ISBN K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë"

Transcript

1

2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN Copyright,.-X.. B ÛÈÏ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 000 Aπαγορε εται η με κάθε τρ πο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή λου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια των συγγραφέων και του εκδ τη ºˆÙÔÛÙÔÈ ÂÈÔıÂÛ EÎÙ appleˆûë BÈ ÏÈÔappleˆÏÂ Ô ZHTH & È OE 18Ô ÏÌ ÂÛ/Ó ÎË - ÂÚ T ñ N ÔÈ EappleÈ Ù ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ñ T.K TËÏ.: (3 ÁÚ Ì.) - Fax: info@ziti.gr AÚÌÂÓÔappleÔ ÏÔ 7 ñ ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË TËÏ. (031) 03.70, Fax sales@ziti.gr

3 3 TÔ È Ï Ô ÊÈÂÚÒÓÂÙ È ÛÙË ÌÓ ÌË ÙÒÓ appleô Ê Á Ó ÙfiÛÔ Û ÓÙÔÌ applefi ÎÔÓÙ Ì ÙÔÓ apple Ù Ú ÌÔ MÈ ÏË TÛ ÎÏ Ë ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ P Ô K. M ÓÈÎ ÙÔ Ê ÏÔ ÌÔ KÒÛÙ M Á

4 «Tα πνεύματά μας, δέκτες και πομποί παιρνούν και στέλνουν των καιρών το πνεύμα σε μιαν αρχαία και νέα ζωής πομπή που ακολουθεί της ιστορίας το νεύμα» Γιάννης Pίτσος

5 5 ΠPOΛOΓOΣ Στους δ ο τ μους αυτο του βιβλίου δίνεται μια συλλογή ασκήσεων (+50 ασκήσεις) για λα σχεδ ν τα θέματα Eπιχειρησιακής Έρευνας. Στον πρώτο τ μο οι ασκήσεις αφορο ν το Γραμμικ Προγραμματισμ. Για τις περισσ τερες απ αυτές δίνεται και ο τρ πος λ σης του απ κάποιο λογισμικ (LINDO, WinQSB+ ή EXCEL) οι οδηγίες λειτουργίας των οποίων υπάρχουν σε ειδικ παράρτημα του βιβλίου. O ενδιαφερ μενος αναγνώστης μπορεί να αποκτήσει τα αρχεία δεδομένων τους απ την ιστοσελίδα ( Στο δε τερο τ μο έχουν συγκεντρωθεί ασκήσεις Δυναμικο Προγραμματισμο κι Aκέραιου Προγραμματισμο, καθώς επίσης και ασκήσεις απ τη θεωρία των μη Γραμμικών Mεθ δων Bελτιστοποίησης, των Mαρκοβιανών Aλυσίδων, τη θεωρία Oυρών, τις HμιMαρκοβιανές Aλυσίδες, τη θεωρία Aνανέωσης και τη θεωρία των Mαρκοβιανών Διαδικασιών. O συμβολισμ ς και η ορολογία που χρησιμοποιείται είναι απ τα βιβλία των Tσάντα και Bασιλείου (1996), Bασιλείου (1990, 1991, 1996). ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË, ÂÎ Ì ÚÈÔ X. B ÛÈÏÂ Ô. TÛ ÎÏ Ë N. TÛ ÓÙ

6 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 1 Μια βιοτεχνία παιγνιδιών διαθέτει σε πανελλήνια βάση δ ο διαφορετικά είδη νεροπίστολων, το Space Ray και το Super X-Ray. Τα δ ο παιγνίδια, αποδείχτηκαν ιδιαίτερα δημοφιλή μεταξ των παιδιών, κυρίως για παιγνίδια στη θάλασσα, ώστε να μην παρατηρείται κανένα απολ τως πρ βλημα στην απορροφητικ τητά τους απ την αγορά: σα παιγνίδια κατασκευάζονται διατίθενται αμέσως. Και τα δ ο παιγνίδια γίνονται αποκλειστικά απ κάποιο ειδικ μείγμα πλαστικο και πωλο νται σε συσκευασίες των 1. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι κατασκευαστικές απαιτήσεις των δ ο προϊ ντων σε πρώτες λες: Προϊ ν Μείγμα Πλαστικο (Kr ανά 1-άδα) Πρώτες Ύλες Χρ νος Παραγωγής (min ανά 1-άδα) Space Ray 3 Super X-Ray 1 Σε ημερήσια βάση, η βιοτεχνία μπορεί να έχει 1,00 Kr απ το πλαστικ μείγμα και 0 ανθρωποώρες για την κατασκευαστική διαδικασία. Το τμήμα προώθησης πωλήσεων της βιοτεχνίας, στην προσπάθεια δημιουργίας συνεχο ς ζήτησης των δ ο προϊ ντων που κάνει, έχει επιβάλλει δ ο απλο ς καν νες: (i) η συνολική ημερήσια παραγωγή τους να μην ξεπερνά τις άδες, (ii) η ημερήσια παραγωγή του πιο κερδοφ ρου Space Ray να μην ξεπερνά τις 50 1-άδες εκείνης του Super X-Ray. Αν το κέρδος απ την κάθε 1-άδα Space Ray και Super X-Ray ανέρχεται αντίστοιχα στις 8 και 5 χρηματικές μονάδες υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί τα συνολικά ημερήσια κέρδη. ΛYΣH ŒÛÙˆ fiùè x 1, x Â Ó È ( ÓÙ ÛÙÔÈ ) Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ 1- ˆÓ Space Ray Î È Super X-Ray appleô Î Ù ÛΠÔÓÙ È Û ÌÈ ËÌ Ú. ΔfiÙÂ, ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi Î Ú- Ô ÙË ÈÔÙÂ Ó appleô ı appleú appleâè Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈËıÂ Ó Ú ÂÙ È Û z = 8x 1 +5x ( ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â ). È appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ appleúôî appleùô Ó applefi ÙË È ıâûèìfiùëù ÙˆÓ appleúòùˆó ÏÒÓ:

7 8 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα x 1 + x 100 ( È ı ÛÈÌË appleôûfiùëù appleï ÛÙÈÎÔ, Û Kr) 3x 1 +x 00 ( È ı ÛÈÌÔ ÚfiÓÔ ÁÈ Î Ù ÛÎÂ, Û min) ÙË Û ÓÔÏÈÎ apple Ú ÁˆÁ : x 1 + x 800 Î È ÙËÓ ÈÛÔÚÚÔapple Ë ÔappleÔ appleú appleâè Ó apple Ú ÂÈ ÌÂÙ Í ÙÔ ÚÈıÌÔ ÙˆÓ apple - Ú ÁfiÌÂÓˆÓ 1- ˆÓ ÙÔ Î ıâ apple ÈÁÓÈ ÈÔ : x 1 x + 50 fi x 1 x 50 º ÛÈÎ Â Ó È Î È x 1, x 0. ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ μ x x 1 + x 100 3x 1 + x 00 3 x 1 + x 800 x 1 x E F A B x 1 z = 500

8 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 9 (Ô appleâúèôúèûìfi Â Ó È appleïâôó ˆÓ) ÙÔ ÔappleÔ Ô ÔÈ ÎÔÚ Ê Ô Ó Û ÓÙÂÙ Á- Ì Ó (0, 0), μ(50, 0), (550, 100), (80, 0) Î È (0, 600). ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. Î Ù ÛΠˆÓ Space Ray Î È 0 1- ˆÓ Super X-Ray Ô ËÁ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ó Ùfi ËÌÂÚ ÛÈÔ Î Ú Ô Ô 5,00 ÚË- Ì ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ. O Γιώργος, ένας πρωτοετής φοιτητής του A.Π.Θ., πιστε ει τι διασκέδαση και διάβασμα πρέπει να πηγαίνουν μαζί. Για το λ γο αυτ προσπαθεί να κατανείμει ένα χρ νο 10 ωρών την ημέρα ανάμεσά τους. Aρχικά εκτίμησε τι η διασκέδαση του προσφέρει δ ο φορές περισσ τερη χαρά απ τι το διάβασμα. Παρ λα αυτά επιθυμεί να διαβάζει τουλάχιστον ση ώρα διασκεδάζει. Στη συνέχεια βρήκε τι για να κάνει λη τη δουλειά που του αναθέτουν δεν μπορεί να διασκεδάζει περισσ τερο απ ώρες την ημέρα. Π σες ώρες την ημέρα πρέπει να διαβάζει και π σες να διασκεδάζει ώστε να έχει τη μέγιστη δυνατή χαρά; ΛYΣH A Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ˆÚÒÓ appleô ı È ÛΠÂÈ Ô ÈÒÚÁÔ, x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ˆÚÒÓ appleô ı È ÂÈ. Œ Ô Ì ÙfiÙ χαρά = x 1 +x appleôûfiùëù appleô ı ÏÔ ÌÂ Ó μεγιστοποιήσουμε. OÈ appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÊÔÚÔ Ó ÙÔ È ı ÛÈÌÔ ËÌÂÚ ÛÈÔ ÚfiÓÔ x 1 +x 10 ÙËÓ ÂappleÈı Ì ÙÔ ÈÒÚÁÔ Ó È ÂÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ fiûë ÒÚ È ÛÎÂ- ÂÈ x x 1 0 ÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ ÚfiÓÔ ÁÈ È ÛÎ ÛË x 1. EappleÂÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÂÈ ÌfiÓÔ Ô ÁÓÒÛÙÔ ı ÙÔ Ï ÛÔ Ì ÁÚ ÊÈÎ :

9 10 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα x x 1 + x 10 x x x 1 F B 1 A 0 10 x 1 + x = 1 x 1 H ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ A(0, 0), B(, ), (, 6) Î È (0, 10). ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. O ÈÒÚÁÔ ı appleú appleâè ËÏ Ó È ÛΠÂÈ ÒÚÂ Î È Ó È ÂÈ 6 ÒÛÙÂ Ó ÂÈ ÙË Ì ÁÈÛÙË Ó Ù Â - Ú ÛÙËÛË 1 ÌÔÓ ˆÓ. 3 H WavesHellas είναι μια εταιρεία συναρμολ γησης δ ο διαφορετικών τ πων φο ρνων μικροκυμάτων. Eξ αυτών, ο πρώτος τ πος αφήνει ένα καθαρ κέρδος 0 χ.μ. ενώ ο δε τερος 30 χ.μ. H λη κατασκευαστική διαδικασία μπορεί χοντρικά να θεωρηθεί τι αποτελείται απ δ ο στάδια, της συναρμολ γησης και του ελέγχου: Συναρμολ γηση Έλεγχος T πος A 1 T πος B 3 H WavesHellas είναι μια μικρο μεγέθους εταιρεία: το προσωπικ της εταιρείας επαρκεί για την εβδομαδιαία παρξη 0 ωρών συναρμολ γησης και 10 ωρών ελέγχου. Aν τα συμβ λαια που έχει υπογράψει η εταιρεία την αναγκάζουν να παραδίδει εβδομαδιαία τουλάχι-

10 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 11 στον 15 φο ρνους τ που A υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής η οποία θα μεγιστοποιήσει το κέρδος. ΛYΣH OÚ Ô ÌÂ Ó Â Ó È x 1, x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÊÔ ÚÓˆÓ Ù appleô A Î È B appleô ı Û Ó ÚÌÔÏÔÁËıÔ Ó ÛÂ Ì Â ÔÌ. TfiÙ ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi ( ÔÌ È Ô) Î Ú Ô ÙË WavesHellas ÙÔ ÔappleÔ Ô ÂappleÈı ÌÔ ÌÂ Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ Ó Ú Â- Ù È ÛÂ: z = 0x 1 +30x EÍ ÈÙ ÙˆÓ appleâúèôúèûì ÓˆÓ È ı ÛÈÌˆÓ ˆÚÒÓ ÁÈ ÙË Û Ó ÚÌÔÏfiÁËÛË Î È ÙÔÓ ÏÂÁ Ô ÙˆÓ Ô Ù appleˆó ÊÔ ÚÓˆÓ ı Ô Ì ( ÓÙ ÛÙÔÈ ): x 1 + 3x 0 x 1 + x 10 H apple ÙËÛË ÁÈ ÙËÓ apple Ú ÔÛË ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 15 ÊÔ ÚÓˆÓ ÌÈÎÚÔÎ Ì ÙˆÓ Ù appleô A ÙËÓ Â ÔÌ ÂÎÊÚ ÂÙ È applefi ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ : x 1 15 T ÏÔ, Ô ÌÂ Î È ÙÔ appleâúèôúèûìô ÙË ÌË- ÚÓËÙÈÎfiÙËÙ ÙˆÓ ÌÂÙ ÏË- ÙÒÓ x 1, x appleô ÔÚ Û ÌÂ: x 1, x 0 TÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ ÓÂÈ ÁÚ ÊÈÎ ÙËÓ Âapple Ï ÛË ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ : x 80 1 x 1 +3x 0 x 1 +x 10 3 x (15, 60) 3 1 F A B x 1 +30x =100 x 1

