ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ορισμοί Χαρακτηριστικά μεγέθη Η διάδοση μιας διαταραχής στο χώρο ονομάζεται κύμα. Για τη δημιουργία ενός κύματος απαιτείται η πηγή του κύματος (η αφετηρία της διαταραχής) και το μέσο διάδοσης (ο χώρος στον οποίο θα διαδοθεί η διαταραχή). Όταν το μέσο διάδοσης είναι ένα υικό, όα τα μόρια του οποίου αηεπιδρούν με τα γειτονικά τους, τότε ονομάζεται εαστικό μέσο. Το κύμα που διαδίδεται σε ένα εαστικό μέσο ονομάζεται μηχανικό κύμα. Σε ένα μηχανικό κύμα, πηγή του κύματος μπορεί να είναι ένα μόριο του εαστικού μέσου το οποίο διαταράσσεται (μετατοπίζεται από τη θέση ισορροπίας του). Η αηεπίδραση του μορίου με τα γειτονικά του προκαεί δυνάμεις που τείνουν να επαναφέρουν το μόριο στη θέση ισορροπίας του και δυνάμεις που τείνουν να εκτρέψουν τα γειτονικά του μόρια από τις θέσεις ισορροπίας τους. Ως αποτέεσμα αυτής της αηεπίδρασης, η διαταραχή διαδίδεται και όα τα σημεία του υικού εαστικού μέσου εκτεούν διαδοχικά την ίδια κίνηση με αυτή της πηγής γύρω από τη θέση ισορροπίας τους, χωρίς να μεταφέρονται σε άες περιοχές του χώρου. Για την πρόκηση μιας κυματικής διαταραχής απαιτείται προσφορά ενέργειας σε κάποια περιοχή του μέσου. Κατά τη διάδοση του κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από ένα σημείο του μέσου στο άο, όχι όμως και ύη. Αν, αντί για διαταραχή της κατάστασης ισορροπίας των μορίων ενός εαστικού μέσου, έχουμε διαταραχή της έντασης του ηεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου του χώρου, τότε το κύμα που προκύπτει ονομάζεται ηεκτρομαγνητικό κύμα. Σε αντίθεση με το μηχανικό κύμα, το ηεκτρομαγνητικό μπορεί να διαδίδεται και στο κενό. Αν η πηγή του κύματος εκτεεί περιοδική κίνηση, τότε το κύμα που προκύπτει ονομάζεται περιοδικό κύμα. Αν η πηγή του κύματος εκτεεί απή αρμονική ταάντωση, τότε το κύμα που προκύπτει ονομάζεται ημιτονοειδές ή αρμονικό κύμα. Αποδεικνύεται ότι μια κυματική διαταραχή, οσοδήποτε περίποκη κι αν είναι, μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων. 1

Ταχύτητα (u) διάδοσης του κύματος: x u = t u = ταχύτητα κύματος (σταθερή) x = απόσταση στην οποία διαδίδεται η διαταραχή t = απαιτούμενος χρόνος για τη διάδοση της διαταραχής Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος δεν εξαρτάται από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. 2

Περίοδος (Τ) του κύματος: Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα σωματίδιο του εαστικού μέσου οοκηρώνει μια αρμονική ταάντωση. Σε μια περίοδο του κύματος, η κυματική εικόνα επανααμβάνεται. Συχνότητα (f) του κύματος: Είναι η συχνότητα με την οποία τααντώνονται τα σημεία του μέσου διάδοσης. Μήκος κύματος (): Είναι η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου. Απόσταση ίση με απέχουν δύο σημεία του εαστικού μέσου διάδοσης που έχουν την ίδια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται κατά την ίδια φορά. 3

Τα φυσικά μεγέθη των αρμονικών κυμάτων Σύμβοο Μονάδα Μέτρησης ταχύτητα κύματος u m/s απόσταση διάδοσης x m χρόνος t s περίοδος κύματος T s συχνότητα κύματος f Hz μήκος κύματος m 4

Είδη μηχανικών κυμάτων - Κριτήρια διάκρισης Θεμειώδης εξίσωση κυματικής Τα μηχανικά κύματα διακρίνονται σε εγκάρσια και σε διαμήκη. Κριτήριο διάκρισης είναι η διεύθυνση κίνησης των σημείων του εαστικού μέσου. Εγκάρσια ονομάζονται τα μηχανικά κύματα στα οποία τα σημεία του εαστικού μέσου διάδοσης τααντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Διαμήκη ονομάζονται τα μηχανικά κύματα στα οποία τα σημεία του εαστικού μέσου τααντώνονται παράηα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά και κατά προσέγγιση στις επιφάνειες υγρών. Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται στα στερεά, στα υγρά και στα αέρια. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται σχηματίζοντας όρη και κοιάδες, ενώ τα διαμήκη σχηματίζοντας πυκνώματα και αραιώματα ύης. Θεμειώδης εξίσωση κυματικής Σε χρόνο t = T το κύμα διαδίδεται κατά x = : x u = u = u = f t T 5

