K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë

2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN set 960-431-499-8 ISBN T.2 960-431-501-3 Copyright,.-X.. B ÛÈÏ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 1998, ÈÔÚıˆÌ ÓË Ó Ù appleˆûë AappleÚ ÏÈÔ 2003. Aπαγορε εται η με κάθε τρ πο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή λου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και εκδ τη ºˆÙÔÛÙÔÈ ÂÈÔıÂÛ EÎÙ appleˆûë BÈ ÏÈÔappleˆÏÂ Ô www.ziti.gr. ZHTH & È E 18Ô ÏÌ ÂÛ/Ó ÎË - ÂÚ T.. 171 ñ N ÔÈ EappleÈ Ù ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ñ T.K. 570 19 TËÏ.: 23920 72.222 (5 ÁÚ Ì.) - Fax: 23920 72.229 e-mail: info@ziti.gr AÚÌÂÓÔappleÔ ÏÔ 27 ñ 546 35 ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË TËÏ. 2310 203.720, Fax 2310 211.305 e-mail: sales@ziti.gr

3 TÔ È Ï Ô ÊÈÂÚÒÓÂÙ È ÛÙË ÌÓ ÌË ÙÒÓ appleô Ê Á Ó ÙfiÛÔ Û ÓÙÔÌ applefi ÎÔÓÙ Ì ÙÔÓ apple Ù Ú ÌÔ È ÏË TÛ ÎÏ Ë ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ P Ô K. ÓÈÎ ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ KÒÛÙ Á

4 «Tα πνεύματά μας, δέκτες και πομποί παιρνούν και στέλνουν των καιρών το πνεύμα σε μιαν αρχαία και νέα ζωής πομπή που ακολουθεί της ιστορίας το νεύμα» Γιάννης Pίτσος

5 ΠPΛΓΣ Στο βιβλίο αυτ δίνεται μια ολοκληρωμένη συλλογή ασκήσεων (+400 ασκήσεις) πάνω σε θέματα Eπιχειρησιακής Έρευνας. Στον πρώτο τ μο οι ασκήσεις αφορο ν το Γραμμικ Προγραμματισμ. Για τις περισσ τερες απ αυτές δίνεται και ο τρ πος λ σης του απ κάποιο λογισμικ (LIND, QSB+ ή EXCEL) οι οδηγίες λειτουργίας των οποίων υπάρχουν σε ειδικ παράρτημα του βιβλίου. ενδιαφερ μενος αναγνώστης μπορεί να αποκτήσει τα αρχεία δεδομένων τους κάνοντας ανώνυμο ftp στον εξυπηρετή του αθηματικο Tμήματος (ftp://ftp.math.auth.gr directory/pub/or). Στο δε τερο τ μο έχουν συγκεντρωθεί ασκήσεις Δυναμικο Προγραμματισμο κι Aκέραιου Προγραμματισμο, καθώς επίσης και ασκήσεις απ τη θεωρία των μη Γραμμικών εθ δων Bελτιστοποίησης, των αρκοβιανών Aλυσίδων, τη θεωρία υρών, τις Hμιαρκοβιανές Aλυσίδες, τη θεωρία Aνανέωσης και τη θεωρία των αρκοβιανών Διαδικασιών. συμβολισμ ς και η ορολογία που χρησιμοποιείται είναι απ τα βιβλία των Tσάντα και Bασιλείου (1996), Bασιλείου (1990, 1991, 1996). ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË, 1998. - X. B ÛÈÏÂ Ô. TÛ ÎÏ Ë N. TÛ ÓÙ

6

7 ΠEPIEXENA έρος 1 ΔYNAIKΣ ΠPΓPAATIΣΣ...9 έρος 2 H ΓPAIKEΣ EΘΔI BEΛTIΣTΠIHΣHΣ...141 έρος 3 ΣTXAΣTIKEΣ EΘΔI ΣTHN EΠIXEIPHΣIAKH EPEYNA...211 1 ο Kεφάλαιο ÌÔÁÂÓ ÚÎÔ È Ó AÏ Û Â...213 2 ο Kεφάλαιο ÚÎÔ È Ó Ï Û Â appleôúúfiêëûë...293 3 ο Kεφάλαιο ÚÎÔ È Ó È ÈÎ Û Â...314 4 ο Kεφάλαιο EÈÛ ÁˆÁ ÛÙË ıâˆú Ô ÚÒÓ...347 5 ο Kεφάλαιο Ó ıâè Ô Ú...358 6 ο Kεφάλαιο ÂˆÚ Ó Ó ˆÛË...388 7 ο Kεφάλαιο HÌÈ- ÚÎÔ È Ó Ï Û Â...421 Στατιστικοί πίνακες...433 BÈ ÏÈÔÁÚ Ê...459

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 213 Kεφάλαιο 1 ο ΓENEIΣ APKBIANEΣ AΛYΣIΔEΣ 1.1. μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες PIΣΣ 1.1 È ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Â Ó È ÌÈ ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ Ù ˆÓ ÌÂÙ ÏËÙÒÓ ÔÚÈÛÌ ÓˆÓ Û Ó ÒÚÔ appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ (ø, F, P). E Ó apple Ú ÂÈ ÚÈıÌ ÛÈÌÔ appleï ıô ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙË ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ ÙfiÙÂ Ë È ÈÎ Û Û Ì ÔÏ ÂÙ È Ì X 1, X 2, X 3,. E Ó ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙË ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ ÂÓ Â Ó È ÚÈı- Ì ÛÈÌÔ ÙfiÙÂ Ë È ÈÎ Û Û Ì ÔÏ ÂÙ È Ì {X(t) : t 0} {X t } t 0. ÙËÓ appleúòùë appleâú appleùˆûë Ë È ÈÎ Û ÔÓÔÌ ÂÙ È ÌÈ È ÈÎ Û Û ÚfiÓÔ È ÎÚÈ- Ùfi ÂÓÒ ÛÙË Â ÙÂÚË appleâú appleùˆûë ÌÈ ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Û ÚfiÓÔ Û ÓÂ. PIΣΣ 1.2 ÒÚÔ ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ S, Â Ó È Ô ÒÚÔ appleô ËÌÈÔ ÚÁÂ Ù È apple fiïâ ÙÈ appleèı Ó ÙÈÌ X i. E Ó S = (0, 1, 2, ) Ó ÊÂÚfiÌ ÛÙ ÛÙË ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Û ÌÈ È ÈÎ Û ÌÂ Î Ú È ÙÈÌ ÌÈ È ÎÚÈÙÒÓ Î Ù ÛÙ - ÛÂˆÓ È ÈÎ Û. E Ó S = (, ) ÙfiÙÂ Ë ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Î ÏÂ Ù È ÌÈ ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Ì appleú ÁÌ ÙÈÎ ÙÈÌ. PIΣΣ 1.3 È ÛÙÔ ÛÙÈÎ È ÈÎ Û Î ÏÂ Ù È ÚÎÔ È Ó Ó ÁÈ Î ıâ t 1, t 2,, t Î appleèı{ < X t < X t1 = x 1, X t2 =x 2,, X tn = x n} = prob{ < X t < X tn = x n} fiappleô t 1 < t 2 < < t n < t. H Î ÙËÁÔÚ ÙˆÓ ÚÎÔ È ÓÒÓ È ÈÎ ÛÈÒÓ appleô Â Ó È Û ÚfiÓÔ È - ÎÚÈÙfi Î È Ì ÒÚÔ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ È ÎÚÈÙfi Î ÏÔ ÓÙ È ÚÎÔ È Ó Ï Û Â.

