ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι γωνίες συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα, για παράδειγμα Α, Β, Γ, ενώ οι πλευρές γράφονται με μικρά γράμματα, δηλαδή α, β, γ. Συγκεκριμένα, η πλευρά απέναντι από την γωνία Α δηλαδή η ΒΓ είναι η α πλευρά, απέναντι από την γωνία Β δηλαδή η ΑΓ είναι η πλευρά β και τέλος απέναντι από την Γ γωνία η γ πλευρά. Δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος. Διάμεσος: Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους. Κάθε μια ξεκινάει από μια κορυφή του τριγώνου και καταλήγει στο μέσο της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος: Επίσης τρεις είναι οι διχοτόμοι ενός τριγώνου. Χωρίζουν κάθε κορυφή του τριγώνου σε δύο ίσα μέρη (τις διχοτομούν). Ύψος: Ομοίως είναι τρία σε ένα τρίγωνο, ξεκινάνε από κάθε κορυφή και είναι κάθετα στην απέναντι πλευρά. Κάθε πλευρά ενός τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δυο, δηλαδή: α< β +γ β<α +γ γ<α +β Αυτές είναι οι τριγωνικές ανισότητες. Δεν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο να μην ισχύει η τριγωνική ανισότητα. Ερώτηση 2 η Να διατυπωθούν τα κριτήρια ισότητας δυο τριγώνων. Δυο τρίγωνα είναι ίσα όταν ισχύουν: ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1 ο : Όταν οι πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με τις πλευρές ενός άλλου τριγώνου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2 ο : Όταν δυο πλευρές του ενός τριγώνου είναι ίσες μια προς μια με δυο πλευρές ενός άλλου τριγώνου και οι περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες είναι ίσες τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΚΡΙΤΗΡΙΟ 3 ο : Όταν μια πλευρά του ενός είναι ίση με μια πλευρά του άλλου τριγώνου και οι προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες είναι μια προς μια ίσες τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 27
Ερώτηση 3 η Πότε δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα; Να γραφούν τα ανάλογα κριτήρια. Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν ισχύουν: ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1 ο : Μια πλευρά και μια οξεία γωνία ενός είναι ίσες με μια αντίστοιχη πλευρά και μια οξεία γωνία ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου, τότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα. ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2 ο : Δυο πλευρές του ενός είναι ίσες με τις αντίστοιχες πλευρές του άλλου ορθογωνίου τριγώνου τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Ερώτηση 4 η Να διατυπωθεί το Θεώρημα του Θαλή. Να δοθούν παραδείγματα εφαρμογής του στα τρίγωνα. Διατυπώνεται ως εξής: ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Όταν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δυο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μια ευθεία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της άλλης. Δηλαδή: Α Α ε 1 // e 2 // e 3 Û AB A B BG B G AG A G Γ Β Β Γ Στην περίπτωση που ΑΒ ΒΓ τότε προκύπτει από το Θ. Θαλή ότι Α Β Β Γ. Δηλαδή όταν τρεις ευθείες παράλληλες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία τότε, ορίζουν ίσα τμήματα σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέμνει. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 1. Αν τώρα από το μέσο μιας πλευράς τριγώνου φέρουμε παράλληλη προς μια πλευρά του, τότε διέρχεται και από το μέσο της τρίτης πλευράς του. 2. Το ευθύγραμμο τμήμα, που συνδέει τα μέσα δυο πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της, δηλαδή αν Δ, μέσο της ΑΒ BG και Ε μέσο της ΑΓ, τότε ΔΕ//. 2 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 28