Εξίσωση κύματος Διαφορά φάσης Στιγμιότυπο Κύματος Εξίσωση κίνησης ενός σημείου του μέσου διάδοσης Η εξίσωση που δίνει την απομάκρυνση y από τη θέση ισορροπίας ενός σημείου του εαστικού μέσου διάδοσης ενός μηχανικού κύματος ως προς την απόσταση x του σημείου από την πηγή του κύματος και ως προς το χρόνο t στον οποίο διαδίδεται το κύμα, ονομάζεται εξίσωση κύματος: t x y= Aηµ 2π y = απομάκρυνση από θέση ισορροπίας A = πάτος ταάντωσης (πάτος του κύματος) T = περίοδος κύματος = μήκος κύματος t = χρονική στιγμή x = απόσταση από την πηγή του κύματος Η γωνία t x φ= 2π ονομάζεται φάση του κύματος. Απόδειξη της εξίσωσης κύματος: Η πηγή του κύματος Ο ξεκινά τη χρονική στιγμή t0 = 0 να εκτεεί απή αρμονική ταάντωση της μορφής y(0) = Aηµω t. Ένα τυχαίο σημείο Μ, το οποίο απέχει απόσταση x από την πηγή Ο θα εκτεέσει, όγω της διάδοσης του κύματος από την πηγή Ο προς το σημείο Μ, την ίδια κίνηση με την πηγή, αά με χρονική καθυστέρηση t 1, που εξαρτάται από την ταχύτητα του κύματος και από την απόσταση x: x x u = t1 = t u 1 Επομένως, τη χρονική στιγμή t, ενώ η πηγή έχει τααντωθεί για χρόνο t με εξίσωση y(0) = Aηµω t, το σημείο Μ έχει τααντωθεί μόνο για χρόνο t = t t1 με εξίσωση: ( ) y= Aηµωt y= Aηµω t t 1 Με αντικατάσταση έχουμε: x 2π x t x y= Aηµω t y= Aηµ t y= Aηµ 2π u T f ft 6

και επειδή f 1 = : T t x y= Aηµ 2π για x t. u Αν το κύμα διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά: t x y= Aηµ 2π + Διαφορά φάσης δύο σημείων του μέσου την ίδια χρονική στιγμή: Έστω δύο σημεία Κ, Λ στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Οι φάσεις τους ως προς το χρόνο δίνονται από τις εξισώσεις: t xk φ K = 2π x K t φ Λ = 2π Με αφαίρεση κατά μέη, έχουμε: t xk t xλ t xk t xλ φk φ Λ = 2π 2π = 2π 2π 2π + 2π = T T x x 2π π + π = ( ) K Λ 2 2 xλ xk Επομένως: 2π φk φ Λ = K ( x x ) Λ φk φ Λ = k 2 π k = 1, 2, 3,... έμε ότι τα σημεία Κ, Λ βρίσκονται σε o Όταν ( ) συμφωνία φάσης. Τότε ισχύει ότι o Όταν ( ) x x = k K φk φ Λ = k 2 π+π k = 0,1, 2,... έμε ότι τα σημεία Κ, Λ βρίσκονται σε αντίθεση φάσης. Τότε ισχύει ότι Λ x K x Λ = k + 2 Μεταβοή φάσης ενός σημείου του μέσου για δύο χρονικές στιγμές: Έστω ένα σημείο Κ στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Οι φάσεις της ταάντωσής του τις χρονικές στιγμές t A και t B δίνονται από τις εξισώσεις: 7

t T A φ A = 2π x t B φ B = 2π T x Με αφαίρεση κατά μέη, έχουμε: t x t x t x t x T T T T B A B A φb φ A = 2π 2π = 2π 2π 2π + 2π = t t 2π π π = T T T ( ) B A 2 2 tb ta Επομένως: 2π φ = t T ή φ = ω t Εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση των υικών σημείων του μέσου. Αφού σε ένα αρμονικό κύμα κάθε σημείο στο οποίο φτάνει η διαταραχή εκτεεί Α.Α.Τ. θα ισχύουν για την κίνησή του όα όσα μάθαμε στις απές αρμονικές τααντώσεις. Έτσι, για παράδειγμα, αν η εξίσωση ταάντωσης ενός σημείου του t x μέσου περιγράφεται από τη σχέση y= Aηµ 2π, τότε η ταχύτητά του θα t x περιγράφεται από τη σχέση u = ωaσυν2π και η επιτάχυνσή του από τη 2 t x σχέση a = ω Aηµ 2π. Γραφική παράσταση της φάσης του κύματος συναρτήσει της θέσης κάποια στιγμή: 8

t 1 φ= 2π x Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι: 1. τη στιγμή t 1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x 1 και φάση ίση με μηδέν έχει ένα μόνο σημείο του εαστικού μέσου, αυτό που βρίσκεται στη θέση x 1. 2. τη στιγμή t 1 η πηγή του κύματος έχει φάση φ 1. 3. η φάση φ μειώνεται καθώς κινούμαστε στην κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. Γραφική παράσταση της φάσης ενός υικού σημείου συναρτήσει του χρόνου: t φ= 2π x 1 Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι τη στιγμή t 1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x 1. Γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των σημείων του εαστικού μέσου διάδοσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόστασή τους από την πηγή (στιγμιότυπο του κύματος): y A 2 t 1 = ηµ π x 9

Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι: 1. τη στιγμή t 1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x 1. 2. τη στιγμή t 1 το σημείο στη θέση x 1 θα ξεκινήσει να εκτεεί την ίδια ταάντωση με εκείνη που ξεκίνησε η πηγή του κύματος τη στιγμή t = 0. 3. Από τον αριθμό των επαναήψεων (N) της κυματικής εικόνας μπορούμε να υποογίσουμε τον αριθμό των τααντώσεων που έχει εκτεέσει η πηγή (N) και τη φάση της πηγής (2π N) τη στιγμή t 1. Γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας ενός υικού σημείου συναρτήσει του χρόνου: t y= Aηµ 2π x 1 Από τη μορφή της γραφικής παράστασης συμπεραίνουμε ότι: 1. τη στιγμή t 1 το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση x 1. 2. Τη στιγμή t 1 το σημείο στη θέση x 1 θα ξεκινήσει να εκτεεί την ίδια ταάντωση με εκείνη που ξεκίνησε η πηγή του κύματος τη στιγμή t = 0. Ημερομηνία τροποποίησης: 18/7/2011 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μεέτη της συμβοής κυμάτων στην επιφάνεια υγρού Τι ονομάζουμε συμβοή κυμάτων; Συμβοή ονομάζουμε την ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων διαταραχών στη ίδια περιοχή ενός εαστικού μέσου. 1

Αρχή της επαηίας (ή υπέρθεσης) στην κυματική. "Aν σ ένα σημείο ενός εαστικού μέσου συναντηθούν δύο ή περισσότερες κυματικές διαταραχές, τότε το σημείο αυτό θα κινηθεί έτσι ώστε η απομάκρυνση του να ισούται με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που θα είχε, εάν η κάθε διαταραχή διερχόταν από το σημείο ξεχωριστά." Σημειώστε ότι η αρχή της επαηίας δεν ισχύει στις περιπτώσεις όπου οι διαταραχές είναι τόσο ισχυρές, ώστε οι δυνάμεις μεταξύ των μορίων του μέσου παύουν να είναι ανάογες της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας ή μεταβάουν τις ιδιότητες του μέσου. 2

Μεέτη της συμβοής δύο επιφανειακών κυμάτων, τα οποία εκπέμπονται από δύο όμοιες και σύγχρονες πηγές. Έστω Π1, Π 2 δύο σύγχρονες πηγές (δηαδή έχουν την ίδια συχνότητα και την ίδια αρχική φάση) στην επιφάνεια ενός υγρού, οι οποίες τααντώνονται κάθετα στην επιφάνεια του υγρού, με το ίδιο πάτος A. Έστω M ένα υικό σημείο της επιφάνειας, το οποίο απέχει r 1 από την πηγή Π 1 και r από την 2 Π 2, τότε αν τη χρονική στιγμή t στο M έχουν φτάσει και οι δύο διαταραχές, οι επιμέρους απομακρύνσεις του M είναι: t r1 y1 = Aηµ 2π t r2 y2 = Aηµ 2π Η συνισταμένη απομάκρυνση του M είναι: y= y1+ y2 ή t r t r y= Aηµ 2π + Aηµ 2π 1 2. Από την τριγωνομετρική ιδιότητα: a+ b a b ηµ a+ ηµ b= 2 ηµ συν 2 2. Η παραπάνω γράφεται: r1 r2 t r1+ r2 y = 2Aσυν 2 π ηµ 2π 2 2 Η εξίσωση αυτή, παριστάνει γραμμική αρμονική ταάντωση, πάτους r1 r2 A = 2A συν 2π και συχνότητας ίσης με τη συχνότητα των κυμάτων. Το πάτος 2 A' εξαρτάται από τη διαφορά των αποστάσεων του υικού σημείου από τις πηγές. 3

Τι ονομάζουμε ενισχυτική συμβοή; Αν στο σημείο M τα δύο κύματα φτάνουν έτσι ώστε να δίνουν ταυτόχρονα δύο όρη ή δύο κοιάδες, το αποτέεσμα της επαηίας θα είναι να δημιουργηθεί όρος με διπάσιο ύψος ή κοιάδα με διπάσιο βάθος αντίστοιχα. Λέμε τότε ότι τα κύματα συμβάουν ενισχυτικά ή ότι το M είναι σημείο ενισχυτικής συμβοής. Στην εξίσωση της συμβοής παρατηρούμε ότι το πάτος της ταάντωσης του σημείου M είναι μέγιστο και ίσο με 2A, δηαδή είναι σημείο ενίσχυσης αν: r r r r = συν π = συν π = ± = = ή ισοδύναμα: 1 2 1 2 A 2A 2A 2A 1 r1 r2 N, N 0,1,2, 3,... r1 r2 = N, N = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... (συνθήκη ενίσχυσης) Συνεπώς τα υικά σημεία της επιφάνειας των οποίων οι αποστάσεις από τις πηγές διαφέρουν κατά ακέραιο ποαπάσιο του μήκους κύματος τααντώνονται με μέγιστο πάτος.! Για N= 0 είναι r 1 = r 2, συνθήκη που επαηθεύεται από τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τις δύο πηγές. 4

