Επιχειρησιακά Μαθηματικά

Transcript

1 Τηλ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 1 ΤΟΜΟΣ Α Επιχειρησιακά Μαθηματικά () ΑΘΗΝΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 1

2 Τηλ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο Μελέτη μονοτονίας (αύξουσα φθίνουσα) συνάρτησης f i) Βρίσκουμε την παράγωγο f ii) Βρίσκουμε τις ρίζες της f, δηλαδή λύνουμε την εξίσωση f = 0 iii) Βρίσκουμε το πρόσημο της f λύνοντας την ανίσωση f > 0 ή f < 0 και καταστρώνουμε πίνακα (μονοτονίας).στον πίνακα τοποθετούμε τις ρίζες της f iv) Από το πρόσημο της f στα επί μέρους διαστήματα, συμπεραίνουμε την μονοτονία της f Παράδειγμα Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία, η συνάρτηση: f x x 5x6, x i.) Βρίσκω την παράγωγο της συνάρτησης f: f x x5 ii.) Βρίσκω τις ρίζες της f λύνοντας την εξίσωση f x 0 f x0 x50 x,5 iii.) Βρίσκω το πρόσημο της f λύνοντας την ανίσωση f x0 x50 x,5. Φτιάχνω πίνακα μονοτονίας: f x 0 x,5 f f φθίνουσα αύξουσα

3 Τηλ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Η εύρεση των ακρότατων σημείων μιας συνάρτησης (ελάχιστο ή μέγιστο) ισοδυναμεί με την εύρεση της τιμής (ή των τιμών) της ανεξάρτητης μεταβλητής (τιμή Ρ ή ποσότητα Q στις οικονομικές συναρτήσεις), στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή (ποσότητα Q ή τιμή Ρ αντίστοιχα) λαμβάνει την ελάχιστη ή μέγιστη τιμή της. Η παραγώγιση χρησιμοποιείται προκειμένου να εντοπιστούν και να μετρηθούν τα ακρότατα σημεία μιας συνάρτησης. Ακρότατα συνάρτησης Ορισμός: Η f παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 A όταν f( x) f(x 0 ), για κάθε xa To f(x 0 ) λέγεται (ολικό) μέγιστο της f στο Α. Το x 0 είναι η θέση του μεγίστου Ορισμός: Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x 0 A όταν υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε, f(x) f(x 0 ), για κάθε x(x 0 -δ, x 0 +δ) Το f(x 0 ) είναι το τοπικό μέγιστο της f. Το x 0 είναι η θέση του τοπικού μεγίστου Ορισμός: Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 A όταν fx ( ) fx ( 0 ), για κάθε xa To f(x 0 ) λέγεται (ολικό) ελάχιστο της f στο Α. Το x 0 είναι η θέση του ελαχίστου Ορισμός: Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x 0 A όταν υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε, f(x) f(x 0 ), για κάθε x(x 0 -δ, x 0 +δ). Το f(x 0 ) είναι το τοπικό ελάχιστο της f. Το x 0 είναι η θέση του τοπικού ελαχίστου Σχόλια: Μία συνάρτηση μπορεί να έχει από κανένα έως άπειρα τοπικά ακρότατα Ένα ολικό ακρότατο είναι και τοπικό ακρότατο. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Ένα τοπικό μέγιστο μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο, (ή ένα τοπικό ελάχιστο μπορεί να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο) Το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα δεν είναι πάντα και το μέγιστο μιας συνάρτησης, και ανάλογα το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα δεν είναι πάντα και το ελάχιστο μιας συνάρτησης

4 Τηλ: Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος f Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται Τα άκρα του Δ Τα εσωτερικά σημεία του Δ που δεν υπάρχει η παράγωγος, λέγονται κρίσιμα Τα εσωτερικά σημεία του Δ που μηδενίζεται η παράγωγος σημεία της f στο Δ. Έστω συνάρτηση f(x). Βήματα: Εύρεση ακρότατων 1) Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης f(x) που είναι η f (x) ) Θέτουμε τη παράγωγο ίση με το μηδέν, δηλαδή f (x)=0 Λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε τιμές του x που μηδενίζουν τη παράγωγο συνάρτηση ) Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της f(x) παραγωγίζοντας την πρώτη παράγωγο f (x) που βρήκαμε στο βήμα 1, δηλαδή (f (x)) και ελέγχουμε για τις τιμές που βρήκαμε στο βήμα αν η (f (x)) είναι θετική ή αρνητική. Αν βρούμε θετική τιμή πρόκειται για μέγιστο, ενώ αν βρούμε αρνητική τιμή πρόκειται για ελάχιστο. 4) Τέλος αντικαθιστούμε τις τιμές του x που βρήκαμε στο βήμα στη συνάρτηση f(x) και βρίσκουμε ποια τιμή αντιστοιχεί στο μέγιστο ή στο ελάχιστο σημείο. 4

5 Τηλ: Κριτήρια προσδιορισμού ακρότατων σημείων μιας συνάρτησης y f(x) : dy Μέγιστο: 0 δηλ.[ f (x) = 0 ] (Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου, ΚΠΠ) dx dy Και < 0 δηλ. [(f (x)) <0 ] (Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου ΚΔΠ) dx dy Ελάχιστο: 0 dx δηλ.[ f (x) = 0 ] (Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου, ΚΠΠ) και dy > 0. [(f (x)) <0 ] (Κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου ΚΔΠ) dx Ακρότατα σε ένα κλειστό διάστημα τιμών [a,b] Αν ζητείται η εύρεση μέγιστης ή ελάχιστης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα [a,b], και η συνάρτηση δεν παρουσιάζει στάσιμα (δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία όπου f'(x)=0)), τότε το μέγιστο ή ελάχιστο της συνάρτησης βρίσκεται στα άκρα του διαστήματος είναι το σημείο (a, f(a)) ή το σημείο (b, f(b)). Δίνεται η συνάρτηση της f(x). Παράδειγμα f(x) x x x 1) Η πρώτη παράγωγος της f(x) είναι: = + - όπου x Î.Να βρεθούν τα ακρότατα f (x) = x + x-1=x +x-1 ) Θέτουμε f x = 0 και λύνουμε την εξίσωση: ( ) ( ) f x = 0 x + x- 1= 0 ( ) Δ = -4-1 = 4+ 1= = x = = = = -1 6 ) Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη δεύτερη παράγωγο. f ( x) = x+ 1+ 0= 6x+ 5

