Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

2 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια

3 Περιεχόμενα Επίλυση ΠΑΣ σε ΣΔΕ ν-ιοστής τάξης με Σταθερούς Συντελεστές Σύνοψη Μεθοδολογίας Ομογενής Λύση Χαρακτηριστικό πολυώνυμο, ιδιοτιμές Ειδική Λύση Μέθοδος προσδιορισμού συντελεστών Απόκριση σε μοντέλα διεγέρσεων (κρουστική, βηματική, αρμονική διέγερση) Συνολική Λύση Απόκριση σε Μοντέλα Διεγέρσεων Απόκριση σε Κρουστική Διέγερση Ολοκλήρωμα Συνέλιξης

4 Το μαθηματικό πρόβλημα που θα λυθεί Πρόβλημα Αρχικών Συνθηκών σε ΣΔΕ ν-ιοστής τάξης με Σταθερούς Συντελεστές

5 Γραμμικές ΣΔΕ με Σταθερούς Συντελεστές Μια γραμμική ΣΔΕ ν-ιοστής τάξης με σταθερούς συντελεστές έχει την μορφή a ν dν y t dt ν + a ν 1 dν 1 y t dt ν a 1 dy t dt + a 0 y(t) = f(t) Οι συντελεστές a i είναι σταθεροί και δεν εξαρτώνται από τον χρόνο t, την μεταβλητή y(t) ή κάποια παράγωγο της dk y t dt k Περιγράφουν ένα LTI (γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα) σύστημα εισόδου (διέγερσης) f(t) και εξόδου (μεταβλητή ενδιαφέροντος) y(t)

6 ΠΑΣ σε Γραμμικές ΣΔΕ με Σταθερούς Συντελεστές Η συγκεκριμένη ενότητα δείχνει την μεθοδολογία για την αναλυτική λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών (ΠΑΣ) για μια ΣΔΕ ν-ιοστής τάξης Υπολογίστε την απόκριση y(t) σε μια διέγερση f(t) όταν τα y(t) και f(t) συνδέονται μέσω της ΣΔΕ a ν dν y t dt ν + a ν 1 dν 1 y t dy t dt ν a 1 + a dt 0 y(t) = f(t) και οι αρχικές συνθήκες είναι y(0), dy 0 dt,, dν 1 y 0 dt ν 1

7 Λύση Γραμμικών ΣΔΕ με Σταθερούς Συντελεστές Με βάση την μεθοδολογία της παρούσης ενότητας θα υπολογιστούν οι αναλυτικές λύσεις για ΣΔΕ 1 ης και 2 ης τάξης (1 Β.Ε.) Οι αναλυτικές λύσεις ΣΔΕ 1 ης και 2 ης τάξης είναι η βάση για τον υπολογισμό της απόκρισης γραμμικών συστημάτων πολλών βαθμών ελευθερίας Περιγράφονται από συστήματα ΣΔΕ 1 ης ή 2 ης τάξης Επιπλέον θα χρειαστεί η ιδιοανυσματική ανάλυση

8 Τα βήματα προς την λύση Σύνοψη Μεθοδολογίας

9 Σύνοψη Μεθοδολογίας Λύσης ΠΑΣ σε ΣΔΕ Η συνολική λύση y t του παρακάτω Π.Α.Σ. a ν dν y t dt ν είναι το άθροισμα της ομογενούς y h t και της ειδικής λύσης y p t : y t = y h t + y p t Παρατηρήσεις: + a ν 1 dν 1 y t dt ν 1 y(0), dy 0 dt + + a 1,, dν 1 y 0 dt ν 1 dy t Για μια ΣΔΕ ν τάξης, χρειάζονται ν αρχικές συνθήκες για την χρονική στιγμή 0 Η ειδική λύση είναι μη μηδενική όταν η διέγερση f t 0 dt + a 0 y(t) = f(t) y(t)

10 Σύνοψη Μεθοδολογίας Λύσης ΠΑΣ σε ΣΔΕ 1. Κατάστρωση του χαρακτηριστικού πολυωνύμου και υπολογισμών των ν ιδιοτιμών λ i της ΣΔΕ 2. Με βάση τις ιδιοτιμές λ i και την διέγερση f t επιλέγεται η κατάλληλη μορφή της ειδικής λύσης y p t 3. Η ειδική λύση y p t αντικαθίσταται στην ΣΔΕ και υπολογίζονται οι παράμετροι της 4. Οι v παράμετροι της ομογενούς y h t υπολογίζονται έτσι ώστε η συνολική λύση y t = y h t + y p t να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες: y(0), dy 0 dt,, dν 1 y 0 dt ν 1