Τι ονομάζουμε απόσβεση ή ακυρωτική συμβοή; Αν στο υικό σημείο M τα κύματα συναντώνται έτσι ώστε το ένα να δίνει όρος και το άο κοιάδα, τότε συνεχώς οι επιμέρους απομακρύνσεις που προκαούν θα είναι αντίθετες. Συνεπώς η συνισταμένη απομάκρυνση του M θα είναι μηδενική, δηαδή το σημείο θα παραμένει ακίνητο. Λέμε τότε ότι έχουμε απόσβεση και το M είναι σημείο αποσβεστικής (ή αναιρετικής ή ακυρωτικής) συμβοής. Στην εξίσωση της συμβοής το πάτος της ταάντωσης του σημείου M είναι μηδενικό. Δηαδή: r r r r = συν π = συν π = = ( + ), 1 2 1 2 A 0 2A 0 0 r1 r2 2N 1 2 όπου N = 0,1, 2, 3,... r1 r2 = 2N + 1, N = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... (συνθήκη ακυρωτικής συμβοής) 2 ή ισοδύναμα: ( ) Άρα τα σημεία της επιφάνειας των οποίων οι αποστάσεις από τις πηγές διαφέρουν κατά περιττό ποαπάσιο του 2 παραμένουν ακίνητα.! Αν r 1 r 2 N r r 2N + 1, τότε προφανώς το πάτος της ταάντωσης A' 2 και ( ) 1 2 A' του σημείου της επιφάνειας είναι: 0 < A < 2A. Υπερβοές ενίσχυσης και απόσβεσης Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία r1 r2 =σταθερή είναι υπερβοή. Έτσι τα σημεία ενίσχυσης και απόσβεσης βρίσκονται πάνω σε υπερβοές με εστίες τις πηγές A και B, για τους διάφορους ακεραίους N. Σημειώστε ότι μεταξύ των πηγών παρεμβάεται περιττό πήθος υπερβοών ενίσχυσης και άρτιο πήθος υπερβοών απόσβεσης. 5

Μεέτη της συμβοής κυμάτων με αντίθετες διευθύνσεις, εξίσωση στάσιμου κύματος Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα; Έστω ότι δύο κύματα με το ίδιο πάτος και την ίδια συχνότητα διαδίδονται ταυτόχρονα στο ίδιο γραμμικό εαστικό μέσο με αντίθετη φορά. Το αποτέεσμα της συμβοής τους αποτεεί μία ιδιαίτερη κυματική διαμόρφωση που ονομάζεται στάσιμο κύμα. Στο γραμμικό μέσο που συμβάουν τα δύο κύματα εμφανίζονται σημεία τα οποία είναι ακίνητα και ονομάζονται δεσμοί. Όα τα υπόοιπα σημεία του μέσου τααντώνονται με τη συχνότητα των κυμάτων. Δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν σταθερή απόσταση μεταξύ τους, ενώ στο μέσο αυτής της απόστασης βρίσκονται σημεία που τααντώνονται με μέγιστο πάτος, διπάσιο από αυτό των κυμάτων και ονομάζονται κοιίες. 6

Σε μια εαστική χορδή διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα, με το ίδιο πάτος, την ίδια φάση, την ίδια συχνότητα αά προς αντίθετη κατεύθυνση, δημιουργώντας στάσιμο κύμα. Να προσδιορίσετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. Έστω ότι κατά μήκος ενός γραμμικού και εαστικού μέσου το οποίο ταυτίζεται με τον οριζόντιο άξονα xόx διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα. Το κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα έχει εξίσωση: t x y1 = Aηµ 2π t x ενώ το διαδιδόμενο προς την αρνητική φορά: y2 = Aηµ 2π + Σύμφωνα με την αρχή της επαηίας η απομάκρυνση ενός σημείου όταν και τα δύο κύματα έχουν φτάσει σε αυτό είναι: t x t x y= y1+ y2 y= Aηµ 2π + Aηµ 2π + Με τη βοήθεια της: a+ b a b ηµ a+ ηµ b= 2 ηµ συν 2 2 είναι: x t y = 2Aσυν 2 π ηµ 2π T Η τεευταία παριστάνει αρμονική ταάντωση συχνότητας ίσης με αυτή των οδεύοντων κυμάτων και πάτους x A = 2A συν 2π το οποίο εξαρτάται από τη θέση των σημείων. 7

Σε ποιες θέσεις του μέσου βρίσκονται οι κοιίες; Για μία κοιία θα πρέπει: A = 2A ή 2πx συν = ± 1 ή x = k με k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... Συνθήκη κοιιών 2 Σε ποιες θέσεις του μέσου βρίσκονται οι δεσμοί; Για τα ακίνητα σημεία (δεσμοί) είναι: A = 0 ή 2πx συν = 0 ή x = ( 2k + 1) με k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... Συνθήκη δεσμών 4 * Για k < 0 προκύπτουν οι δεσμοί και οι κοιίες του αρνητικού ημιάξονα. (! Στην παραπάνω μεέτη το σημείο Ο(x=0) που χρησιμοποιήσαμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων είναι κοιία.) 8