6 Τηλ: Βρίσκουμε για τις τιμές -1 και 1 το πρόσημο της ( ) f x. f ( 1) 6 ( 1) = - + =- + =- < 0 Άρα έχουμε μέγιστο. æ1ö æ1ö f = 6 + = + = 4> ç è ø èç 0 Άρα έχουμε ελάχιστο. ø 4) Έτσι η συνάρτηση f παρουσιάζει στη θέση -1 μέγιστη τιμή την και στη θέση 1 ελάχιστη τιμή 1 1 f( ) = 7 f( - 1) = 1 6

7 Τηλ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΥΠΟΙ ΚΟΣΤΟΥΣ ΣΤΑΘΕΡΟ ΚΟΣΤΟΣ αντιστοιχεί σε μηδενική ποσότητα παραγωγής ΜΕΣΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΚΟΣΤΟΣ FC = AFC Q FC AFC = Q ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΚΟΣΤΟΣ VC = AVC Q ΜΕΣΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΜΕΣΟ ΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΟΡΙΑΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ισούται με την παράγωγο του ολικού κόστους VC AVC = Q TC = FC + VC και TC = ò MC dq TC ATC = ή ATC = AVC + AFC Q MC = (TC) ΤΥΠΟΙ ΕΣΟΔΩΝ ΟΛΙΚΟ ΕΣΟΔΟ ΤR= Q P και TR = MR dq ΟΡΙΑΚΟ ΕΣΟΔΟ MR = ( ) TR ò ΜΕΣΟ ΕΣΟΔΟ AR = TR Q ΤΥΠΟΣ ΚΕΡΔΟΥΣ Π = TR- TC 7

8 Τηλ: Οι επιχειρήσεις πραγματοποιούν κέρδη όταν τα συνολικά έσοδά τους ξεπερνούν το συνολικό κόστος παραγωγής: Π = TR TC Το συνολικό κόστος (TC) μιας επιχείρησης μπορεί να διακριθεί σε δύο τύπους. Ένα μέρος του συνολικού κόστους που ονομάζεται σταθερό ή πάγιο κόστος (FC) δεν μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται η παραγωγή. Π.χ. τα ενοίκια που πληρώνει η επιχείρηση περιλαμβάνονται στο σταθερό κόστος, επειδή το κόστος αυτό είναι το ίδιο ανεξάρτητα από το πόσες μονάδες προϊόντος παράγει η επιχείρηση. Επίσης αντιστοιχεί σε μηδενική ποσότητα παραγωγής. Ένα άλλο όμως μέρος του συνολικού κόστους, που ονομάζεται μεταβλητό κόστος (VC), μεταβάλλεται όταν μεταβάλλεται η παραγόμενη ποσότητα. Τέτοιο είναι π.χ. το κόστος των πρώτων υλών. Το συνολικό κόστος (TC) της επιχείρησης είναι το άθροισμα του σταθερού και του μεταβλητού κόστους: TC = FC + VC, Όπου VC = f(q) μεταβλητό κόστος, εξαρτάται από το ύψος παραγωγής FC = σταθερό κόστος, δεν επηρεάζεται από το ύψος παραγωγής Επίσης το συνολικό κόστος προκύπτει από την ολοκλήρωση της συνάρτησης του οριακού κόστους TC MC dq c, c Το μέσο συνολικό κόστος (AΤC) μας φανερώνει το κόστος μιας τυπικής μονάδας προϊόντος αν το συνολικό κόστος επιμερισθεί εξίσου σε όλες τις μονάδες που έχουν παραχθεί. AΤC = Q TC ή AΤC = AFC + AVC μέσο συνολικό κόστος (average total cost), Το οριακό κόστος (ΜC) μας δείχνει την αύξηση του συνολικού κόστους που προκύπτει από την παραγωγή μιας πρόσθετης μονάδας προϊόντος. ΔTC ΔVC MC = =, οριακό κόστος (marginal cost) ΔQ ΔQ 8

9 Τηλ: Το μέσο έσοδο (AR) ορίζεται ως το πηλίκο των συνολικών εσόδων προς την παραγόμενη ποσότητα: AR = TR Q Το οριακό έσοδο (MR) ορίζεται ως η μεταβολή των συνολικών εσόδων που δημιουργείται από την πώληση μιας επιπλέον μονάδας προϊόντος.: MR = ΔTR ΔQ Το συνολικό έσοδο προκύπτει από την ολοκλήρωση της συνάρτησης οριακών εσόδων TR MR dq c, c ΜΕΘΟΔΟΛΟΓIA Για να δείξουμε για ποιο επίπεδο παραγωγής Q μιας επιχείρησης μεγιστοποιούνται (ή ελαχιστοποιούνται) τα κέρδη της, πρώτα παραγωγίζουμε τον τύπο του κέρδους που είναι Π= TR-TC δηλαδή, Π = (TR) - (TC) και βρίσκουμε τις τιμές του Q, λύνοντας την εξίσωση Π = 0. Στη συνέχεια παραγωγίζουμε τη συνάρτηση Π που βρήκαμε, δηλαδή έχουμε την (Π ) και δοκιμάζουμε τις τιμές του Q που βρήκαμε με τον παραπάνω τύπο για να βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο. Αν Π > 0 το σημείο είναι αυτό που η επιχείρηση ελαχιστοποιεί τα κέρδη της, ενώ αν Π < 0 το σημείο είναι αυτό που τα μεγιστοποιεί. Στο σημείο που μεγιστοποιούνται τα κέρδη το οριακό έσοδο είναι ίσο με το οριακό κόστος MR=MC. Αν παραγωγίσουμε τη συνάρτηση του κέρδους και τη θέσουμε ίση με το μηδέν έχουμε Π = (TR) - (TC) =0 Η παράγωγος συνάρτηση όμως του TC είναι το οριακό κόστος MC και η παράγωγος συνάρτηση του TR είναι το οριακό έσοδο MR. Αντικαθιστούμε λοιπόν: (Π) =0 MR-MC=0 MR=MC δηλαδή στο σημείο που η επιχείρηση μεγιστοποιεί τα κέρδη της το οριακό έσοδο MR είναι ίσο με τα οριακό κόστος MR. 9

