Κύματα. Ζαχαριάδου Αικατερίνη Τμήμα Ηλεκτρολόγων και Ηλεκτρονικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

Transcript

1 Κύματα Ζαχαριάδου Αικατερίνη Τμήμα Ηεκτροόγων και Ηεκτρονικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής

2 Προτεινόμενη βιβιογραφία: SERWY Phsics fo scieniss and enginees YOUNG H.D. Univesi Phsics Bekele Phsics Cose HLLDY-RESNCK Επιστημονικές & Τεχνικές Εκδόσεις Πνευματικού ΖΑΧΑΡΙΑΔΟΥ Α. ΣΚΟΥΝΤΖΟΣ Α. Φυσική της ροής-οπτική Σύγχρονη Εκδοτική Αθήνα 0 Oρισμένα από τα σχήματα των διαφανειών είναι δανεισμένα από τα βιβία: SERWY Phsics fo scieniss and enginees. YOUNG H.D. Univesi Phsics Bekele Phsics Cose.

3 Κύμα: Μηχανισμός διάδοσης μιας διαταραχής Απομάκρυνση σημείων τααντούμενου μέσου από τη θέση ισορροπίας τους Μεταβοή πυκνότητας Μηχανικά κύματα Ηεκτρομαγνητικά κύματα Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια αά όχι ύη

4 Κύμα: Μηχανισμός διάδοσης μιας διαταραχής Με βάση τη σχετική διευθυνση κίνησης των σωματιδίων ως προς τη διεύθυνση κίνησης του κύματος αυτά χωρίζονται σε εγκάρσια και διαμήκη Εγκάρσιο κύμα Τα μόρια του μέσου τααντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Ταχύτητα κύματος Διαμήκες κύμα Όρη-κοιάδες Τα μόρια του μέσου τααντώνονται παράηα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Πυκνώματααραιώματα

5 Ανάογα με το χρόνο που διαρκεί η προσφορά ενέργειας από την πηγή: Κυματικός παμός (η ενέργεια προσφέρεται σε σύντομο χρονικό διάστημα Κυματικός συρμός ( η ενέργεια προσφέρεται συνέχεια στο σύστημα

6 Αρμονικό (ή ημιτονοειδές κύμα Αν η πηγή του κύματος εκτεεί γραμμική αρμονική ταάντωση Αρμονικό (ή ημιτονοειδές κύμα Κορυφή κοιία

7 Οδεύων παμός Στην εικόνα βέπουμε το σχήμα του παμού τη χρονική στιγμή = 0. Το σχήμα της καμπύης μπορεί να αναπαρασταθεί από μια μαθηματική συνάρτηση της μορφής (0 = f(. Η συνάρτηση αυτή περιγράφει την εγκάρσια θέση του στοιχείου του νήματος σε κάθε θέση τη χρονική στιγμή = 0.

8 Μαθηματική περιγραφή κύματος Τη χρονική στιγμή =0 ο παμός περιγράφεται από την εξίσωση: Τη χρονική στιγμή για τυχόν σημείο η απομάκρυνση είναι ίδια με αυτήν που είχε το σημείο - f ( f ( Για κύμα που κινείται προς τα αριστερά: f ( Η κυματοσυνάρτηση για =σταθερό περιγράφει ένα στιγμιότυπο του κύματος Για χ=σταθερό περιγράφει την απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου συναρτήσει του χρόνου

9 Ημιτονοειδή κύματα Το κύμα που παριστάνει η καμπύη η οποία φαίνεται στην εικόνα είναι ένα ημιτονοειδές ή αρμονικό κύμα. Αυτό είναι το πιο από παράδειγμα ενός περιοδικού συνεχούς κύματος. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία πιο σύνθετων κυμάτων.

10 Για δεδομένη χρονική στιγμή =0: Για δεδομένη θέση =0 Α=πάτος σχετίζεται με την ενέργεια του κύματος περίοδος Τ είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται ώστε δύο αντίστοιχα σημεία διαδοχικών κυμάνσεων να περάσουν από το ίδιο σημείο Η περίοδος του κύματος είναι ίδια με την περίοδο της απής αρμονικής ταάντωσης ενός στοιχείου του μέσου.

11 Για δεδομένη χρονική στιγμή =0: Για δεδομένη θέση =0 f συχνότητα ƒ είναι ο αριθμός των κορυφών (ή οποιουδήποτε άου σημείου που ανήκει στο κύμα που διέρχονται από ένα δεδομένο σημείο στη μονάδα του χρόνου. T Η συχνότητα του κύματος δεν εξαρτάται από το μέσο στο οποίο διαδίδεται Η συχνότητα του κύματος είναι ίδια με τη συχνότητα της απής αρμονικής ταάντωσης ενός στοιχείου του μέσου.