Πόσο απέχουν δύο διαδοχικές κοιίες; Οι θέσεις δύο διαδοχικών κοιιών θα είναι x = k και x = k όπου k = k+ 1. Άρα η 2 2 απόσταση μεταξύ τους θα ισούται με: d= x x ή d k k 2 2 d = 2 d = k+ 1 k ή 2 2 = ή ( ) Πόσο απέχουν δύο διαδοχικοί δεσμοί; Οι θέσεις δύο διαδοχικών δεσμών είναι x = ( 2k + 1) και ( ) 4 k = k+ 1. Η μεταξύ τους απόσταση θα είναι: d x x d= ( 2( k+ 1) + 1) ( 2k+ 1) ή 4 4 d = 2 x = 2k + 1, όπου 4 = + + ή 4 4 = ή d ( 2k 1) ( 2k 1) Πόσο απέχει μία κοιία από τον πησιέστερο δεσμό; Για τον ίδιο ακέραιο k η θέση της κοιίας θα είναι xk = k και του δεσμού 2 xδ = ( 2k + 1). 4 d = xk xδ = 2k + 1 k ή d =. 4 2 4 Άρα η απόσταση μεταξύ τους θα είναι: ( ) 9

Η διαταραχή που περιγράψαμε δεν αποτεεί κύμα, αφού η ενέργεια δεν διαδίδεται αά παραμένει εντοπισμένη μεταξύ των δεσμών. Για το όγο αυτό έχει δοθεί στη διαταραχή αυτή το όνομα "στάσιμο κύμα". Επίσης, τα υικά σημεία του μέσου δεν εκτεούν διαδοχικά την ίδια κίνηση όπως σε ένα οδεύον κύμα, αά τααντώνονται (με εξαίρεση τους δεσμούς) με την ίδια συχνότητα και διαφορετικό πάτος. Δύο σημεία του μέσου μπορεί να βρίσκονται είτε σε συμφωνία φάσης ( φ = 0) είτε σε αντίθεση φάσης ( φ = π rad). Τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών (άτρακτος) βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, άρα περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας κινούμενα προς την ίδια κατεύθυνση και ταυτόχρονα φτάνουν στις ακραίες θέσεις προς την ίδια κατεύθυνση. Αντίστοιχα, τα σημεία εκατέρωθεν ενός δεσμού και σε διαδοχικές ατράκτους βρίσκονται σε αντίθεση φάσης, άρα περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας κινούμενα προς αντίθετη κατεύθυνση και φτάνουν ταυτόχρονα στις ακραίες θέσεις προς την αντίθετη κατεύθυνση. T Προφανώς, ανά t = όα 2 τα σημεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας και η χορδή ευθυγραμμίζεται. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ημερομηνία τροποποίησης: 21/07/2011 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Παραγωγή και διάδοση ηεκτρομαγνητικών κυμάτων Μια μηχανική διαταραχή μπορεί να διαδοθεί με ορισμένη ταχύτητα σε ένα εαστικό μέσον. Η διαταραχή προκαείται από κάποια πηγή και η διάδοσή της είναι το μηχανικό κύμα. Στην περίπτωση διαταραχής του ηεκτρικού (και συνακόουθα του μαγνητικού) πεδίου σε κάποιο μέσο ή ακόμα και στο κενό, η ηεκτρομαγνητική διαταραχή διαδίδεται με ορισμένη ταχύτητα και ονομάζεται ηεκτρομαγνητικό κύμα. Πώς παράγεται όμως μια ηεκτρομαγνητική διαταραχή; Έστω δύο μεταικοί αγωγοί, οι οποίοι είναι συνδεδεμένοι με τους πόους μιας πηγής συνεχούς τάσης. Οι αγωγοί φορτίζονται με αντίθετα φορτία άρα δημιουργείται και διαδίδεται ένα ηεκτρικό πεδίο της μορφής: Εικόνα 1: Ηεκτρικό πεδίο αγωγών συνδεδεμένων με πηγή συνεχούς τάσης Αν οι αγωγοί συνδεθούν με πηγή εναασσόμενης τάσης, τα φορτία τους θα μεταβάονται περιοδικά με το χρόνο, ακοουθώντας τη συχνότητα της πηγής. Το σύστημα αυτό ονομάζεται τααντούμενο ηεκτρικό δίποο. Οι κεραίες των ραδιοφωνικών και τηεοπτικών σταθμών είναι τααντούμενα δίποα. Το δημιουργούμενο ηεκτρικό πεδίο θα μεταβάεται επίσης περιοδικά με το χρόνο. Αν υποθέσουμε ότι τη χρονική στιγμή t=0 το φορτίο κάθε αγωγού είναι μηδέν, τότε καθώς η τάση μεταβάεται ο ένας αγωγός φορτίζεται θετικά και ο άος αρνητικά, δημιουργώντας γύρω από αυτούς ηεκτρικό πεδίο το οποίο διαδίδεται στο χώρο. -q Εικόνα 2: Τααντούμενο ηεκτρικό δίποο +q Το ηεκτρικό πεδίο αποκτά τη μέγιστη ένταση όταν οι αγωγοί αποκτήσουν το μέγιστο φορτίο τους, δηαδή τη χρονική στιγμή T/4 όπου Τ είναι η περίοδος της πηγής. Στη συνέχεια, το φορτίο των αγωγών μειώνεται άρα και η ένταση του διαδιδόμενου ηεκτρικού πεδίου, έτσι ώστε τη χρονική στιγμή T/2 να μηδενιστεί. Ακοούθως η ποικότητα της πηγής αντιστρέφεται και οι αγωγοί αρχίζουν να φορτίζονται με αντίθετα φορτία. Η ένταση του ηεκτρικού πεδίου αρχίζει να αυξάνεται 1