10 Τηλ: Αυτό συμβαίνει γιατί αν στο δεδομένο σημείο παραγωγής είχαμε ΜR > MC τότε MΠ=ΜR-MC>0 και επομένως η παραγωγή μίας επί πλέον μονάδας θα οδηγούσε σε αύξηση του κέρδους, επομένως δεν θα υπήρχε μέγιστο στο συγκεκριμένο σημείο. Αντίστροφα αν στο δεδομένο σημείο είχαμε ΜR < MC τότε MΠ=ΜR MC < 0 και επομένως η μείωση της παραγωγής κατά μία μονάδα, θα μείωνε το κόστος περισσότερο από ότι θα μειώνονταν τα έσοδα, και συνεπώς θα επέφερε αύξηση του κέρδους, επομένως στο συγκεκριμένο σημείο δεν θα υπήρχε μέγιστο. Παράδειγμα Έστω ότι τα οριακά έσοδα μιας επιχείρησης είναι R'(x)=10x-4500 και η παραγωγή αυξάνει σύμφωνα με τον τύπο : 4t x = 80 +,όπου t είναι o χρόνος. 5 Να υπολογισθεί η συνάρτηση της οριακής μεταβολής των εσόδων σε σχέση με τον χρόνο, δηλαδή η συνάρτηση dr/dt Έχουμε σύμφωνα με τον αλυσωτό κανόνα: dr dr dx = dt dx dt όπου dr R'(x) dx = και ( ) dx æ 4t ö 8t = x = 80 dt ç + = çè 5 ø 5 Επομένως αντικαθιστώντας στην σχέση dr έχουμε : dt dr 8t = ( 10x -4500) dt 5 4t και αντικαθιστώντας το x = 80 + βρίσκουμε: 5 dr æ æ 4t ö ö 8t 8t = = ( t -4500) dt ç è çè 5 ø ø 5 5 dr dt 8t = ( t ) = 8160t + 15,6t 5 = (10(80+ 4t /5) 4500)(8t/5) = ( t -4500)(8t/5) = ( t )(8t/5) = 8160t+15,6t 10

11 Τηλ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αόριστο ολοκλήρωμα Το αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x) είναι μία άλλη συνάρτηση F(x) (παράγουσα), τέτοια ώστε η παράγωγος της F(x) να είναι η f(x), δηλαδή F (x) f(x). Το αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) συμβολίζεται με F(x) = f(x)dx Βασικές ιδιότητες του ολοκληρώματος Αν F παράγουσα της f στο διάστημα Δ τότε f(x)dx F(x) c,c R f (x)dx f(x) c, c R όπου f παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ. f(x)dx f(x) λf(x)dx = λ f(x)dx Γραμμικότητα του ολοκληρώματος f(x) + g(x) dx = f(x)dx + g(x)dx και γενικά 11 ν ν λ f(x)+λ f (x)+... +λ f(x) dx=λ 1 f(x)dx 1 +λ f(x)dx λ ν f(x)dx ν Κανόνες ολοκλήρωσης γνωστών συναρτήσεων 0 dx = c 1 dx = x + c v 1 v+1 xdx= x +c v+1 Ο σταθερός όρος στο αόριστο ολοκλήρωμα Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση του ολοκληρώματος περιλαμβάνει πάντα και έναν σταθερό όρο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι αν η παράγωγος της F(x) 11

12 Τηλ: είναι η f(x) δηλαδή F'(x) = f(x) τότε και η παράγωγος της συνάρτησης F(x) + C είναι επίσης η f(x) διότι (F(x)+C)' = F'(x) +C' = F'(x) +0 = f(x). Σε προβλήματα εύρεσης του ολοκληρώματος (π.χ. όταν δίνεται η συνάρτηση του οριακού κόστους και ζητείται να βρεθεί η συνάρτηση του συνολικού κόστους) η τιμή της σταθεράς C προσδιορίζεται από κάποια άλλη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί η συνάρτηση Oρισμένο ολοκλήρωμα Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x) μεταξύ δύο σημείων a και b είναι ένας αριθμός ο οποίος μετρά το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της καμπύλης της συνάρτησης, του άξονα των χ και των δύο κάθετων στον άξονα χ ευθειών x =α και x = b. To ορισμένο ολοκλήρωμα της b a [ ] x=b f από x=a μέχρι x=b συμβολίζεται με ò f(x)dx = F(x) = F(b) - F(a) όπου F είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της f, x=a δηλαδή F(x)=f(x). Για να βρούμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x) μεταξύ των σημείων a και b, βρίσκουμε κατ αρχήν την συνάρτηση του αόριστου ολοκληρώματος F(x). Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα δύο άκρα και αφαιρούμε την τιμή του κάτω άκρου από την τιμή του άνω άκρου. Το ορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να είναι ένας θετικός ή αρνητικός αριθμός (όταν η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα των χ, παίρνει δηλαδή αρνητικές τιμές το αντίστοιχο εμβαδόν θεωρείται ότι έχει αρνητικό πρόσημο) Ιδιότητες ορισμένου ολοκληρώματος [ ] b b b a a a f(x) ± g(x) dx = f(x)dx ± g(x)dx ò ò ò f(x)dx (f συνεχής) ò b a f(x)dx = - ò a a f(x)dx =0 ò b a ò a b kf(x)dx = kò f(x) dx b a f(x) dx b c c a b a ò f(x)dx + ò f(x)dx = ò f(x)dx 1