11 1 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα H ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ ÙÚ ÁˆÓÔ AB Î È ÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌÂ Ô (15, 60). H Û Ó ÚÌÔÏfiÁËÛË 15 ÊÔ ÚÓˆÓ Ù appleô A Î È 60 Ù appleô B ı ÒÛÂÈ (ÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ó ÙfiÓ)  ÔÌ È Ô Î Ú Ô ÛÔ Ì 100.Ì. Ú - ÙËÚ ÛÙ fiùè Ô appleâúèôúèûìfi appleô ÊÔÚ ÙÈ È ı ÛÈÌ ÒÚ ÁÈ ÏÂÁ Ô Â Ó È appleïâôó ˆÓ. H ÂÈÎfiÓ appleô ÎÔÏÔ ıâ  ÓÂÈ ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ Á.apple. ÁÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ùfi ÛÙÔ apple Ú ı ÚÔ ÂÚÁ Û ÙÔ LINDO. T Ùfi ÚÔÓ Ê ÓÂÙ È Î È Ë Ï ÛË ÙÔ fiappleˆ Ù appleúôî appleùâè applefi ÙÔ Û ÁÎÂÎÚÈÌ ÓÔ ÏÔÁÈÛÌÈÎfi. LP OPTIMUM FOUND AT STEP OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST TYPE_A TYPE_B ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ASSEBLHR) TESTHR) A_DEMAND) NO. ITERATIONS = O διευθυντής πωλήσεων μιας βιομηχανίας γάλακτος προσπαθεί να προσδιορίσει τον αριθμ των τηλεοπτικών σποτ και ολοσέλιδων καταχωρήσεων σε περιοδικά που μπορεί να "αγοράσει" με τον προϋπολογισμ των 100,000 χ.μ. που διαθέτει. Kάθε τηλεοπτικ σποτ κοστίζει,000 χ.μ. κι αναμένεται να αυξήσει τις πωλήσεις στα καινο ργια τ που γιαο ρτια της εταιρείας κατά 30,000 κεσεδάκια. Aπ την άλλη μεριά, μια ολοσέλιδη διαφημιστική καταχώρηση σ ένα περιοδικ κοστίζει 5,000 χ.μ. ενώ αναμένεται να αυξήσει τις πωλήσεις κατά 100,000 κεσεδάκια. H επικρατο σα άποψη στο τμήμα του (την οποία σκέφτεται και να υιοθετήσει) είναι, τι για λ γους ισορροπίας στην αγορά, δεν πρέπει να δαπανήσει περισσ τερο απ 70,000 χ.μ. στις διαφημίσεις που θα δώσει στα περιοδικά, αλλά ο τε περισσ τερο απ 50,000 χ.μ. στα τηλεοπτικά σποτ. Aν τα αναμεν μενα ακαθάριστα κέρδη απ το κάθε κεσεδάκι γιαουρτιο που θα πωληθεί λ γω της διαφημιστικής καμπάνιας υπολογίζονται σε 0.10 χ.μ., υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της κατανομής των διαφημίσεων στην τηλε ραση και τα περιοδικά η οποία θα μεγιστοποιήσει τη συνολική καθαρή α ξηση των κερδών της βιομηχανίας.

12 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 13 ΛYΣH ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó ÙË ÛÎËÛË, Ù Î ı Ú Ó ÌÂÓfiÌÂÓ Î Ú Ë Ó Ù appleô È Ê ÌÈÛË appleô ı ÂappleÈÏÂÁ ÙÂÏÈÎ Ó Ú ÔÓÙ È ÛÂ: 0.10*(30,000),000 = 1,000.Ì. applefi ÙÔ Î ıâ ÙËÏÂÔappleÙÈÎfi ÛappleÔÙ 0.10*(100,000) 5,000 = 5,000.Ì. applefi ÙËÓ Î ıâ È Ê ÌÈÛË Û appleâúèô ÈÎfi OÚ Ô ÌÂ Ó Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÙËÏÂÔappleÙÈÎÒÓ ÛappleÔÙ Î È x Ô ÚÈı- Ìfi ÙˆÓ È ÊËÌÈÛÙÈÎÒÓ Î Ù ˆÚ ÛÂˆÓ Û appleâúèô ÈÎ. TfiÙÂ, Ë Û ÓÔÏÈÎ Î - ı Ú ÍËÛË ÙˆÓ ÎÂÚ ÒÓ ÙË ÈÔÌË Ó Á Ï ÎÙÔ ÙËÓ ÔappleÔ Î È ÂappleÈı - ÌÔ ÌÂ Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ Â Ó È ÛË Ì z = 1,000x 1 +5,000x Ó Û Ó appleâè ÙÔ appleâúèôúèûì ÓÔ appleúô appleôïôáèûìô ı appleú appleâè,000x 1 +5,000x 100,000 ÂÓÒ, Ë ÂappleÈ ÈˆÎfiÌÂÓË Î Ù ÓÔÌ ÛÙ Ô È ÊËÌÈÛÙÈÎ Ì Û Ì ÓÂÈ,000x 1 50,000 5,000x 70,000 T ÏÔ, Ô ÌÂ Î È ÙÔ appleâúèôúèûìô ÙË ÌË- ÚÓËÙÈÎfiÙËÙ ÙˆÓ ÌÂÙ ÏË- ÙÒÓ x 1, x appleô ÔÚ Û ÌÂ: x 1, x 0 TÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ ÓÂÈ ÁÚ ÊÈÎ ÙËÓ Âapple Ï ÛË ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ : x 0 1,000x 1 +5,000x 100,000,000x 1 50, ,000x 70, E (15, 1) 3 F 1 z=85,000 A B x 1

13 1 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα H ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ A(0, 0), B(5, 0), (5, 10), (15, 1) Î È E(0, 1). ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. 15 ÙËÏÂÔappleÙÈÎ ÛappleÔÙ Î È 1 Î Ù ˆÚ ÛÂÈ Û appleâúèô ÈÎ ı ÒÛÔ Ó (ÙË Ì ÁÈÛÙË Ó Ù ) Î ı Ú ÍËÛË ÙˆÓ ÎÂÚ ÒÓ Ô 85,000.Ì. 5 H εταιρεία υπολογιστών MICRO προσπαθεί να προγραμματίσει τη γραμμή παραγωγής για τους επιτραπέζιους και φορητο ς προσωπικο ς υπολογιστές που θα διαθέσει στην αγορά τη χρονιά που έρχεται. O επεξεργαστής και των δ ο μοντέλων είναι ο PII-500 και ο χρ νος κατασκευής για το επιτραπέζιο μοντέλο ανέρχεται στην 1.5 ώρα ενώ για το φορητ στις 3 ώρες. Για τη συνολική παραγωγή η εταιρεία είναι έτοιμη να διαθέσει 300 επεξεργαστές και 6000 ώρες εργασίας, ενώ οι πωλητές της απαιτο ν τουλάχιστον το 5% της συνολικής παραγωγής να είναι φορητοί υπολογιστές. Aν το κέρδος απ κάθε επιτραπέζιου υπολογιστή ανέρχεται στις 50,000 χρηματικές μονάδες και απ κάθε φορητ στις 75,000 υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής η οποία θα μεγιστοποιήσει το συνολικ κέρδος της MICRO. ΛYΣH A Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÂappleÈÙÚ apple ÈˆÓ appleôïôáèûùòó appleô ı Î Ù ÛΠ- ÛÙÔ Ó Î È x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÊÔÚËÙÒÓ. AÊÔ ÔÈ x appleôïôáèûù appleú appleâè Ó Â Ó È ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ ÙÔ 5% ÙË Û ÓÔ- ÏÈÎ apple Ú ÁˆÁ ı ÈÛ ÂÈ: x 0.5 (Û ÓÔÏÈÎ apple Ú ÁˆÁ ) fi x 0.5(x 1 +x ) fi 0.5x x 0 ÎÈ ÂappleÔÌ Óˆ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ì ÊÔÚ ÙËÓ Â ÚÂÛË ÙÔ Ì appleâúèôúèûìô max z = (50000x x ) x 1 + x 300 (ÂappleÂÍÂÚÁ ÛÙ ) 1.5x 1 + 3x 6000 ( ÚfiÓÔ ÂÚÁ Û ) 0.5x x 0 (% apple ÙËÛË) x 1, x 0

14 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 15 H ÂÊÈÎÙ appleâúèô F Ê ÓÂÙ È ÛÙÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ (o appleâúèôúèûìfi 1 Â Ó È appleïâôó ˆÓ) applefi ÙÔ ÔappleÔ Ô ÌappleÔÚÔ ÌÂ Â ÎÔÏ Ó ÚÔ ÌÂ Î È ÙËÓ ÚÈ- ÛÙË Ï ÛË x 1 = 00, x = 800 Ë ÔappleÔ ÓÂÈ Î Ú Ô 180,000,000 ÚËÌ ÙÈ- ÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ. x x 1 + x x 1 + 3x x x F άριστη λ ση (00, 800) x 1 6 Σ ένα ξυλουργείο υπάρχουν δ ο μηχανήματα: ένα τρυπάνι και μια πλάνη. Tο ξυλουργείο κατασκευάζει σε μ νιμη βάση δ ο προϊ ντα A και B, κάθε κομμάτι των οποίων απαιτεί χρ νο επεξεργασίας (σε λεπτά) ο οποίος δίνεται στον πιο κάτω πίνακα Προϊ ν Mηχάνημα Tρυπάνι Πλάνη A 3 B 5 3 O ξυλουργ ς δεν επιθυμεί κανένα απ τα δ ο είδη μηχανημάτων να δουλε ει περισσ τερο απ 30 λεπτά την ημέρα απ το άλλο, αλλά ο τε και ο ίδιος περισσ τερο απ οκτώ ώρες. Aν το κέρδος του ανέρχεται σε 50 δρχ. απ το προϊ ν A και σε 180 δρχ. απ το B, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση του αριθμο των προϊ ντων που πρέπει να κατασκευάζει ημερησίως ώστε να μεγιστοποιεί το κέρδος του.