με τη φορά των δυναμικών του γραμμών όμως να έχει αντιστραφεί. Τη χρονική στιγμή 3Τ/4 η ένταση του πεδίου θα αποκτήσει το μέγιστο μέτρο και πάι. Κατόπιν, το φορτίο των αγωγών μειώνεται κατά μέτρο άρα και η ένταση του πεδίου, έως τη χρονική στιγμή Τ που μηδενίζεται. Στη συνέχεια το φαινόμενο επανααμβάνεται. Η κίνηση των φορτίων αποτεεί ηεκτρικό ρεύμα μεταβαόμενης έντασης, άρα γύρω από τους αγωγούς θα εμφανίζεται και μαγνητικό πεδίο, κάθετα στο ηεκτρικό, το οποίο ακοουθεί ομοίως τη συχνότητα του ηεκτρικού ρεύματος. Το μαγνητικό πεδίο μηδενίζεται όταν μηδενίζεται το ηεκτρικό ρεύμα, άρα το φορτίο των αγωγών είναι μέγιστο και αντιστρόφως. Αυτό σημαίνει ότι τα δύο πεδία έχουν διαφορά φάσης 90 0. Σε μεγάη όμως απόσταση από το δίποο τα δύο πεδία είναι σε φάση. Εικόνα 3: Διάδοση του ηεκτρομαγνητικού κύματος 2

Εξισώσεις του αρμονικού ηεκτρομαγνητικού κύματος: Αν το ηεκτρικό φορτίο εκτεεί αρμονική ταάντωση στο ηεκτρικό δίποο, τότε το ηεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο μεταβάονται αρμονικά με το χρόνο, και στον άξονα x περιγράφονται από τις: t x Ε=Εmaxημ2π( - ) T t x Β=Βmaxημ2π( - ) T 3

Παρατηρήσεις α. Το ηεκτρομαγνητικό κύμα είναι εγκάρσιο, με τα διανύσματα των εντάσεων του ηεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου να είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Εικόνα 4: Εγκάρσιο ηεκτρομαγνητικό κύμα β. Όταν τα ηεκτρικά φορτία εκτεούν μεταβαόμενη κίνηση τότε δημιουργούν μεταβαόμενα ηεκτρικά και μαγνητικά πεδία, δηαδή δημιουργείται ηεκτρομαγνητικό κύμα. Συνεπώς αιτία της δημιουργίας του ηεκτρομαγνητικού κύματος είναι η επιταχυνόμενη κίνηση των φορτίων. γ. Τα ηεκτρομαγνητικά κύματα δεν απαιτούν την ύπαρξη εαστικού μέσου για τη διάδοση τους. δ. Τα ηεκτρομαγνητικά κύματα στο κενό διαδίδονται με ταχύτητα c=3 10 8 m/s. Αν u η ταχύτητα διάδοσης του κύματος σε κάποιο μέσο τότε πρέπει: E u = = B E B max max ε. Τα ηεκτρομαγνητικά κύματα υπακούουν στη θεμειώδη κυματική εξίσωση u = f (στο κενό αντίστοιχα είναι: c=f, όπου c=3 10 8 m/s) στ. Τα ηεκτρομαγνητικά κύματα υπακούουν στην αρχή της επαηίας των κυμάτων. 4

Ηεκτρομαγνητικό φάσμα Ηεκτρομαγνητικά κύματα παράγονται από τααντούμενα ηεκτρικά δίποα αά και κατά τις αποδιεγέρσεις των ατόμων ή των πυρήνων. Έτσι καύπτουν ένα πού μεγάο εύρος συχνοτήτων η οποία ονομάζεται ηεκτρομαγνητικό φάσμα. Ανάογα με τη συχνότητα τους έχουν διαφορετικές ιδιότητες και εφαρμογές. Ένας (όχι αυστηρός) διαχωρισμός του ηεκτρομαγνητικού φάσματος (κατά τη φθίνουσα τιμή του μήκους κύματος) των ακτινοβοιών στο κενό είναι: Τμήμα Φάσματος Ραδιοκύματα Μικροκύματα Υπέρυθρη Ακτινοβοία Ορατή Ακτινοβοία Υπεριώδης Ακτινοβοία Ακτίνες Χ (Röntgen) Ακτίνες γ Μήκος κύματος (στο κενό) Από 10 5 m έως μερικά cm Από 30cm έως 1mm Από 1mm έως 700nm Από 700nm έως 400nm Από 400nm έως 60nm Από 10-8 m έως 10-13 m Από 10-10 m έως 10-14 m Παραγωγή ηεκτρονικά κυκώματα ηεκτρονικά κυκώματα θερμά σώματα αποδιεγέρσεις ατόμων αποδιεγέρσεις ατόμων, Ήιος επιβράδυνση ηεκτρονίων σε μεταικό στόχο αποδιέγερση ραδιενεργών πυρήνων, πυρηνικές αντιδράσεις Χρήσεις ραδιοφωνία και τηεόραση ραντάρ, φούρνοι μικροκυμάτων, ιατρική εξειδικευμένη φωτογράφηση όραση, φωτοσύνθεση, φασματοσκοπία κτ Ιατρική Ιατρική, κρυσταογραφία Ιατρικές εφαρμογές, εργαστηριακές μεέτες 5

