Περιεχόμενα. Σειρά VII 2

Transcript

1

2 Περιεχόμενα 1. Κυματική Θεωρία Stokes ης τάξης. Κυματική Θεωρία Stokes 5 ης τάξης 3. Κυματική Θεωρία Συνάρτησης ροής (Fourier 18 ης τάξης) 4. Cnoial waves 5. Θεωρία μοναχικού κύματος (Solitary wave) 6. Επιλογή κυματικής θεωρίας Σειρά VII

3 Θεωρία Airy ή Stokes 1 ης τάξης Γραμμικοί & Κανονικοί Κυματισμοί z=0 α z H c x Ταχύτητα μετάδοσης phase velocity wave celerity S.W.L t w u Ελεύθερη επιφάνεια (x,t) acos( kxt) z=- Wave Frequency, k ; T αριθμός κύματος Wave Number k μήκος κύματος, gk tanh( k) a coshk( y ) u sin( t kx) sinh( k) a sinh k( y ) v cos( t kx) sinh( k) Σειρά VII 3

4 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Όσο πιο «μεγάλο» ένα κύμα τόσο πιο σημαντική γίνεται η μη γραμμικότητα GG Stokes, θεωρία έως 5 η τάξη μη γραμμικότητας η τάξη θα έχει τη μορφή: H H k cosh( k) coskx t 3 16 sinh k coshk cos kx t H k coshk( y) u g coskx t cosh( k) 3 coshk y H k coskx t 4 16 sinh k H w k sinh k g sinh k y y 3 sinh k H k sin 4 16 sinh ( k) sin kx t kx t Εξίσωση διασποράς - Αμετάβλητη gk tanh k Ανοιχτές τροχιές σωματιδίων Σειρά VII 4

5 Πηγή: Θ. Καραμπάς, Καθηγητής Πανεπ. Αιγαίου Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί GG Stokes, θεωρία έως 5 η τάξη μη γραμμικότητας H η τάξη θα έχει τη μορφή: H k cosh( k) coskx t 3 16 sinh k coshk cos kx t + 1 st ή κύρια αρμονική. Περιγράφει ελευθερους κυματισμούς c k ΙΙ n αρμονική. Περιγράφει δεσμευμένους κυματισμούς στους ελεύθερους κυματισμούς c k k Typical (t) Εξηγεί: Ασυμμετρία κυματοκορυφής κοιλίας Μεταβολή της μέσης στάθμης νερού Σειρά VII 5

6 Πηγή: Prof. C. Swan, Inaugural Lecture Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί (a) Μία συχνότητα, μικρό εύρος α max = H/ H max max max H H (b) Μία Συχνότητα, μεγάλο εύρος α max > H/ max Σειρά VII 6

7 Πηγή: Prof. C. Swan, Inaugural Lecture Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί (a) Μία συχνότητα, μεγάλο εύρος α, γραμμική λύση max = H/ max H max H (b) Μία συχνότητα, μεγάλο εύρος α, μη-γραμμική λύση max > H/ Σειρά VII 7

8 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Δυστυχώς, όσο πιο «μεγάλοι» κυματισμοί τόσους περισσότερους όρους πρέπει να χρησιμοποιούμε: 1. Αναλυτικές λύσεις, μέχρι 5 ης τάξης. Fenton (1985) επέκταση της λύσης Stokes έως 5 η τάξη: Σειρά VII 8

9 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Ανοιχτές τροχιές σωματιδίων Εξίσωση διασποράς - μεταβλητή Σειρά VII 9

10 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Σειρά VII 10

11 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Σειρά VII 11

12 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Stokes 5 th Τυπικό μοτίβο αρμονικών Note: H k εκφράζει την καμπυλότητα. Όσο μεγαλύτερη η καμπυλότητα, τόσο περισσότερες αρμονικές πρέπει να συμπεριληφθούν. Phase velocity, uniform current. 0. orer (є) t kx t kx + mean 1 st. orer (є 1 ) n orer (є ) t kx 3t kx t kx 4t kx t kx 3t kx 5t kx t kx 4t kx 6t kx + mean + mean 3 r.orer (є 3 ) 4 th.orer (є 4 ) 5 th. orer (є 5 ) 6 th. orer (є 6 ) Σειρά VII 1

13 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί. Λύσεις συνάρτησης ροής. Dean (1965), Fourier 18 th Για y=η c U c U 1 N 1 n4,6,8 sinh n k y U Μέση ταχύτητα ρεύματος αν υπάρχει X n n cos kx X n1 n sin kx Σειρά VII 13