214 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ŒÙÛÈ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÔÚ ÛÔ Ì ÌÈ Ï Û ÙÔ arkov Û Ó ÌÈ ÎÔÏÔ ı X 0, X 1, X 2, È ÎÂÎÚÈÌ ÓˆÓ Ù ˆÓ ÌÂÙ ÏËÙÒÓ Ì ÙËÓ È ÈfiÙËÙ fiùè Ë applefi Û Óı ÎË Î Ù ÓÔÌ ÙË X n+1 fiù Ó ÓÔÓÙ È ÔÈ X 0, X 1,, X n ÂÍ ÚÙ - Ù È ÌfiÓÔ applefi ÙËÓ ÙÈÌ ÙË X n ËÏ appleèı{x n+1 =j X n =i,, X 0 =Ï} = appleèı{x n+1 =j X n =i} = p ij (n). È appleèı ÓfiÙËÙ p ij (n) ÁÈ i, j=1, 2,, k Î È n=0, 1, ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Î È πιθαν τητες μετάβασης ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û. appleï ÔÓ ÔÏÈÎfi ÙÚfiappleÔ Ó ÊÔÚ Û Ù ÙÈ appleèı ÓfiÙËÙÂ Â Ó È Ì ÙË ÌÔÚÊ ÂÓfi apple Ó Î P(t) Ì appleâappleâú ÛÌ ÓÂ È ÛÙ ÛÂÈ fiù Ó Ô ÒÚÔ ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ S Â Ó È appleâappleâú ÛÌ ÓÔ. ËÏ P(t) = Ê Á Á Ë p 11 (t) p 12 (t) p 1k (t) p 21 (t) p 22 (t) p 2k (t) p k1 (t) p k2 (t) p kn (t) apple Ó Î P(t) ÔÓÔÌ ÂÙ È πίνακας μετάβασης ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÁÈ ÙÔ ÚÔÓÈÎfi È ÛÙËÌ [t 1, t). PIΣΣ 1.4 È ÚÎÔ È Ó Ï Û Î ÏÂ Ù È στατική ομογενής Ó Ë appleèı Ófi- ÙËÙ ÌÂÙ ÛË applefi ÙË ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË ÛÙËÓ ÏÏË Â Ó È ÓÂÍ ÚÙËÙË applefi ÙÔ ÚfiÓÔ appleô Á ÓÂÙ È Ë ÌÂÙ ÛË. ŒÙÛÈ Ô Ì ÁÈ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ i Î È j appleèı{x n =j X n 1 =i} = p ij ÁÈ Î ıâ t=1, 2,. È ÌÈ ÔÌÔÁÂÓ ÚÎÔ È Ó Ï Û {X t } t=0 ÔÚ Ô Ì ÙÈ appleèı ÓfiÙËÙ p j (t) = appleèı{x t =j}, j=0, 1,, k, t=0, 1,. ŒÛÙˆ ÙÔ È Ó ÛÌ Θεώρημα 1.1 p(t) = [p 0 (t), p 1 (t),, p k (t)]. E Ó Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ appleâappleâú ÛÌ ÓË ÔÌÔÁÂÓÔ ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È P ÙfiÙ ÈÛ Ô Ó Ù apple Ú Î Ùˆ P(t) = p(0) P t p ij (m+n) =  k l=0 ÁÈ t=1, 2, p il (m) p lj (n). H  ÙÂÚË Û ÛË Â Ó È ÁÓˆÛÙ Î È Û Ó Ë Chapman-Kolmogorov Û ÛË ÁÈ ÙÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Â. ˆ.

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 215 1.2. Στατιστική συμπερασματολογία σε πεπερασμένες αρκοβιανές Aλυσίδες Ì ÔÏ Ô Ì Ì n ij ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÂÙ ÛÂˆÓ applefi ÙÔ i ÛÙÔ j Î È Ì n i =  k i=1 n ij,  k i=1  k n ij = n. j=1 È ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ ÙˆÓ appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÂÙ ÛË p ij Â Ó È ^p ij = n ij i, j = 1, 2,, k. n i ŒÛÙˆ fiùè ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÁÍÔ ÌÂ Ó Ù Â ÔÌ Ó Ì appleúô Ú ÔÓÙ È applefi ÌÈ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË ÚÎÔ È Ó Ï Û P* ÛÂ Û ÛË Ì ٠appleâèú Ì ÙÈÎ Ì Â ÔÌ Ó applefi fiappleô ÂÎÙÈÌÔ Ì fiùè Ô apple Ó Î Â Ó È P. H ÌË ÂÓÈÎ applefiıâûë ËÏ Â Ó È H 0 : ^P = P*. È ÌÈ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË ÌÂÙ ÛË Ó ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÂÏ Á Ô applefiıâ- ÛË ÌappleÔÚÂ Ó ÛÙËÚÈ ıâ ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÙÔ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi  k n i (^p ij p ij) * 2 i=1 p ij * j=1, 2,, k ÂÈ ÙË 2 Î Ù ÓÔÌ Ì k 1 ıìô ÂÏ ıâú. È ıìô ÙÔ ÂÏ ıâ- Ú appleôïôá ÔÓÙ È Ì ÙËÓ appleúô applefiıâûë fiùè ÂÓ apple Ú Ô Ó ÌË ÂÓÈÎ ÛÙÔÈ Â p * ij ÛÙÔ apple Ú apple Óˆ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi. AÓ apple Ú Ô Ó ÌË ÂÓÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÙËÓ i ÁÚ ÌÌ ÙfiÙ appleú appleâè Ó ÏËÊıÔ Ó applefi Ë ÌfiÓÔ Ù ÌË ÌË ÂÓÈÎ ÛÙÔÈ Â. È ÙËÓ appleâú appleùˆûë appleô ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÁÍÔ Ì fiïâ Ì ÙÈ ÌÂÙ ÛÂÈ ÙfiÙÂ Ó ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi ÎÚÈÙ ÚÈÔ ÂÏ Á Ô applefiıâûë ÌappleÔÚÂ Ó ÛÙËÚÈ ıâ ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÙÔ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi  k  k n i (^p ij p ij) * 2 i=1 j=1 p ij * ÂÈ ÙËÓ 2 Î Ù ÓÔÌ Ì k(k 1) ıìô ÂÏ ıâú, fiappleô Â Ó È Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌË ÂÓÈÎÒÓ ÛÙÔÈ Â ˆÓ ÛÙÔÓ apple Ó Î P *. TÔ Â ÙÂÚÔ ÛÎ ÏÔ ÙÔ ÂÏ Á Ô ÛÙ ÙÈÛÙÈÎ applefiıâûë appleô ı Ì apple - Û ÔÏ ÛÂÈ Â Ó È Ô ÏÂÁ Ô ÔÌÔÁ ÓÂÈ. Ù Ó ÙËÓ appleâú appleùˆûë ÛÙˆ fiùè P(t) Â Ó È Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û Î Ù ÙË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ t. TfiÙÂ Ô ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈ-