15 16 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH ŒÛÙˆ fiùè Î Ù ÛΠÔÓÙ È x 1 ÎÔÌÌ ÙÈ ÙÔ appleúô fióùô A Î È x ÙÔ B. TfiÙ ÙÔ ÙÚ apple ÓÈ Ô Ï  3x 1 +5x ÏÂappleÙ, ÂÓÒ Ë appleï ÓË x 1 +3x. AÊÔ Ô Í ÏÔ ÚÁfi  ı ÏÂÈ Ó Ô Ï ÂÈ apple Óˆ applefi 8 ÒÚ (= 8 60 = 80 ÏÂappleÙ ), ı appleú appleâè (3x 1 +5x )+(x 1 +3x ) 80 ÈÛÔ Ó Ì 7x 1 +8x 80 MÈ Î È Ë È ÊÔÚ ÙÔ ÚfiÓÔ ÏÂÈÙÔ ÚÁ ÙÚ apple ÓÈÔ - appleï ÓË ÂÓ appleú appleâè Ó ÍÂappleÂÚÓ Ù 30 ÏÂappleÙ, ı Â Ó È (x 1 +3x ) (3x 1 +5x ) 30 ËÏ. x 1 x 30 EappleÔÌ Óˆ, ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÊÔÚ ÙËÓ Â ÚÂÛË ÙÔ max (50x x ) fiù Ó 7x 1 +8x 80 x 1 x 30 x 1 +x 30 x 1, x 0 ÕÚÈÛÙË Ï ÛË ÁÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ùfi Â Ó È Ë x 1 = 5.556, x = appleô Ô ËÁ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ ËÌÂÚ ÛÈÔ Î Ú Ô ÙË Ù ÍË ÙˆÓ Ú. 7 Βιοτεχνία λευκών ηλεκτρικών συσκευών, έχει αναλάβει υπερεργολαβικά, για λογαριασμ γνωστής εταιρεία της αγοράς, την κατασκευή πλυντηρίων ρο χων και πιάτων. Για το σκοπ αυτ, η βιοτεχνία δημιο ργησε τέσσερα διαφορετικά τμήματα: (1) συναρμολ γησης, () τελικής επεξεργασίας που χρησιμοποιο νται και απ τα δ ο προϊ ντα, (3) κατασκευής του μοτέρ και λοιπών μηχανικών/ηλεκτρονικών μερών του πλυντηρίου ρο χων, () κατασκευής του μοτέρ και λοιπών μηχανικών/ηλεκτρονικών μερών του πλυντηρίου πιάτων. Αν οι εβδομαδιαίες κατασκευαστικές δυνατ τητες του κάθε τμήματος φτάνουν για την κατασκευή Τμήματα επεξεργασίας Πλυντήριο Ρο χων Προϊ ν Πλυντήριο Πιάτων Κατασκευή των μερών του πλυντ. ρο χων,000 Κατασκευή των μερών του πλυντ. πιάτων 1,500 Συναρμολ γηση 3,500,500 Τελική επεξεργασία (φινίρισμα) 1,500 3,500

16 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 17 συσκευών (για παράδειγμα, αν το τμήμα συναρμολ γησης συναρμολογο σε μ νο πλυντήρια ρο χων, τ τε θα συναρμολογο σε 3,500 συσκευές, κοκ) και το κέρδος της εταιρείας είναι 50 χρηματικές μονάδες απ ένα πλυντήριο ρο χων και 375 απ ένα πλυντήριο πιάτων, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την ε ρεση της γραμμής παραγωγής που αφήνει στη βιοτεχνία τα περισσ τερα κέρδη. ΛYΣH appleôı ÛÔ Ì fiùè  ÔÌ È Î Ù ÛΠÔÓÙ È x 1, x appleï ÓÙ ÚÈ ÚÔ - ˆÓ Î È appleè ÙˆÓ ÓÙ ÛÙÔÈ. ΔfiÙ ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi Î Ú Ô ÙË ÈÔÙÂ Ó appleô appleú appleâè È Ó ÌÂÁÈÛÙÔappleÔÈËıÂ Ó Ú ÂÙ È Û 75x x ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. È appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ appleú appleâè Ó ÓÙÈÎ - ÙÔappleÙÚ Ô Ó ÙÈ Ó ÙfiÙËÙ ÂappleÂÍÂÚÁ Û appleô apple Ú Ô Ó ÛÙÔ Î ı Ó applefi Ù Ù ÛÛÂÚ ÙÌ Ì Ù ÙË ÁÚ ÌÌ apple Ú ÁˆÁ. ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÙÔ ÙÌ Ì Î Ù ÛÎÂ ÙˆÓ ÌË ÓÈÎÒÓ/ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ÌÂÚÒÓ ÁÈ Ù appleï - ÓÙ ÚÈ ÚÔ ˆÓ Âapple ÚΠÙËÓ Â ÔÌ ÁÈ,000 Û ÛΠ: x 1,000 ÙÔ ÙÌ Ì Î Ù ÛÎÂ ÙˆÓ ÌË ÓÈÎÒÓ/ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎÒÓ ÌÂÚÒÓ ÁÈ Ù appleï - ÓÙ ÚÈ appleè ÙˆÓ Âapple ÚΠÙËÓ Â ÔÌ ÁÈ 1,500 Û ÛΠ: x 1,500 ÊÔ Û ÌÈ Â ÔÌ ÌappleÔÚÔ Ó Ó Û Ó ÚÌÔÏÔÁËıÔ Ó 3,500 appleï ÓÙ ÚÈ ÚÔ ˆÓ, ÁÈ Ù x 1 appleô ı Î Ù ÛΠÛÙÔ Ó apple ÈÙÂ Ù È ÙÔ x ÙË x  ÔÌ. ŸÌÔÈ Ú ÛÎÔ Ì fiùè apple ÈÙÂ Ù È ÙÔ ÙË Â ÔÌ ÁÈ 500 ÙË Û Ó ÚÌÔÏfiÁËÛË ÙˆÓ x appleï ÓÙËÚ ˆÓ appleè ÙˆÓ: x x fi 10x 1+1x Ó ÏÔÁ ÁÈ ÙÔ ÙÌ Ì ÙÔ ÊÈÓÈÚ ÛÌ ÙÔ ÙˆÓ Û ÛΠÒÓ Ú ÛÎÔ Ì fiùè ı appleú appleâè: x x fi 7x 1+3x Ó È ÎfiÌË x 1, x 0. ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi ÙÔ appleôï ÁˆÓÔ μ (ÔÈ appleâúèôúèûìô Î È Â Ó È appleïâôó ÔÓÙ ) ÙÔ ÔappleÔ Ô ÔÈ ÎÔÚ Ê Ô Ó Û ÓÙÂÙ ÁÌ Ó (0, 0), μ(1500, 0), (857.13, 1500) Î È (0, 1500).

17 18 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌ Ô. Î Ù ÛΠappleï ÓÙËÚ ˆÓ ÚÔ ˆÓ Î È 1500 appleï ÓÙËÚ ˆÓ appleè ÙˆÓ Ô ËÁ ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ó Ùfi  ÔÌ È Ô Î Ú Ô ÛÔ appleâú appleô Ì 776,786 ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. x x 1 + 1x x 1 + 3x x A x F 1 A B x 1 z = Ένα πολυ-κατάστημα παιδικών παιγνιδιών προσπαθεί να τοποθετήσει στην μήκους 50 m βιτρίνα του, ποδήλατα για μεγάλα (με δ ο ρ δες) και μικρά παιδιά (με τέσσερις ρ δες). Κατά το διακοσμητή του καταστήματος θα πρέπει στη βιτρίνα να παρουσιάζονται τουλάχιστον 8 μεγάλα και τουλάχιστον 10 μικρά ποδήλατα. Κάθε μεγάλο ποδήλατο που τοποθετείται εκεί δεσμε ει χώρο.5 m κι εκτιμάται τι έχει πιθαν τητα πώλησης τη συγκεκριμένη ημέρα έκθεσής του 0.1. Το κέρδος που αφήνει στο κατάστημα μια τέτοια πώληση ανέρχεται σε 80 χρηματικές μονάδες. Ανάλογα, κάθε μικρ ποδήλατο δεσμε ει

18 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 19 χώρο 1.5 m, αποκτά πιθαν τητα πώλησης 0.10, κι αφήνει κέρδος 0 χ.μ. Βρείτε τον αριθμ των μεγάλων και μικρών ποδηλάτων που θα πρέπει να τοποθετηθο ν στη βιτρίνα του καταστήματος μια τυχαία ημέρα σε τρ πο ώστε: 1. να μεγιστοποιο νται τα συνολικά αναμεν μενα κέρδη.. να μεγιστοποιείται ο συνολικ ς αναμεν μενος αριθμ ς πωλήσεών τους. 3. να ελαχιστοποιείται ο συνολικ ς τους αριθμ ς. ΛYΣH Â Ó È x 1 Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÂÁ ÏˆÓ (ÌÂ Ô Úfi  ) Î È x Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÌÈÎÚÒÓ (Ì ٠ÛÛÂÚÈ Úfi  ) appleô ËÏ ÙˆÓ appleô ı ÙÔappleÔıÂÙËıÔ Ó ÛÙË È- ÙÚ Ó ÙÔ Î Ù ÛÙ Ì ÙÔ ÙËÓ fiappleôè Ù ËÌ Ú. ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó appleô Ô ÌÂ: ı appleú appleâè Ó ÙÔappleÔıÂÙËıÔ Ó ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 8 ÌÂÁ Ï appleô Ï Ù : x 1 8 ı appleú appleâè Ó ÙÔappleÔıÂÙËıÔ Ó ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 10 ÌÈÎÚ appleô Ï Ù : x 10 Î ıâ ÌÂÁ ÏÔ appleô Ï ÙÔ ÚÂÈ ÂÙ È.5 m, Î ıâ ÌÈÎÚfi 1.5 m, ÂÓÒ ÔÏfi- ÎÏËÚË Ë ÈÙÚ Ó ÂÈ Ì ÎÔ 50 m:.5x x 50 Î È È : x 1, x 0 1. Δ Û ÓÔÏÈÎ Ó ÌÂÓfiÌÂÓ ËÌÂÚ ÛÈ Î Ú Ë applefi ÙËÓ ÎıÂÛË ÙˆÓ x 1 ÌÂÁ - ÏˆÓ Î È x ÌÈÎÚÒÓ appleô ËÏ ÙˆÓ Ó Ú ÔÓÙ È Û 80 (0.1x 1 ) + 0 (0.10x ) ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. ÓÂappleÒ, ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ ÙÔ Á.apple. ÁÈ ÙÔ appleúfi ÏËÌ Ì ÛÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Â Ó È ÙÔ maximize z = 9.6x 1 +x Î Ùˆ applefi ÙÔ appleâúèôúèûìô x 1 8 x 10.5x x 50 x 1, x 0 μ ÏÙÈÛÙË Ï ÛË ÛÙÔ appleúfi ÏËÌ Ùfi Â Ó È Ë x 1 =1, x =10, z=17..

19 0 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα. Û ÓÔÏÈÎfi Ó ÌÂÓfiÌÂÓÔ ÚÈıÌfi appleˆï ÛÂˆÓ ÌÂÁ ÏˆÓ Î È ÌÈÎÚÒÓ appleô- ËÏ ÙˆÓ Â Ó È ÛÔ Ì 0.1x x, ÔapplefiÙ ÌÔÓÙ ÏÔ Á.apple. ÁÈ ÙÔ appleúfi- ÏËÌ Ì Â Ó È ÙÔ maximize z = 0.1x x Î Ùˆ applefi ÙÔ appleâúèôúèûìô x 1 8 x 10.5x x 50 x 1, x 0 ÎÈ ÂÈ ˆ ÏÙÈÛÙË ÙË Ï ÛË x 1 =8, x =0, z=.96. x 9x 1 +x = x 1 8 x x x x 1 +x = 18 F x x =.96 x 1

