Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Τηλ:10.93.4.450 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1

Τηλ:10.93.4.450 Πεδίο Ορισμού Οικονομικών Συναρτήσεων Οι οικονομικές συναρτήσεις (συνάρτηση Ζήτησης, συνάρτηση Προσφοράς, Ολικό Κόστος κλπ.) έχουν ως μεταβλητές την ποσότητα Q και την τιμή P. Το πεδίο ορισμού μίας οικονομικής συνάρτησης είναι το διάστημα των επιτρεπόμενων τιμών που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές Q και P. Στις οικονομικές συναρτήσεις πάντα η ποσότητα Q και η τιμή P λαμβάνουν μη αρνητικές τιμές, δηλαδή Q 0 και P 0 Επίσης οι ίδιες οι συναρτήσεις δεν έχουν νόημα για αρνητικές τιμές, δηλαδή Q θεωρούμε ότι d 0 Q, s 0 κλπ. Έτσι προκύπτει μια ανίσωση, την οποία λύνουμε. Η λύση αυτής της ανίσωσης και το δεδομένο ότι Q 0 και P 0 προσδιορίζουν το πεδίο ορισμού. Παράδειγμα Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ζήτησης Qd 10 P. Ισχύει ότι: 1) P 0 ) Qd 0 Λύνουμε την ανίσωση που προκύπτει: P 10 Qd 010P0P10 P5 Έτσι έχουμε ότι: P 0 και P 5, άρα το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα 0,5.

Τηλ:10.93.4.450 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Στο κεφάλαιο αυτό στόχος μας είναι να συνδέσουμε μία συγκεκριμένη συνάρτηση f(x) με μία άλλη συνάρτηση f (x), την οποία και θα ονομάζουμε παράγωγο της f. Με την παραγώγιση της f(x) προκύπτει μία νέα συνάρτηση f (x). Σε οικονομικές συναρτήσεις (κόστους, εσόδων, κέρδους κλπ) η τιμή της παραγώγου αντιστοιχεί στο αντίστοιχο οριακό μέγεθος (οριακό κόστος, οριακό έσοδο κλπ). Κανόνες Παραγώγισης Γινόμενο αριθμού με συνάρτηση: Άθροισμα συναρτήσεων: λf(x) ' λf'(x) f g '(x) f'(x) g'(x) (Ισχύει και για αθροισμα περισσοτέρων συναρτήσεων) Γινόμενο συναρτήσεων: f g '(x) = f '(x) g(x) + f(x) g'(x) Πηλίκο συναρτήσεων: ( ) ' f f'(x) g(x) - f(x) g'(x) (x) = g g(x) Εναλλακτικός συμβολισμός για την παράγωγο dy dx ή df(x) dx (προσοχή: δεν πρόκειται για κλάσμα, αλλά για το πηλίκο της μεταβολής df της τιμής της συνάρτησης f προς τη μεταβολή dx της μεταβλητής x από την οποία και προκαλείται). Τα μεγέθη df και dx ονομάζονται διαφορικά της f και της x αντίστοιχα. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 1) Αν f(x) = c (όπου c μια σταθερά, δηλαδή αριθμός) f'(x) = (c) = 0 ) (x)' = 1 α 3) Αν f(x) = x α α 1 f'(x) = (x ) = α x - 3

Τηλ:10.93.4.450 Παραδείγματα ( ) 1) f x x. Η παράγωγος της f είναι: f x = x = 5x = 5x 4 ( ) 5 5 5-1 = ( ) ( ) 3 3 3-1 = ( ) ( ) ) f x 4x Η παράγωγος της f είναι: f x = 4x = 43x = 1x 3) ( ) 3 f x = 4x + x - 3x + 6 Η παράγωγος της f είναι: 3 ( ) = ( + - ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 f x 4x x 3x+ 6 = 4x + x - 3x + 6 = 4 3x + x- 3+ 0 = 1x + 4x -3 Αλυσωτός Κανόνας Μια οποιαδήποτε μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής x συνεπάγεται μια μεταβολή στην u και κατ' επέκταση μεταβολή της y (αλυσωτή αντίδραση). Έτσι έχουμε τον αλυσωτό κανόνα: dy dy du = dx du dx Παράδειγμα Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης z ως προς x όταν: y = x +3x και z = y +1. Εφαρμόζοντας τον αλυσωτό κανόνα έχουμε: dz dz dy = dx dy dx ( y 1) ( x 3x) = + + ( y) ( x 3) = + ( ) ( ) = x + 3x x+ 3 Εξίσωση της εφαπτομένης Εάν A(x A, y A )είναι ένα σημείο πάνω στην γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f, τότε η ευθεία γραμμή που τέμνει την καμπύλη μόνο στο σημείο Α ονομάζεται εφαπτομένη στο Α. Η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο Α αριθμητικά είναι ίση με την παράγωγο της συνάρτησης f για την τιμή y A, δηλαδή κλίση εφαπτομένης = f (y A ). Η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης y = f(x) στο σημείο [α, f(α)] είναι: y f(α) = f'(α)(xα) 4