13 Τηλ: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΕΟ 1 Άσκηση 1 Υποθέτουμε ότι σε μια βιομηχανία το οριακό κόστος παραγωγής Q ποσότητας προϊόντος είναι MC=Q 0Q+00 χρηματικές μονάδες (χ.μ.). Το συνολικό κόστος παραγωγής μονάδων είναι 800 χ.μ. Ποιο θα είναι το συνολικό κόστος παραγωγής των πρώτων 6 μονάδων. Λύση Το συνολικό κόστος παραγωγής είναι το ολοκλήρωμα του οριακού κόστους. C(Q) MC(Q)dQ (Q 0Q 00)dQ Q 15Q 00Q c, όπου c σταθερά Όταν x= τότε C c c 800 c 08 Το συνολικό κόστος παραγωγής για 6 μονάδες είναι: C(6)= = = 1184 χ.μ. Άσκηση Μία επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα. Ημερησίως, έχει τη δυνατότητα να παράγει συνολικά Q T =100 μονάδες και από τα δύο προϊόντα. Το συνολικό κόστος παραγωγής Q 1 μονάδων από το πρώτο προϊόν είναι TC1( Q1) 1.5Q1 0Q11000 και το συνολικό κόστος παραγωγής Q μονάδων από το δεύτερο προϊόν είναι TC( Q) Q 50Q 800. Να βρεθούν τα επίπεδα παραγωγής των δύο προϊόντων έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό κόστος, TC. Λύση Θεωρούμε ότι η επιχείρηση παράγει 100 μονάδες. Αν παράγονται ημερησίως Q 1 μονάδες από το πρώτο προϊόν, τότε παράγονται και Q 1 μονάδες από το δεύτερο. Συνεπώς, το συνολικό κόστος είναι: TC(Q) TC 1(Q 1) TC (100 Q 1) 1.5Q1 0Q11000 (100 Q 1) 50(100 Q 1) 800.5Q 40Q Η παράγωγός της ΤC ως προς Q 1 είναι 7Q1-40 και μηδενίζεται για Q 1 =60. Η δεύτερη παράγωγος είναι σταθερά 7>0, συνεπώς η τιμή Q 1 =60 αντιστοιχεί σε ελάχιστο. Επομένως, το συνολικό κόστος ελαχιστοποιείται αν παράγονται ημερησίως 60 μονάδες από το πρώτο και μονάδες από το δεύτερο προϊόν. 1

14 Τηλ: Άσκηση Η συνάρτηση ζήτησης ενός μονοπωλητή, η οποία καθορίζει τη σχέση μεταξύ ζητούμενης ποσότητας και τιμής του προϊόντος είναι Q P 40, όπου Q η ζητούμενη ποσότητα και P η τιμή του προϊόντος, ενώ η συνάρτηση του μέσου κόστους του, είναι AC 0Q 1 4 α) Για ποιο επίπεδο παραγωγής ο μονοπωλητής μεγιστοποιεί τα κέρδη του; Σημείωση: Στην περίπτωση μονοπωλίου, ο μονοπωλητής παράγει την ποσότητα που καθορίζεται από την συνάρτηση ζήτησης του προϊόντος. β) Υπολογίστε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο που μεγιστοποιούνται τα κέρδη. γ) Υποθέστε ότι η κυβέρνηση επιβάλει έναν εφάπαξ φόρο Τ = 48 ν.μ. στον μονοπωλητή. Πώς επηρεάζονται το επίπεδο παραγωγής και τα κέρδη του; Λύση α) Πρώτα θα υπολογίσουμε την συνάρτηση κέρδους, για να βρούμε που μεγιστοποιείται. Έτσι χρειάζεται να υπολογίσουμε τα παρακάτω: P=0-0,5Q Συνολικά Έσοδα: ΤR(Q) = P.Q = 0Q 0,5Q Μέσο Κόστος : AC = TC/Q => ΤC(Q) = Q.AC => ΤC(Q) = Q(0Q -1 +4) => ΤC(Q) = 0+4Q Κέρδος Π(Q)= TR(Q)-TC(Q) = 0Q-0,5Q -0-4Q= -0,5Q +16Q-0 Υπολογίζουμε πρώτη και δεύτερη παράγωγο, ώστε να βρούμε το μέγιστο κέρδος. Π'(Q) = -Q+16 και Π''(Q) =-1<0 επομένως τα κέρδη μεγιστοποιούνται όταν Π'(Q) = 0 -Q+16=0 Q=16. Το μέγιστο κέρδος είναι Π(16) = 108. β) Όταν Q=16 από την συνάρτηση ζήτησης έχουμε P=1 dq P Η ελαστικότητα ζήτησης δίνεται από την σχέση ε d = dp Q Και από την συνάρτηση Q=40-P έχουμε dq =- dp Επομένως αντικαθιστώντας στον τύπο της ελαστικότητας έχουμε ότι: ε =-(1/16)=-1,5 d γ) Ο εφάπαξ φόρος θα αυξήσει το συνολικό κόστος του μονοπωλητή κατά το πόσο του φόρου Επομένως η συνάρτηση κέρδους θα γίνει: Π = -0,5Q +16Q-0-48= -0,5Q +16Q-68. Βρίσκουμε που μεγιστοποιούνται τα κέρδη. Π'(Q) = -Q+16=0 Π''(Q) =-1<0 Δηλαδή το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη του θα παραμείνει 16 αλλά το επίπεδο των κερδών του θα μειωθεί. 14

