Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2α: (Βοηθητικό υλικό) Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών
Σκοποί ενότητας Κατανόηση της χρήσης του Χάρτη Karnaugh 2
Περιεχόμενα ενότητας Γενικές πληροφορίες περί του Χάρτη Karnaugh Απλοποίηση λογικής συνάρτησης 3
Μέρος 1 ο Γενικές πληροφορίες περί του Χάρτη Karnaugh
Γενικές πληροφορίες περί του Χάρτη Karnaugh Τα απαραίτητα βήματα για τη δημιουργία και συμπλήρωση ενός χάρτη
Γενικές πληροφορίες Ο αποτελεί έναν εύκολο τρόπο για να απλοποιηθούν πολύπλοκες συναρτήσεις εξόδου. Για να δημιουργηθεί ένας σωστός χάρτης ακολουθήστε τα ακόλουθα: 1. Στον χάρτη πρέπει να συμμετέχουν όλες οι μεταβλητές της συνάρτησης, π.χ. αν F (A,B,C,D), πρέπει να υπάρχουν και οι τέσσερις μεταβλητές A,B,C,D 2. Κάθε παράγοντας στήλης ή γραμμής του χάρτη πρέπει να διαφέρει από την επόμενη ή την προηγούμενη κατά ΕΝΑΝ ΜΟΝΟ ΟΡΟ. 3. Ο χάρτης είναι κυκλικός, δηλαδή η πρώτη στήλη/γραμμή επικοινωνεί με την τελευταία στήλη/γραμμή. Κατά συνέπεια ισχύει το (2) και για τα όρια του χάρτη. Σημείωση_1: δεν έχει σημασία με ποιον παράγοντα θα ξεκινήσετε (ΑΒ ή ΑΒ') αρκεί πάντα ο προηγούμενος με τον επόμενο να έχουν έναν κοινό όρο. 6
Χάρτης για συνάρτηση 4 μεταβλητών Εικόνα 1: για συνάρτηση 4 μεταβλητών 7
Συμπλήρωση του πίνακα 4. Αν η συνάρτηση έχει δοθεί ως αναλυτικό άθροισμα ελαχιστόρων, τότε τοποθετούμε έναν άσσο εκεί που βρίσκεται ο κάθε ελαχιστόρος ξεχωριστά. Π.χ. F(A,B,C,D) = ABC'D + ABCD' + AB'C'D + A'B'CD' + AB'C'D' + A'BC'D + ABC'D = m 13 + m 14 + m 9 + m 2 + m 8 + m 5 + m 12 = Σ(2,5,8,9,12,13,14) το νούμερο των ελαχιστόρων για κάθε θέση, προκύπτει αν διαβάσουμε μαζί τον δυαδικό αριθμό της στήλης και της γραμμής (με την σειρά που δίνονται στην συνάρτηση, δηλαδή πρώτα το Α μετά το Β κ.ο.κ) και γράψουμε τον δεκαδικό αριθμό που αντιστοιχεί σε αυτόν. π.χ. ΑB'CD' = 1010 (2) = 5 (10) 8
Συμπλήρωση του πίνακα 5. Ομαδοποίηση άσσων: οι άσσοι ομαδοποιούνται οριζόντια ή κάθετα, αλλά ΠΟΤΕ διαγώνια. οι άσσοι ομαδοποιούνται σε 2άδες, 4άδες, 8άδες, 16άδες κ.ο.κ Ο αριθμός των άσσων που μετέχουν σε μία ομάδα πρέπει να είναι δύναμη του 2 και όχι πολλαπλάσιο αυτού. Δηλαδή,6 άσσοι δεν κάνουν έγκυρη ομάδα. Επιλέγονται πάντα οι μεγαλύτερες δυνατές ομάδες Κάθε άσσος μπορεί να συμμετέχει σε παραπάνω της μία ομάδες, αν αυτό οδηγεί σε περαιτέρω απλοποίηση. Αν όλοι οι άσσοι έχουν τοποθετηθεί σε τουλάχιστον μία ομάδα, η απλοποίηση σταματά. 9
Συμπλήρωση του πίνακα 6. Απλοποίηση συνάρτησης: Από κάθε ομάδα αναγράφονται στην τελική συνάρτηση μόνο οι κοινοί όροι μεταξύ των άσσων που μετέχουν. Άσσοι που δεν είναι δυνατόν να ομαδοποιηθούν επαναλαμβάνονται ως έχουν. 10
Μέρος 2 ο Απλοποίηση της συνάρτησης
Απλοποίηση της συνάρτησης Μέθοδος για την απλοποίηση της συνάρτησης με τη βοήθεια του Χάρτη
Απλοποίηση συνάρτησης Εικόνα 2: Παράδειγμα απλοποίησης 13
Απλοποίηση συνάρτησης ομάδα 1: 4άδα με κοινούς όρους τους AC' ομάδα 2: 2άδα με κοινούς όρους τους ABD' (ανήκουν στην ίδια στήλη, οπότε διατηρούν τους όρους της ως έχουν -AB- και από τις 2 γραμμές που καταλαμβάνουν, κρατείται ο κοινός όρος D') ομάδα 3: 2άδα με κοινούς όρους BC'D (ανήκουν στην ίδια γραμμή, οπότε διατηρούν τους όρους της ως έχουν -C'D- και από τις 2 στήλες που καταλαμβάνουν, κρατείται ο κοινός όρος Β) 14
Απλοποίηση συνάρτησης Ο άσσος που δεν μετέχει σε ομάδα (κίτρινο χρώμα): διατηρεί όλους τους όρους που τον απαρτίζουν, A'B'CD' Εικόνα 3: Ανάλυση του παραδείγματος 15
Άλλες περιπτώσεις Σε περίπτωση που η συνάρτηση δε δίνεται ως άθροισμα ελαχιστόρων, τότε πρέπει να την κάνουμε εμείς χρησιμοποιώντας άλγεβρα Boole. Παράδειγμα: F(A,B,C,D) = ABC + ABD + AB +ABCD Παρατηρούμε ότι από τον 1 ο όρο λείπει το D, από το 2 ο όρο το C και από τον 3 ο όρο τα C & D. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα x + x = 1, η συνάρτηση γράφεται: F(A,B,C,D) = ABC + ABD + AB + ABCD = ABC(D+D ) + AB(C+C )D+AB(C+C )(D+D ) + ABCD Μετά τους πολλαπλασιασμούς, η συνάρτηση καταλήγει στη μορφή που πρέπει. 16
Τέλος Ενότητας
Ανάπτυξη Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό αναπτύχθηκε από την Ερευνητική Ομάδα Δομικής Ανάλυσης και Ευφυών Υλικών του Εργαστηρίου Τεχνικής Μηχανικής και Ταλαντώσεων. http://saam.mech.upatras.gr 18
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 19
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Πολυτεχνική Σχολή, Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών, Δημήτρης Σαραβάνος. Δημήτρης Σαραβάνος. «Εισαγωγή στους Η/Υ.». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/mech1203/ 20
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 21
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 22
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Οποιοδήποτε έργο στην παρούσα ενότητα, έχει δημιουργηθεί από το διδάσκοντα του μαθήματος ή/και την Τμηματική Ομάδα Εργασίας και παρέχεται με την ίδια άδεια CC BY-NC-SA 4.0 23