β) παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της αντίστοιχης σύγκρισης για την κατακόρυφη κίνηση. Στα συγκεκριμένα

4 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No διαγράμματα H i είναι το ύψος του προσπίπτοντος κυματισμού, H h η οριζόντια μετακίνηση, H v η κατακόρυφη μετακίνηση. Οι τιμές των παραμέτρων, και των σταθερών που χρησιμοποιήθηκαν, έχουν ως εξής: K s =65 N/m, K s = N/m, d r /h=.5 και B/h=.5. Τα αριθμητικά αποτελέσματα είναι και στις δύο περιπτώσεις σε καλή συμφωνία με τα αντίστοιχα πειραματικά. Z(m).75.5.5.75.5.5 -.5 -.5 -.75 - -.5 -.5 -.75 - Hi P=f(z,t) Hr d dr Ks3 Ks qu Ks h P=f(z,t) Ht -5-4.5-4 -3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 X(m) (A) B z (m) - - -3-4 -5 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στη συγκεκριμένη εργασία παρουσιάζεται ένα μαθηματικό ομοίωμα πεπερασμένων διαφορών για τη διερεύνηση της υδροδυναμικής συμπεριφοράς και της αποτελεσματικότητας ελαστικά αγκυρωμένων πλωτών κυματοθραυστών. Αποκα- d(t) P=f(z,t) d/dz=f(dx/dt,dx /dt,dx /dt,x) I II III (z,t) d/dz= (z,t) = P=f(z,t) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 x (m) (B) Σχήμα : (Α): Βασική γεωμετρία και σημειολογία. (Β): Υπολογιστικό πεδίο και οριακές συνθήκες στην περιοχή του πλωτού κυματοθραύστη. Figure : (Α): Basic notations. (Β): Computational domain and boundary conditions in the region of the floating breakwaters region. Cransmission r Experiments(Tolba 998) Creflection C t Experiments(Tolba 998).9.9.8.8.7.7.6.6.5 Cr.5.4.4.3.3.....5..5..5.3 (A) dr/h=/5, B/h=/ restrained model.5..5..5.3 (B) dr/h=/5, B/h=/ restrained model Σχήμα : Σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τα πειραματικά αποτελέσματα του Tolba (998) για τους συντελεστές C t και C r ( σταθερός κυματοθραύστης ). Figure : Comparisons of the numerical results of the present model to the experimental results of Tolba (998) for C t and C r (restrained model).

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 5 C t C r ransmission Experiments(Tolba 998) Creflection Experiments(Tolba 998).9.9.8.8.7.7.6.6.5 Cr.5.4.4.3.3.....5..5..5.3 (A) dr/h=/6, B/h=/ heave motion model.5..5..5.3 (B) dr/h=/6, B/h=/ heave motion model Σχήμα 3: Σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τα πειραματικά αποτελέσματα του Tolba (998) για τους συντελεστές C t και C r (κυματοθραύστης με ελευθερία κατακόρυφης κίνησης). Figure 3: Comparisons of the numerical results of the present model to the experimental results of Tolba (998) for C t and C r ( heave motion model)..8 Experiments(Fugazza & Natale 988) Experiments(Fugazza & Natale 988).7.9.8.6.7.5.6.4.5.3.4.3.....8..6..4.8.3 (A) sway motion model (ks=65 kg/m ).8..6..4.8 (B) sway motion model (ks=5 kg/m ) Σχήματα 4: Σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τα πειραματικά αποτελέσματα των Fugazza & Natale (988) για τον συντελεστή C τ (κυματοθραύστης οριζόντια ελαστικά αγκυρωμένος, d r /h=.5, B/h=.5). Figure 4: Comparisons of the numerical results of the present model to the experimental results of Fugazza & Natale (988) for C t ( sway motion model, d r /h=.5, B/h=.5).