11 Σύνοψη Μεθοδολογίας Λύσης ΠΑΣ σε ΣΔΕ Συνολική Λύση: y t = y h t + y p t Ομογενής λύση Η μορφή της ομογενούς λύσης εξαρτάται ΜΟΝΟ από το σύστημα και περιγράφει το πώς αποκρίνεται το σύστημα σε Α.Σ. Οι παράμετροι της ομογενούς λύσης εξαρτώνται από την ειδική λύση (αν υπάρχει) και τις συγκεκριμένες Α.Σ Ειδική λύση Η μορφή της ειδικής λύσης εξαρτάται τόσο από το σύστημα όσο και από την μορφή της διέγερσης f(t) Οι παράμετροι της ειδικής λύσης είναι τέτοιοι ώστε η ειδική λύση να ικανοποιεί την ΣΔΕ. Δεν εξαρτώνται από Α.Σ.

12 Πως αποκρίνεται ένα γραμμικό σύστημα όταν αρχικά έχει μη μηδενικές αρχικές συνθήκες Κατάστρωση της Ομογενούς Λύσης

13 Ομογενής Λύση: Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο Για την αντίστοιχη ομογενή γραμμική ΣΔΕ ν-τάξη (αμελείται η εξωτερική διέγερση): a ν dν y t dt ν + a ν 1 dν 1 y t dy t dt ν a 1 + a dt 0 y t = 0 Αναζητείται λύση της μορφής y t = e λ t. Αντικαθιστώντας την λύση αυτή στην ΣΔΕ προκύπτει a ν λ ν e λ t + a ν 1 λ ν 1 e λ t + + a 1 λ e λ t + a 0 e λ t = 0 Επειδή γενικά e λ t 0, προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο: a ν λ ν + a ν 1 λ ν a 1 λ + a 0 = 0

14 Ομογενής Λύση: Ιδιοτιμές και Γενική Μορφή Οι ν ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (Χ.Π.) είναι οι ν ιδιοτιμές της ΣΔΕ (οι ιδιοτιμές του συστήματος) λ i, i = 1,2,, ν Η ομογενής λύση μιας γραμμικής ΣΔΕ ν-τάξης είναι η επαλληλία ν εκθετικών όρων e λi t όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές της ΣΔΕ y h t = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t + + c ν e λ ν t = ν i=1 c i e λ i t Οι σταθερές c i θα υπολογιστούν ώστε η συνολική λύση y t να ικανοποιεί της Α.Σ.

15 Ομογενής Λύση: Περίπτωση Ιδιοτιμών Πολλαπλότητας >1 Ειδική περίπτωση: όταν το Χ.Π. έχει μια ρίζα λ i με πολλαπλότητα κ > 1 (ισοδύναμα όταν μια ΣΔΕ έχει μια ιδιοτιμή με πολλαπλότητα κ > 1) τότε οι αντίστοιχοι κ όροι που συνεισφέρει η ιδιοτιμή λ i στην ομογενή λύση είναι: c i e λ i t + c i+1 t e λ i t + + c i+κ 1 t κ 1 e λ i t = (c i + c i+1 t + c i+κ 1 t κ 1 ) e λ i t

16 Ομογενής Λύση: Σημασία Ιδιοτιμών Οι ιδιοτιμές είναι σημαντικές χαρακτηριστικές της ΣΔΕ (και αντιστοίχως του συστήματος που περιγράφει η ΣΔΕ) y h t = ν i=1 c i e λ i t Οι ιδιοτιμές ΔΕΝ εξαρτώνται από την διέγερση Οι ιδιοτιμές περιγράφουν πως το σύστημα αποκρίνεται ΧΡΟΝΙΚΑ σε Α.Σ. Θα καταλήξει σε μόνιμη κατάσταση? Αν ναι, πόσο γρήγορα θα καταλήξει?θα κάνει ταλάντωση ή όχι? Είναι ευσταθές? Περισσότερα στην ανάλυση απόκρισης ΣΔΕ 1 ης και 2 ης τάξης

17 Πως αποκρίνεται ένα γραμμικό σύστημα σε εξωτερικές διεγέρσεις Κατάστρωση της Ειδικής Λύσης

18 Ειδική Λύση Η ειδική λύση y p t είναι μη μηδενική όταν f t 0 Η ειδική λύση y p t της ΣΔΕ λόγω διέγερσης f t εξαρτάται από Την μορφή της διέγερσης f t Τις ιδιοτιμές λ i της ΣΔΕ Στην πράξη, οι ΣΔΕ λύνονται αναλυτικά για συγκεκριμένες μορφές διεγέρσεων f t που μοντελοποιούν την χρονική μορφή που ασκείται μια διέγερση σε ένα σύστημα Παραδείγματα μοντέλων διεγέρσεων: κρουστική, βηματική, αρμονική Βλέπε θεματική ενότητα «μοντελοποίηση της αλληλεπίδρασης συστήματος με το περιβάλλον του»

