Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Transcript

1 Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglks.gr 3 / 1 0 / σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα σε κυρτότητα 6 Ασκήσεις εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για τις παραγώγους ανώτερης τάξης Γραφική παράσταση Γραφική παράσταση της ονομάζουμε το σύνολο των σημείων (,,z) των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση z=(,). (Δηλαδή για να σχηματίσουμε την γραφική παράσταση της παριστάνουμε τις τιμές της (,) ως ύψη z πάνω από τα αντίστοιχα σημεία (,). Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Έτσι μια κλειστή περιοχή περιέχει και το σύνορό της ενώ μια ανοικτή δεν το περιέχει. Μια περιοχή ονομάζεται φραγμένη αν περιέχεται μέσα σε κάποιο κύκλο δηλαδή αν τα σημεία της δεν τείνουν στο άπειρο. Μια κλειστή και φραγμένη περιοχή ονομάζεται συμπαγής. Γειτονιά ενός σημείου (, ) στο επίπεδο θα ονομάζουμε έναν ανοικτό δίσκο Ν, ο οποίος έχει για κέντρο του το (, ). την ακτίνα του δίσκου., : G Με άλλα λόγια r όπου ο r εκφράζει Έστω συνάρτηση z οποίο τέμνει τη γραφική παράσταση της παράλληλο προς το -επίπεδο και ο αριθμός c δείχνει την απόσταση των δύο επιπέδων). Τα κοινά σημεία μορφής,, c, τα οποία αν τα προβάλουμε στο -επίπεδο (z=0) τότε θα δημιουργείται μία καμπύλη από σημεία της μορφής,,0 στο χώρο αλλά στο -επίπεδο θα έχουν τη μορ Ισοσταθμικές καμπύλες, και επίπεδο με εξίσωση : z C α των ρφή, c το (προφανώς το επίπεδο είναι z,, z c θα είναι σημεία της c η οποία θα αποτελεί 1

3 τηλ. Οικίας : κινητό : ισοσταθμική καμπύλη. Αν είναι γραμμή πίεσης ονομάζεται ισοβαρής. Αν είναι γραμμή δυναμικού ονομάζεται ισοδυναμική. Αν είναι γραμμή ύψους ονομάζεται ισουψής. Πρώτης τάξης : ως προς :, ως προς :, Μερική παράγωγος για την, (θεωρώ μεταβλητή σταθερά) και (θεωρώ τη μεταβλητή χ σταθερά) Κλίση της grad στο σημείο, δείχνει προς ποια κατεύθυνση η συνάρτηση αυξάνει γρηγορότερα : είναι ένα διάνυσμα ( ανάδελτα) το οποίο συμβολίζεται και,,,,,,, Με ιδιότητες grad g grad gradg grad g g grad gradg grad a a grad τελεστής Nabla ή Hamiltn g grad gradg grad g g Η κλίση ενός πεδίου σε ένα σημείο Α είναι το κάθετο διάνυσμα στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας στο σημείο Α Δεύτερης τάξης : ως προς :,, ως προς :,, ως προς, :,, δύο τελευταίες καλούνται μικτές μερικές παράγωγοι Διαφορικό 1ης τάξης : στο σημείο, : αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και είναι συνεχείς στο σημείο τότε η συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σ αυτό το σημείο και ολικό διαφορικό της συνάρτησης στο σημείο είναι :,, για κάθε μικρή μεταβολή των, Διαφορικό ης τάξης : Εσσιανή μήτρα : της στο,, : H, d d d. Εκφράζει τη μεταβολή της συνάρτησης d d dd d είναι η μέτρα όλων των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης στο Το νου σου (διαφορικό) : Αν u,, t, t u u d u d t, οι

4 τηλ. Οικίας : κινητό : Πεπλεγμένη μορφή : έστω συνάρτηση : Γραμμική προσέγγιση : της στο, d, 0 d u,, u 0 u u u, αν υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι 1 ης & ης τάξης και είναι συνεχείς στο σημείο τότε η,,,, Αρμονική συνάρτηση : Παράγωγος κατά κατεύθυνση :., : 0 Αλυσωτή Παραγώγιση (δέντρο εξάρτησης μεταβλητών) : Οι μεταβλητές που εμφανίζονται μπορεί να συνδέονται μεταξύ τους με περισσότερες από μία συναρτήσεις.π.χ. z,, u, v, u, v Για το δέντρο εξάρτησης των μεταβλητών : z,, t, t δηλαδή η συνάρτηση είναι συνάρτηση μόνο μίας μεταβλητής, της t Οπότε d d d λόγω του παρακάτω σχήματος (,) d d Προσοχή : στα, t χρησιμοποίησα d και όχι γιατί είναι συναρτήσεις μίας μεταβλητής Για το δέντρο εξάρτησης των μεταβλητών : z,, t, t, t δηλαδή η συνάρτηση είναι συνάρτηση μόνο μίας μεταβλητής, της t d d d Οπότε λόγω του παρακάτω σχήματος t 3