12 Για δεδομένη χρονική στιγμή =0: Για δεδομένη θέση =0 Α=πάτος σχετίζεται με την ενέργεια του κύματος = μήκος κύματος: η απόσταση που έχει διανυθεί σε χρονικό διάστημα ίσο με μια περίοδο Τ Ταχύτητα διάδοσης του κύματος: T f

13 Μαθηματική περιγραφή κύματος- συνέχεια Έστω ο αρμονικός κυματοσυρμός που ταξιδεύει προς τα δεξια με ταχύτητα η απομάκρυνση πχ για =0: ( 0 f Η διαταραχή διαδίδεται με ταχύτητα Φάση της ταάντωσης Ένα τυχαίο σημείο του μέσου διάδοσης που βρίσκεται σε απόσταση θα αρχίσει να εκτεεί ταάντωση την χρονική στιγμή =/ η μετατόπισή του ( είναι ίση με την μετατόπιση του σημείου =0 την χρονική στιγμή -/ ( ( T

14 Μαθηματική περιγραφή κύματος- συνέχεια T f f Εξίσωση αρμονικού κύματος ( T Φάση του κύματος ( T (

15 Μαθηματική περιγραφή κύματος ( T Κυματικός αριθμός k k k ( f ( ( k T f ( T (

16 Μαθηματική περιγραφή κύματος k ( k cos ( k a ( ( k k ( k k k k k Κυματική εξίσωση. Η διαταραχή που περιγράφεται από αυτήν την εξίσωση διαδίδεται ως κύμα ταχύτητας κατά μήκος του άξονα k k cos (

17 Εφαρμογή: Η εξίσωση εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται σε χορδή δίδεται από τη σχέση: ( (0mm (0mm (600s Βρείτε το πάτος τη συχνότητα την ταχύτητα και το μήκος κύματος Ποιά η μέγιστη εγκάρσια ταχύτητα; ( k Α=0mm k=00mm - Μήκος κύματος: k 0mm 034mm Ταχύτητα: 600s 30mm / k 0mm s Μέγιστη ταχύτητα 0mm 600s m / ma - s

18 Ταχύτητα διάδοσης σε χορδή: Ένα αρμονικό εγκάρσιο κύμα διαδίδεται σε ομογενή χορδή με ταχύτητα: F F=τάση στη χορδή μ=γραμμική πυκνότητα της χορδής Ταχύτητα διάδοσης σε στερεά ράβδο : Y Υ= μέτρο Υong ρ= πυκνότητα

19 Παράδειγμα: Ενα συνεχές ημιτονοειδές κύμα διαδίδεται σε σχοινί με ταχύτητα 40cm/s H μετατόπιση των σημείων του σκοινιού στο σημείο =0 cm μεταβάεται με το χρόνο ως εξής: =(50cm(40s--0.H γραμμική πυκνότητα του σκοινιού είναι: 40g/cm Ποιά η συχνότητα και το μήκος κύματος του κύματος; Πόση είναι η τάση στο σκοινί; ( k 40s f 64Hz 0 ( (50 40s 0 k =0cm k 0cm 68 cm k τάση στο σκοινί F F 0 064N

20 Εγκάρσιο κύμα σε χορδή Ισχύς κύματος Σταθερά επαναφοράς απής αρμονικής κίνησης Κάθε απειροστό τμήμα (dm της χορδής (γραμμικής πυκνότητας μ εκτεεί αρμονική ταάντωση πάτους 0 Ενέργεια στοιχειώδους τμήματος: Ισχύς: Μέσος Ρυθμός μεταφοράς ενέργειας : Έστω υ η ταχύτητα διάδοσης του κύματος F P F 0

21 Ένταση κύματος: Ροή ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας στη μονάδα του χρόνου Η ένταση Ι ενός κύματος είναι ανάογη P F 0 Της ταχύτητας διάδοσής του Του τετραγώνου της κυκικής του συχνότητας Του τετραγώνου του πάτους του

22 Στάθμη έντασης κύματος Αδιάστατη ποσότητα. Χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της έντασης του ήχου B 0 log ( db Λογαριθμική κίμακα έντασης 0 0 / 0 W m Κατώφι ανθρώπινης ακοής στα khz Ι ο ένταση αναφοράς

23 Στάθμη έντασης κύματος εφαρμογή Π.χ στάθμη ήχου 0 db 0 0 log log W / m 0 W / m 0 0 log 0 στάθμη ήχου 0 db 0 0