Τηλ:10.93.4.450 Παράδειγμα Αν f(x)=4x-x να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της c f στο σημείο της Α(1,f(1)). Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της c f χρειάζεται να υπολογίσουμε την παράγωγο της f. Έτσι έχουμε: ( ) ( ) f x = 4x- x = 4- x Στο σημείο Α(1,f(1)) η τιμή της παραγώγου της f είναι: f 1 = 4-1= () Οπότε και η κλίση της εφαπτομένης ισούται με. Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο Α(1,f(1)) είναι: y- f 1 = f' 1 (x-1) () () ( ) y- 3= x-1 y = x- + 3 y = x+ 1 5

Τηλ:10.93.4.450 Ελαστικότητα Η ελαστικότητα μετρά την ποσοστιαία μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής, η οποία οφείλεται σε μια μικρή ποσοστιαία μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής. Για τη συνάρτηση y = f(x), η ελαστικότητα δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: Δy y x Δy x εyx = = = f'(x) Δx y Δx y x Η ελαστικότητα είναι ένα αδιάστατο μέγεθος, που δεν εξαρτάται από τις μονάδες μέτρησης των υπεισερχόμενων μεγεθών. Οι πιο συνηθισμένες μορφές ελαστικότητας στα οικονομικά είναι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή, η ελαστικότητα προσφοράς,η ελαστικότητα ζήτησης ως προς το εισόδημα. Ελαστικότητα ζήτησης Η ελαστικότητα ζήτησης μετράει τον τρόπο με τον οποίο η ζητούμενη ποσότητα αντιδρά, όταν η τιμή του αγαθού ή της υπηρεσίας μεταβάλλεται (αυξάνει ή μειώνεται). dq P = dp Q,όπου Q είναι η συνάρτηση ζήτησης και η μεταβλητή Ρ είναι το αγαθό. Οι τιμές της ελαστικότητας ζήτησης ε d είναι αρνητικές λόγω της αντίστροφης σχέσης που υπάρχει μεταξύ τιμής και ζητούμενης ποσότητας. Χαρακτηρισμός ελαστικότητας Η ελαστικότητα ζήτησης ανάλογα με τις απόλυτες τιμές που λαμβάνει μπορεί να ταξινομηθεί σε: Ελαστική, αν > 1, δηλαδή, η ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας είναι μεγαλύτερη από την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής. Ανελαστική, αν < 1, δηλαδή η ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας είναι μικρότερη από την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής. Μοναδιαία, αν το ίδιο ποσοστό. = 1, δηλαδή η ποσότητα και η τιμή μεταβάλλονται κατά 6

Τηλ:10.93.4.450 Σχέση ελαστικότητας ζήτησης ε d, ποσότητας Q και Συνολικής Δαπάνης Ελαστικότητα Τιμή Ποσότητα Συνολική Δαπάνη > 1 αύξηση μείωση μείωση > 1 μείωση αύξηση αύξηση < 1 αύξηση μείωση αύξηση < 1 μείωση αύξηση μείωση Ερμηνεία ελαστικότητας Εάν η ελαστικότητα ζήτησης είναι π.x ε d = - 5, αυτό σημαίνει ότι, εάν η τιμή του αγαθού αυξηθεί κατά 1 μονάδα, η ζητούμενη ποσότητα θα μειωθεί κατά 5%. Ελαστικότητα προσφοράς Μετρά το πόσο πολύ ανταποκρίνεται η προσφερόμενη ποσότητα στις μεταβολές της τιμής dq P εs = dp Q,όπου Q είναι η συνάρτηση ζήτησης και η μεταβλητή p είναι το αγαθό. Η ελαστικότητα προσφοράς λαμβάνει πάντα θετικές τιμές ως αποτέλεσμα του Νόμου της Προσφοράς. Η προσφορά ενός προϊόντος μπορεί να είναι: Ελαστική όταν ε s >1, δηλαδή, η ποσοστιαία μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας είναι μεγαλύτερη από την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής. Ανελαστική όταν ε s <1, δηλαδή, η ποσοστιαία μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας είναι μικρότερη από την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής. Μοναδιαία όταν ε s =1, δηλαδή η ποσοστιαία μεταβολή της προσφερόμενης ποσότητας είναι ίση με την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής 7