15 Τηλ: Άσκηση 4 Τα οριακά έσοδα (MR) μιας μονοπωλιακής επιχείρησης εξαρτώνται από τις dtr πωλήσεις (Q) και δίνονται από την συνάρτηση: MR 60 Q Q dq Τα σταθερά της έσοδα είναι μηδέν. Να ορισθούν: Ι) Η συνάρτηση των συνολικών εσόδων TR. ΙΙ) Η συνάρτηση ζήτησης P=f(Q). ΙΙΙ) Τα πεδία ορισμού και τιμών της συνάρτησης ζήτησης του ερωτήματος (ΙΙ), δεδομένου ότι η συνάρτηση πρέπει να ικανοποιεί την οικονομική συνθήκη να είναι φθίνουσα στα σχετικά διαστήματα. Λύση Ι) TR MRQdQ 60 Q Q dq 60Q Q Q c Δεδομένου ότι τα σταθερά έσοδα της επιχείρησης είναι μηδέν, έχουμε TR0 0 c 0 Επομένως: TRQ 60Q Q Q II) Η συνάρτηση συνολικών εσόδων TR ορίζεται ως: TR= P.Q και επομένως TR P P 60Q Q Q III) Ως μαθηματική συνάρτηση, η συνάρτηση ζήτησης ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ως συνάρτηση που εκφράζει την σχέση μεταξύ τιμής προϊόντος και της αντίστοιχης ζητούμενης ποσότητας προϊόντος θα πρέπει επίσης να ικανοποιεί τα ακόλουθα κριτήρια: ι) P 0, ιι) Q 0, και ιιι) να είναι φθίνουσα (σύμφωνα με τη σχετική οικονομική θεωρία). Η συγκεκριμένη συνάρτηση είναι δευτέρου βαθμού. Επειδή ο συντελεστής του Q είναι αρνητικός, στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω και έχει μέγιστο στο σημείο 1 Qmax Είναι φθίνουσα για Q>-/4, επομένως και για Q>0. 4 Τα σημεία τομής της με τον άξονα των ποσοτήτων Q, βρίσκονται επιλύνοντας την εξίσωση P=0. Οπότε έχουμε: P 0 60 Q Q 0 Q Q ,1 Q1 8,76 Q1, 4 4 Q 10,6 Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ζήτησης είναι (0, 8,76). Το πεδίο τιμών εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής και φθίνουσα στο πεδίο ορισμού είναι το διάστημα (Ρ(8,76), Ρ(0)) = (0, 60) 15

16 Τηλ: Άσκηση 5 Το συνολικό κόστος (TC) μιας επιχείρησης εξαρτάται από την παραγόμενη ποσότητα(q) και δίνεται από τη συνάρτηση: TC Q 4Q 1Q Ι) Βρείτε την συνάρτηση μέσου κόστους AC και οριακού κόστους MC. Για ποια τιμή του Q το μέσο κόστος ισούται με το οριακό. ΙΙ) Σε πιο σημείο είναι η κλίση της καμπύλης μέσου κόστους ίση με το μηδέν. Λύση Ι) Από τον τύπο του μέσου κόστους είναι: TC Q 4Q 1Q AC Q 4Q1 Q Q Ομοίως από τον τύπο του οριακού κόστους είναι: dtc MC Q 8Q 1 dq Εξισώνουμε το μέσο κόστος με το οριακό κόστος για να βρούμε την τιμή που είναι ίσα: AC MC Q 4Q1Q 8Q1 Q 4Q 0 QQ 0 Q 0 ή Q= Η ρίζα Q=0 απορρίπτεται εφόσον η συνάρτηση μέσου κόστους δεν έχει νόημα για Q=0. ΙΙ) Η κλίση της καμπύλης μέσου κόστους ισούται με την παράγωγο του μέσου κόστους. Οπότε έχουμε: dac 0 Q 4 0 Q dq Άρα το σημείο είναι το (, 8) Άσκηση 6 Δίνονται η συνάρτηση ζήτησης: Q d = 80-10Q και η συνάρτηση προσφοράς: Q s = -5Q +90Q +10 (α) Να προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών της συνάρτησης προσφοράς (η συνάρτηση προσφοράς πρέπει να είναι αύξουσα συνάρτηση). (β) Να βρεθεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας. (γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης προσφοράς στο σημείο ισορροπίας. (δ) Έστω ότι η συνάρτηση προσφοράς δίνεται από την εξίσωση που βρήκατε στο ερώτημα (γ). Αν η κυβέρνηση αποφασίζει την επιβολή φόρου t ανά μονάδα προϊόντος, να υπολογίστε τον φόρο t o οποίος μεγιστοποιεί τα φορολογικά έσοδα. Υποθέστε ότι μετά την επιβολή φόρου η αγορά βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (Ζήτηση = Προσφορά). 16

17 Τηλ: Λύση (α) Για το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προσφοράς θα πρέπει να ισχύουν: dqs Q 0, Q s >0 διότι οι αρνητικές τιμές δεν έχουν νόημα καθώς και 0 dq γιατί η συνάρτηση πρέπει να είναι αύξουσα. Οπότε είναι: Qs 0-5Q +90Q Η συνάρτηση είναι δευτεροβάθμια και έχει μέγιστο (γιατί 5 0) στο σημείο β Δ K, α. Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ: 4β Δ και 415 4α Άρα K9, 415 Ακόμη για Q0 είναι Q s 10 Η συνάρτηση είναι αύξουσα στο διάστημα 0 Q 9, άρα το πεδίο ορισμού της είναι το διάστημα 0,9 και οι τιμές της στο διάστημα αυτό είναι 10 Q s 415, άρα το πεδίο τιμών είναι το διάστημα 10, 415. Άλλος τρόπος εύρεσης του πεδίου ορισμού: Χρησιμοποιώντας την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης βρίσκουμε ότι: dq s 10Q 90 0 Q 9 dq. Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το: 0 Q 9. (β) Στο σημείο ισορροπίας η ζήτηση ισούται με την προσφορά, οπότε έχουμε: 80 10Q5Q 90Q10 5Q 100Q70 0 Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας δίνονται από τον τύπο 100 (100) 4( 70)( 5) * Q1,, ( 5) 10 * δηλαδή Q1 4,9 10 * και Q 15,1 η οποία απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο πεδίο 10 ορισμού. Η τιμή ισορροπίας είναι: 17