24 Κύματα στο χώρο Σφαιρικά κύματα Αρχή διατήρηση της ενέργειας Η ισχύς σε κάθε μέτωπο κύματος είναι ίδια με την ισχύ που εκπέμπει η πηγή Οική ισχύς διαμέσου επιφάνειας: ή Έ ά P Η ένταση του σφαιρικού κύματος σε απόσταση από την πηγή : ( ( Σημειακή ηχητική πηγή ισχύος P P 4 Η ένταση σφαιρικού κύματος εαττώνεται αντιστρόφως ανάογα με το τετράγωνο της απόστασης από την πηγη

25 Η ένταση Ι του κύματος είναι ανάογη του τετραγώνου του πάτους του o P 4 Κύματα στο χώρο Σφαιρικά κύματα Το πάτος σφαιρικού κύματος δεν παραμένει σταθερό αά εαττώνεται αντιστρόφως ανάογα με την απόσταση από την πηγή 0 0 ( Πάτος σφαιρικού κύματος σε απόσταση από την πηγή Σε μεγάες αποστάσεις από την πηγή: 0 ( cos(k - ω

26 Εφαρμογή: Κατά πόσα db εαττώνεται η ένταση όταν διπασιάζεται η απόσταση από σημειακή πηγή; 0dB log 0 0dBlog 0dBlog 0 0 0dBlog log log log 0dB 0dB log log 0 0 log dB log 0dBlog 6dB

27 Εξασθένιση κυμάτων κατά τη διάδοσή τους μέσα από υικό μέσο Διάδοση κύματος μέσα από υικό μέσο Μέρος της ενέργειας του απορροφάται από τα άτομα του μέσου Η ένταση εαττώνεται Ένταση του κύματος σε απόσταση μέσα σε υικό: μ: συντεεστής εξασθένισης του κύματος Εξαρτάται: Από το υικό Από τη συχνότητα του κύματος

28 Αρχή της επαηίας k ( k k - cos k k P P Ενίσχυση: Απόσβεση: m m k π 0... m m π m m k 0... m m

29 Συμβοή κυμάτων-στάσιμα κύματα Στάσιμο κύμα: Το αποτέεσμα συμβοής δύο κυμάτων με ίδιο πάτος και ίδιο μήκος κύματος που διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις: ( T ( T ( T T cos b a b a b a cos ( Εξίσωση στάσιμου κύματος. Το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα αά ταάντωση!

30 Συμβοή κυμάτων-στάσιμα κύματα ( cos Το πάτος της ταάντωσης εξαρτάται από τη θέση αά παραμένει σταθερό με το χρόνο Κοιίες: Σημεία του χώρου που τααντώνονται με μέγιστο πάτος Δεσμοί: Σημεία που παραμένουν ακίνητα cos cos 0... k k k k 4

31 Συμβοή κυμάτων-στάσιμα κύματα Απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ή δύο διαδοχικών κοιιών; Απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιίας είναι: 4

32 Εφαρμογή: Έστω χορδή μήκους L με ακόνητα τα δύο άκρα Αν παράγουμε ημιτονοειδές κύμα αυτό ανακάται παράγοντας στασιμο κύμα Τα άκρα είναι κόμβοι Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων είναι / Το μήκος της χορδής πρέπει να είναι: L n n Οι δυνατές τιμές του για δημιουργία στάσιμου κύματος: n L n.. n =f L Επιτρεπτές συχνότητες: f n n.. n n Αρμονικές συχνότητες

33 Παράδειγμα: Σύρμα μήκους m και μάζας 0g βρίσκεται υπό τάση 00 Ν. To σύρμα είναι πακτωμένο στα δύο άκρα του και τααντώνεται. Ποιά η ταχύτητα των κυμάτων στο σύρμα; Ποιά τα μήκη κύματος των κυμάτων που δημιουργούν στο σύρμα στάσιμα κύματα με μία και δύο κοιίες; Ποιές είναι οι αντίστοιχες συχνότητες; Ταχύτητα κύματος: F F l 00 m / s m Μήκος κύματος: l n n m n m συχνότητες: f f 00Hz f 50Hz

34 f n n n L n.. Θεμειώδης συχνότητα τααντούμενης χορδής f L F μ f L F Για σταθερό μήκος L αύξηση της τάσης F της χορδής αυξάνει τη συχνότητα Χορδή μεγάου μήκους L αντιστοιχεί σε θεμειώδη συχνότητα χαμηή (μπασα

35 Στάσιμα κύματα σε αέρια στήη Τα δύο άκρα του σωήνα είναι ανοικτά ή κειστά Το ένα άκρο είναι ανοικτό και το άο κειστό Το μήκος της στήης πρέπει να είναι ακέραιο ποαπάσιο του / L n =f Το μήκος του σωήνα πρέπει να είναι ακέραιο πο/σιο της απόστασης μεταξύ δεσμού-κοιίας 4 L n f n n L Επιτρεπτές τιμές συχνότητας (αρμονικές: f n n n L