6 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Horizontal motion (sway) Fugazza & Natale (988).5 Vertical motion (heave) Fugazza & Natale (988).9.4.3.8..7..6.9 Hh/Hi.5 Hv/Hi.8.7.4.6.3.5.4..3....5..5..5.3.5..5..5.3 Σχήμα 5: Σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων με τα πειραματικά αποτελέσματα του Fugazza and Natale (988) για την οριζόντια και κατακόρυφη μετακίνηση της κατασκευής (κυματοθραύστης οριζόντια ελαστικά αγκυρωμένος dr/h=.5, B/h=.5). Figure 5: Comparisons of the numerical results of the present model to the experimental results of Fugazza and Natale (988) (sway and heave, d r /h=.5, B/h=.5). λύπτεται η ύπαρξη δυναμικών φαινομένων συντονισμού λόγω της αλληλεπίδρασης κύματος-ελαστικά αγκυρωμένης κατασκευής. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με δημοσιευμένα πειραματικά δεδομένα. Τα αποτελέσματα της σύγκρισης επιβεβαιώνουν την εγκυρότητα του μαθηματικού ομοιώματος. Το αριθμητικό μοντέλο μπορεί να περιγράψει τη διαταραχή που εισάγεται στο κυματικό πεδίο λόγω της παρουσίας του πλωτού σώματος και να προβλέψει την αποτελεσματικότητά του ως προς την απόσβεση των εισερχόμενων κυματισμών. Παράλληλα προβλέπεται ικανοποιητικά και η δυναμική συμπεριφορά του σώματος. Με τον τρόπο αυτό μπορούν να προκύψουν όλα τα στοιχεία που απαιτούνται για την εφαρμογή των πλωτών κατασκευών στα παράκτια τεχνικά έργα (συντελεστές διάδοσης και ανάκλασης, φορτίσεις, δυνάμεις αγκύρωσης κλπ). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. Drimer N., Agnon Y., Stiassnie M. (99). A simplified analytical model for a floating breakwater in water of finite depth. Applied Ocean Research, 4, 33-4. Fugazza M. and Natale L. (988). Energy losses and floating breakwater response. Journal of Waterway Port Coastal and Ocean Engineering, vol. 4, pp 9-5 3. Hwang C., Tang F.L.W. (986). Studies on rectangular surface barrier against short waves Proc. th Int. Conf. on Coastal Engineering, ASCE, pp. 95 98 4. Isaacson M. (98). Non-linear effects on fixed and floating bodies Journal of Fluid Mechanics, vol., pp.67-8. 5. Isaacson M. (98). Fixed and floating axisymetric structures in waves Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Division, vol.8, No.WW, pp.8-99. 6. Isaacson M., Bhat S. (994). Wave force on an horizontal plate International Symposium : waves - physical and numerical modelling, pp. 84 9 7. Karambas Th. V. and Koutitas C. () Surf and swash zone morphology evolution induced by nonlinear waves, Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, vol. 8, no 3, pp.-3. 8. Madsen, P.A, Murray R. and Sorensen O. R. (99). A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics. Coastal Engineering, 5: 37-388. 9. Sutko A.A., Haden E.L., (974). The Effect of Surge, Heave and Pitch on the Performance of a Floating Breakwater, Proceedings of Floating Breakwater Conference, Rhode Island, pp 4-53.. Tolba E.R.A.S., 998. Behaviour of floating breakwaters under wave action. Ph.D. thesis, Suez Canal University. Williams A. N. and McDougal W. G. (99). Flexible floating breakwater, Journal of the Waterway Port Coastal and Ocean Engineering, vol.7, No.5, pp.49-45.. Niwinski C.T. and Isaacson M. (98). Non linear wave forces on floating breakwaters. Proc. 8th Int. Conf. on Coastal Engineering, ASCE, pp 9-5 3. Nossen J., Grue J. and Palm E. (99). Wave forces on threedimensional floating bodies with small forward speed. Journal of Fluid Mechanics, vol.7, pp.53-6. 4. Sannasiraj S.A., Sundar V., Sundaravadivelu R. (998). Mooring forces and motions responses of pontoon-type floating breakwaters. Ocean Engng, vol. 5, No., pp 7-48. 5. Takayama T., Moroisi K. (984). Motion and mooring force of an axisymmetric floating bodies, Coastal Engineering in Japan, vol. 7, pp. 65-77 6. Wei G. and Kirby T. (995). Time-dependent numerical code for extended Boussinesq equations. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, vol., no 5, pp. 5-6.

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 7 7. Williams, A. N., Lee, H. S. and Huang, Z. (). Floating Pontoon Breakwater, Ocean Engineering, vol. 7, pp. -4. 8. Yamamoto T., Yoshiba A. and Ijima T. (98). Dynamics of elasticity moored floating objects Dynamic analysis of offshore structures, CML publications Southampton,vol,pp 6-3 9. Yamamoto T. (98). Moored floating breakwater response to regular and irregular waves. Dynamic analysis of offshore structures, CML publications Southampton,vol,pp 4-3. Yoon G. S., Mastubara Y, Noda H. (994). Simplified calculation method for the mooring force of marine unit, International Symposium: waves-physical and numerical modeling, pp. 77-86.. Losada I.J., M.D. Petterson and M.A. Losada (997) Harmonic generation past a submerged porous step. Coastal Engineering, vol. 3, pp. 8-34.. Wu J.S., Hsieh M. () An experimental method for determining the frequency-dependent added mass and added mass moment of inertia for a floating body in heave and pitch motions Ocean Engineering, vol. 8, pp. 47-438. 3. Mendez F.J., I.J. Losada and M.A. Losada () Wave induced mean magnitudes in permeable submerged breakwaters, Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering, vol. 7, pp. 7-5. 4. Κουτάντος Ε.Β., Θ.Β. Καραμπάς, Χ.Γ. Κουτίτας και Π.Ε. Πρίνος () Υδροδυναμική συμπεριφορά πλωτών κυματοθραυστών σε ρηχά και ενδιαμέσου βάθους ύδατα Υδροτεχνικά, τ., 76-86. Ε. Β. Κουτάντος Ερευνητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 546 Θεσσαλονίκη Θ. Β. Καραμπάς Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Σερρών, Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων, Τέρμα Μαγνησίας, 6 4, Σέρρες (e-mail: karambas@civil.auth.gr) Χρ. Κουτίτας Καθηγητής Α.Π.Θ., Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 546 Θεσσαλονίκη