18 Τηλ: Q 80 10(4,9) 1. s (γ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης προσφοράς στο σημείο ισορροπίας δίνεται από την γραμμική συνάρτηση: y- y = Q (x- x ) ( xισορροπίας) ισορροπίας s ισορροπίας Q s 10Q (4,9) Επομένως είναι: y - 1= 41(x -4,9) y = 41x - 00,9 + 9 y = 41x + 18,1 (δ) Αντικαθιστούμε Qs - t στην συνάρτηση προσφοράς Qs t 41Q18,1 Qs 41Q18,1t. (Η άσκηση μπορεί να λυθεί επίσης αντικαθιστώντας Qs t στην συνάρτηση ζήτησης). Μετά την επιβολή φόρου βρισκόμαστε σε κατάσταση ισορροπίας, άρα: Ζήτηση = Προσφορά 1 41Q18,1t 80 10Q51Q41,9 t Q 41,9 t. 51 Τα συνολικά φορολογικά έσοδα είναι 1 1 T tqt 41,9 tt 41,9t t Για να μεγιστοποιήσουμε τη συνάρτηση φορολογικών εσόδων εφαρμόζουμε τα κριτήρια πρώτης και δεύτερης παραγώγου: dt KΠΠ: 0 41,9 t 0 t 10,95 dt dt ΚΔΠ: 0. dt Άρα ο φόρος που μεγιστοποιεί τα φορολογικά έσοδα είναι t=10,95. Άσκηση 7 Οι συναρτήσεις οριακού κόστους και οριακών εσόδων μιας επιχείρησης είναι: - MC = q( q + ) και MR = q + q αντίστοιχα, όπου q 0. Γνωρίζουμε επίσης ότι, όταν η επιχείρηση παράγει μονάδες προϊόντος, το συνολικό κόστος παραγωγής ανέρχεται στις 760 χρηματικές μονάδες, ενώ όταν η επιχείρηση πουλάει μια μονάδα προϊόντος τα συνολικά έσοδα ανέρχονται σε 10 χρηματικές μονάδες. Ζητούνται: (α) η συνάρτηση συνολικού και μέσου κόστους (β) η συνάρτηση συνολικών εσόδων (γ) η συνάρτηση ζήτησης της συγκεκριμένης επιχείρησης. (δ) Αν η συνάρτηση οριακού εσόδου μιας επιχείρησης εξαρτάται από τον χρόνο MR() t t 1 βρείτε τα συνολικά έσοδα της επιχείρησης κατά τα 5 πρώτα έτη λειτουργίας της. 18

19 Τηλ: Λύση (α) Το οριακό κόστος είναι: 4 5 MC 0 1q(q ) 0 1q(q 4q 4) 0 1q 48q 48q Το συνολικό κόστος προκύπτει από την ολοκλήρωση της συνάρτησης του οριακού κόστους TC MCdq 0dq 1q dq 48q dq 48qdq 0q c q c 1q c 4q c q q 1q 4q c όπου c c1c c c,c 1,c,c Για να προσδιορίσουμε την τιμή της σταθεράς c χρησιμοποιούμε ότι TC = 760 για q=. Έτσι έχουμε: c c c 54 Άρα η γενική μορφή της συνάρτησης συνολικού κόστους είναι η ακόλουθη: 6 4 TC 0q q 1q 4q 54 Και επομένως η συνάρτηση μέσου ολικού κόστους έχει τη μορφή: TC 5 54 ATC 0 q 1q 4q q q (β) Τα συνολικά έσοδα προκύπτουν από την ολοκλήρωση της συνάρτησης οριακών εσόδων 1 - q q q TR MRdq q + qdq c ' c ' 1 q Επειδή TR = 10 για q=1 έχουμε: 1 10 c ' 10 c ' c ' 10,5 1 Άρα η γενική μορφή της συνάρτησης συνολικών εσόδων είναι η ακόλουθη q TR 10,5 q (γ) Η συνάρτηση ζήτησης προσδιορίζετε ως εξής: Γνωρίζουμε ότι: TR p q p TR p = - + q + 10,5 q q q q 10,5 Άρα η συνάρτηση ζήτησης είναι p=- + + q q (δ) Ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση οριακών εσόδων ως προς το χρόνο t από t 0 μέχρι t Έχουμε t MR(t)dt = t -1 dt = = - = 0 19