20 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 1 3. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ô ÌÂ ÙÔ appleúfi ÏËÌ minimize z = x 1 +x Î Ùˆ applefi ÙÔ appleâúèôúèûìô x 1 8 x 10.5x x 50 x 1, x 0 appleô ÂÈ ˆ ÏÙÈÛÙË Ï ÛË ÙË x 1 =8, x =10, z=18. 9 Ο Νίκος Τσάντας, πλασιέ του σκευάσματος τροφής για αγελάδες «Moo Buffet», επισκέπτεται τον Παναγιώτη Βασιλείου επιτυχημένο παραγωγ γάλακτος, που έχει στην κατοχή του ένα κοπάδι 1000 αγελάδων. Μέρος της επιτυχίας του Βασιλείου οφείλεται και στην αυστηρή δίαιτα την οποία ακολουθο ν οι αγελάδες του. Ειδικ τερα, κάθε αγελάδα λαμβάνει ημερήσια τουλάχιστον 100 μονάδες ασβέστιο, 0,000 θερμίδες και 1,500 μονάδες πρωτε νης. Για το σκοπ αυτ ο Βασιλείου χρησιμοποιεί το σκε ασμα τροφής «Cow Feed», 1 Kr του οποίου κοστίζει χρηματικές μονάδες και παρέχει 1 μονάδα ασβεστίου, 00 θερμίδες και 0 μονάδες πρωτε νης. Σε αντιδιαστολή, 1 Kr «Moo Buffet» θα κοστίσει στον Βασιλείου 0.00 χρηματικές μονάδες παρέχοντας μονάδες ασβεστίου, 50 θερμίδες και 0 μονάδες πρωτε νης. 1. Σε ποιο ποσ ανέρχονται τα τρέχοντα (: με το σκε ασμα «Cow Feed») ημερήσια έξοδα τροφής για μια αγελάδα του κοπαδιο Βασιλείου;. Για ποιο λ γο ο Τσάντας δεν κατάφερε να πείσει τον Βασιλείου να αντικαταστήσει το σκε ασμα «Cow Feed» με το «Moo Buffet»; 3. Ο Τσάντας, ως πολυμήχανος πλασιέ που είναι, ταν κατάλαβε τι απέτυχε στη βασική του επιδίωξη, πρ τεινε ως εναλλακτική λ ση ένα μείγμα των δ ο σκευασμάτων «Cow Feed» και «Moo Buffet» το οποίο με χαμηλ τερο κ στος ικανοποιεί τις ανάγκες της δίαιτας. Ποιο είναι αυτ ;. Π σα χρήματα εξοικονομεί ημερήσια ο Βασιλείου τα ζοντας το κοπάδι των 1000 αγελάδων του με το προτειν μενο μείγμα;

21 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH 1. ÌÊˆÓ Ì ٠ ÔÌ Ó ÙË ÛÎËÛË, 1 Kr ÙÔ ÛΠÛÌ ÙÔ «Cow Feed» apple Ú ÂÈ 1 ÌÔÓ Û ÂÛÙ Ô, 00 ıâúì Â Î È 0 ÌÔÓ Â appleúˆ- Ù ÓË. ÓÂappleÒ, Î ıâ ÁÂÏ ÚÂÈ ÂÙ È ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 100/1 = 100 Kr ÙÚÔÊ ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ ÙË ÛÂ Û ÛÙÈÔ, ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 0000/00 = 50 Kr ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ Û ıâúì Â Î È ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 1500/0 = 75 Kr ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÂÈ ÙÈ apple È- Ù ÛÂÈ Û appleúˆùâ ÓÂ. apple ÈÙÔ ÓÙ È ÂappleÔÌ Óˆ ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ 100 Kr ÙÔ ÛΠÛÌ ÙÔ «Cow Feed» Ì ÎfiÛÙÔ = 1.50 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔ- Ó ˆÓ ÁÈ ÙË È ÙÚÔÊ ÙË Î ıâ ÁÂÏ ÙÔ ÎÔapple ÈÔ.. Ó ÏÔÁ appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè apple ÈÙÔ ÓÙ È 80 Kr ÙÔ ÛΠÛÌ ÙÔ «Moo Buffet» ÁÈ Ó ÂÍ ÛÊ ÏÈÛÙÔ Ó ÔÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ appleô ÎÔÏÔ ıâ - Ù È. ÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ô ÌÂ Ó ÎfiÛÙÔ 1.60 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ Ó ÁÂÏ, appleô Â Ó È ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ applefi ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ ÎÈ Ú Û Ì- ÊÔÚÔ. 3. Ì ÔÏ Ô Ì Ì x 1, x ÙËÓ appleôûfiùëù (Kr) appleô ı apple Ú ÂÈ ÛÙÔ Ì ÁÌ applefi Ù Ô ÛΠÛÌ Ù ÙÚÔÊ «Cow Feed» Î È «Moo Buffet» ÓÙ - ÛÙÔÈ. ΔfiÙ ÙÔ Û ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ ÁÈ ÙË È ÙÚÔÊ ÙË Î ıâ ÁÂÏ, ÙÔ ÔappleÔ Ô ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ, Ó Ú ÂÙ È Û 0.015x x x x 1 + x x x 0, x 1 + 0x 1, B 0 3 A z = 1.5 x 1

22 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 3 μ È, ı appleú appleâè Ó ÂÍ ÛÊ Ï ÛÔ ÌÂ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ ÛÂ Û ÛÙÈÔ, ıâúì Â Î È appleúˆùâ ÓÂ : x 1 + x 100 ( apple ÈÙ ÛÂÈ ÛÂ Û ÛÙÈÔ) 00x x 0,000 ( apple ÈÙ ÛÂÈ ÛÂ ıâúì Â ) 0x 1 + 0x 1500 ( apple ÈÙ ÛÂÈ ÛÂ appleúˆùâ ÓÂ ) ÂÓÒ Â Ó È Î È x 1, x 0. ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi Ù ÛËÌÂ (100, 0), μ(50, 5), (8.333, ), (0, 80) Î È ÙÔ ıâùèîô ËÌÈ ÍÔÓÂ, Â Ó È Â ÌË ÊÚ ÁÌ ÓË. ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌÂ Ô μ. ËÌÈÔ ÚÁ ÂÓfi ÌÂ - ÁÌ ÙÔ ÙÚÔÊ applefi 50 Kr «Cow Feed» Î È 5 Kr «Moo Buffet» ÂÍ ÛÊ - Ï ÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÈÙ ÌÂ ÎfiÛÙÔ ÌfiÏÈ 1.5 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ - ˆÓ.. ÓÙÈÎ Ù ÛÙ ÛË ÙÔ ÛÎÂ ÛÌ ÙÔ ÙÚÔÊ «Cow Feed» applefi ÙÔ apple Ú - apple Óˆ ÌÂ ÁÌ Ô ËÁÂ ÙÔÓ μ ÛÈÏÂ Ô Û Ó ËÌÂÚ ÛÈÔ Î Ú Ô ÁÈ ÔÏfiÎÏËÚÔ ÙÔ ÎÔapple È ÙÔ Ô 1000 ( ) = 50 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ. 10 Εταιρεία προμηθε εται απ δ ο διαφορετικές πηγές ορυκτά, τα οποία στη συνέχεια επεξεργάζεται με σκοπ τη δημιουργία διαφ ρων μεταλλευμάτων. Οι τρέχουσες ανάγκες της ανέρχονται σε 800 Kr χαλκο, 600 Kr ψευδάργυρου και 500 Kr σιδήρου. Η ποσ τητα που το καθένα μετάλλευμα υπάρχει ανά 100 Kr ορυκτο μαζί με το κ στος αγοράς του δίνονται στον πιο κάτω πίνακα: Ορυκτ (100 Kr) Χαλκ ς (Kr) Ψευδάργυρος (Kr) Σίδηρος (Kr) Απώλειες (Kr) Κ στος (χ.μ.) Α Β Προσδιορίστε τις ποσ τητες που πρέπει να αγοραστο ν απ το κάθε ορυκτ σε τρ πο ώστε να ικανοποιο νται οι ανάγκες της εταιρείας με το μικρ τερο δυνατ κ στος.. Υποθέστε επιπλέον τι η συνολική απώλεια δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1000 Kr. Δώστε το νέο (;) βέλτιστο σχέδιο αγοράς. ΛYΣH 1. Ì ÔÏ Ô ÌÂ ÌÂ x 1, x ÙËÓ appleôûfiùëù (100 Kr) ÙÔ ÔÚ ÎÙÔ, μ ÓÙ - ÛÙÔÈ appleô appleúôìëıâ ÂÙ È Ë ÂÙ ÈÚÂ. ΔÔ Û ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ ÙfiÙÂ ÁÔÚ ÙÔ ÔappleÔ Ô ı ÏÔ ÌÂ Ó ÂÏ ÈÛÙÔappleÔÈ ÛÔ ÌÂ Ó Ú ÂÙ È ÛÂ

23 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα 100x x ÚËÌ ÙÈÎ ÌÔÓ Â. È appleâúèôúèûìô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÊÔÚÔ Ó ÙÈ Ë- ÙÔ ÌÂÓ appleôûfiùëùâ ÏÎÔ,  ÚÁ ÚÔ Î È ÛÈ ÚÔ : 0x 1 + 0x 800 ( ËÙÔ ÌÂÓË appleôûfiùëù ÏÎÔ ) 0x 1 + 5x 600 ( ËÙÔ ÌÂÓË appleôûfiùëù  ÚÁ ÚÔ ) 0x x 500 ( ËÙÔ ÌÂÓË appleôûfiùëù ÛÈ ÚÔ ) appleèappleï ÔÓ, x 1, x 0. x x 1 + 0x 800 0x 1 + 5x x x B 1 A z = 300 x 1 ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÓˆÙ Úˆ apple.á.apple. ÔÚ ÂÙ È applefi Ù ÛËÌ (0, 0), μ(0, 10), (0, 50) Î È ÙÔ ıâùèîô ËÌÈ ÍÔÓÂ, Â Ó È Â ÌË ÊÚ ÁÌ ÓË ÂÓÒ Ô appleâúèôúèûìfi Â Ó È appleïâôó ˆÓ. ÕÚÈÛÙË Ï ÛË Â Ó È ÙÔ ÛËÌÂ Ô μ. ÁÔÚ,000 Kr ÙÔ ÔÚ ÎÙÔ Î È 1,000 Kr ÙÔ ÔÚ ÎÙÔ ÂÍ ÛÊ Ï ÂÈ ÙÈ apple ÈÙ ÛÂÈ ÙË ÂÙ ÈÚ Ì ÎfiÛÙÔ 300 ÚËÌ ÙÈÎÒÓ ÌÔÓ ˆÓ.

24 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 5. appleúôûı ÎË ÙÔ appleâúèôúèûìô «0x 1 +5x 1000» ÛÙÔ appleúfi ÏËÌ, Î ıè- ÛÙ ÙËÓ ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ ÎÂÓfi Û ÓÔÏÔ, F=Δ. TÔ Ó Ô apple.á.apple. ÂÓ ÂÈ ÂÊÈÎÙ Ï ÛÂÈ ( Ó ÙÔ apple.á.apple.). x x 1 + 0x 800 0x 1 + 5x x x 500 0x 1 + 5x x 1 11 Nα βρεθεί γραφικά η εφικτή περιοχή των πιο κάτω π.γ.π.: i) x + y 5 ii) x + y 8 iii) x + 5y +5z 0 x + y 8 3x + y 6 x + y + z 8 x, y 0 x, y 0 x, y, z 0 iv) x + y v) x + y 3 vi) 6x + y +9z 36 x + y 3x + y 6 x + 5y + z 0 x, y 0 x, y 0 x, y, z 0

25 6 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα ΛYΣH y 8 i) 6 1 x+y 5 x+y 8 F 1 6 x ii) y x+ y 8 3x+y 6 1 F x

26 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 z 8 iii) y 10 x

27 8 Aσκήσεις στην Eπιχειρησιακή Έρευνα y x+y x+y iv) F x y 1 x+ y 3 3x+y 6 v) F 1 x

28 Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 9 z 5 vi) 9 y 6 10 x 1 Δίνεται το π.γ.π. ταν max (x 1 +x ) x 1 3x 1 + 8x x 1 + x 6 x 1, x 0 1. Nα λυθεί γραφικά.. Ποια είναι η άριστη λ ση αν η αντικειμενική συνάρτηση είναι συνάρτηση ελαχιστοποίησης κι χι μεγιστοποίησης; ΛYΣH 1. ÙÔ Û Ì appleô ÎÔÏÔ ıâ ÓÂÙ È Ë ÁÚ ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË ÙË ÂÊÈÎÙ appleâúèô ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ :

Πρώτες Ύλες Χρ νος Παραγωγής (min ανά 12-άδα) Μείγμα Πλαστικο

Πρώτες Ύλες Χρ νος Παραγωγής (min ανά 12-άδα) Μείγμα Πλαστικο Γραμμικ ς Προγραμματισμ ς 7 Μια βιοτεχνία παιγνιδιών διαθέτει σε πανελλήνια βάση δ ο διαφορετικά είδη νεροπίστολων, το Space Ray και το Super X-Ray. Τα δ ο παιγνίδια, αποδείχτηκαν ιδιαίτερα δημοφιλή μεταξ

Διαβάστε περισσότερα

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À Ã ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË

À π. apple Ú Â ÁÌ Ù. π À à ª ªπ À À À. ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË ÂÚ ÛÙÈÔ ÙÔ fiêâïô ÙˆÓ appleúôóôèòó ÙË À π Àªµ 2008-2010 π À à ª ªπ À À À appleâíëáëì ÙÈÎ apple Ú Â ÁÌ Ù Η υπογραφή της νέας Συλλογικής Σύµβασης µεταξύ ΕΤΥΚ ΚΕΣΤ για τα έτη 2008 2010 θεωρήθηκε µια µεγάλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π

ΑΙΤΗΣΗ π ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ π ΑΣΤΙΚΗΣ π ΕΥΘΥΝΗΣ ΠΡΟΣ ΤΡΙΤΟΥΣ π ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΑΣΦΑΛΕΙΩΝ «Η ΕΘΝΙΚΗ» ΕΤΟΣ ΙΔΡΥΣΗΣ 1891 ΕΤΑΙΡΙΑ ΤΟΥ ΟΜΙΛΟΥ ΤΗΣ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΑΡ.Μ.Α.Ε.: 12840/05 B 86/20 Α.Φ.Μ.: 094003849 Δ.Ο.Υ.: ΜΕΓΑΛΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΛΕΩΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ.