216 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ ÁÈ ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË p ij (t) Û ÌÈ Â ÔÌ ÓË ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ Â Ó È ^p ij (t) = n ij(t) n i (t 1). ŸÙ Ó Ô ÌÂ Ó Û ÓÔÏÔ applefi apple Ú ÙËÚ ÛÂÈ ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÛÂ Ó ÌÂÁ ÏÔ ÚÔÓÈÎfi È ÛÙËÌ [0, T] Î È appleôı ÙÔ Ì fiùè ÔÈ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË Â Ó È ÔÌÔÁÂÓ ÙfiÙÂ Ô ÂÎÙÈÌËÙ Ì ÁÈÛÙË appleèı ÓÔÊ ÓÂÈ ÁÈ ÔappleÔÈ appleôùâ ÌÂÙ ÛË ÓÂÙ È applefi  T n ij (t) t=1 ^p ij =  T n i (t) t=1 AÓ ıâˆú ÛÔ Ì ÙË ÌË ÂÓÈÎ applefiıâûë fiùè ÔÈ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË ÁÈ ÌÈ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓË Î Ù ÛÙ ÛË apple Ú Ì ÓÔ Ó ÛÙ ıâú Ì Û ÛÙÔ ÚfiÓÔ ÙfiÙ H 0 : p ij (t) = p ij ÁÈ fiï Ù jœf(i) Î È t,  ÔÌ ÓÔ ÙÔ i fiappleô F(i) Â Ó È ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ j ÁÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô p ij (t) > 0 Î È ÛÙˆ n(i) Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙÔ Û ÓfiÏÔ F(i). TfiÙ Πو applefi Ù ÙËÓ applefiıâûë ÙÔ ÛÙ ÙÈÛÙÈÎfi 2(i) =  T t=1  n i (t) [^p ij (t) ^p ij ] 2 F(i) ^p ij ÂÈ Î Ù appleúôû ÁÁÈÛË ÙËÓ 2 Î Ù ÓÔÌ Ì (T 1) [F(i) 1] ıìô ÂÏ ıâú.. 1.3. Kατηγοροποίηση των καταστάσεων μιας αρκοβιανής Aλυσίδας PIΣΣ 1.5 È Î Ù ÛÙ ÛË i Î ÏÂ Ù È προσιτή applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j Â Ó ÁÈ Î - appleôèô Î Ú ÈÔ n 0 ÈÛ ÂÈ p ij (n) 0. Ô Î Ù ÛÙ ÛÂÈ appleô Â Ó È appleúôûèù ÌÂ- Ù Í ÙÔ Ï Ì fiùè Ú ÛÎÔÓÙ È Û επικοινωνία. H Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Ô Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ i, j Û Ì ÔÏ ÂÙ È i j.

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 217 PIΣΣ 1.6 È Î Ù ÛÙ ÛË i ÔÓÔÌ ÂÙ È μη βασική Â Ó ÁÈ Î appleôè Î Ù ÛÙ ÛË j ÁÈ ÙËÓ ÔappleÔ i j ÈÛ ÂÈ j -Æ / i. Eapple ÛË Ë i ÔÓÔÌ ÂÙ È ÌË ÛÈÎ Â Ó ÂÓ apple Ú ÂÈ Î ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË j Ù ÙÔÈ ÒÛÙ iæj. È Î Ù ÛÙ ÛË ÔÓÔÌ Â- Ù È βασική Â Ó ÂÓ Â Ó È μη βασική. K Ù Û Ó appleâè Â Ó Ë i Â Ó È ÛÈÎ Î È iæj ÙfiÙ i j. Πρ ταση 1.1 (i) È Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË i appleô ÂÓ Â Ó È Î Ù ÛÙ ÛË appleôúúfiêëûë apple Ú- Ô Ó ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË j Ù ÙÔÈ ÒÛÙ iæj. (ii) AÓ Ë Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È ÛÈÎ ÙfiÙ i i. (iii) AÓ i j Î È j k ÙfiÙ i k. (iv) AÓ Ë i Î Ù ÛÙ ÛË Â Ó È ÛÈÎ Î È iæj ÙfiÙÂ Î È Ë j Â Ó È ÛÈÎ Î È i j. (v) ŒÛÙˆ B ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï - Û. H Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Â Ó È ÌÈ Û ÛË ÈÛÔ Ó Ì ÁÈ ÙÔ Û - ÓÔÏÔ B. AÊÔ Ë Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ appleôùâïâ ÌÈ Û ÛË ÈÛÔ Ó Ì ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ˆÚ ÂÙ È Ì ÛË ÙË Û ÛË ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Û ÎÏ ÛÂÈ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛˆÓ. K Ù ÛÙ ÛÂÈ ÛÈÎ appleô Ó ÎÔ Ó ÛÂ È - ÊÔÚÂÙÈÎ ÎÏ ÛÂÈ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÂÓ Â Ó È appleúôûèù ÌÂÙ Í ÙÔ. H  ÚÂÛË ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î È ÌË ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÂÓfi apple Ó Î, Î ıò Î È ÙˆÓ ÎÏ ÛÂÒÓ ÙÔ, ÌappleÔÚÂ Ó Á ÓÂÈ Ì ÙËÓ apple Ú Î Ùˆ È ÈÎ Û. Φάση 1 ÂÎÈÓ Ì Ì ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË 1 ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ ÛÂ Ó È ÁÚ ÌÌ ÚÔ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ j ÔÈ ÔappleÔ Â Â Ó È appleôûèù applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË 1, ËÏ 1 Φάση 2 ÓÂ Ô Ì ÙÔ È ÁÚ ÌÌ ÚÔ ÁÈ Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË ÛÙËÓ ÔappleÔ Ô Ó Î Ù Ï ÍÂÈ ÙfiÍ applefi ÙËÓ 1, ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ appleô Â Ó È appleúôûèù applefi Ù Ó. ÓÂ Ô ÌÂ Ì ÙfiÓ ÙÔÓ ÙÚfiappleÔ ÙÔ È ÁÚ ÌÌ ÚÔ ÁÈ fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ ÔÈ ÔappleÔ Â ÂÌÊ Ó ÔÓÙ È ÛÙÔ ÂÍ ÎÚÔ, ÂÎÙfi applefi j k