19 Ειδική Λύση: Μέθοδος Προσδιορισμού Σταθερών 1. Η ειδική λύση y p t που αναζητείται εξαρτάται από την μορφή της διέγερσης f t και την πολλαπλότητα κ μιας κρίσιμης ιδιοτιμής Λ Αν η ΣΔΕ δεν έχει σαν ιδιοτιμή την τιμή Λ τότε κ = 0 Όνομα διέγερσης Μορφή διέγερσης f(t) Κρίσιμη Ιδιοτιμή Λ Ειδική Λύση y p t Βηματική u s (t) 0 Γ t κ u s (t) Εκθετική e a t u s (t) α Γ t κ e a t u s (t) Αρμονική cos(ω t + φ) u s (t) ±Ω j Γ t κ cos(ω t + φ + Ψ) u s (t) Αποσβένουσα Αρμονική e a t cos(ω t + φ) u s (t) α ± Ω j Γ t κ e a t cos(ω t + φ + Ψ) u s (t)

20 Ειδική Λύση: Μέθοδος Προσδιορισμού Σταθερών 2. Οι παράμετροι της ειδικής λύσης (Γ και Ψ) υπολογίζονται αντικαθιστώντας την ειδική λύση y p t στην ΣΔΕ και λύνοντας τις εξισώσεις που προκύπτουν ως προς τα Γ και Ψ Για τον υπολογισμό των παραμέτρων της ειδικής λύσης αμελείται η ομογενής λύση

21 Συνολική Λύση Υπολογισμός της Ολικής Απόκρισης y t

22 Συνολική Απόκριση Με βάση τα παραπάνω, η συνολική απόκριση είναι: y t = y h t + y p t = ν i=1 c i e λ i t + y p t Σχόλια για την ομογενή λύση Στον παραπάνω τύπο η y h t αντιστοιχεί στην περίπτωση που οι λ i έχουν πολλαπλότητα κ = 1. Όταν υπάρχουν ιδιοτιμές πολλαπλότητας >1 η σχέση αλλαζει όπως περιγράφηκε σε προηγούμενη διαφάνεια. Οι παράμετροι c i είναι προς το παρών άγνωστοι Σχόλια για την ειδική λύση Η ειδική λύση σε αυτό το σημείο είναι πλήρως γνωστή μέσω της μεθόδου προσδιορισμού των σταθερών

23 Συνολική Απόκριση: Εφαρμόζοντας τις αρχικές συνθήκες Οι ν αγνωστοι παράμετροι c i της ομογενούς υπολογίζονται με βάση τις ν αρχικές συνθήκες dy 0 dt y 0 = d ν 1 y 0 dt ν 1 = = ν i=1 ν i=1 ν i=1 c i + y p 0 λ i c i + dy p 0 dt λ i ν 1 c i + dν 1 y p 0 dt ν 1

24 Απόκριση ΣΔΕ σε διεγέρσεις ενδιαφέροντος Απόκριση σε Μοντέλα Διεγέρσεων

25 Μοντέλα Διεγέρσεων Δύο σημαντικά μοντέλα διεγέρσεων 1. Βηματική διέγερση f t = u s (t) Χρήσιμη για την περιγραφή μεταβατικών φαινομένων Η απόκριση σε άλλα σηματικά μοντέλα μεταβατικών διεγέρσεων (ειδικά η απόκριση σε κρουστική διέγερση f t = δ(t) ) μπορούν να υπολογιστούν με βάση την απόκριση σε βηματική είσοδο 2. Αρμονική διεγέρση f t = cos(ω t + φ) Χρήσιμη για την απόκριση ημιτονοειδούς μόνιμης κατάστασης (απόκριση συχνότητας), την απόκριση σε περιοδικές και στοχαστικές διεγέρσεις

26 Απόκριση σε Μοντέλα Διεγέρσεων Στα παρακάτω θεωρούνται μηδενικές Α.Σ. Απόκριση h(t) σε κρουστική είσοδο δ(t) f t = δ(t) Σύστημα y t = h(t) Απόκριση h s (t) σε βηματική είσοδο u s (t) f t = u s (t) Σύστημα y t = h s (t) Απόκριση h r (t) σε βηματική είσοδο u r (t) f t = u r (t) Σύστημα y t = h r (t)