Πίνακες και ερµάρια. διανοµής. ƒ 2010. Plexo 3 στεγανοί πίνακες από 2 έως 72 στοιχεία (σ. 59) Practibox χωνευτοί πίνακες από 6 έως 36 τοιχεία (σ. χωνευτοί σ. 56 Nedbox χωνευτοί από 12 έως 56 στοιχεία σ. 58 από 1 έως 6 στοιχεία σ. 62 XL 3 160 από 48 έως 144 στοιχεία και ερµάρια διανοµής ισχύος XL 3 σ. 68 Ράγες, πλάτες στήριξης και µετώπες σ. 77 0

Διαβάστε περισσότερα

ÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ

ÓfiÙËÙ 1. ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ÓfiÙËÙ ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ ª ı Óˆ: ÚÈıÌÔ Î È appleú ÍÂÈ º ÛÈÎÔ ÚÈıÌÔ È ÚÈıÌÔ 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,... ÔÓÔÌ ÔÓÙ È Ê ÛÈÎÔ. ıâ Ê ÛÈÎfi ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi applefi ÙÔ 0, appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ appleúôëáô

Διαβάστε περισσότερα

(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ /

(ON THE JOB TRAINING) ΟΡΓΑΝΩΝΕΙ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ «ΚΑΤΑ ΤΗ ΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ» ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΤΗΝ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΧΩΡΩΝ / Επαγγελµατικό προφίλ: ΠΡΟΪΣΤΑΜΕΝΟΣ ΟΡΟΦΩΝ (ΟΡΟΦΟΚΟΜΟΣ) Επίπεδο: 2 εξιότητες Θέµατα Συνδεδεµένες δεξιότητες C1 ΗΓΕΙΤΑΙ, ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ ΚΑΙ ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΓΙΝΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 960-431-204-9. K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993

ISBN 960-431-204-9. K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê Â ÙÂÚË Î ÔÛË 1993 Copyright 1989, 1993,. ËÌËÙÚÔappleÔ ÏÔ - æˆìôappleô ÏÔ ISBN 960-431-204-9 Φωτοστοιχειοθεσία-Eκτ πωση: Bι λιοπωλείο: Π. ZHTH

Διαβάστε περισσότερα

ª π.. ƒ ø π º ƒ. È ËÙÔ ÌÂÓÂ ÂÈ ÈÎfiÙËÙÂ, Ù apple Ú ÙËÙ appleúôûfióù Î È ÙÔ Â Ô ÙË Û Ì ÛË appleâúèáú ÊÔÓÙ È Î ÙˆÙ Úˆ. π π À & ƒ π ƒ π & π ƒπ ª

ª π.. ƒ ø π º ƒ. È ËÙÔ ÌÂÓ ÂÈ ÈÎfiÙËÙÂ, Ù apple Ú ÙËÙ appleúôûfióù Î È ÙÔ Â Ô ÙË Û Ì ÛË appleâúèáú ÊÔÓÙ È Î ÙˆÙ Úˆ. π π À & ƒ π ƒ π & π ƒπ ª ª π.. ƒ ø π º ƒ «ª π.» appleâ ı ÓË ÁÈ ÙË Û ÓÙ ÍË ÙÔ ıóèîô ÙËÌ ÙÔÏÔÁ Ô appleúôûî Ï ÙÔ ÂÓ È ÊÂÚfiÌÂÓÔ ÁÈ ÙËÓ appleô ÔÏ ÈÙ ÛÂˆÓ ÂΠψÛË ÂÓ È Ê ÚÔÓÙÔ, appleúôîâèì ÓÔ Ó ÛÙÂÏ ÒÛÂÈ ÙÈ ÂÓÙÚÈÎ ÙË ÀappleËÚÂÛ Â.

Διαβάστε περισσότερα

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô

ÂÚÈ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô ÂÚÈ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô È ÚÈıÌÔ Ì ÚÈ ÙÔ ÃÒÚÔ Î È Û Ì Ù ÂÊ Ï ÈÔ : ÚÔÛ Ó ÙÔÏÈÛÌfi ÛÙÔ ÒÚÔ... ÂÊ Ï ÈÔ : ˆÌÂÙÚÈÎ Û Ì Ù... ÂÊ Ï ÈÔ : ÁÎÚÈÛË Î È ÂÎÙ ÌËÛË appleôûôù ÙˆÓ... ÂÊ

Διαβάστε περισσότερα

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô

ÂÚÈÂ fiìâó. ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô. μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô μã ÂÚ Ô Ô 2 3 ÂÚÈÂ fiìâó ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÂÊ Ï ÈÔ : Ì Ì È fi,ùè Ì ı applefi ÙËÓ ã Ù ÍË... ÂÊ Ï ÈÔ 2: È ÂÈÚ ÔÌ È ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 0.000... 5 ÂÊ Ï ÈÔ 3: ÓˆÚ ˆ ÙÔ ÚÈıÌÔ ˆ ÙÔ 20.000... 9 ÂÊ Ï ÈÔ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφία Ε Δημοτικού. Μαθαίνω για την Ελλάδα

Γεωγραφία Ε Δημοτικού. Μαθαίνω για την Ελλάδα Γεωγραφία Ε Δημοτικού Μαθαίνω για την Ελλάδα ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝOΣ TOY ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ KAI ΥΠΕΥΘΥΝOΣ TOY ΥΠΟΕΡΓΟΥ ΕΞΩΦΥΛΛΟ Κωστής Κουτσόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

ƒ π ø π ø - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...

ƒ π ø π ø - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ... ƒ π ø π ø - Ô ÚÂÙÈÚ Â Â ÙËÓ ˆÚ ÈfiÙÂÚË ı appleãfiï Î È Ù Ó Î È ÛÙËÓ Î Ï ÙÂÚË appleâúèô. - È, ÁÈ Ùfi Ù Ó Î È ÙÔ ÎÚÈ fiùâúô! - Ó ıâ ÙÔ appleèô ÔÈÎÔÓÔÌÈÎfi, ÙfiÙÂ Ó ÓÔÈÎÈ ÛÔ ÌÂ ÙÔ ÏÏÔ appleô Â Ó È Î È ÊıËÓfiÙÂÚÔ...

Διαβάστε περισσότερα

www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.

www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet. www.infosociety.gr www.hellaskps.gr www.observatory.gr www.ependyseis.gr www.e-oikonomia.gr www.kep.gov.gr www.culture.gr www.edet.gr www.ebusinessforum.gr www.sch.gr www.ika.gr www.ekt.gr www.ktpae.gr

Διαβάστε περισσότερα

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple ÓÂ ÛÙË μã Ù ÍË

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË μã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π ø π π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Με το πέρασμα του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

6. Aπόκριες 7. Πάσχα

6. Aπόκριες 7. Πάσχα TÈ Ù ÍË Â Ó È ÌÔ Ô appleôïèùèûìfi ; 1. O πολιτισµός του τόπου µας 2. Mια επίσκεψη στο µουσείο 3. Tι συµβαίνει στην περιοχή µας; 4. Kάθε τόπος τα έθιµά του και ο χρόνος τα δικά του... 5. Tο βιβλίο των παροιµιών

Διαβάστε περισσότερα

Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ ÂÈıÒ

Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ ÂÈıÒ Ò Ó Î Ù ÓÔ ÛÂÙÂ ÙËÓ appleâèıò Ÿσοι διαθέτουν το χάρισμα της πειθούς έχουν τη δύναμη να αιχμαλωτίζουν το κοινό, να μεταβάλλουν τις απόψεις των άλλων και να μεταπείθουν τους αντιπάλους τους προς όφελός τους.

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 7.593, ,15 ÓÔÏÔ 7.593,15 7.

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 7.593, ,15 ÓÔÏÔ 7.593,15 7. ÂÓÔ Ô ÂÈ Î - TÔ ÚÈÛÙÈÎ Î È EÌappleÔÚÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ AMYP IA A.E. M.A.E 15987/80/B/87/90 - AP..E.MH 121765820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ

Διαβάστε περισσότερα

ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ ÓÔÏÔ , , , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,

ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ ÓÔÏÔ , , , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , A ºA EIE KAPY AKH E..E. AP..E.MH 71686220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ

Διαβάστε περισσότερα

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 0, ,79 ÓÂÈ Î È apple ÈÙ ÛÂÈ , ,00 ÓÔÏÔ ,

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 0, ,79 ÓÂÈ Î È apple ÈÙ ÛÂÈ , ,00 ÓÔÏÔ , EÌappleÔÚÈÎ BÈÔÙÂ ÓÈÎ ÂÓÔ Ô ÂÈ Î TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ. OY H A.E. AP. M.A.E. 24169/80/B/91/15 - AP..E.MH 71727120000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015)

Διαβάστε περισσότερα

'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,72

'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,72 TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ EappleÈappleÏˆÌ ÓˆÓ È ÌÂÚÈÛÌ ÙˆÓ TAM. TZøPTZH E..E. AP..E.MH 71601820000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 549,87 993,42 ÓÔÏÔ 549,87 993,42 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,48

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 549,87 993,42 ÓÔÏÔ 549,87 993,42 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,48 ÂÓÔ Ô ÂÈ Î EÌappleÔÚÈÎ TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ ˆ ÂÎ Ó ÛÔ A OYT H A.E. AP. M.A.E.12060/80/B/86/23 - AP..E.MH 71457120000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016)

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,37 ÓÔÏÔ , ,37

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,37 ÓÔÏÔ , ,37 A ITE A.E. ÂÓÔ Ô ÂÈ Î Î È TÔ ÚÈÛÙÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ A.E. AP. M.A.E. 14557/80/B/86/376 - AP..E.MH 124316620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ

Διαβάστε περισσότερα

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 957,27 957,27 ÓÔÏÔ 957,27 957,27 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,94

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 957,27 957,27 ÓÔÏÔ 957,27 957,27 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,94 BÈÔÙÂ Ó EappleÂÍÂÚÁ Û Ï ÛÙÈÎÒÓ YÏÒÓ MIX. K A A A.E. AP. M.A.E.17769/B/88/094 - AP..E.MH 71607620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,04 0,04 ÓÔÏÔ 0,04 0,04 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,32

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,04 0,04 ÓÔÏÔ 0,04 0,04 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,32 "A. KONTOYZO OY-A. MAPA I H " AÓÒÓ ÌË-EÌappleÔÚÈÎ Î È BÈÔÙÂ ÓÈÎ EÙ ÈÚÂ AP. M.A.E. 34608/62/B/95/274 - AP..E.MH 71995320000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015)

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,52

ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,52 ÂÓÔ Ô ÂÈ Î - TÔ ÚÈÛÙÈÎ - EÌappleÔÚÈÎ EappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ ME O EIAKO H IO A.E. AP. M.A.E. 16644/80/B/88/19 - AP..E.MH 123660320000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 8.782, ,41 ÓÔÏÔ 8.782, ,41

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 8.782, ,41 ÓÔÏÔ 8.782, ,41 ECO PRIME SOLUTIONS E..E. AP..E.MH 72730920000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá.