8 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No Extended summary A Numerical Study of the Hydrodynamic Behavior of Floating Breakwaters E. V. KOUTANDOS Th. V. KARAMBAS C. G. KOUTITAS Researcher Professor TEI of Serres Professor A.U.TH. Summary: In this study the hydrodynamic response of elastically moored floating breakwaters is investigated. The mathematical model is based on the Boussinesq equations. In the region of the floating breakwater the flow is treated separately as a confined, oscillatory flow. The pressure field beneath the floating body is obtained by solving implicitly the Laplace equation for the flow potential and dissociating the pressure term using the generalized Bernoulli equation. The equations of the floating body dynamics are also solved. The consequent adjustments of the continuity equation due to the motion of the structure are incorporated in the numerical model. The numerical results compared satisfactorily to experimental findings.. INTRODUCTION Floating breakwaters are widely used for coastal protection and restoration. The incident wave is partially transmitted, partially reflected and partially dissipated. As the elastically moored floating structure is set in motion by the incident wave field it generates scattered waves. In the present study, a finite difference mathematical model is formulated to be applied for the study of floating breakwater efficiency and hydrodynamic behavior. The mathematical model is a vertically integrated wave model coupled with a DV elliptic solver for the determination of flow potential and water pressure beneath the floating body.. BASIC HYDRODYNAMIC ASSUMPTIONS The final goal is to study the hydrodynamic performance of a floating breakwater in shallow and intermediate waters. The basic hydrodynamic assumptions in formulating the mathematical model are: (A) The wave model is based on the Boussinesq equations. Due to the waves radiated away from the floating structure a dispersive wave model is required in order to describe waves Submitted: Dec. 4. Accepted: Nov. 6. 3 of high and low frequency and their interaction. (B) The water depth in the inner region of the problem is assumed to be the efficient water depth in shallow and intermediate waters as defined in eq. (3.). A similar technique has been used in [], [3] in order to determine an efficient water depth in the case of wave propagation over a porous structure. (C) The semi-immersed body has an orthogonal section that allows periodic oscillation of water masses between its keel and the sea bed, regulated by the pressure difference between the upstream and downstream side. In the case of an elastically moored breakwater the downstream wave generation and the upstream wave reflection are dominated by the under-flowing masses, the sway, heave and roll motions of the breakwater, which in turn depend on the equivalent elastic spring coefficients for each motion imposed by the anchoring system. 3. FORMULATION OF THE MATHEMATICAL MODEL 3.. Free surface flow in the far field of the floating structure. According to the notation of fig. (A) the mathematical model is formulated by means of equations (4.) and (4.). 3.. Confined flow in the floating breakwaters region On the breakwater sides the continuity equation is modified by the breakwater motion and the specific discharge at the two end-sections of the structure is defined according to (4.3) and (4.5). The pressure beneath the floating breakwater is derived by solving the Laplace equation, (4.6), in terms of the flow potential and then dissociating the pressure term using the generalized Bernoulli equation (4.9).

Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 4, Tech. Chron. Sci. J. TCG, I, No 9 3.3. The modified momentum equation of the inner problem The modified momentum equation in the floating breakwater region is based on the fact that the pressure difference between the two end-sections of the structure is causing the oscillatory flow induced beneath the floating body (equation 4.). 3.4. Dynamic analysis of the floating body The dynamic problem is formulated separately for each component of motion (sway, heave, roll) through equations (4.4), (4.6), (4.8). The dynamic problem of the floating breakwater is treated assuming a linear relationship between the components of motion. 4. NUMERICAL SOLUTION Equations (4.) and (4.) describe the wave motion in the far field of the floating breakwater. They are combined with equation (4.) in order to provide equations (4.8) and (4.9) with the necessary information, which will provide the pressure field beneath the structure by solving the Laplace equation, (4.6), and by dissociating the pressure term using the generalized Bernoulli equation, (4.9). The equations of motion (4.4), (4.6) and (4.8) are solved in order to adjust the continuity equation in the breakwater region, by means of equations (4.3) and (4.5). The DV computational field is thus adjusted according to the motion of the structure. 5. COMPARISONS WITH EXPERIMENTAL RESULTS The numerical results compare satisfactorily to experimental results from Tolba [] and Fugazza & Natale []. Comparison relates to the hydrodynamic response and performance of floating breakwaters in shallow and intermediate waters. 6. CONCLUSIONS The numerical model that was formulated and tested in this study is able to describe adequately the performance of floating breakwaters (figures, 3, 4) and their hydrodynamic response (figure 5) in shallow and intermediate waters under irregular wave forcing. Ε. V. Κoutandos Researcher, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.TH., 546 Thessaloniki Th.V. Κarambas Professor TEI of Serres, Department of Civil Engineering, Terma Magnesias, 6 4, Serres C. G. Koutitas Professor, Division of Hydraulics and Environmental Engineering, Department of Civil Engineering, Α.U.TH., 546 Thessaloniki