14 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί Λύσεις συνάρτησης ροής. Dean (1965), Fourier 18 th Εδώ πάλι: Η κυρίαρχη εξίσωση Laplace ψ = 0 ικανοποιείται πάντα. Οι οριακές συνθήκες στον πυθμένα ικανοποιούνται πάντα. X n άγνωστοι προσδιορίζονται με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων που προσαρμόζεται στις οριακές συνθήκες της ελεύθερης επιφάνειας. Σημείωση: Το μοντέλο εφαρμόζεται σε ευρύτερο πεδίο βαθών (δες Fig.1 παρακάτω) Μπορεί να χρησιμοποιηθεί με δύο τρόπους Με δεδομένα τα H, T και η x και ψ(x, y) και άρα u, v Με δεδομένη χρονοσειρά η t ψ(x, y) και άρα u, v Σειρά VII 14

15 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoial Waves Για 1/50 < /λ <1/8 μαθηματική επίλυση του προβλήματος κάνοντας χρήση των Ιακωβιανών ελλειπτικών συναρτήσεων συνημιτόνου Σειρά VII 15

16 Μη γραμμικότητα, Κανονικοί Κυματισμοί 3. Cnoial Waves κατακόρυφη απόσταση του πυθμένα από την ελεύθερη επιφάνεια δίνεται Σειρά VII 16

17 Μοναχικό κύμα Σειρά VII 17

18 Μοναχικό κύμα Σειρά VII 18 q H.sec h Στάθμη νερού η στο σημείο x : Ταχύτητα μετάδοσης Tαχύτητες u, w στο σημείο x, z : Μέγιστη ταχύτητα u max : ). ( ) (3 1/ C t x q / g g C H / ( 0) x O Προσέγγιση Πρώτης Τάξης cosh cos.cosh cos 1.. x M z M x M z M C N u cosh cos.sinh sin.. x M z M x M z M C N w z M C N u cos 1. max

19 Μοναχικό κύμα Σειρά VII 19

20 Επιλογή Κυματικής Θεωρίας Σειρά VII 0

21 Παράδειγμα Υπολογισμού (α) Κύμα ύψους στα ανοικτά 1.8m και περιόδου 8 secs εισέρχεται σε παράκτια περιοχή βάθους 5m. Nα προταθεί η κατάλληλη θεωρία για την περιγραφή του κύματος. (β) Να επαναληφθεί το ίδιο εάν το κύμα μεταδίδεται σε βαθιά νερά =35m. (γ) Να υπολογιστεί για το (β) η μέγιστη ανύψωση του κυματισμού, η οριζόντια ταχύτητα και η οριζόντια επιτάχυνση για γραμμικό κυματισμό αλλά και σύμφωνά με τη θεωρία που προκύπτει από το διάγραμμα. Απάντηση (α) Από την εξίσωση διασποράς (Εξ. ( η ) στη σειρά ΙΙ) καταλήγουμε ότι λ= 53.1m Ο συντελεστής ρήχωσης (Εξ. (3ζ)) προκύπτει Κ s = 1.03 Συνεπώς Η=.0*1.03=.56m. Θα είναι /gt = και H gt = 0.003, συνεπώς, από το διάγραμμα Le Mehaute προκύπτει ότι θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η ελλειπτική θεωρία ή η θεωρία ροϊκής συνάρτησης. (β)με τον ίδιο τρόπο λ = 97.8m και Κ s = 0.964, H=1.8*0.964=1.735m. Συνεπώς, /gt = και H gt = 0.006, οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η θεωρία Stokes ης τάξης. Σειρά VII 1

22 Καραμπάς, Θ., «Στοιχεία Κυματομηχανικής», Διδακτικές σημειώσεις, Τμήμα Επιστημών της Θάλασσας, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Κατσαρδή, Β., «Ακτομηχανική και Παράκτια Έργα», Διδακτικές Σημειώσεις, ΤΕΙ Αθήνας. Κουτίτας, Χ., «Εισαγωγή στην παράκτια Τεχνική και τα Λιμενικά Έργα», ΑΠΘ, Εκδόσεις Ζήτα, Θεσσαλονίκη Ματσούκης, Π.Φ., «Παράκτιες Διεργασίες», Διδακτικές Σημειώσεις, ΔΠΘ. Fenton, J.D., 1985, «A Fifth-Orer Stokes Theory for Steay Waves», J. Waterway, Port, Coastal an Ocean Engineering, Vol.111, No., Swan, C., «Coastal Engineering», Lecture Notes, Imperial College, Lonon. Swan, C., «Flui Mechanics», Lecture Notes, Imperial College, Lonon. Swan, C., «Inaugural Lecture», Imperial College, Lonon. Σειρά VΙΙ