218 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Ù appleô Ô Ó Ë ÂÌÊ ÓÈÛı Û appleúôëáô ÌÂÓË Ê ÛË. TÂÏÂÈÒÓÔ Ì ÙË È ÈÎ Û fiù Ó Ô Ó ÂÌÊ ÓÈÛı fiïâ ÔÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ. E Ó apple Ú Ô Ó Î - Ù ÛÙ ÛÂÈ, appleô ÂÓ Ô Ó ÂÌÊ ÓÈÛÙ ÛÙÔ È ÁÚ ÌÌ ÚÔ, ÍÂÎÈÓ Ì Ì Π- appleôè applefi Ù Ó Î ÓÔ ÚÁÈÔ È ÁÚ ÌÌ Ì ÚÈ appleô Ó ÂÍ ÓÙÏËıÔ Ó fiïâ. Διαδικασία γραφής της κανονικής μορφής H κανονική μορφή ÂÓfi ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ apple Ó Î appleúôî appleùâè applefi ÙËÓ Ú ÈÎ ÙÔ ÌÔÚÊ ÙËÚÒÓÙ ÙËÓ apple Ú Î Ùˆ ÛÂÈÚ ÁÚ Ê ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛˆÓ: ) Ú ÊÔ Ì appleúòù ÙÈ ÎÏ ÛÂÈ ÙˆÓ ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Ì ÍÔ Û ÛÂÈÚ ˆ appleúô ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ ÙˆÓ ÎÏ ÛˆÓ. ) Ú ÊÔ Ì ÌÂÙ ÙÈ ÎÏ ÛÂÈ ÙˆÓ ÌË ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Ì ٠ÙÔÈ ÛÂÈÚ, ÒÛÙÂ Ó Â Ó È appleúòùâ ÂΠӠappleô Â Ó È appleúôûèù applefi ÏÏÂ. Ë- Ï ÂÓ appleú appleâè Ó apple Ú ÂÈ ÛÙÔÓ apple Ó Î ÌË ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Ë ÔappleÔ Ó Â Ó È appleúôûèù applefi ÏÏË ÎÏ ÛË appleô Ú ÛÎÂÙ È " ËÏfiÙÂÚ " ÛÙÔÓ apple Ó Î. PIΣΣ 1.7 È ÚÎÔ È Ó Ï Û Î ÏÂ Ù È È ÒÚÈÛÙË Ó ÂÈ ÌfiÓÔ ÌÈ - ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Î È ÂÓ ÂÈ ÌË ÛÈÎ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ. PIΣΣ 1.8 H Î Ù ÛÙ ÛË j ÂÈ appleâú Ô Ô d Â Ó ÔÈ apple Ú Î Ùˆ Ô Û Óı ΠÈÛ Ô Ó (i) p jj (n) = 0 ÁÈ Î ıâ n ÂÎÙfi Â Ó n=md ÁÈ Î appleôèô ıâùèîfi Î Ú ÈÔ m (ii) d Â Ó È Ô Ì ÁÈÛÙÔ Î Ú ÈÔ Ì ÙËÓ È ÈfiÙËÙ (i). H Î Ù ÛÙ ÛË i ÔÓÔÌ ÂÙ È appleâúèô ÈÎ fiù Ó d=1. Ì ÔÏ Ô Ì ÙËÓ appleâ- Ú Ô Ô ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË Ì apple(i) = d. ŒÓ ÈÛÔ Ó ÌÔ ÔÚÈÛÌfi ÙË appleâúèfi Ô ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË ÌÈ ÚÎÔ È Ó AÏ Û Â Ó È Ô apple Ú Î Ùˆ. PIΣΣ 1.9 ÂÚ Ô Ô ÌÈ Î Ù ÛÙ ÛË j Â Ó È Ô Ì ÁÈÛÙÔ ÎÔÈÓfi È ÈÚ ÙË (Ì.Î..) fiïˆó ÙˆÓ n 1 ÁÈ ÙÔ ÔappleÔ Ô p jj (n) > 0. Θεώρημα 1.2 E Ó i j ÙfiÙÂ Î È apple(i) = apple(j). ŒÛÙˆ Ì È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û n Ì ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù - ÛÙ ÛÂˆÓ E Ì appleâú Ô Ô d. È Â ÔÌ ÓÔ iœe ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ıâˆú ÛÔ Ì ÙÔ appleôû ÓÔÏÔ C b (i) ÙÔ E ÙÔ ÔappleÔ Ô appleôùâïâ Ù È applefi fiïâ ÙÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙËÓ È ÎÏ ÛË appleôïô appleô b (mod d) ËÏ

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 219 C b (i) = {jœe : p ij (n) > 0, ÁÈ fiï Ù n b (mod d)}, 0 b d 1. TfiÙÂ Ù Û ÓÔÏ C b (i), 0 b d 1 ÂÓ ÂÍ ÚÙÒÓÙ È applefi ÙÔ i. ÓÔÌ Ô Ì ÙÈ ÎÏ ÛÂÈ C b (0 b d 1) ÙˆÓ ÔappleÔ ˆÓ Ë ÙÔÌ ÙÔ Â Ó È Ó Ô ÙÔ ÎÂÓfi Û ÓÔÏÔ Î È Ë ÓˆÛ ÙÔ Ë ÛÈÎ ÎÏ ÛË Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ E, Î ÎÏÈÎ appleôîï - ÛÂÈ ÙË ÎÏ ÛË E. Θεώρημα 1.3 ŒÛÙˆ ÌÈ È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û n Ì ÎÏ ÛË ÛÈÎÒÓ Î - Ù ÛÙ ÛÂˆÓ E Ì appleâú Ô Ô d. E Ó ÎŒC b, 0 b d 1 Î È p Îj > 0 ÙfiÙ jœc b 1. apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û appleâúèfi- Ô d ÌappleÔÚÂ Ó ÁÚ Ê ÛÙË ÌÔÚÊ P = C 0 C 1 C d 2 C d 1 Ë ÁÁ Ê C 0 C 1 C 2 K C d 1 P d 1 P 1 P 2 K K K K ˆ P d 2 fiappleô P 1, P 2,, P d 1 ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ apple Ó Î ÁÂÓÈÎ ÔÚıÔÁÒÓÈÔÈ. Ú Ô Ì Ì f ii (n) ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ Âapple Ó ÊÔÚ ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÌÂÙ n- Ì Ù ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ËÏ f ii (n) = appleèı{x n = i, X r π i, r=1,, n 1 X 0 =i}. ŒÛÙˆ f jî (n) Ë appleèı ÓfiÙËÙ ÙÔ Û ÛÙËÌ Ó ÌÂÙ Â applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË Î Û n- Ì Ù ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ËÏ. f jî (n) = appleèı{x n =Î, X r π Î, r=1,, n 1 X 0 =j}. È apple Ú apple Óˆ ÔÚÈÛÌÔ Û ÌappleÏËÚÒÓÔÓÙ È Î È applefi ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÔÚ Ô Ì f ii (0) = f ij (0) = 0. E Ó È appleúôê Ó fiùè Ó Û Ì ÔÏ ÛÔ Ì Ì f i ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ Âapple Ó ÊÔÚ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ ÙfiÙ f i =  f ii (n). n=1 Eapple ÛË Û Ì ÔÏ ÔÓÙ Ì f jî ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ ÌÂÙ ÛË ÁÈ appleúòùë ÊÔÚ

220 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα applefi ÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË Î Ì ÙÔ ÈÔ ÛÎÂappleÙÈÎfi Ô Ì fiùè f jî =  f jî (n). n=1 PIΣΣ 1.10 Î Ù ÛÙ ÛË i Î ÏÂ Ù È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Â Ó f i = 1. E Ó f i < 0 ÙfiÙÂ Ë Î Ù ÛÙ ÛË Î ÏÂ Ù È apple ÚÔ ÈÎ. ÙËÓ appleâú appleùˆûë appleô Ë Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ÂÈ ÓfiËÌ Ó Û ËÙ Ì ÁÈ ÙÔ Ì ÛÔ ÚfiÓÔ ÙË appleúòùë Âapple Ó ÊÔÚ ÙÛÈ Ô Ì ÛÔ ÚfiÓÔ Ì i ÙË appleúòùë Âapple Ó ÊÔÚ ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È Ì i =  n f ii (n). n=1 PIΣΣ 1.11 E Ó Ì i Â Ó È appleâappleâú ÛÌ ÓÔ ÚÈıÌfi ÙfiÙÂ Ë Î Ù ÛÙ ÛË i Î ÏÂ Ù È ıâùè- Î -Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ, ÏÏÈÒ Î ÏÂ Ù È Û ÊÒ -Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ. Πρ ταση 1.2 IÛ ÂÈ Ë Û ÛË Θεώρημα 1.4 p ij (n) =  n Î=0 f ij (Î) p jj (n Î) n 1. H Î Ù ÛÙ ÛË i Â Ó È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Â Ó Î È ÌfiÓÔ Â Ó Θεώρημα 1.5  p ii (n) =. n=0 E Ó ÔÈ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ i Î È j Ú ÛÎÔÓÙ È Û ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ ÙfiÙÂ Â Ó È ÙÔ È Ô Ù appleô ËÏ Â Ó È Î È ÔÈ Ô apple ÚÔ ÈÎ Û ÊÒ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ıâùèî Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Î È ÂappleÈappleÏ ÔÓ Ô Ó ÙËÓ È appleâú Ô Ô. Θεώρημα 1.6 Î Ù ÛÙ ÛË Î ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È apple ÚÔ ÈÎ Â Ó Î È ÌfiÓÔÓ Â Ó Â n p ÎÎ (n) <, Î È Û Ù Ó ÙËÓ appleâú appleùˆûë  n p jî (n) < ÁÈ Î ıâ j.