Τηλ:10.93.4.450 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΕΟ13 ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω οι ακόλουθες συναρτήσεις Ζήτησης: 50 Α) Q005P Β) Q Γ) Q 50P P 1) Να προσδιορίστε τις συναρτήσεις ελαστικότητας ζήτησης για τις παραπάνω περιπτώσεις. ) Να βρείτε, σε κάθε περίπτωση, για ποιες τιμές P η ελαστικότητα είναι ίση με -1 Λύση 1) Οι συναρτήσεις ελαστικότητας ζήτησης είναι: dq P P 5P Α) 00 5P dp Q 00 5P 00 5P Β) Γ) dq P 50 P 50 P 1 dp Q P 50 P 50 P 3 dq P P 3 P 50P 100P dp Q 50P 50 5P ) Α) ε d 1 15P 005PP 0 00 5P Β) Για οποιαδήποτε τιμή του Ρ είναι 1 Γ) Επειδή η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση με -,δεν υπάρχει τιμή του P ώστε να είναι μικρότερη ίση -1. ΑΣΚΗΣΗ Εταιρεία ενοικίασης DVD έχει διαπιστώσει ότι η ζήτηση για ενοικίαση DVD δίνεται από την παρακάτω σχέση : q = Q d(p) = 360-60p, όπου q είναι ο αριθμός των DVD που νοικιάζονται ανά μέρα όταν η τιμή ενοικίασης είναι p. (α) Να προσδιοριστεί η ποσότητα που ζητείται από τους καταναλωτές στην τιμή των 8

Τηλ:10.93.4.450 (β) Να οριστεί η συνάρτηση της ελαστικότητας ζήτησης d ( p) ως συνάρτηση της p και να υπολογιστεί η ελαστικότητα στο p= και στο p=4. Να δοθεί ερμηνεία των τιμών της ελαστικότητας. (γ) Να προσδιοριστεί η τιμή p για την οποία ε d(p) =1. Να δοθεί ερμηνεία της παραπάνω τιμής. Λύση (α) Για να βρούμε την ποσότητα των DVD ποσότητα που ζητείται από τους καταναλωτές στην τιμή των, αντικαθιστούμε στην συνάρτηση q = Q (p) = 360-60p την τιμή p=. Έτσι έχουμε: d q = Q d() = 360-60 = 360-10 = 40 Άρα ζητούνται 40 DVD. (β) Για να βρούμε τη συνάρτηση της ελαστικότητας ζήτησης υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο Qd (p) : Qd (p) = 360-60p -60 Και από τον τύπο της ελαστικότητας έχουμε : dq p p -60p -60p p ε d(p) = = (-60) = = = - dp Q 360-60p 360-60p 606 -p 6 -p 1 Άρα για την τιμή p= θα είναι: ε d() = - = - 6-1 Επειδή ε d() = <1, αν η τιμή αυξηθεί κατά μία μονάδα, η ζητούμενη ποσότητα θα μειωθεί κατά 0,5%. 4 Για την τιμή p= θα είναι: ε d(4) = - = - 6-4 Επειδή ε d(4) = >1, αν η τιμή αυξηθεί κατά μία μονάδα, η ζητούμενη ποσότητα θα μειωθεί κατά %. (γ) Θέτοντας ε d(p) =1 έχουμε p - =-1p=6-pp=6 p=3. 6-p Κατά συνέπεια όταν η τιμή είναι 3, ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής στην ποσότητα προς την ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή είναι 1. ΑΣΚΗΣΗ 3 Εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων διαπιστώνει ότι η ζήτηση ενοικίασης αυτοκινήτων δίδεται από την επόμενη σχέση: q(p)=530-50p όπου q ο αριθμός των ενοικιαζομένων αυτοκινήτων ανά ημέρα και p η τιμή ενοικίασης σε ευρώ. 9