20 Τηλ: Άσκηση 8 Η ακόλουθη συνάρτηση συνδέει συνολικό κόστος και παραγόμενη ποσότητα: TC(q) = q + q Ι) Γράψτε τις συναρτήσεις του Οριακού Κόστους (Marginal Cost - MC), του Μέσου Συνολικού Κόστους (Average Total Cost - ATC), και του Μέσου Σταθερού Κόστους (Average Fixed Cost - AFC). II) Βρείτε την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το ATC. Υπολογίστε το ATC και το MC σε αυτή την ποσότητα. Τι παρατηρείτε; Λύση dtc Ι) Το οριακό κόστος είναι : MC 10 6q dq TC 000 Το μέσο ολικό κόστος είναι: ATC 10 q q q FC 000 Το μέσο σταθερό κόστος είναι: AFC q q ΙΙ) Για να βρούμε την ποσότητα που ελαχιστοποιεί το ΑΤC παίρνουμε την πρώτη παράγωγο ως προς q και την θέτουμε ίση με το μηδέν. datc datc = 0 = (-1)q = 0 = q = 000 = q = 5.8 dq dq q Για να βεβαιώσουμε ότι σε αυτή την ποσότητα ελαχιστοποιείται το ATC παίρνουμε την δεύτερη παράγωγο ως προς την ποσότητα και ελέγχουμε αν είναι θετική. datc - = q 000 > 0 dq Για την τιμή q=5,8 έχουμε: ATC5,8 = 164,9 MC5,8 =164,9 Παρατηρούμε ότι στο ελάχιστο σημείο του ATC το MC=ATC Άσκηση 9 Στην αγορά ενός προϊόντος υπάρχουν δύο καταναλωτές Α και Β με τις ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης: p=150-qa p=68-0,5qb όπου p η τιμή του προϊόντος και qa και q B η ζήτηση για τους δύο καταναλωτές αντίστοιχα. Η συνάρτηση συνολικής προσφοράς του προϊόντος είναι: pq 50Q400, όπου Q η συνολική ποσότητα που προσφέρεται στους δύο καταναλωτές. Ι) Να προσδιορισθούν τα πεδία ορισμού και τιμών των δύο συναρτήσεων ζήτησης. II) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση συνολικής ζήτησης του προϊόντος και τα πεδία ορισμού και τιμών της. (Η συνολική ζήτηση του προϊόντος στην αγορά προκύπτει από την άθροιση της ζήτησης των δύο καταναλωτών, (πχ. Q=q ). A +qb 0

21 Τηλ: ΙΙΙ) Να προσδιοριστούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων συνολικής ζήτησης και προσφοράς ΙV) Να βρεθεί η τιμή και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος V) Να υπολογισθεί η ελαστικότητα ζήτησης του προϊόντος στο σημείο ισορροπίας και να ερμηνευθεί. Λύση Ι) Για τον καταναλωτή Α ισχύει p 0 οπότε 150 qa 0 q A 75 και p qa p 150. Άρα 0 p 150 και 0 q A 75 Για τον καταναλωτή B ισχύει p 0 οπότε 68 0,5qB 0 qb p0 p68. Άρα 0 p 68 και 0 q B 16 qb και ΙΙ)Από τα πεδία τιμών του p στις συναρτήσεις ζήτησης των δύο καταναλωτών προκύπτει ότι η ανώτατη τιμή για τον καταναλωτή Α είναι οι 150 ν.μ., ενώ για τον καταναλωτή Β οι 68 ν.μ. Επομένως για τιμές μικρότερες των 68 ν.μ. τότε αγοράζουν και οι δύο καταναλωτές, ενώ για τιμές μεγαλύτερες των 68 ν.μ. μόνον ο καταναλωτής Α. Επομένως η συνάρτηση συνολικής ζήτησης είναι η ίδια με τη συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή Α για τιμές 68 p 150 Για τιμές p 68 η συνάρτηση συνολικής ζήτησης είναι: QqA qb Q75 0,5 p16 pq11,5 p Όταν p 68 τότε 41. q A Επομένως η συνάρτηση συνολικής ζήτησης είναι: 150 Q 0 Q 41 p 84,4 0,4 Q 41 Q 11 ΙΙΙ)Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνολικής ζήτησης βρέθηκε από το προηγούμενο ερώτημα και είναι: 0 Q 11,ενώ αντίστοιχα το πεδίο τιμών της είναι 0p150Για την συνάρτηση συνολικής προσφοράς είναι γνωστό ότι 10, που σημαίνει ότι η συνάρτηση έχει ελάχιστο. Η συνάρτηση τέμνει τον οριζόντιο άξονα στα σημεία: Q1 10 Q1, Q 40 Άρα στο διάστημα 0Q 10 η συνάρτηση έχει μη αρνητικές τιμές αλλά είναι φθίνουσα, στο διάστημα 10 Q 40 έχει αρνητικές τιμές, ενώ στο διάστημα 40 Q έχει μη αρνητικές τιμές και είναι αύξουσα, και επομένως αυτό είναι και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνολικής προσφοράς Το πεδίο τιμών είναι το [0, ) 1

22 Τηλ: ΙV)Η ποσότητα ισορροπίας της αγοράς προκύπτει από την ισότητα μεταξύ συνολικής ζήτησης και προσφοράς: Για 0Q 41, η ισορροπία συνεπάγεται 150 QQ 50Q 400 Q 48Q 50 0 Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι Q1 4,06 Q1, και οι δύο λύσεις απορρίπτονται διότι Q 5,94 η τιμή της Q 1 τιμή είναι εκτός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης ζήτησης, και η τιμή της Q είναι εκτός του πεδίου ορισμού της συνάρτησης προσφοράς. Για 41Q 11, η ισορροπία συνεπάγεται 84, 4 0, 4QQ 50Q 400 Q 49,6Q 15,6 0 Οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: 49,6 460, 16, 4 Q1 4,1 Q1,, αποδεκτή είναι η Q1. Q 7,5 * Επομένως η ποσότητα ισορροπίας είναι Q 4,1 και η τιμή ισορροπίας * * p 84, 4 0, 4(4,1) p 67,56. (Υπόψη ότι αν αντικατασταθεί η ποσότητα ισορροπίας στην συνολική προσφορά προκύπτει p (4,1) 50(4,1) , 41) V)Στο σημείο ισορροπίας η συνάρτηση ζήτησης είναι : 84, 4 1 Q p 11,5 p 0, 4 0, 4 Η ελαστικότητα ζήτησης βρίσκεται από τον τύπο: dq p 67,56 d,5 4 dp Q 4,1 Επομένως αύξηση της τιμής κατά 1% προκαλεί μείωση της ζητούμενης ποσότητας κατά 4% και αντίστροφα μείωση της τιμής κατά 1% προκαλεί αύξηση της ζητούμενης ποσότητας κατά 4% Άσκηση 10 H συνάρτηση οριακού κόστους μιας επιχείρησης είναι MC 100 9Q, και το συνολικό κόστος που αντιστοιχεί σε επίπεδο παραγωγής 4 μονάδων είναι 640. (Α) Να βρεθεί η συνάρτηση του συνολικού κόστους παραγωγής. (Β) Να υπολογισθεί το μέσο κόστος που αντιστοιχεί σε παραγωγή 1 μονάδων. (Γ) Να βρεθεί το ύψος παραγωγής στο οποίο το μέσο κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται και να υπολογισθεί η ελάχιστη τιμή του μέσου κόστους παραγωγής (Ε) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης του μέσου κόστους παραγωγής, ΑC Γρ, στο σημείο που η ποσότητα παραγωγής είναι Q=4