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 221 Πρ ταση 1.3 Î Ù ÛÙ ÛË ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È ÛÈÎ Ó Î È ÌfiÓÔ Â Ó Â Ó È Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ appleôúúfiêëûë. È ÌË ÛÈÎ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ Â Ó È apple ÚÔ ÈÎ. È ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P = Í È P 1 Î R Q. ÔÓÔÌ ÔÓÙ È indecomposable ÚÎÔ È Ó Ï Û Â. Θεώρημα 1.7 (Eργοδικ θεώρημα) ŒÛÙˆ Î Ì Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Î Ù ÛÙ ÛË Î È ÛÙˆ Ì Î =  n f ÎÎ (n) n Ô Ì ÛÔ ÚfiÓÔ Âapple Ó ÏË Ë. i) E Ó Î Â Ó È ÌË appleâúèô ÈÎ Î Ù ÛÙ ÛË ÙfiÙÂ Î È lim næ p ÎÎ (n) = 1 Ì Î lim p jî (n) = F jî (1) næ Ì Î fiappleô F jî (s) Ë appleèı ÓÔÁÂÓÓ ÙÚÈ Û Ó ÚÙËÛË ÙˆÓ appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ f jk (n). ii) E Ó Î ÂÈ appleâú Ô Ô d ÙfiÙ lim næ p ÎÎ(nd) = d Ì Î Î È ÁÈ Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË j appleô Ú ÛÎÂÙ È Û ÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Ì ÙËÓ Î Ô - Ì lim p jî (r jî+nd) = d F jî(1). næ Ì Î PIΣΣ 1.12 ŒÛÙˆ P Ó ÛÙÔ ÛÙÈÎfi apple Ó Î. Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÂÚÁÔ ÈÎfiÙËÙ ÙÔ P Ô ÔappleÔ Ô Û Ì ÔÏ ÂÙ È Ì (P) ÔÚ ÂÙ È Û Ó (P) = 1 sup i, Î Â [p ij p Îj ] + j=1

222 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα fiappleô [p ij p Îj ] + = max (0, p ij p Îj ). Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÂÚÁÔ ÈÎfiÙËÙ ÂÈ ÙÈ apple Ú Î Ùˆ È ÈfiÙËÙÂ. i) 0 (P) 1. ii) (P) = 1 Ë Ê 1 ˆ 2 sup i, Î Â p ij p Îj. j=1 iii) ŒÛÙˆ P Ó ÛÙÔ ÛÙÈÎfi apple Ó Î, ÙfiÙ (P) = inf i, Î Â min (p ij, p Îj ). j=1 PIΣΣ 1.13 È ÒÚÈÛÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ı Ï Ì fiùè Â Ó È Î ÓÔÓÈÎ Ó Î È ÌfiÓÔ Ó appleôùâïâ Ù È applefi Ó ÎÏÂÈÛÙfi Û ÓÔÏÔ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ - ÛÂˆÓ Ì ÎÏ ÛË ÛÈÎÒÓ Î Ù ÛÙ ÛÂˆÓ Î È Â Ó È appleâúèô ÈÎ. Θεώρημα 1.8 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P ÙfiÙ ÙÔ fiúèô ÙÔ apple Ó Î P n Î ıò ÙÔ næ Â Ó È Ó Â ÛÙ ı apple Ó Î Π fiappleô π Â Ó È Ë ÁÚ ÌÌ ÙÔ apple Ó Î Ë ÔappleÔ ÂÈ ıâùèî ÛÙÔÈ Â. H Ù - ÙËÙ Û ÁÎÏÈÛË Â Ó È Ù ÙÔÈ ÒÛÙ p ij (n) apple j (1 (P n 0)) n/n 0 1 fiappleô n 0 Â Ó È Ô ÂÏ ÈÛÙÔ Î Ú ÈÔ Ù ÙÔÈÔ ÒÛÙ (P n 0 ) > 0. ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì ÙˆÓ Chapman - Kolmogorov Ô Ì fiùè lim p(n) = p(0) lim næ næ Pn = p(0) Π = π = (apple 1, apple 2,, apple Î ) ËÏ. Û ÌappleÙˆÙÈÎ ÔÈ appleèı ÓfiÙËÙÂ Ë ÚÎÔ È Ó Ï Û Ó Â Ó È ÛÙÈ Î - Ù ÛÙ ÛÂÈ 1, 2,, Î ÓÔÓÙ È applefi ÙË ÁÚ ÌÌ ÙÔ apple Ó Î Π. TÔ Û ÌappleÙˆÙÈÎfi È Ó ÛÌ π appleúôû ÈÔÚ ÂÙ È appleôï  ÎÔÏ applefi ÙË Ï ÛË ÙÔ Û ÛÙ Ì ÙÔ π P = π  Πapple i = 1. i=1

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 223 PIΣΣ 1.14 Ï Ì ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P fiùè Â Ó È μικτή Ó Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P Â Ó È Ù ÙÔÈÔ ÒÛÙ ÁÈ Î appleôèô Î Ú ÈÔ n 0 Ó ÈÛ ÂÈ (P n 0) > 0. Θεώρημα 1.9 E Ó P Â Ó È Ó apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ ÌÈÎÙ ÚÎÔ È Ó Ï Û - ÙfiÙÂ Ô apple Ó Î P n Î ıò ÙÔ n Æ Û ÁÎÏ ÓÂÈ ÛÂ Ó Â ÛÙ ı ÛÙÔ - ÛÙÈÎfi apple Ó Î Π ÙÔ ÔappleÔ Ô Ë ÁÚ ÌÌ π ÂÓ Á ÓÂÈ ÂÓ ÂÈ fiï Ù ÛÙÔÈ Â ıâùèî. T ıâùèî ÛÙÔÈ Â ÙÔ ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ È Ó ÛÌ ÙÔ π ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙÈ Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ Î Ù ÛÙ ÛÂÈ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û. Œ Ô Ì Âapple ÛË fiùè p ij (n) apple j (1 (P n 0 )) n/n 0 1 ÁÈ Î ıâ Î Ù ÛÙ ÛË i Î È j appleô Ó ÎÔ Ó ÛÙÔ S Î È ÁÈ Î ıâ Î Ú ÈÔ n. ˆÚÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ë ÔappleÔ Â Ó È È ÒÚÈÛÙË Î È appleâúèô ÈÎ Ì appleâú Ô Ô d. apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ Ù ÙÔÈ ÚÎÔ È - Ó Ï Û ÌappleÔÚÂ Ó ÁÚ Ê ÛÙË ÌÔÚÊ C 0 C 1 Θεώρημα 1.10 C d 2 C d 1 Ë ÁÁ Ê C 0 C 1 C 2 K C d 1 P d 1 P 1 0 0 P 2 K K K K ˆ P d 2 ŒÛÙˆ Ì È ÒÚÈÛÙË appleâúèô ÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì appleâú Ô Ô d. ŒÛÙˆ P Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙÂ Ë ÎÔÏÔ ı {P n } n=0 È Ûapple Ù È Û d Û ÁÎÏ ÓÔ Û apple ÎÔÏÔ ı  Ì fiúè Ù P*P r ÁÈ r = 0, 1,, d 1 fiappleô P* = lim P nd. næ ŒÛÙˆ C 0, C 1,, C d 1 ÔÈ Î ÎÏÈÎ appleôîï ÛÂÈ ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û - Î È P 1, P 2,, P d 1 ÔÈ ÓÙ ÛÙÔÈ ÔÈ apple Ó Î ÌÂÙ ÛË. TfiÙ ÛÙˆ X i = P i P i+1 P d 1 P 1 P i 1 ÁÈ i=1, 2,, d 1. È apple Ó Î X i (i=1, 2,, d 1) ÔÚ Ô Ó d Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï -

224 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Û Â Î È Π i = lim næ X n i  ÛÙ ıâ ÛÙÔ ÛÙÈÎÔ apple Ó ÎÂ Î È P* = C 0 C 1 Ê C d 1 Ë Á C 0 C 1 K C d 1 Π 1 Π 2 K K K ˆ Π d 1 ŒÛÙˆ π i Ë ÁÚ ÌÌ ÙÔ apple Ó Î Π i. H ÎÔÏÔ ı {P n } n=0 Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cesaro ÛÙÔÓ apple Ó Î Π d = 1 d Âd 1 P*P r r=0 fiappleô Π d Â Ó È Ó Â ÛÙ ı ÛÙÔ ÛÙÈÎfi apple Ó Î ÙÔ ÔappleÔ Ô Ë ÁÚ ÌÌ π d ÓÂÙ È applefi π d = 1 d (π 0, π 1,, π d 1 ). ι μέσοι χρ νοι πρώτης εισ δου Û Ì ÔÏ ÛÔ Ì Ì m ij ÙË Ì ÛË ÙÈÌ ÙÔ ÚfiÓÔ appleúòùë ÂÈÛfi Ô ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j  ÔÌ ÓÔ fiùè Ë ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i Î È Ì ÙÔÓ apple Ó Î ÙˆÓ m ij, i, jœs. Θεώρημα 1.11 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙ m ij, i, jœs appleâappleâú ÛÌ ÓÔÈ. AÓ Û Ì ÔÏ ÛÔ Ì ÙÔÓ apple Ó Î E appleô ÂÈ fiï Ù ÛÙÔÈ Â ÙÔ ÌÔÓ Â ÙfiÙ ΠPIΣA 1.1 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙ = P( dg ) + E. Θεώρημα 1.12 ŒÛÙˆ P Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Î È ÛÙˆ fiùè lim næ Pn = Π.

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 225 TfiÙÂ Ô apple Ó Î Z = [I (P Π)] 1 apple Ú ÂÈ Î È Â Ó È ÙÔ fiúèô ÙË apple Ú ÛÙ ÛË I +  n=1 (P n Π). Θεώρημα 1.13 ŒÛÙˆ P Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÌÈ Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û ÙfiÙ i) PZ = ZP ii) Z1 = 1 iii) π Z = π iv) I Z = Π PZ fiappleô 1 = [1, 1,,1]. Θεώρημα 1.14 ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û Ì apple Ó Î ÌÂÙ ÛË P ÙfiÙ m ij = 1 fiappleô Π = lim P n Î È π Ë ÁÚ ÌÌ ÙÔ Î È Ù ÏÔ apple i næ = (I Z + E Z dg ) Π 1 dg. Ì ÔÏ Ô Ì Ì w ij ÙË Ì ÛË ÙÈÌ ÙÔ ÙÂÙÚ ÁÒÓÔ ÙÔ ÚfiÓÔ appleúòùë ÂÈÛfi Ô ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË j  ÔÌ ÓÔ fiùè Ë ÚÎÔ È Ó Ï Û Â Ó È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i. ŒÛÙˆ W Ô apple Ó Î {w ij } i, jœs ÙfiÙ ÈÛ ÂÈ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ ıâò- ÚËÌ. Θεώρημα 1.15 ŒÛÙˆ ÌÈ Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û, P Ô apple Ó Î appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÂ- Ù ÛË lim P n = Π Î È Z = [I (P Π)] 1 ÙfiÙ næ Θεώρημα 1.16 W = P [W W dg ] 2P [Z E Z dg ] Π 1 dg + E. ŒÛÙˆ Ì Î ÓÔÓÈÎ ÚÎÔ È Ó Ï Û, P Ô apple Ó Î appleèı ÓÔÙ ÙˆÓ ÌÂ- Ù ÛË lim næ P n = Π Î È Z = [I (P Π)] 1 ÙfiÙ W = (2Z dg Π 1 dg I)+2 (Z E(Z) dg ).

226 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα 1 PB HATA Bρείτε τον πίνακα μετάβασης P για την παρακάτω αλυσίδα του arkov: N μα ρες μπάλες και N λευκές τοποθετο νται σε δ ο δοχεία έτσι ώστε σε κάθε δοχείο να υπάρχουν N μπάλες. Σε κάθε βήμα μία μπάλα εκλέγεται τυχαία απ κάθε δοχείο και οι δ ο μπάλες αλλάζουν δοχεία. H κατάσταση του συστήματος είναι οι λευκές μπάλες στο πρώτο δοχείο. ΛYΣH Ú Ô ÌÂ Û Ó (j, k) ÛÙÔÈ Â Ô ÙÔ apple Ó Î P ÙÔ p jk = appleèı {Î ÏÂ Î Ìapple ÏÂ ÛÙÔ appleúòùô Ô Â Ô ÌÂÙ n+1 ÓÙ ÏÏ Á / j ÏÂ Î Ìapple ÏÂ ÛÙÔ appleúòùô Ô Â Ô ÌÂÙ n ÓÙ ÏÏ Á }. ÁÈ n=1, 2,, 2 Ï Ë Ê 2 j N ˆ 2 Ê j ˆ p jk = Ë NË Ê N j N ˆ Ô Ì Ô Ó 2 Â Ó k = j 1 Â Ó k=j j=1, 2,, N j=0, 1,, N Ê1 j ˆ Â Ó k = j+1 j=0, 1,, N 1 Ë N 0 ÛÙÈ ÏÏÂ appleâúèappleùòûâè Θεωρο με δ ο δοχεία A και B τα οποία περιέχουν N μπάλες. Στο χρ νο t (t = 1, 2, ) διαλέγουμε μία μπάλα τυχαία. ετά διαλέγουμε ένα δοχείο, το A με πιθαν τητα p και το B με πιθαν τητα q (p+q = 1), και η μπάλα τοποθετείται στο δοχείο που διαλέξαμε. ρίζουμε σαν κατάσταση του συστήματος τον αριθμ απ μπάλες που περιέχει το δοχείο A. Nα βρεθεί ο πίνακας μετάβασης της αλυσίδας του arkov που περιγράψαμε. ΛYΣH Ú Ô ÌÂ Û Ó (i, j) ÛÙÔÈ Â Ô ÙÔ apple Ó Î P ÙÔ p ij = {i Ìapple ÏÂ ÛÙÔ Ô Â Ô A ÛÙÔ ÚfiÓÔ t+1 j Ìapple ÏÂ ÛÙÔ Ô Â Ô A ÛÙÔ ÚfiÓÔ t}