5 τηλ. Οικίας : κινητό : (,,) t t d d t Ασκήσεις για λύση : 1. Να γίνει το δέντρο εξάρτησης των μεταβλητών : z,, t, t, t δηλαδή η συνάρτηση είναι συνάρτηση μόνο μίας μεταβλητής, της t. Να γίνει το δέντρο εξάρτησης των μεταβλητών : z,, δηλαδή η συνάρτηση είναι συνάρτηση μόνο μίας μεταβλητής, της χ 3. Να γίνει το δέντρο εξάρτησης των μεταβλητών : w,, z, t, t,() z z t δηλαδή η συνάρτηση είναι συνάρτηση μόνο μίας μεταβλητής, της t 4. Να γίνει το δέντρο εξάρτησης των μεταβλητών : z,, w,, w w δηλαδή η συνάρτηση είναι συνάρτηση μόνο μίας μεταβλητής, της Να βρεις μερικές παραγώγους 1 ης και ης τάξης 5. (,,) z sin() z 3 z 6. (,,) z z 3 z z 7. (,,) z e z Να βρεις το διαφορικό των συναρτήσεων : 8. (,) arctan (,) ln() (,) 3 t d (,,) z z, e, t, z ln t ; 1. Δίνεται η συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι αρμονική (,) ln 4

6 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις την κλίση της συνάρτησης Να βρεις το ολικό διαφορικό (,) ln arctan Ν.δ.ο. είναι αρμονική Να βρεις την κλίση της συνάρτησης Να βρεις το ολικό διαφορικό 13. Δίνεται η συνάρτηση (,,) z e sin cz, a b c ab 14. Δίνεται η συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι αρμονική Να βρεις την κλίση της συνάρτησης Να βρεις το ολικό διαφορικό 15. Δίνεται η συνάρτηση (,,) z e z Ν.δ.ο. είναι αρμονική Να βρεις την κλίση της συνάρτησης Να βρεις το ολικό διαφορικό Δίνεται η συνάρτηση (,,) 6 9 z z Ν.δ.ο. είναι αρμονική Να βρεις την κλίση της συνάρτησης Να βρεις το ολικό διαφορικό (,) ln arctan Ν.δ.ο. είναι αρμονική Να βρεις την κλίση της συνάρτησης Να βρεις το ολικό διαφορικό 17. Δίνεται η συνάρτηση 18. Δίνεται η συνάρτηση (,,) z ze cs z 19. Δίνεται η συνάρτηση (,,) z, να βρεις την κλίση της στο (0,0,1) z, να βρεις την κλίση της στο Α(1,,1) d 0. Δίνεται η συνάρτηση (,), cs, t sin t, να βρεις με κανόνα αλυσίδας το, t 1. Δίνεται η συνάρτηση αλυσίδας το d. Δίνεται η συνάρτηση, r s t (,,) t cs t t cs, e t, ln t, να βρεις με κανόνα r, να βρεις με κανόνα αλυσίδας το s (,,) z z,, r ln, s z r 3. Δίνεται συνάρτηση (,), u, v u v, να αποδείξεις ότι : 4. Δίνεται συνάρτηση (,), cs r, u sin r u, να αποδείξεις ότι : 5 z z u v