3. Αν από σημείο Δ της πλευράς ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε παράλληλη προς την ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο Ε, τότε τα τμήματα της ΑΒ θα είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα της ΑΓ και αυτό γιατί μπορούμε να θεωρήσουμε από το Α μια Τρίτη παράλληλη προς τις ΔΕ και ΒΓ. Α ΔΕ// ΒΓ, τότε AD AE DB EG Δ Ε Β Γ Ερώτηση 5 η Πότε λέμε ότι δυο σχήματα είναι όμοια; Πότε δυο πολύγωνα είναι όμοια; Δυο σχήματα λέμε ότι είναι όμοια, όταν το ένα είναι σμίκρυνση ή μεγέθυνση του άλλου. Δυο πολύγωνα με το ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Για παράδειγμα δυο πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και Α Β Γ Δ Ε είναι όμοια όταν: ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ, ΕΕ και AB A B BG B G GD G D DE D E EA E A Ερώτηση 6 η Να διατυπωθούν τα κριτήρια ομοιότητας δυο τριγώνων. ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1 ο : Αν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες μια προς μια, τότε είναι όμοια. ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2 ο : Αν δυο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, τότε είναι όμοια. Ερώτηση 7 η Με τι ισούται ο λόγος των εμβαδών και των όγκων δυο ομοίων σχημάτων; Ο λόγος των εμβαδών δυο ομοίων σχημάτων ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Έστω δυο όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ. Εφόσον είναι όμοια ισχύει : l Το λ είναι ο λόγος ομοιότητας AB BG AG A B B G A G E ABG 2 των δυο τριγώνων. Οπότε : l. E A B G Ο λόγος των όγκων δυο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με τον κύβο του λόγου VAB G 3 ομοιότητας τους. (όπως προηγουμένως). Συνεπώς: l V A B G Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 29
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒΑΓ. Φέρνουμε το ύψος ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΑΓΔ είναι ίσα. β. Οι γωνίες του ΑΒΓ που πρόσκεινται στη βάση ΒΓ είναι ίσες. γ. Το ύψος ΑΔ είναι διάμεσος και διχοτόμος. 2. Οι δυο πλευρές τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ4 και ΑΓ3 εκατοστά. Να βρείτε ποιες είναι οι πιθανές τιμές του μήκους της τρίτης πλευράς, αν είναι γνωστό ότι είναι ακέραιος αριθμός. 3. Σε δυο οξυγώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ φέρνουμε τα ύψη ΑΔ και Α Δ. Αν είναι ΑΒΑ Β, ΑΓΑ Γ, ΑΔΑ Δ, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. 4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε, Ζ των ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : α ) Τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΓΔΕ είναι ίσα. β ) Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές. 5. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου ΑΔ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ ισαπέχει από τα άκρα της βάσης ΒΓ. 6. α.) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι τα ύψη από τις κορυφές Β, Γ είναι ίσα. β ) Αν σε τρίγωνο τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ι- σοσκελές. 7. Τρεις ευθείες ε 1, ε 2, ε 3 είναι παράλληλες έτσι ώστε η απόσταση των ε 1, ε 2 να είναι 2 εκατοστά και η απόσταση των ε 2, ε 3 να είναι 5 εκατοστά. Μια άλλη ευθεία τέμνει τις ε 1, ε 2, ε 3 στα Α, Β, Γ αντίστοιχα και είναι ΑΒ3 εκατοστά. Να υπολογιστεί το μήκος του ΒΓ. 8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΔΕ // ΑΒ. Το σημείο Δ βρίσκεται πάνω στη ΒΓ και το Ε στην ΑΓ, ώστε ΒΔ 6 cm και ΑΕ 4cm. Αν το ΔΓ ΑΓ χ cm, να υπολογίσετε το μήκος χ. 9. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσος του. Μια ευθεία παράλληλη προς την ΑΜ τέμνει τις ΑΒ,ΑΓ, ΒΓ στα σημεία Κ, Λ,Μ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι : ΑΚ ΑΛ. ΑΒ ΑΓ 10. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ, Ν,Κ είναι τα μέσα των πλευρών του, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΝΚ είναι ισόπλευρο. 11. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α 90 0 ) και ΑΔ το ύψος του. Αν Μ,Ν τα μέσα των κάθετων πλευρών ΑΒ, ΑΓ, να δείξετε ότι : ι ) ΜΔΝ ΑΜΝ ιι ) ΜΔΝ 90 0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 30