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 227 ÁÈ t=1, 2,, 3 Ï N j p Â Ó i = j+1 N j p ij = N p + N j q Â Ó i=j N j q Â Ó i = j 1 N 0 ÛÙÈ ÏÏ appleâúèappleùòûâè Ô Ì Ô Ó Δείξτε τι σε μια αρκοβιανή Aλυσίδα το παρελθ ν και το μέλλον είναι υπ συνθήκη ανεξάρτητα δεδομένου του παρ ντος. ΛYΣH ŒÛÙˆ Ó Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô A appleúôáâó ÛÙÂÚÔ ÙÔ ÚfiÓÔ n ÁÈ Ì ÚÎÔ È Ó AÏ Û {X n } n=0 Î È B Ó Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô ÌÂÙ ÁÂÓ - ÛÙÂÚÔ ÙÔ ÚfiÓÔ n ÁÈ ÙËÓ È ÚÎÔ È Ó AÏ Û.  fiì ÛÙ fiùè Ë ÚÔÓÈÎ ÛÙÈÁÌ n Â Ó È ÙÔ apple ÚfiÓ ÁÈ ÙËÓ ÚÎÔ È Ó AÏ Û Î È fiùè X n =i. TfiÙ appleúôê ÓÒ Ô Ì fiùè ÙÔ A Â Ó È Ó ÔappleÔÈÔ- appleôùâ Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô applefi ÙÔ apple ÚÂÏıfiÓ Î È ÙÔ B Â Ó È Ó ÔappleÔÈÔ - appleôùâ Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô applefi ÙÔ Ì ÏÏÔÓ. ÕÚ ÚÎÂ Ó Â ÍÔ Ì fiùè Ù ÂÓ Â- fiìâó A Î È B Â Ó È applefi Û Óı ÎË ÓÂÍ ÚÙËÙ Â ÔÌ ÓÔ ÙÔ ÂÓ Â ÔÌ - ÓÔ X n =i. Œ Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè Prob{B«A X n =i} = Prob{B X n =i, A} Prob{A X n =i}. B ÛË ÙË appleúfiù ÛË 3 ÙÔ B ÛÈÏÂ Ô (1994) Ô Ì fiùè Î Ù Û Ó appleâè Prob{B X n =i, A} = Prob{B X n =i} Prob{B«A X n =i} = Prob{B X n =i} Prob{A X n =i}. 4 Έστω ένα τυχαίο ενδεχ μενο B μεταγενέστερο του χρ νου n για μια αρκοβιανή Aλυσίδα {X n } n=0. Δείξτε τι ΛYΣH Œ Ô Ì fiùè: Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n, B} = Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n }.

228 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n, B} = Prob{X n 1 = i n 1, X n =i n, B} Prob{X n =i n, B} = Prob{B X n=i n, X n 1 = i n 1 } Prob{X n =i n, X n 1 = i n 1 } Prob{B X n =i n } Prob{X n =i n } (ÂappleÂÈ ÙÔ Ù Ô ÂÓ Â fiìâóô B Â Ó È ÌÂÙ ÁÂÓ ÛÙÂÚÔ ÙÔ ÚfiÓÔ n) = Prob{B X n=i n } Prob{X n =i n, X n 1 = i n 1 } = Prob{B X n =i n } Prob{X n =i n } = Prob{X n 1 = i n 1 X n =i n }. 5 Έστω μία ομογενής αρκοβιανή Aλυσίδα και X 0 =i. Δείξτε τι i) Prob(X n =i για τουλάχιστον m φορές X 0 =i) = (f i ) m. ii) Δείξτε επίσης τι αν η κατάσταση i είναι επαναληπτική, τ τε η πιθαν τητα επαναφοράς στην κατάσταση i άπειρες φορές είναι ίση με 1. Aντίθετα, εάν η κατάσταση i είναι παροδική, τ τε η πιθαν τητα επαναφοράς στην κατάσταση i άπειρες φορές είναι ίση με το 0. ΛYΣH i) È m=1 Ô Ì Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ Ì ÊÔÚ X 0 =i) = Âf (Î) ii = f i, Î 1 appleô ÈÛ ÂÈ applefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙË f i. ˆÚÔ Ì fiùè Ë (i) ÈÛ ÂÈ ÁÈ m 1, ËÏ fiùè Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X 0 =i) = (f i ) m 1, Î È ı  ÍÔ Ì fiùè Ë (i) Â Ó È ÏËıÈÓ Î È ÁÈ m ÊÔÚ. Œ Ô Ì fiùè Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m ÊÔÚ X 0 =i) = = = =  Prob(Ù i =r, X Ùi +r=i r 1 ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X 0 =i) =  Prob(Ù i =r X 0 =i) Prob(X Ùi +r=i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ Ù i =r, X 0 =i) r 1 = (ÂappleÂÈ X Ùi +r = i Â Ó È ÙÔ ÈÔ ÁÂÁÔÓfi )

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 229 =  f (r) i Prob(X Ùi +r=i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X Ùi =i, Ù i =r, x 0 =i) r 1 = (ÂappleÂÈ ÙÔ ÂÓ Â fiìâóô Ù i =Î Â Ó È appleúôáâó ÛÙÂÚÔ ÙÔ X Ùi =i) =  f (r) i Prob(X Ùi +r=i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X Ùi =i, X 0 =i) r 1 = (Û ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ ÈÛ Ú È ÈfiÙËÙ ÙÔ arkov) =  f (r) i Prob(X n =i ÁÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔ m 1 ÊÔÚ X 0 =i) r 1 = (Û ÌÊˆÓ Ì ÙËÓ applefiıâûë ÙË Âapple ÁˆÁ ) =  f (r) i (f i ) m 1 = (f i ) m 1  f (r) i = (f i ) m. r 1 r 1 ii) ŒÛÙˆ E ÙÔ ÂÓ Â fiìâóô E = {Ë.A Âapple Ó Ú ÂÙ È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i appleâèúâ ÊÔÚ }. TfiÙÂ, Prob(E) = = lim Prob{Ë.A Âapple Ó Ú ÂÙ È ÛÙËÓ Î Ù ÛÙ ÛË i ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ r ÊÔÚ } = ræ = lim(f i ) r = Ì Ï 1 Â Ó f i =1 ËÏ i Âapple Ó ÏËappleÙÈÎ ræ Ó 0 Â Ó f i <1 ËÏ i apple ÚÔ ÈÎ. 6 Έστω μία ομογενής αρκοβιανή Aλυσίδα και X 0 =i. Δείξτε τι i) H πιθαν τητα τι η κατάσταση j θα εμφανισθεί τουλάχιστο r φορές είναι ίση με f ij (f j ) r 1. ii) Eάν η κατάσταση j είναι παροδική, τ τε ανεξάρτητα απ την αρχική κατάσταση, η πιθαν τητα να εμφανισθεί άπειρες φορές είναι ίση με το 0. iii) Aν T το σ νολο των παροδικών καταστάσεων της αρκοβιανής Aλυσίδας (TÃS), δείξτε τι η πιθαν τητα η αρκοβιανή Aλυσίδα να παραμείνει για πάντα στο σ νολο T είναι ίση με το 0.