Ορατό Φάσμα Το ορατό φάσμα είναι το τμήμα της ηεκτρομαγνητικής ακτινοβοίας το οποίο γίνεται αντιηπτό από το ανθρώπινο μάτι. Εκτείνεται σε εύρος μηκών κύματος (στο κενό) μεταξύ 400nm και 700nm. Κάθε υποπεριοχή του ορατού φάσματος προκαεί την αίσθηση κάποιου χρώματος. Κατά προσέγγιση οι υποπεριοχές αυτές είναι: Μήκος κύματος στο κενό 400nm 440nm 440nm 480nm 480nm 560nm Χρώμα Ιώδες Κυανό Πράσινο 560nm 590nm Κίτρινο 590nm 630nm Πορτοκαί 630nm 700nm Ερυθρό Μονοχρωματική ονομάζεται η ακτινοβοία που περιέχει μήκη κύματος σε μία πού στενή περιοχή. Θεωρούμε ότι μια μονοχρωματική ακτινοβοία περιέχει μία μόνο συχνότητα, έννοια εξιδανικευμένη η οποία προσεγγίζεται από την ακτινοβοία που παράγουν τα laser. Ημερομηνία τροποποίησης: 21/07/2011 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Ανάκαση Όταν μια ακτίνα φωτός η οποία διαδίδεται σε ένα οπτικό μέσο προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια του μέσου με ένα δεύτερο μέσο, τότε ένα μέρος της ακτινοβοίας επιστρέφει στο αρχικό μέσο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ανάκαση. Εικόνα 1: Κατοπτρική ανάκαση Έστω ότι μία δέσμη παραήων ακτίνων φωτός προσπίπτει σε εία ανακαστική επιφάνεια (δηαδή οι ανωμαίες της επιφάνειας έχουν μέγεθος πού μικρότερο σε σχέση με το μήκος κύματος της ακτινοβοίας). Στην περίπτωση αυτή οι ακτίνες επιστρέφουν στο αρχικό μέσο διάδοσης παραμένοντας παράηες. Το φαινόμενο ονομάζεται κατοπτρική ανάκαση ή απώς ανάκαση. Η γωνία που σχηματίζει η προσπίπτουσα δέσμη με την κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης ονομάζεται γωνία πρόσπτωσης θ α ενώ η γωνία που σχηματίζει η ανακώμενη δέσμη με την κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης ονομάζεται γωνία ανάκασης θ r. προσπίπτουσα θ α θ r ανακώμενη Εικόνα 2: Γωνία πρόσπτωσης και γωνία ανάκασης Πειραματικά διαπιστώνουμε ότι: α. Η προσπίπτουσα και η ανακώμενη δέσμη ανήκουν στο ίδιο επίπεδο (επίπεδο ανάκασης), το οποίο είναι κάθετο στην ανακαστική επιφάνεια. 1 β. Η γωνία πρόσπτωσης θ α και είναι ίση με τη γωνία ανάκασης θ r : θ α =θ r

Αν οι ανωμαίες της ανακαστικής επιφάνειας είναι μεγαύτερες από το μήκος κύματος της ακτινοβοίας, δηαδή η επιφάνεια είναι τραχιά, τότε η ακτίνες της προσπίπτουσας δέσμης ανακώνται προς τυχαίες διευθύνσεις, σκορπίζοντας στο χώρο. Το φαινόμενο ονομάζεται διάχυση. Εικόνα 3: Διάχυση του φωτός Διάθαση του φωτός Όταν το φώς προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο οπτικών μέσων, τότε ένα τμήμα της δέσμης ανακάται και το υπόοιπο διέρχεται στο δεύτερο οπτικό μέσο. H εισερχόμενη στο δεύτερο μέσο δέσμη διαδίδεται με διαφορετική ταχύτητα σε σχέση με την προσπίπτουσα, εκτρέπεται από την αρχική διεύθυνση της και ονομάζεται διαθώμενη. Το φαινόμενο ονομάζεται διάθαση του φωτός. Η γωνία που σχηματίζει η διαθώμενη ακτίνα με την κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης ονομάζεται γωνία διάθασης θ b. Εικόνα 4: Διάθαση του φωτός 2