7 τηλ. Οικίας : κινητό : sin u csu r u r csu sin u r u r 1 r r u 5. Δίνεται συνάρτηση (,), u v, uv, να αποδείξεις ότι : u v u v d 6. (,,) z z, e, z 3 ; d Συνάρτηση ζήτησης : q D p Συνάρτηση προσφοράς : q S p D S Οικονομικές Συναρτήσεις Σημείο Ισορροπίας : market equilibrium : το σημείο στο οποίο q S q D z p D p S p Συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης : Νεκρό σημείο : break event pint : το σημείο όπου το κέρδος είναι 0 (έσοδα=έξοδα) Συνολική συνάρτηση : () Οριακή συνάρτηση : d d Μέση συνάρτηση : () Συνολικά έσοδα : ttal revenue : TRq Οριακό κόστος : marginal cst : MC q dtc q μικρή μεταβολή κατά μία μονάδα της παραγόμενης ποσότητας Μέσο κόστος : average cst : AC q TC q Οριακό έσοδο : marginal revenue : MR q q dq εκφράζει τη μεταβολή του κόστους που οφείλεται σε και εκφράζει το κόστος ανά μονάδα προιόντος dtr q στη μεταβολή κατά 1 μονάδα της παραγόμενης ποσότητας Μέσο έσοδο : average revenue : AR q TRq q dq, εκφράζει τη μεταβολή των εσόδων που οφείλεται, εκφράζει το έσοδο κατά μονάδα προιόντος 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : Ελατικότητα : elasticit : της ως προς ορίζεται ο λόγος : εξαρτημένης μεταβλητής όταν η ανεξάρτητη μεταβληθεί κατά 1%, εκφράζει τη μεταβολή της Αν p η τιμή, q η ποσότητα q D p d Τελείως ελαστική dq p d ελαστικότητα ζήτησης dp q d 1 Ελαστική : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά ένα μεγαλύτερο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση d 1 Μοναδιαία ελαστικότητα : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 0 d 1 Ανελαστική : αν η τιμή του μεταβληθεί κατά ένα ποσοστό τότε η ζητούμενη ποσότητα μεταβάλλεται κατά ένα μικρότερο ποσοστό στην αντίθετη κατεύθυνση 0 Τελείως ανελαστική d Ελαστικότητα της ζήτησης Q ως προς το εισόδημα Ι: I I I Κανονικά αγαθά Κατώτερα αγαθά Ουδέτερα αγαθά Κυρτότητα : (,) I dq I di Q εσσιανή θετικά ορισμένη (ή ημιορισμένη) (,) εσσιανή αρνητικά ορισμένη (ή ημιορισμένη) 7

9 τηλ. Οικίας : κινητό : Έστω συνάρτηση... Υπολογίζω, δηλαδή '(), ''() οπότε λύνω το 0... και δημιουργώ την H στην οποία αντικαθιστώ την τιμή του χ που βρήκα H1*1 0 min H1*1 0 ma Έστω συνάρτηση,... Υπολογίζω,,,,, οπότε λύνω το σύστημα 0...,... 0 και δημιουργώ την H στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των, που έχω βρει H 0, H 0 min 1*1 * H 0, H 0 ma 1*1 * H * 0 ό H * 0 ;;; Έστω συνάρτηση,, z... Υπολογίζω,, z,,, z,,, z, z, z, zz οπότε λύνω το σύστημα ,..., z... z 0 και δημιουργώ την z H z z z zz στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των,, z που έχω βρει H 0, H 0, H 0 min 1*1 * 3*3 H 0, H 0, H 0 ma 1*1 * 3*3 Έστω συνάρτηση,... με συνθήκη g, Υπολογίζω L, L, L & g, g L 0 οπότε λύνω το σύστημα L 0...,...,... L 0 c τότε δημιουργώ την L,, c g, και δημιουργώ την 0 g g H g L L στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των, που έχω βρει g L L H 0 min H 0 m a 8

10 τηλ. Οικίας : κινητό : Έστω συνάρτηση,, z... με συνθήκες,,,,, g z c g z c τότε δημιουργώ την 1 1 L,, z,,, z c g,, z c g,, z Υπολογίζω L, L, L & g, g L L οπότε λύνω το σύστημα L z L ,..., z..., και δημιουργώ την H g g g 1 1 1z g g g z g1 g L L Lz στην οποία αντικαθιστώ τις τιμές των,, z που έχω βρει g g L L L 1 z g g L L L 1z z z z zz H 0 min H 0 m a Ασκήσεις για λύση : Να υπολογίσεις τα ακρότατα των συναρτήσεων : (,) 5 3 (,) 3 1, (,) 9 7 (,) (,) (,) (,)

11 τηλ. Οικίας : κινητό : (,) (,) (,) (,) 1 e e (,) (,) sin sin sin,0, (,) e 4. Τα συνολικά κόστη μιας επιχείρησης συνδέονται με το εργατικό δυναμικό L και τον κεφαλαιακό εξοπλισμό Κ με τη συνάρτηση TC L K L K LK , να υπολογίσεις το TCmin 43. Να βρεις σημείο M, τέτοιο ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις ευθείες : 0, 0, 1 0 να είναι ελάχιστο 44. Να βρεις το σημείο M, σταθερά σημεία Α,Β,Γ,Δ να είναι ελάχιστο 45. Να βρεις απόσταση τέτοιο ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του από τέσσερα A 1,0,, : z Να βρεις θετικούς αριθμούς με άθροισμα 1 και μέγιστο γινόμενο 47. Να βρεις ελάχιστη απόσταση της επιφάνειας : z 1 1 από το O0,0,0 Να υπολογίσεις τα ακρότατα με συνθήκη :,, 1 48.,, (,), (,), 1 (,), (,), (,), (,), (,), 3 (,), 10 (,), 100 (,) 3 4 1, 16,, z z, z 1,