27 Απόκριση σε Μοντέλα Διεγέρσεων Λόγω των ιδιοτήτων των γραμμικών ΣΔΕ οι αποκρίσεις h(t) σε κρουστική διέγερση και h r t σε διέγερση ράμπα υπολογίζονται από την h s (t) δ t = d dt u s(t) Σύστημα h t = d dt h s(t) u s (t) Σύστημα h s (t) t t u r t = u s (τ) dτ Σύστημα h r t = h s (τ) dτ 0 0

28 Χαρακτηριστική ιδιότητα του συστήματος Απόκριση σε Κρουστική Είσοδο

29 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Ο μοναδιαίος παλμός διάρκειας Τ ορίζεται ως u p,t t = Ιδίοτητες: 0, t < 0 1, 0 t < T T 0, t T 1/T 1. Μπορεί να εκφραστεί σαν επαλληλία δύο βηματικών εισόδων 2. Καθώς Τ 0 τότε η u p,t t τείνει στην συνάρτηση Dirac (κρουστική είσοδο) 3. To χρονικό ολοκλήρωμα της u p,t t απο - έως ισούται με 1 0 T t u p,t t = 1 T u s t 1 T u s t T lim u p,t t = δ t Τ 0 u p,t τ dτ = 0+ 0 u p,t τ dτ = 1

30 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Λόγω επαλληλίας, η απόκριση h p,t t ενός γραμμικού συστήματος σε μοναδιαίο παλμό εύρους Τ μπορεί να εκφραστεί μέσω της απόκρισης h s t του συστήματος σε βηματική είσοδο h p,t t = 1 T h s t 1 T h s t T Καθώς Τ 0 τότε η απόκριση h p,t t τείνει στην απόκριση h t του συστήματος σε κρουστική είσοδο lim h p,t t = 1 Τ 0 T h s t h s t T 1 dh s t T = dh s t = h(t) T dt dt

31 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Διέγερση Καθώς η διάρκεια Τ του μοναδιαίου παλμού μικραίνει κάτω από κάποιο όριο (εξαρτάται από το σύστημα) η απόκριση h p,t t δεν αλλάζει και ταυτίζεται με την απόκριση σε κρουστική είσοδο h t T = 4 sec T = 2 sec T = 1 sec T = 0.2 sec T = 0.05 sec u p,t (t) y y + y = f y 0 = y 0 = 0 h p,t (t) h p,t (t) time Απόκριση y(t) της ΣΔΕ 2 ης τάξης y y + y = f σε μοναδιαίους παλμούς f = u p,t (t) διάρκειας 4, 2, 1, 0.2 και 0.05 sec.

32 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Διέγερση Η απόκριση h t σε κρουστική είσοδο είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος Μπορεί να μετρηθεί πειραματικά Αποτελείται από εκθετικούς όρους e λ i t όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές του συστήματος Περιγράφει την ταχύτητα απόκρισης του συστήματος Σε πραγματικά συστήματα h t = 0 για t < 0 Ο μετασχηματισμός Laplace της h t είναι η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος

33 Υπολογισμός απόκρισης σε τυχαία αναλυτική διέγερση Το Ολοκλήρωμα της Συνέλιξης

34 Καταλήγοντας στο Ολοκλήρωμα της Συνέλιξης Κάθε διέγερση f(t) μπορεί να προσεγγιστεί σαν ένα άθροισμα παλμών πλάτους Τ f t = T u p,t (t k T) f(k T) k=0 Η απόκριση του συστήματος σε αυτή την είσοδο (λόγω επαλληλίας και χρονικής ανεξαρτησίας) είναι το άθροισμα αποκρίσεων σε παλμούς: y t = T h p,t (t k T) f(k T) k=0 Όταν Τ 0, τότε h p,t (t) h(t) και το άθροισμα τείνει στο ολοκλήρωμα της συνέλιξης y t = h t τ f τ dτ

35 Ολοκλήρωμα της Συνέλιξης H απόκριση y t ενός γραμμικού συστήματος σε οποιαδήποτε είσοδο f t μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά μέσω της απόκρισης του συστήματος h t σε κρουστική διέγερση από το ολοκλήρωμα της συνέλιξης y t = h t f t = h τ u t τ dτ Επειδή σε πραγματικά συστήματα h t = 0 για t < 0, τότε: y t = h t f t = 0 h τ f t τ dτ Η μέθοδος αυτή έχει κυρίως θεωρητική αξία. Στην πράξη η απόκριση σε τυχαία διέγερση υπολογίζεται μέσω αριθμητικής ολοκλήρωσης.