Δείκτης διαθάσεως Το φώς κινείται με τη μεγαύτερη ταχύτητα c=3 10 8 m/s στο κενό, ενώ στα υπόοιπα οπτικά μέσα κινείται με μικρότερη ταχύτητα (u). Ονομάζουμε δείκτη διαθάσεως n ενός υικού, για μία συγκεκριμένη συχνότητα φωτεινής ακτινοβοίας, το όγο της ταχύτητας του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα του στο υικό. Δηαδή: c n= u Ο δείκτης διαθάσεως είναι καθαρός αριθμός. Για το κενό (και προσεγγιστικά για τον αέρα) είναι n=1, ενώ για τα υπόοιπα υικά n>1. Αν ο δείκτης διαθάσεως ενός υικού μέσου Α είναι μεγαύτερος από το δείκτης διαθάσεως ενός υικού μέσου Β τότε έμε ότι το μέσο Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β. Ισοδύναμα, αν το φώς διαδίδεται με μικρότερη ταχύτητα σε ένα οπτικό μέσο Α από ότι σε ένα οπτικό μέσο Β, έμε ότι το μέσο Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β. 3

Νόμος του Snell Πειραματικά διαπιστώνουμε ότι: α. η προσπίπτουσα, η ανακώμενη και η διαθώμενη δέσμη ανήκουν στο ίδιο επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο στην ανακαστική επιφάνεια. Β. αν n α ο δείκτης διαθάσεως του οπτικού μέσου της προσπίπτουσας μονοχρωματικής ακτίνας και n b ο αντίστοιχος του οπτικού μέσου της διαθώμενης ακτίνας, τότε η γωνία πρόσπτωσης θ α και η γωνία διάθασης θ b, ικανοποιούν την εξίσωση: nαηµθ α = n b ηµθ b (νόμος Snell) 4

Σημαντικές παρατηρήσεις 1. Όταν το φώς αάζει μέσο διάδοσης, η συχνότητα του παραμένει σταθερή, αφού καθορίζεται από την πηγή της ακτινοβοίας. Μεταβάεται όμως η ταχύτητα διάδοση u, άρα και το μήκος κύματος, ώστε να υπακούει στην κυματική εξίσωση =u/f. 2. Αν n α <n b δηαδή αν το φώς διέρχεται από οπτικά αραιότερο προς οπτικά πυκνότερο μέσο, τότε θ α >θ b. Αντιστρόφως, αν n α >n b δηαδή το φώς διέρχεται από οπτικά πυκνότερο προς οπτικά αραιότερο μέσο, τότε θ α <θ b. 3. Αν θ α =0 τότε και θ b =0, δηαδή όταν το φώς προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια τότε η διαθώμενη ακτίνα έχει την ίδια διεύθυνση με την προσπίπτουσα. 4. O δείκτης διαθάσεως ενός οπτικού μέσου μπορεί να γραφτεί: c 0f 0 n= = = u f όπου 0 το μήκος κύματος της ακτινοβοίας στο κενό και στο οπτικό μέσο. 5. Για δύο οπτικά μέσα ισχύει: c n u u nb c u u α α b = = = b α b α 6. Τα φαινόμενα της ανάκασης και της διάθασης δεν αφορούν μόνο το οπτικό φάσμα, αά το σύνοο των ακτινοβοιών αά και τα μηχανικά κύματα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτεούν τα ραδιοκύματα τα οποία ανακώνται στις μεταικές επιφάνειες. Για το όγο αυτό χρησιμοποιούμε παραβοικά κάτοπτρα τόσο για να αποκτήσουν τα εκπεμπόμενα ραδιοκύματα συγκεκριμένη κατεύθυνση όσο και για να εστιαστούν σε μία κεραία. 5

Οική ανάκαση Έστω ότι μονοχρωματική δέσμη φωτός διέρχεται από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. Σύμφωνα με το νόμο του Snell αυξάνοντας τη γωνία πρόσπτωσης, η γωνία διάθασης θα αυξάνεται επίσης, πησιάζοντας σταδιακά την τιμή 90 0. Η γωνία πρόσπτωσης για την οποία η γωνία διάθασης ισούται με 90 0 ονομάζεται κρίσιμη γωνία θ cr. Τότε: 0 αηµθcr bηµ n =n 90 n b ημθ cr = nα ή γενικεύοντας: n αραιό ημθ cr = n πυκνό Στην περίπτωση που η γωνία πρόσπτωσης ισούται με την κρίσιμη γωνία, το φώς κινείται παράηα στη διαχωριστική επιφάνεια, ενώ αν είναι μεγαύτερη από θ b θ b θ b =90 0 n b θ cr, τότε παγιδεύεται στο οπτικά πυκνότερο μέσο. Το φαινόμενο ονομάζεται θ α θ r θ α θ r θ cr θ α >θ cr θ r n a οική ανάκαση. Χαρακτηριστική εφαρμογή του φαινομένου έχουμε στις οπτικές ίνες και σε οπτικές διατάξεις όπως φωτεινή πηγή τα περισκόπια. Επίσης, στο φαινόμενο αυτό οφείεται η άμψη των πούεδρων πρισμάτων όπως οι πούτιμοι ίθοι. Εικόνα 5: Οική ανάκαση 6

Παρατήρηση Το φαινόμενο της οικής ανάκασης δεν μπορεί να παρατηρηθεί αν το φώς διέρχεται από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο. Ημερομηνία τροποποίησης: 21/07/2011 7