12. Να γράψετε τρίγωνο ΑΒΓ και Κ,Λ,Μ τα μέσα των πλευρών του. Να δείξετε ότι : ι ) τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΚΛΜ είναι όμοια ιι ) να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα. 13. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α 90 0 ), φέρνουμε το ύψος ΑΚ και από το Κ φέρνουμε ΚΛ τμήμα κάθετο στην ΑΒ. Να δείξετε ότι : ι ) τα τρίγωνα ΑΚΓ, ΑΛΚ είναι όμοια, ιι ) να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα. 14. Να γράψετε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ // ΓΔ ) και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να δείξετε ότι : ι ) τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι όμοια ιι ) να γράψετε τους ίσους λόγους. 15. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ5 εκατοστά και ΑΓ7 εκατοστά. Στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε το Δ ώστε να είναι ΑΔ AB. Να βρείτε το σημείο Ε της ΑΓ για το οποίο 4 5 είναι ΔΕ//ΒΓ. 16. Από σημείο Δ της υποτείνουσας ΒΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ φέρουμε κάθετη στη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Ε. α. Να δείξετε ότι τα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια. β. Αν ΒΔ3 εκατοστά, ΔΓ7 εκατοστά, ΔΕ4 εκατοστά να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου και το μήκος του ΒΕ. 17. Κάποια χρονική στιγμή η σκιά ενός δένδρου στο οριζόντιο έδαφος είναι 14 μέτρα. Την ίδια χρονική στιγμή ένα κατακόρυφο ραβδί μήκους 4 μέτρων έχει σκιά 7 μέτρα. Να υπολογίσετε το ύψος του δένδρου. 18. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ οι κάθετες πλευρές του είναι ΑΒ9 εκατοστά και ΑΓ12 εκατοστά. Τις προεκτείνουμε προς το μέρος του Α και παίρνουμε τμήματα ΑΔ 3 1 ΑΒ και ΑΕ 3 1 ΑΓ. α. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ, ΑΕ, ΔΕ και ΒΓ. β. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. γ. Οι ευθείες ΔΕ και ΒΓ είναι παράλληλες. 19. Οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι διπλάσιες από τις κάθετες πλευρές ενός άλλου ορθογωνίου τριγώνου. Να δείξετε ότι τα δυο τρίγωνα είναι όμοια. 20. Οι πλευρές ενός τριγώνου είναι 4, 5, 6 εκατοστά αντίστοιχα. Σε ένα όμοιο τρίγωνο η διαφορά της μικρότερης από την μεγαλύτερη είναι 4εκατοστά. Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του δεύτερου τριγώνου καθώς και τον λόγο ομοιότητας των 2 τριγώνων. 21. Ένα τρίγωνο έχει βάση 8εκατοστά και εμβαδό 20 cm 2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός άλλου τριγώνου που είναι όμοιο με το ΑΒΓ και έχει βάση 4 εκατοστά. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 31
22. Οι πλευρές ενός τετραπλεύρου έχουν μήκη 15, 3, 9, 10 εκατοστά αντίστοιχα. Να υπολογίσετε τις πλευρές ενός όμοιου τετραπλεύρου που έχει τετραπλάσιο εμβαδόν. 23. Αν Δ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: α. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια. β. Το εμβαδόν του ΔΕΖ είναι 4 1 του εμβαδού του ΑΒΓ. 24. Οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου είναι ΑΒ3 εκατοστά και ΑΓ 5 εκατοστά. Φέρνουμε το ύψος του ΑΔ α. Να αποδείξετε ότι τα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι όμοια. β. Αν το τρίγωνο ΑΒΔ έχει εμβαδόν 9 cm 2, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ΑΓΔ. 25. Δυο όμοια πολύγωνα έχουν εμβαδά 15 cm 2 και 135 cm 2. Να υπολογίσετε το λόγο ομοιότητας τους. 26. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα τραπέζιο ΒΔΕΓ έχει τριπλάσιο εμβαδόν από το τρίγωνο ΑΔΕ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 32