23 Τηλ: Λύση (Α) H συνάρτηση του συνολικού κόστους μας δίνεται από το ολοκλήρωμα της συνάρτησης του οριακού κόστους. Έτσι έχουμε: 1 TC (100 9Q )dq 100Q 9 Q c 100Q Q c Για Q 4, το συνολικό κόστος είναι TC 640. Συνεπώς, αντικαθιστώντας στην συνάρτηση TC παίρνουμε: (4 ) 100(4) c640 c 48 και συνεπώς η συνάρτηση του συνολικού κόστους είναι: TC Q 100Q 48 (Β) Το μέσο κόστος δίνεται από τη σχέση AC=TC/Q, επομένως το μέσο κόστος που αντιστοιχεί σε παραγωγή 1 μονάδων είναι: TC(1) (1 ) 100(1) 48 AC(1) (Γ) Έχουμε Q 100Q 48 AC, έ Q dac d Q 100Q 48 d ( ) (Q 100 ) 6Q dq dq Q dq Q Q dac : 0 6Q 48 Q 8 Q dq dac 96 : 6 0 dq Q Επομένως το μέσο κόστος παραγωγής ελαχιστοποιείται για Q= και το () 100() 48 ελάχιστο μέσο κόστος είναι AC 16 (Ε) Η παράγωγος μία συνάρτησης σε κάποιο σημείο εκφράζει την κλίση της εφαπτόμενης της καμπύλης της συνάρτησης στο σημείο αυτό. Επομένως η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο (α,f(α)) μιας συνάρτησης f(x) είναι: y f ( a) f ( a)( x a) Στην περίπτωσή μας πρέπει να βρούμε την εξίσωση της εφαπτόμενης της συνάρτησης του μέσου κόστους AC(Q) στο σημείο (4, ΑC(4)). Η ζητούμενη εξίσωση είναι: AC( Q) AC(4) AC(4) ( Q 4) Είναι: 48 AC(4) (4 ) ' 48 AC (4) 6(4) 1 4

24 Τηλ: Αντικαθιστώντας τις τιμές, έχουμε: AC( Q) ( Q 4) Επομένως η ζητούμενη γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης κόστους είναι: AC 76 1Q Άσκηση 11 Δίνονται οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς αντίστοιχα QD 80 10P και QS P 10P5 Να βρεθούν το πλεόνασμα του καταναλωτή (ΠΚ ή CS) και το πλεόνασμα του παραγωγού(ππ ή ΡS) για την τιμή Ρ = 15. Λύση Πλεόνασμα καταναλωτή είναι το μέγιστο ποσό που ένας αγοραστής είναι πρόθυμος να πληρώσει για ένα αγαθό μείον το ποσό που τελικά πληρώνει για να το αποκτήσει. Αριθμητικά ισούται με το εμβαδόν της περιοχής κάτω από την καμπύλη της συνάρτησης ζήτησης και πάνω από την τιμή της αγοράς. Υπολογίζεται με τον εξής τύπο: p1, Q P dp p D όπου είναι η τιμή της εκφώνησης και P η τιμή που προκύπτει από την P 1 λύση της εξίσωσης QD 0. QD P1 0 P1 8 Οπότε το πλεόνασμα καταναλωτή είναι: 4

25 Τηλ: p1 D p Q dp 80 10P dp 80 dp 10P dp P 8 80P P 5 P Άρα ο καταναλωτής αγοράζοντας ποσότητα αγαθών Q έχει πλεόνασμα 645 χ.μ. D Προσοχή! Σε περίπτωση που η συνάρτηση ζήτησης είναι εκφρασμένη με μεταβλητή q, PD q δηλαδή, τότε ο τύπος για το πλεόνασμα του καταναλωτή είναι: q 1 Pq dq pq 0 1 1, όπου p1 είναι η τιμή της εκφώνησης και q1 η ποσότητα που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή. 8 Πλεόνασμα παραγωγού στην τιμή p 1 λέγεται το επιπλέον ποσό που διατίθεται να χάσει ο παραγωγός προσφέροντας τα αγαθά του σε τιμή μικρότερη από την τιμή p 1. Αριθμητικά ισούται με το εμβαδόν της περιοχής πάνω από την καμπύλη της συνάρτησης προσφοράς και κάτω από την τιμή της αγοράς. Υπολογίζεται με τον εξής τύπο: p1, Q P dp p S 5

26 ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΕΑΠ ΔΕΟ 1 Ν. ΠΑΝΤΕΛΗ Τηλ: όπου είναι η τιμή της εκφώνησης και P η τιμή που προκύπτει από την P 1 λύση της εξίσωσης QS 0. 5 QS 0 P 10P 5 0 P 5 0 P Οπότε το πλεόνασμα του παραγωγού είναι: p1 D p Q dp P 10P 5 dp P dp 10 P dp 5 dp P 15 P 10 5P P 5 P 5 P , Άρα ο παραγωγός πουλώντας ποσότητα αγαθών Q έχει πλεόνασμα, χ.μ. S Προσοχή! Σε περίπτωση που η συνάρτηση προσφοράς είναι εκφρασμένη με μεταβλητή q, δηλαδή P q, τότε ο τύπος για το πλεόνασμα του παραγωγού είναι: S q 1 S 1 1 p 1 P q dq p q, όπου είναι η τιμή της εκφώνησης και q η 0 1 ποσότητα που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή. 6