12 τηλ. Οικίας : κινητό : (,,) z 400 z, Να βρεις την κυρτότητα των συναρτήσεων : (,) (,) (,) z 1 Ολικά ακρότατα. Συχνά μας ενδιαφέρουν οι ακρότατες τιμές μιας συνάρτησης (,) σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της, δηλαδή η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της. Οι τιμές αυτές ονομάζονται ολικές ή απόλυτες ακρότατες τιμές, σε αντίθεση με τις τοπικές που εξετάσαμε προηγουμένως. ενώ τα σημεία στα οποία η παίρνει αυτές τις τιμές ονομάζονται ολικά ακρότατα σημεία. Σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να μην υπάρχει το ένα ή και τα δύο ολικά ακρότατα. Μια συνάρτηση (,) που είναι συνεχής σε συμπαγή περιοχή έχει ολικά ακρότατα σ' αυτή την περιοχή. Έστω συνάρτηση (,), η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους σε κάποια περιοχή του επιπέδου. Καθε σημείο ολικού ακρότατου της, αν υπάρχει θα είναι : α) ελεύθερο στάσιμο σημείο στην περιοχή ή β) δεσμευμένο στάσιμο σημείο του συνόρου ή γ) κορυφή όπου τέμνονται δύο καμπύλες του συνόρου. Άσκηση Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα σημεία της συνάρτησης (,) = + στην τριγωνική περιοχή που περιβάλλεται από τους άξονες =0, =0 και την ευθεία +=, συμπεριλαμβανόμενου ολόκληρου του συνόρου. Λύση : Η περιοχή είναι συμπαγής και η συνάρτηση συνεχής, επομένως υπάρχουν ολικά ακρότατα σημεία Έχουμε: 0 Ελεύθερα στάσιμα : 0, 0(0, 0) A 0 Δεσμευμένα στάσιμα : Εδώ πρέπει να εξετάσουμε χωριστά τις τρεις καμπύλες του συνόρου. AB : 0(,)(,0) '() 0 0, 0 A : 0(,)(0,) B : (,)(, ) '() , 5 5 '() 0 0,

13 τηλ. Οικίας : κινητό : Άρα έχουμε τα σημεία μαζί με τις κορυφές : Α(0,0), Β(1,0), Γ(0,), Δ(4/5, /5) με τιμές (0,0) = 0, (1,0) = 1, (0,) = 4, (4/5, /5) = 4/5 οι ολικές ακρότατες τιμές θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ αυτών των αριθμών. μέγιστη τιμή είναι 4 και παρατηρείται στο σημείο Γ(0,), ενώ η ελάχιστη είναι 0 παρατηρείται στο σημείο Α(0,0). Άρα η και Στο σχήμα είναι η γραφική παράσταση της z=(,) = +,το -επίπεδο και η τριγωνική περιοχή εντός της οποίας τα, λαμβάνουν τιμές. Για να βρούμε το τμήμα της επιφάνειας z=(,) = + που μας ενδιαφέρει θα πρέπει να φέρουμε τρία κατακόρυφα επίπεδα, με ίχνη στο και το τμήμα που αποκόπτουν από την z=(,) = + επίπεδο την τριγωνική περιοχή, είναι το προς εξέταση για τα ολικά ακρότατα. Στο Στο παραπάνω σχήμα είναι το -επίπεδο,οι εξισώσεις των ευθειών του επιπέδου που καθορίζουν την τριγωνική περιοχή και τα τρία κατακόρυφα επίπεδα με τις εξισώσεις τους γραμμένες αντιστοίχως επάνω. Τα τρία επίπεδα σχηματίζουν ένα ορθό πρίσμα με βάση την τριγωνική περιοχή. Εδώ απεικονίζονται τα δύο από τα τρία επίπεδα (όχι το --=0 διότι θα κάλυπτε το τμήμα της επιφάνειας που ενδιαφέρει). Επάνω στην επιφάνεια με την παχύτερη γραμμή είναι οι τρεις τομές των επιπέδων. Στο σχήμα δεν υπάρχουν τα επίπεδα και έχει τονισθεί η περιοχή που ενδιαφέρει. Οι τρεις τρισδιάστατες καμπύλες, ως το σύνορο, συμπεριλαμβάνονται στο υπό εξέταση τμήμα της επιφάνειας. Οι εξισώσεις τους έχουν ως εξής: Η καμπύλη Β Γ προκύπτει από την τομή της z=(,) = + και του επιπέδου --=0. Η καμπύλη OΒ προκύπτει από την τομή της z=(,) = + και του επιπέδου = =0. Η καμπύλη ΟΓ προκύπτει από την τομή της z=(,) = + και του επιπέδου =0. 1