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,14 0,14 ÓÔÏÔ 0,14 0,14. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 0, ,65 ÓÔÏÔ 0,00 29.

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,14 0,14 ÓÔÏÔ 0,14 0,14. ÚÔÎ Ù ÔÏ Î È ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Â applefi Î Ù ÛÎÂ 0, ,65 ÓÔÏÔ 0,00 29. NYMºH E IXEIPH EI E..T.. & EMºIA ø H A.E. AP. MAE 26878/80/B/92/23 - AP..E.MH 71708520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Γεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô

Γεια σου, ήταν να ήξερες κάποιους γενικούς κανόνες συγγραφής (Â Ó È Î appleôèôè applefi ÙÔ appleô Γεια σου, Είμαι ο Δαμιανός. Το πρώτο μου βιβλίο Ο αδελφός της Ασπασίας έγινε best seller ή ευπώλητο όπως λένε άλλοι, μα αυτό δε χρειάζεται να σου το πω, μιας και το ξέρεις κι εσύ πολύ καλά. Κι εγώ ο πιο

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί Πλαίσιο; Οι διακρίσεις μας!

Γιατί Πλαίσιο; Οι διακρίσεις μας! ΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Γιατί Πλαίσιο; 1. Ασυναγώνιστη υποστήριξη. Service Η/Υ μέσα σε 4 ώρες σε 20 σημεία στην Ελλάδα. 12ωρη δωρεάν τηλεφωνική υποστήριξη. Συναρμολόγηση Η/Υ στα μέτρα σας. ιαρκής αναβάθμιση Η/Υ 4ωρη

Διαβάστε περισσότερα

Tα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα. Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα.

Tα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα. Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα. T Ù ÍË apple È Ó È ÌÔ ÏÏÔÙÂ Î È Û ÌÂÚ Tα παιχνίδια άλλοτε και σήµερα Σ. Σαββίδης, Γύρω γύρω όλοι Πώς λέγεται κάθε παιχνίδι; Nα το γράψεις κάτω από κάθε εικόνα. Ποια παιχνίδια έπαιζαν τα παιδιά άλλοτε,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,29

ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,29 KONAN ANøNYMO ENO OXEIAKH KAI TOYPI TIKH ETAIPEIA AP. M.A.E. 49180/80/B/01/26 - AP..E.MH 072308220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ

Διαβάστε περισσότερα

Καινοτομία και Επιχειρήσεις

Καινοτομία και Επιχειρήσεις Καινοτομία και Επιχειρήσεις Πηγές Καινοτομίας Παράγοντες ενίσχυσης Καινοτομίας Καινοτομία και Επιχειρήσεις Οικονομικό Περιβάλλον και Καινοτομία Πηγές Καινοτομίας Ενδογενεις - Επιχείρησεις - Απροσμενο εξωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple , ,00 ÓÔÏÔ , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple , ,00 ÓÔÏÔ , ,00 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , XPY OXO H - TAMATO OY & IA E..E. - ÂÓÔ Ô Â Ô MIMOZA AP..E.MH 71283020000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP

Διαβάστε περισσότερα

ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,11

ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,11 . XPY OXO H - M. XA KIO OY O A.E. - ÂÓÔ Ô Â ÔÓ AYPA M HT AP. M.A.E. 12048/80/B/86/11 - AP..E.MH 71289620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ

Διαβάστε περισσότερα

Yπεύθυνη και συνεπής

Yπεύθυνη και συνεπής Π ε λ ά τ η ς, Π ο ι ό τ η τ α, Έ ρ ε υ ν α, Α ν ά π τ υ ξ η Yπεύθυνη και συνεπής Καινοτομία Yψηλή προστιθέμενη αξία Aνάπτυξη ανθρωπίνου δυναμικού Ο σεβασμός στο περιβάλλον και τους φυσικούς πόρους αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD

ΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD ΥΑΛΟΚΑΘΑΡΙΣΤΗΡΕΣ ΕΠΙΒΑΤΙΚΩΝ STANDARD Με προσυναρμολογημένο πολλαπλό προσαρμογέα Επανακλειόμενη, μεμονωμένη συσκευασία Δυνατότητα συνδυασμού διαφόρων μηκών Χαμηλό κόστος αποθήκευσης και ελάχιστες ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΑΡΟΝ ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΥΓΕΝΙΚΗ ΧΟΡΗΓΙΑ ΤΗΣ

TO ΠΑΡΟΝ ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΩΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΥΓΕΝΙΚΗ ΧΟΡΗΓΙΑ ΤΗΣ Ομιλητές Αναστάσιος Ωρολογάς Καθηγητής Νευρολογίας Α.Π.Θ., Πρόεδρος της Ελληνικής Εταιρίας για τη ΣΚΠ. Βασιλική Γαροπούλου Καθηγήτρια Ειδικής Φυσικής Αγωγής M.Sc-Ph.D Αστέριος Συλλόπουλος Φυσικοθεραπευτής

Διαβάστε περισσότερα

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 1.260, ,94 ÓÔÏÔ 1.260, ,94 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,

XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ appleâúèô ÛÈ Î ÛÙÔÈ Â ÔÈapple 1.260, ,94 ÓÔÏÔ 1.260, ,94 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , A KYøN E Y HPETH EI AEPO KAºøN A.E. AP. M.A.E. 35208/80/B/96/11 - AP..E.MH 71946920000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟ ΟΧΗΣ ΥΠΟ ΟΧΗ C10 ΑΝΑΧΩΡΗΣΕΙΣ C11 ΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΙΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΩΜΑΤΙΩΝ C9 ΑΦΙΞΕΙΣ C8 ΦΡΟΝΤΙΖΕΙ ΤΟΥΣ ΠΕΛΑΤΕΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟ ΟΧΗ

ΥΠΟ ΟΧΗΣ ΥΠΟ ΟΧΗ C10 ΑΝΑΧΩΡΗΣΕΙΣ C11 ΧΕΙΡΙΖΕΤΑΙ ΤΙΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΩΜΑΤΙΩΝ C9 ΑΦΙΞΕΙΣ C8 ΦΡΟΝΤΙΖΕΙ ΤΟΥΣ ΠΕΛΑΤΕΣ ΣΤΗΝ ΥΠΟ ΟΧΗ Επαγγελµατικό Προφίλ: ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΜΙΚΡΟΥ ΞΕΝΟ ΟΧΕΙΟΥ Επίπεδο: 3 Ικανότητες Θέµατα C1 ΣΧΕ ΙΑΖΕΙ M2 Συνδεδεµένες δεδιότητες M1 ιοίκηση ξενοδοχείου C1 Βασικές εφαρµογές ηλεκτρονικών υπολογιστών C2 ΕΠΙΒΛΕΠΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Pictor Dual C 146-01. Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME

Pictor Dual C 146-01. Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME GR Pictor Dual Επίτοιχοι λέβητες αερίου θέρμανσης και παραγωγής ζεστού νερού χρήσης BRAND NAME C 146-01 Επίτοιχοι λέβητες αερίου Pictor Dual π º π À π Ã π À ƒ π π ªπ Àæ π È Ï ËÙ PICTOR DUAL LINE ÛÙÈ

Διαβάστε περισσότερα

ÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô

ÓfiÙËÙ 1 ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ã ÂÚ Ô Ô ÓfiÙËÙ ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô ã appleâú Ô Ô Ì Ì È: ÀappleÂÓı ÌÈÛË ã T ÍË È Ó ÂappleÈÏ ÛÔ ÌÂ Ó appleúfi ÏËÌ, ÙÔ È Ô ÌÂ appleúôûâîùèî ÒÛÙÂ Ó Î Ù ÓÔ ÛÔ - ÌÂ ÙÈ appleïëúôêôú

Διαβάστε περισσότερα

º ø 36 π MEGASTORE K. ΑΠΟΘΗΚΕΣ - ΕΚΘΕΣΗ. 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη. 17ο χλμ Λεωφ. Σπατών, Παλλήνη

º ø 36 π MEGASTORE K. ΑΠΟΘΗΚΕΣ - ΕΚΘΕΣΗ. 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη. 17ο χλμ Λεωφ. Σπατών, Παλλήνη MEGASTORE 17ο χλμ Λεωφ. Μαραθώνος, Παλλήνη ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΑΠΟ ΑΤΤΙΚΗ ΟΔΟ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣ ΑΕΡΟΔΡΟΜΙΟ: Έξοδος Νο 15 (Παλλήνη), αριστερά για 2.5 km. ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΑΠΟ ΑΤΤΙΚΗ ΟΔΟ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΡΟΣ ΕΛΕΥΣΙΝΑ: Έξοδος

Διαβάστε περισσότερα

I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ

I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ZETA E..E. AP..E.MH72127620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá. MË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙ ÛÙÔÈ

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,40

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,40 BA I EIA H - ME MAPH E..E. AP..E.MH 71769620000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ. ÔÛ appleúôëá.

Διαβάστε περισσότερα

7 Ελεύθερος χρόνος. Δείτε, πείτε και δείξτε. Aσχολούμαι με τα σπορ, με. το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ

7 Ελεύθερος χρόνος. Δείτε, πείτε και δείξτε. Aσχολούμαι με τα σπορ, με. το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ 7 Ελεύθερος χρόνος Δείτε, πείτε και δείξτε Aσχολούμαι με τα σπορ, με το κολύμπι την ιππασία το καράτε την ποδηλασία το γουίντ-σέρφινγκ 61 Μαζεύω γραμματόσημα νομίσματα κοχύλια φωτογραφίες Παρακολουθώ τηλεόραση

Διαβάστε περισσότερα

Î È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36

Î È appleúô Ï Ì Ù ÓÙ ÍË 36 ƒπ ÃOª ƒo O π O ª πøª 9 º πo ƒøδo: Δ À ƒª Δ π ÀΔπ π π π 1.1 ÓÓÔÈ ÙÔ appleâúì ÛÔ 16 1.2 ÀappleÂÚÌ Û, ÎÔÈÓˆÓ Î È ÂÎapple  ÛË 18 1.3 ÂˆÚ Â Ì ıëûë Î È appleâúì Û 27 1.4 ÚfiÙ apple Ú ÛË appleôïôáèûùòó Î È

Διαβάστε περισσότερα

'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,96 ÓÔÏÔ , ,96 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,99

'A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï , ,96 ÓÔÏÔ , ,96 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , ,99 TOYPI TIKAI E IXEIPH EI «PO.KA.Kø A.E.» AP.M.A.E. 12152/80/B/86/115 - AP..E.MH 123448420000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2017 ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2017) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ

Διαβάστε περισσότερα

Aries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙÂ ÂÚ Ô C 145-01 BRAND NAME

Aries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô C 145-01 BRAND NAME GR Aries Dual ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô BRAND NAME C 145-01 apple ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô Aries Dual π º π À π Ã π À ƒ π π ªπ Àæ π Ï ËÙ ARIES DUAL LINE ÛÙËÓ Î ÔÛË CTFS Ó ÎÂÈ ÛÙËÓ Î ÙËÁÔÚ ÙÚÈÒÓ ÛÙÂÚÈÒÓ ( ) Ë ÔappleÔ

Διαβάστε περισσότερα

ø Ó ÒÛÂÙÂ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE

ø Ó ÒÛÂÙ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE ø Ó ÒÛÂÙ π Δƒ ÛÙÔ apple ÏÏ ÏÔ Û 24 πª ª Δ Δπ π Δ ø Δ ƒ ø π Δ Δ Δ Ãøƒ ƒ π ANNE BRUCE Àªμ À π ƒ Ã π Δƒø Δ ƒ Δπ À ªπ π Δ ƒ ø π Δ À ƒπ ƒ π π Δ ª ƒ ƒ ª πδàãπ Δ Δ πƒ π Ως διευθυντής, η επαγγελματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2011

ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ 2011 ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΓΑΒΑΘΑ ΨΑΡΑΔΕΣ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ µ Àª È Ó Í applefiï ÙÔ Á Ú ˆ, ÌË ÌÂ Ï appleâè Î È ÁÂÏ Ì È Ï ÁÔ Ï ÓÈ ÚË, Û Ó Ú Î È Û Ó ÚÎ ÚË... I ÓÔ ÚÈÔ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Διαβάστε περισσότερα

INTERACTIVE PHYSICS. Εισαγωγή κειµένου

INTERACTIVE PHYSICS. Εισαγωγή κειµένου INTERACTIVE PHYSICS Εισαγωγή εικόνας Μπορούµε να εισάγουµε εικόνα στην προσοµοίωση µας και να την συνδέσουµε µε κάποιο σώµα που έχουµε δηµιουργήσει. 1.Αντιγράφουµε την εικόνα στο πρόχειρο µε αντιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Έκπτωση -30% Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης. ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi

Έκπτωση -30% Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης. ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi Συγκρότημα Σακόφιλτρων με Φυγοκεντρικό Απορροφητήρα Υψηλής Πίεσης ÁÎÚfiÙËÌ ÎfiÊÈÏÙÚˆÓ ÌÂ º ÁÔÎÂÓÙÚÈÎfi appleôúúôêëù Ú À ËÏ ÂÛË Ù ÏÏËÏÔ ÁÈ appleôúúfiêëûë Î È ÊÈÏÙÚ ÚÈÛÌ ÚÔ ÌÂ ÛÎfiÓË, appleúèôó È, ÓÔ È,

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ :

ΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ : ΔÔ Ì Ó Ì ÙÔ Û Ì Ô ÏÔ : Í ÙË appleôùâïâûì ÙÈÎ È Â ÚÈÛË ÎÚ ÛÂˆÓ ÛÙÈ ÂappleÈ ÂÈÚ ÛÂÈ Τι θα έκανες αν αύριο υπέβαλλε την παραίτησή του ο καλύτερος συνεργάτης σου; Αν το κτίριο των γραφείων όπου εργάζεσαι έπιανε

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ 0,04 0,03. EÌappleÔÚÂ Ì Ù , ,59 ÓÔÏÔ ,94 67.

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 0,01 0,01 ÓÔÏÔ 0,01 0,01 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ 0,04 0,03. EÌappleÔÚÂ Ì Ù , ,59 ÓÔÏÔ ,94 67. KøN/NO XA KIO OY O MONO PO ø H E..E. AP..E.MH 72768520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2016 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2016) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË ) ENEP HTIKO ÔÛ ÎÏÂÈÔÌ.

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, φίλη μαθήτρια

Φίλε μαθητή, φίλη μαθήτρια Φίλε μαθητή, φίλη μαθήτρια Το βιβλίο αυτό αποτελεί βοήθημα για το μάθημα της Τεχνολογίας της Β Γυμνασίου και φιλοδοξεί να σε βοηθήσει να γνωρίσεις τον τρόπο οργάνωσης και λειτουργίας των σύγχρονων παραγωγικών

Διαβάστε περισσότερα

K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ ÊÂ ÙÔÓ ÂÎ fiùë

K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë 2 K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù appleô appleôáú ÊÂÙ È applefi ÙÔ Û ÁÁÚ Ê ÙÔÓ ÂÎ fiùë ISBN set 960-431-499-8 ISBN T.2 960-431-501-3 Copyright,.-X.. B ÛÈÏ Ô,. TÛ ÎÏ Ë, N. TÛ ÓÙ, EÎ fiûâè Z ÙË, ÂÎ Ì ÚÈÔ 1998, ÈÔÚıˆÌ

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 5.406, ,95 ÓÔÏÔ 5.406, ,95

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â ÔÈapple Ï 5.406, ,95 ÓÔÏÔ 5.406, ,95 K. AM H ANøNYMH ETAIPEIA AP. M.A.E. 50473/80/B/01/43 - AP..E.MH 72352520000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015 - ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ ÛË )

Διαβάστε περισσότερα

º πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø

º πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø º πo 2: À ª π Ã πƒπ OπO π π ª ƒπø Η βασική απαίτηση για ένα σύστηµα διαχείρισης ποιότητας είναι ότι ο οργανισµός θα πρέπει να προσδιορίσει και να διαχειριστεί την οικογένεια των απαραίτητων διεργασιών

Διαβάστε περισσότερα

Ρ Α ΡΤ ΠΑ ΣΗΜΑ ΣΤΑΣΗΣ ΝΕΡΟΥ

Ρ Α ΡΤ ΠΑ ΣΗΜΑ ΣΤΑΣΗΣ ΝΕΡΟΥ Π Μ 1 ΣΜ ΣΣΣ ΝΕ 1. Κουνήστε το σώμα σας Ζητήστε από τα παιδιά να σταθούν δίπλα στην καρέκλα τους και να ακολουθήσουν τις οδηγίες σας: 1. κουνήστε τα δάχτυλά σας 2. έπειτα, τα δάχτυλα και τους καρπούς σας

Διαβάστε περισσότερα

/ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ ΚΟΣΙΚΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ / http://www.kosikidis.gr. ªπ ƒ SMALL πã πƒ π

/ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΑ ΚΕΝΤΡΑ ΚΟΣΙΚΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ / http://www.kosikidis.gr. ªπ ƒ SMALL πã πƒ π ªπ ƒ SMALL πã πƒ π BUSINESSES Essential apple Ú ÙËÙÂ Professional Âapple ÁÁÂÏÌ ÙÈÎ Telecommunications ÙËÏÂappleÈÎÔÈÓˆÓ Â Alcatel OmniPCX Office Compact Edition Alcatel OmniPCX Office Compact Edition *

Διαβάστε περισσότερα

C 213-02. made in Italy. Tahiti Dual. Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης

C 213-02. made in Italy. Tahiti Dual. Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης C 213-02 made in Italy Tahiti Dual Επίτοιχοι λέβητες αερίου μόνο για θέρμανση ή και με στιγμιαία παραγωγή ζεστού νερού χρήσης GR apple ÙÔÈ ÔÈ Ï ËÙ ÂÚ Ô Tahiti Dual π ªπ π º π À π Ã π À ƒ π Àæ π È Ï ËÙÂ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

ΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΟΜΙΛΟΣ ΙΝΤΕΑΛ ΑΒΕΕ ΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σχετικά µε την τροποποίηση της χρήσης των αντληθέντων κεφαλαίων σύµφωνα µε την Απόφαση 64 του ιοικητικού Συµβουλίου του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών Αθήνα, Ιούλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

Ο ecotec pro με μία ματιά

Ο ecotec pro με μία ματιά Επιτοίχιοι λέβητες αερίου συμπύκνωσης ecotec pro Προηγμένη τεχνολογία θέρμανσης για όλους Ο λέβητας ecotec pro με την πρωτοποριακή τεχνολογία συμπυκνώσεως φτάνει σε βαθμό απόδοσης, ο οποίος ξεπερνά κατά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh

Αυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh BÈÔÁÚ ÊÈÎ Â Ë Αυτοπροσωπογραφίες του Van Gogh µèôáú ÊÈÎ Â Ë ÙËÓ Ê ÁËÛË, ÂÎÙfi applefi ÙËÓ ËÛË, appleô ÌÂÏÂÙ Û Ì ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂ- ÓË ÂÓfiÙËÙ, Ó ÎÔ Ó Î È ÔÈ ÈËÁ ÛÂÈ Î È ÔÈ Ì ÚÙ Ú Â (appleúôêôúèî ÁÚ -

Διαβάστε περισσότερα

ƒπ ƒ º À À Ã πª ƒ º ƒπ π Ã

ƒπ ƒ º À À Ã πª ƒ º ƒπ π Ã È ÛÙ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË ÚÈÓ ÂÁÎ Ù ÛÙ ÛÂÙÂ Î È ˉÚËÛÈÌÔ ÔÈ ÛÂÙ ÙË Û ÛÎÂ. ª ÓÔÓ ÙÛÈ ı ÂÙ ˉÂÙÂ Ù Î Ï ÙÂÚ ÔÙÂÏ ÛÌ Ù Î È ÙË Ì ÁÈÛÙË ÛÊ ÏÂÈ Î Ù ÙË ˉÚ ÛË. ƒπ ƒ º À À (βλ. σχέδιο στο εξώφυλλο)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Kωδ. αρ. 0893 140 Βιομηχανικό καθαριστικό 500ml. Kωδ. αρ. 0890 25 Ενεργό καθαριστικό υαλοπινάκων 500ml

Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Kωδ. αρ. 0893 140 Βιομηχανικό καθαριστικό 500ml. Kωδ. αρ. 0890 25 Ενεργό καθαριστικό υαλοπινάκων 500ml Η ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΡΔΙΖΕΙ! Οι αναγνώστες των γερμανικών περιοδικών Auohaus & Auo Service Praxis επέλεξαν τη Würh ως την καλύτερη μάρκα στο χώρο προϊόντων περιποίησης. Αποκτήστε τώρα κι εσείς την ποιότητα της

Διαβάστε περισσότερα

Ó Ë Ó ÚÔÓÈ ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ;

Ó Ë Ó ÚÔÓÈ ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ; Ó Ë Ó ÚÔÓÈ Ù Ó appleúô fió appleò ı ÙË È ÊËÌ ÙÂ; ΤΙ ΩΡΑΙΑ ΠΟΥ ΘΑ ΗΤΑΝ ΝΑ ΕΚΡΥΒΕ ΤΟ 2011 ΠΟΛΛΑ ΚΙ ΟΜΟΡΦΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ, ΝΑ ΗΤΑΝ Η ΧΡΟΝΙΑ-ΟΡΟΣΗΜΟ ΣΤΗ ΝΕΩΤΕΡΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ, ΟΠΩΣ Η ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ, Â ÙÂÚË /Í ÓË )

È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ

Διαβάστε περισσότερα

Η. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ)

Η. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ) Η. Εκπαιδευτική δραστηριότητα: Ελληνικό Τραπεζικό Ινστιτούτο (ΕΤΙ) Το 2005 ήταν χρονιά προκλήσεων και αυξηµένων απαιτήσεων για το ΕΤΙ. Το εκπαιδευτικό πρόγραµµα εµπλουτίστηκε µε νέα θεµατολογία, σηµαντικό

Διαβάστε περισσότερα

να ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην Εικόνα 1.

να ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην Εικόνα 1. ΜΑΓΝΗτΙΚΑ ΠΕΔΙΑ 9 να ραβδόμορφο μαγνήτη σε διάφορες θέσεις κοντά στη οθόνη και παρατηρήστε τον τρόπο με τον οποίο μετατοπίζεται το φωτεινό ίχνος πάνω στην οθόνη. ~ (ΞΥ ' IJ= Ο Εικόνα 1.3 Τα ηλεκτρόνια

Διαβάστε περισσότερα

και φυσικά υπάρχει πληθώρα νέων ασκήσεων. H ανάγκη βελτίωσης προέκυψε απ την δεκαετή διδασκαλία του μαθήματος απ τη συγγραφέα.