Τηλ:10.93.4.450 (α) Να ευρεθεί ο αριθμός ενοικίασης αυτοκινήτων από τους ενοικιαστές όταν p=50 και στη συνέχεια να προσδιοριστεί η ελαστικότητα ζήτησης για τη συγκεκριμένη τιμή. (β) Να ευρεθεί η τιμή του p για την οποία η ελαστικότητα ζήτησης είναι ίση με -1 και να δοθεί η ερμηνεία για την τιμή αυτή. Χρησιμοποιώντας την ερμηνεία της ελαστικότητας υπολογίστε τη μεταβολή της ζήτησης αν η τιμή ενοικίασης των αυτοκινήτων αυξηθεί από την τιμή που βρήκατε στα 30 ευρώ. Υπολογίστε επίσης την ζήτηση με βάση την συνάρτηση ζήτησης. Εξηγήστε τις διαφορές που προκύπτουν μεταξύ των δύο υπολογισμών. Λύση (α) Για p=50 έχουμε : q(50)=530-50*50=30 οπότε 30 αυτοκίνητα ενοικιάζονται την ημέρα με την τιμή των 50. Η ελαστικότητα ζήτησης βρίσκεται από τον τύπο: dq p p p ε d = = 530-50p -50 dp q 530-50p 530-50p Οπότε για την τιμή p=50 θα είναι: 50 500-500 ε d =-50 =- = -83,33 530-5050 530-500 30 (β) Από τον τύπο της ελαστικότητας ζήτησης που υπολογίσαμε προηγουμένως για ε d (p)=-1 έχουμε: -50p ( p ) = -1 = -1 50p = 530-50p p = 5,3 530-50p Όταν λοιπόν η τιμή είναι p=5,3 ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής της ζητούμενης ποσότητας προς την ποσοστιαία μεταβολή της τιμής είναι -1. Για p = 5,3 η ζήτηση είναι q=530-50(5,3)=165 αυτοκίνητα. Η μεταβολή της τιμής από 5,3 ευρώ σε 30 ευρώ αντιστοιχεί σε ποσοστιαία 30-5,3 = 18,58% αύξηση 5,3. Επομένως η ζήτηση θα μειωθεί επίσης κατά 18,58% δηλαδή κατά 165(18,58%)=35,04 αυτοκίνητα και θα είναι 165-35,04=109,96 αυτοκίνητα. Με βάση τη συνάρτηση ζήτησης ο αριθμός των αυτοκινήτων που θα ενοικιασθούν όταν η τιμή είναι 30 ευρώ ανέρχεται σε q=530-50(30)=1030 αυτοκίνητα. 10

Τηλ:10.93.4.450 Παρατηρούμε ότι το προσεγγιστικό αποτέλεσμα που βρέθηκε με βάση την ελαστικότητα ζήτησης προσεγγίζει πολύ στον ακριβή υπολογισμό της ζήτησης με βάση τη συνάρτηση ζήτησης. ΑΣΚΗΣΗ 4 Έστω ότι η συνάρτηση ζήτησης σε μία απομονωμένη αγορά δίνεται από τη συνάρτηση: Qd 4 p, ενώ η συνάρτηση προσφοράς είναι γραμμική και δίνεται από τη συνάρτηση: QS 4p 1, όπου Q d, και Q s η ζητούμενη και προσφερόμενη ποσότητα αντίστοιχα, και p η τιμή του προϊόντος. Ποιες είναι οι τιμές των ελαστικοτήτων ζήτησης και προσφοράς στο σημείο ισορροπίας; Λύση Στο σημείο ισορροπίας έχουμε ότι Q d Q s, άρα 4 p 4p 1 p 4p 5 0 Η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης είναι ίση με Δ 4 4(1)( 5) 16 0 36 4 36 1 και οι ρίζες δίνονται από p1, p1, 5 Η λύση p 5 απορρίπτεται καθώς είναι αρνητική. Άρα στο σημείο * * ισορροπίας η τιμή είναι ίση με p 1 και η ποσότητα είναι ίση με Q 3 Η ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο ισορροπίας είναι: dqd p p p dp Q Q 3 Αντίστοιχα η ελαστικότητα προσφοράς στο σημείο ισορροπίας είναι: dqs p p 4 εs 4 dp Q Q 3 Άρα η ζήτηση είναι ανελαστική ενώ η προσφορά ελαστική. ΑΣΚΗΣΗ 5 Η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς ενός αγαθού είναι Qd 50,3P0,P και QS 5P 0,01P αντίστοιχα, όπου Q d, Qs εκφράζουν την ζητούμενη και προσφερόμενη ποσότητα αντίστοιχα, ενώ Ρ είναι η τιμή του αγαθού. I. Υπολογίστε τον τύπο για την ελαστικότητα της ζήτησης και την ελαστικότητα της προσφοράς. 11

ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 13 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ Τηλ:10.93.4.450 II. Υπολογίστε την τιμή της ελαστικότητας της ζήτησης και της ελαστικότητας της προσφοράς στο σημείο ισορροπίας ΑΣΚΗΣΗ 6 Να υπολογίσετε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i. FC = 3 ii. Q = 3P iii. iv. D TC = 3P 8P + 5 4 3 TR = 5P + 4P - 3P + P - P + 1 Π = 3P + 4P - 3P -5 v. ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ 7 H συνάρτηση μέσου κόστους μιας επιχείρησης είναι 48 AC = 3Q + +100, Q Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης του μέσου κόστους παραγωγής, στο σημείο που η ποσότητα παραγωγής είναι Q=4. 1