230 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH i) H Ï ÛË Â Ó È Ó Ù Î Ù ÙÚfiappleÔ Ó ÏÔÁÔ Ì ÙËÓ ÛÎËÛË 4. ii) Œ Ô Ì Prob (Ë Î Ù ÛÙ ÛË j Ó ÂÌÊ ÓÈÛı appleâèúâ ÊÔÚ ) = =  Prob(X 0 =i) Prob(Ë Î Ù ÛÙ ÛË j Ó ÂÌÊ ÓÈÛı appleâèúâ ÊÔÚ X 0 =i) kœs =  Prob(X 0 =i)ø0 = 0, iœs (Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ (i) Î È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè Ë j Â Ó È apple ÚÔ ÈÎ (f i <1)). iii) Œ Ô Ì appleúôê ÓÒ Prob(X n ŒT ÁÈ fiï Ù n 0) 7  Prob (Ë Î Ù ÛÙ ÛË j Ó ÂÌÊ ÓÈÛı appleâèúâ ÊÔÚ ) = 0 jœt Έστω P = {p ij } k k ένας στοχαστικ ς πίνακας. i) Δείξτε τι για κάθε ακέραιο n 2 ο πίνακας P n είναι επίσης στοχαστικ ς. ii) Δείξτε τι αν οι γραμμές του πίνακα P n συμπίπτουν, τ τε P l =P n για κάθε ακέραιο l n. iii) Bρείτε το μέσο χρ νο παραμονής στην j-κατάσταση, που jœ{1, 2,, k}. ΛYΣH i) ŒÛÙˆ 1 = (1, 1,, 1) ÙÔ È Ó ÛÌ -ÁÚ ÌÌ appleô fiï ÙÔ Ù ÛÙÔÈ Â Â Ó È ÌÔÓ Â. TfiÙÂ, ÊÔ Ô P Â Ó È ÛÙÔ ÛÙÈÎfi, Ô Ì PØ1 = 1, Î È appleôïï appleï ÛÈ ÔÓÙ applefi ÚÈÛÙÂÚ Ì P P 2 Ø1 = PØ1 = 1,, P n Ø1 = 1, Ú Ô P n Â Ó È ÛÙÔ ÛÙÈÎfi ÁÈ Î ıâ n 2.

Kεφ. 1: μογενείς αρκοβιανές Aλυσίδες 231 ii) ŒÛÙˆ fiùè p (n) ij = apple j " i, jœs. TfiÙÂ, applefi ÙÔ ıâòúëì ÙˆÓ Chapman - Kolmogorov Ô Ì p ij (n+1) =  k p il p lj (n) = apple j  k p il = apple jø1 = apple j, l=1 l=1 ÊÔ Ô P Â Ó È ÛÙÔ ÛÙÈÎfi Î È Î Ù Û Ó appleâè  k EappleÔÌ Óˆ P n+1 =P n. Eapple ÛË, P n+2 = PØP n+1 = PØP n = P n+1 = P n, ÔapplefiÙ ÙÂÏÈÎ P l =P n ÁÈ Î ıâ Î Ú ÈÔ l n. l=1 p il = 1. iii) AappleÔ ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè Ô Ì ÛÔ ÚfiÓÔ apple Ú ÌÔÓ Û Πıâ Î Ù ÛÙ ÛË - ÓÂÙ È applefi ÙÔÓ apple Ó Î (I P) 1. TËÓ applefi ÂÈÍË ı ÙËÓ appleôê ÁÔ ÌÂ Û Ù ÙË Ê ÛË. 8 Στη θέση "Kατάρα" του δρ μου Iωάννινα - Tρίκαλα μια μέρα κατά την περίοδο του χειμώνα μπορεί να χαρακτηριστεί σαν χιονισμένη ή σαν καθαρή. Kάθε αυτοκίνητο που θα προσπαθήσει να περάσει τον δρ μο αυτ μια χιονισμένη ημέρα, θα πρέπει να έχει οπωσδήποτε αλυσίδες. Aν μια χιονισμένη ημέρα διαδέχεται μια καθαρή με πιθαν τητα 0.335 και μια καθαρή διαδέχεται μια χιονισμένη ημέρα με πιθαν τητα 0.25, να βρεθεί. i) H πιθαν τητα ένα αυτοκίνητο να χρειαστεί αλυσίδες στις 28 Δεκεμβρίου, αν τα Xριστο γεννα ήταν χιονισμένα. ii) Ποιο είναι το μέσο μήκος μια χιονισμένης περι δου και ποιο το μέσο μήκος μιας καθαρής περι δου. ΛYΣH Ú Ô ÌÂ Û Ó Î Ù ÛÙ ÛË 0 fiù Ó Ô ÚfiÌÔ Â Ó È Î ı Úfi, Î È Î Ù ÛÙ ÛË 1 fiù Ó Ô ÚfiÌÔ Â Ó È ÈÔÓÈÛÌ ÓÔ. TfiÙÂ Ô apple Ó Î ÌÂÙ ÛË ÙË ÚÎÔ- È Ó Ï Û Â Ó È 0 1 P = 0 1 Î È 0.655 0.335 0.250 0.750.

232 Στοχαστικές έθοδοι στην Eπιχειρησιακή Έρευνα Œ Ô ÌÂ Û Ó Â ÔÌ ÓÔ fiùè Ù XÚÈÛÙÔ ÁÂÓÓ Ù Ó ÈÔÓÈÛÌ Ó Î È ı ÏÔ ÌÂ Ó ÚÔ Ì ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ Ó Â Ó È ÈÔÓÈÛÌ ÓË Î È Ë 28 ÂÎÂÌ Ú Ô, ËÏ 25 Æ 26 Æ 27 Æ 28 ÌÂÙ 3- Ì Ù ÙË ÚÎÔ È Ó Ï Û. EappleÔÌ Óˆ ËÙ ÌÂ Ó ÚÔ Ì ÙËÓ appleèı ÓfiÙËÙ p (3) 11. E Ó È ÁÈ Ù p 11 (3) = Â1 p 1j (1) p(2) j1 = p 10 p(2) 01 +p 11 p(2) 11 = 0.603, j=0 p 01 (2) = Â1 p 0j p j1 = p 00 p 01 +p 01 p 11 = 0.474, j=0 p 11 (2) = Â1 p 1j p j1 = p 10 p 01 +p 11 p 11 = 0.646. j=0 ŒÛÙˆ W 1 Ë Ù ÌÂÙ ÏËÙ appleô ËÏÒÓÂÈ ÙÔÓ ÚÈıÌfi ÙˆÓ Û Ó fiìâ- ÓˆÓ ÈÔÓÈÛÌ ÓˆÓ ËÌÂÚÒÓ. TfiÙÂ Ô Ì Prob{W=n} = Prob{X 1 =X 2 = =X n =1, X n+1 =0 X 1 =1} = = Prob{X 2 =1 X 1 =1} Prob{X 3 =1 X 2 =1} Prob{X n =1 X n 1 =1}ØProb{X n+1 =0 X n =1} = p n 1 11 Ø p 10, ËÏ Ë Î Ù ÓÔÌ ÙË Ù ÌÂÙ ÏËÙ W Â Ó È Ë ÁˆÌÂÙÚÈÎ Ì appleèı ÓfiÙËÙ ÂappleÈÙ p 11, Î Ù Û Ó appleâè Ë Ì ÛË ÙÈÌ Ù ı Â Ó È E(W) =  n=1 n p11 n 1 p 10 = p 10 1 = 4.0 ËÌ ÚÂ.  ÙÔÓ ÈÔ ÙÚfiappleÔ Ú ÛÎÔ Ì fiùè ÙÔ Ì ÛÔ Ì ÎÔ ÌÈ Î ı Ú appleâúèfi Ô Â Ó È 2.96 ËÌ ÚÂ. 9 Ένα άσπρο ποντίκι του εργαστηρίου ψυχολογίας τοποθετείται στο λαβ ρινθο του σχήματος 1. Tο ποντίκι κινείται μέσα στα διαμερίσματα τυχαία, δηλαδή αν υπάρχουν K έξοδοι σ ένα διαμέρισμα κάθε έξοδος εκλέγεται με πιθαν τητα 1, ενώ σε κάθε χρονική στιγμή αλλάζει διαμέρισμα μ νο μια φορά. Aφο ορίσετε τον πίνακα μεταβά- K σεων να υπολογίσετε την πιθαν τητα Prob[X ν =7 / X ν 2 =9].