και φυσικά υπάρχει πληθώρα νέων ασκήσεων. H ανάγκη βελτίωσης προέκυψε απ την δεκαετή διδασκαλία του μαθήματος απ τη συγγραφέα. Tο βιβλίο αυτ απευθ νεται στους τεταρτοετείς φοιτητές των Mαθηματικών τμημάτων και σε σους ασχολο νται με τη Στατιστική και έχουν καλ υπ βαθρο στη Mαθηματική Aνάλυση και στη θεωρία των Πιθανοτήτων Tο βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30

HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30 HMHTPHΣ TZIOBAΣ O ΘEOTOKAΣ, H EΥΡΩΠΗ KAI H ΓENIA TOY 30 Συµπληρώνονται φέτος 100 χρόνια από τη γέννηση του Γιώργου Θεοτοκά στην Kωνσταντινούπολη το 1905 από Xιώτες γονείς και σχεδόν 40 χρόνια από το θάνατό

Διαβάστε περισσότερα

Συστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard

Συστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard Συστη ματα επιισκέψιμων οροφών & Betoboard Ô ˆ ÈÎfi Â Ô ÂÚÈÁÚ Ê Â Ô ª ÎÔ Ï ÙÔ ÈÌ Á µ ÚÔ (kg) 5.1 Ï Î ÔÚÔÊ Πλάκες ορυκτών ινών AMF* ( κατηγορία ακαυστότητας Α2 - s1,d0 ) Σύστημα C - Εμφανές σύστημα Σειρά

Διαβάστε περισσότερα

Mathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 1. Δ ÛÔ Ï ÈÙÛ ÓÔ - apple ÁÚËÁÔÚ Ô ÏÒÛÛ ËÌÔÙÈÎÔ. ª ı Óˆ Ó È ˆ Î È Ó ÁÚ Êˆ  ÎÔÏ Î È ÁÚ ÁÔÚ

Mathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 1. Δ ÛÔ Ï ÈÙÛ ÓÔ - apple ÁÚËÁÔÚ Ô ÏÒÛÛ ËÌÔÙÈÎÔ. ª ı Óˆ Ó È ˆ Î È Ó ÁÚ Êˆ  ÎÔÏ Î È ÁÚ ÁÔÚ Mathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 1 Δ ÛÔ Ï ÈÙÛ ÓÔ - apple ÁÚËÁÔÚ Ô ÏÒÛÛ ËÌÔÙÈÎÔ ª ı Óˆ Ó È ˆ Î È Ó ÁÚ Êˆ  ÎÔÏ Î È ÁÚ ÁÔÚ ø Mathimata 01-22 04-08-06 14:50 Page 9 ÚÔapple Ú ÛΠÛÙÈÎ ª ı Ì Ù Mathimata

Διαβάστε περισσότερα

Art.-Nr.: I.-Nr.: BT-SW 800

Art.-Nr.: I.-Nr.: BT-SW 800 Anleitung BT-SW 800_SPK6:_.06.007 10:48 Uhr Seite 1 z Οδηγία χρήσης Καθαριστική μηχανή Art.-Nr.: 3.50.1 I.-Nr.: 01017 BT-SW 800 Anleitung BT-SW 800_SPK6:_.06.007 10:48 Uhr Seite 1 1 3 5 4 5 4 6 3 Anleitung

Διαβάστε περισσότερα

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â , ,32 ÔÈapple Ï , ,00 ÓÔÏÔ , ,32 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ ,

A Ï apple ÁÈ ÛÙÔÈ Â , ,32 ÔÈapple Ï , ,00 ÓÔÏÔ , ,32 ÓÔÏÔ ÌË Î ÎÏÔÊÔÚÔ ÓÙˆÓ , KøN TANTINO ANøNYMO ETAIPEIA AP. M.A.E.48472/80/B/01/12 - AP..E.MH 73315220000 I O O I MO 31Ë EKEMBPIOY 2015-15Ë ETAIPIKH XPH H (1 IANOYAPIOY - 31 EKEMBPIOY 2015) (XÚËÌ ÙÔÔÈÎÔÓÔÌÈÎ ÛÙÔÈ Â ÛÂ ÎfiÛÙÔ ÎÙ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Για την ασφάλειά σας... Σελίδα 17 Προδιαγραφόμενη χρήση... Σελίδα 17 Παραδοτέο / παρεχόμενα εξαρτήματα... Σελίδα 18

Εισαγωγή Για την ασφάλειά σας... Σελίδα 17 Προδιαγραφόμενη χρήση... Σελίδα 17 Παραδοτέο / παρεχόμενα εξαρτήματα... Σελίδα 18 Πίνακας περιεχομένων Πριν ξεκινήσετε την ανάγνωση, ανοίξτε τη σελίδα με τις εικόνες και εξοικειωθείτε με όλες τις λειτουργίες της συσκευής. Στις παρούσες οδηγίες χρήσης χρησιμοποιούνται τα ακόλουθα εικονογράμματα/

Διαβάστε περισσότερα

11ο. Παγκρήτιο Περιφερικό Συμπόσιο Γενικής Ιατρικής. 7 9 Οκτωβρίου 2011 Ξενοδοχείο Candia Maris Hράκλειο

11ο. Παγκρήτιο Περιφερικό Συμπόσιο Γενικής Ιατρικής. 7 9 Οκτωβρίου 2011 Ξενοδοχείο Candia Maris Hράκλειο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΤΡΙΚΗΣ Περιφερικό Τμήμα Κρήτης 11ο Παγκρήτιο Περιφερικό Συμπόσιο Γενικής Ιατρικής 7 9 Οκτωβρίου 2011 Ξενοδοχείο Candia Maris Hράκλειο ΟΡΓΑΝΩTIKH KAI EΠIΣTHMONIKH EΠITPOΠH Αντώνης

Διαβάστε περισσότερα

È ÛÙÂ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË

È ÛÙÂ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË È ÛÙÂ ÚÔÛÂÎÙÈÎ Ù ÙÔ È ÏÈ Ú ÎÈ Ô ËÁÈÒÓ ˉÚ ÛË ÚÈÓ ÂÁÎ Ù ÛÙ ÛÂÙÂ Î È ˉÚËÛÈÌÔ ÔÈ ÛÂÙÂ ÙË Û ÛÎÂ. ª ÓÔÓ ÙÛÈ ı ÂÙ ˉÂÙÂ Ù Î Ï ÙÂÚ ÔÙÂÏ ÛÌ Ù Î È ÙË Ì ÁÈÛÙË ÛÊ ÏÂÈ Î Ù ÙË ˉÚ ÛË. Πριν τη χρήση, βεβαιωθείτε ότι η

Διαβάστε περισσότερα

ÎÔÏÔ ıòóù ÙËÓ ÏË ÙÔ Û ÔÏÈÎÔ È Ï Ô

ÎÔÏÔ ıòóù ÙËÓ ÏË ÙÔ Û ÔÏÈÎÔ È Ï Ô Á appleëùô ÁÔÓÂ Ô È Ï Ô Ùfi ÂÈ ÛÎÔapplefi Ó Ê ÚÂÈ ÙÔ Ì ıëù ÙË µã ËÌÔÙÈÎÔ Û Âapple Ê ÌÂ È ÊÔÚ Â Ë ÎÂÈÌ ÓˆÓ Î È Ù Ùfi ÚÔÓ Ó ÙÔ ÔËı ÛÂÈ Ó Ó appleù ÍÔ Ó ÙËÓ ÈÎ ÓfiÙËÙ ÙÔ Ó apple Ú ÁÔ Ó Î È ÔÈ ÈÔÈ Ó ÏÔÁ ÎÂ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί

ΜΕΡΟΣ Α 2 Ô. º π. Πραγματικοί αριθμοί ΜΕΡΟΣ Α º π Ô Πραγματικοί αριθμοί ΕΙΣΑΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ª ÚÈ ÙÒÚ Ô ÌÂ Û Ó ÓÙ ÛÂÈ Ê ÛÈÎÔ, Î Ú ÈÔ Î È ÚËÙÔ ÚÈıÌÔ. ÙÔ ÙÂÏÂ Ù Ô Â ÌÂ ÂÍÂÙ ÛÂÈ ÙË ÂÎ ÈÎ ÙÔ apple Ú ÛÙ ÛË, Ë ÔappleÔ Ù Ó ÁÓˆÛÙ ÛÂ appleï appleâúèô

Διαβάστε περισσότερα

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple ÓÂ ÛÙË ã Ù ÍË

ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË ã Ù ÍË ÁÈ Ù apple È È appleô ı apple Ó ÛÙË ã Ù ÍË Δ Àƒ π ø ø º π π π ª Δ ƒàªª π μàƒπ π øπ π π ª Δ Δƒ À π ƒ Àà ƒ ªÀ π π ª ª Δπ ø, π Δ Ã π, ø ƒ ºπ, ƒ Δ ƒ Δπ Δ Δ, ƒπ π ª ª ΚΑΛΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ Το καλοκαίρι έχει έρθει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης

ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης TEE TKM ΣΕΜΙΝΑΡΙΑ ΜΙΚΡΗΣ ΙΑΡΚΕΙΑ ΣΤ ΚΥΚΛΟΣ2005 ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΗΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση και µέτρα αντιµετώπισης Ν. Μαραγκός Μηχανολόγος Mηχ. Msc ΚΙΛΚΙΣ 2005 ΘΟΡΥΒΟΣ Αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 00 ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α3 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

È Â ÚÈÛË ÙÂÚÂÒÓ AappleÔ Ï ÙˆÓ

È Â ÚÈÛË ÙÂÚÂÒÓ AappleÔ Ï ÙˆÓ E π A π Δ π Δ ª π È Â ÚÈÛË ÙÂÚÂÒÓ AappleÔ Ï ÙˆÓ A Ì ÓÙÈÔ ÎÔÚ ÏË KˆÓÛÙ ÓÙ ÓÔ KÔÌÓ ÙÛ TfiÌÔ A' OÈÎÈ Î Î È ÏÏ ÌË EappleÈÎ Ó Ó Aapplefi ÏËÙ Oικιακά και άλλα μη Eπικίνδυνα Aπόβλητα Σημείωση Το ΕΑΠ είναι υπεύθυνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ 2007-2013 TA ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Με βάση τους Κανονισµούς για τα διαρθρωτικά ταµεία, που ορίζουν κοινούς κανόνες διαχείρισης, οι κοινοτικές στρατηγικές κατευθυντήριες

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

πûùôú Â applefi ÙË ÂÌÔÓÔ appleôïë

πûùôú Â applefi ÙË ÂÌÔÓÔ appleôïë πûùôú Â applefi ÙË ÂÌÔÓÔ appleôïë «Ìapple ÚÌapple - ÈÁ È ÚË Â Ó È ÙÔ appleèô ÛÙÂ Ô È Ï Ô appleô ˆ È ÛÂÈ. ŸÏË ÌÔ Ë ÔÈÎÔÁ ÓÂÈ ÎÏ ÈÁÂ applefi Ù Á ÏÈ, fiù Ó ÙÔ È Û ÌÂ! Ó Ï - ÙÚÂ ÂÙÂ ÙÈ ÈÛÙÔÚ Â ÌÂ appleâïòúè

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ, Â ÙÂÚË /Í ÓË )

È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα Επαναληπτικές Ασκήσεις Επιχειρησιακή Έρευνα 2016-17 1 η Άσκηση Έστω το παρακάτω πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού: min 6A + 4B subject to 2Α + Β 12 Α + Β 10 Β 4 Α, Β, 0 1. Διατυπώστε την τυπική μορφή

Διαβάστε περισσότερα

ÙÂÁ ÓfiÙËÙ appleô ÍÂ ˆÚ ÂÈ

ÙÂÁ ÓfiÙËÙ appleô Í ˆÚ ÂÈ PLEXO IP 55 ÙÂÁ ÓfiÙËÙ appleô Í ˆÚ ÂÈ apple ÙÔÈ Ë ÙÔappleÔı ÙËÛË > ÎÙ ÏÈÔ ÛÙÂÁ ÓÔappleÔ ËÛË >>>  ÎÙË appleúôûù Û πƒ 1Ô ÚÈıÌfi appleúôûù Û applefi ÛÙÂÚÂ ÛˆÌ Ù È IP tests ÎÙ ÏÈÔ ÛÙÂÁ ÓÔappleÔ ËÛË ÎÙ ÏÈÔ

Διαβάστε περισσότερα

È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ, Â ÙÂÚË /Í ÓË )

È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) π Δ ªπ ÀΔπ ª π TMHMA NH π ø ø ƒ Δ ƒπ ø π ƒ ƒ ªª Δø ø π π π π À ƒπ È ÛÎ Ï ÙË ÏÏËÓÈÎ ÏÒÛÛ (ˆ appleúòùë /ÌËÙÚÈÎ,  ÙÂÚË /Í ÓË ) ƒ ƒ ªª Àªº I º øƒπ 4, 5 Î È 6 ÂappleÙÂÌ Ú Ô 2009 E πδƒ π Δ ªO π πδƒo Úfi ÚÔ

Διαβάστε περισσότερα