Strategies in mental calculation with rational numbers There are several studies in strategies used by students in mental calculations with rational numbers (e.g. Caney & Watson, 2003; Callingham & Watson, 2008; Clarke, & Roche, 2009; Lemonidis and Kaiafa, 2014a, b; Post, et al., 1993; Yang, Reys, & Reys, 2009). McIntosh et al. (1994) belief that strategies are separated to instrumental (εργαλειακή) and conceptual (εννοιολογική). This division by McIntosh et al. (1994) is based on Skemp s (1976) terms of instrumental and relational (σχεσιακή) understanding, except for the term relational has been replaced by the term conceptual (see, 1.2.2.). Caney & Watson, (2003) distinguishes the two big categories of instrumental and conceptual strategies for mental operations with rational numbers. The strategies are indicated as instrumental or procedural, when students use the techniques learned by heart not accompanied by explanations with conceptual understanding of the process. The conceptual understanding shows that they understand the relationships between key structures underlying the numbers and operations. It is possible, of course, that the students demonstrate conceptual understanding of a process they use, which is described as a mixed strategy. Yang and colleagues have coded subjects strategies as Number sense-based (Βασισμένες στην αίσθηση του and Rule-based (Βασισμένες σε κανόνες) (Yang, 2003, 2005, 2007; Yang et al., 2009). We adopt the terms number sense-based and rule-based strategies. Their criterion for distinguishing a strategy as a number sense-based was whether one or more components of number sense are evident in the person s solution process (Yang, 2003, 2005, 2007). Some examples of number sense strategies are a) the conversion of a fraction or a percentage to a decimal before operating on them, b) the schematic representation of fractions (Caney and Watson, 2003) c) residual thinking (Behr, et. al., 1984) where the fraction with the smaller residual is the bigger fraction. On the other hand, rule-based strategies are based on memorizing rules which are not necessarily linked to deep conceptual understanding. Παραδείγματα στρατηγικών Αίσθησης του αριθμού (Number sense) και στρατηγικών που βασίζονται σε κανόνες (rule-based ) Then we present some examples of number sense strategies and rule-based strategies for the research of Lemonidis and Kaiafa, 2014b. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Εκτέλεση του γραπτού αλγόριθμου βασισμένη σε κανόνες) 1-1/4 Μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα και πραγματοποίηση της αφαίρεσης. Αντιστροφή του δεύτερου κλάσματος και πολλαπλασιασμός Μετατροπή σε ομώνυμα και σύγκριση αριθμητών
Μετατροπή κλάσματος ή ποσοστού σε δεκαδικό Χρήση νοερών αναπαραστάσεων Σημείο αναφοράς Σκέψη του υπολοίπου Υπολογισμός της μονάδας Σημείο αναφοράς Μετατροπή σε ομώνυμα βασισμένη σε κανόνες) Δημιουργία σύνθετου κλάσματος βασισμένη σε κανόνες) 90% του 40 90/100 x 40=3600/100 =36 1-1/4 1/4=0.25, so 1-1/4=1-0.25=0.75 1/2 equals to 0.5, 1/4 is 0.25. 0.25 goes two times into 0.5 or 0.5 is twice the 0.25 3/7=0.4 and 5/8=0.6. Therefore, 5/8>3/7. 90% του 40 90:100=0.9 and 0.9x40=36. 1-1/4 I see 1 as a whole pizza or as a clock with four quarters. I take away 1/4, so 3/4 are left. Use of number line or of pizza as a mental representation. 1/2 is half, 1/4 goes 2 times into half 90% του 40 90% του 40 5/8 is bigger than 1/2. 3/7 is smaller than 1/2. Hence, 5/8 is bigger. 3/7 still needs 4/7 to complete a whole (7/7), 5/8 needs 3/8 to become a whole (8/8). Since 4/7>3/8 it s 5/8 > 3/7. 1% of 40 is 40:100=0.4 Therefore, 90Χ0.4=36 10% of 40 is 4. 90% is 100%-10%, so 90% of 40 is 40-4=36. Converting to fractions with the same denominator and dividing the numerators 1/2: 1/4 = 2/4: 1/4 = 2 Δημιουργείται ένα σύνθετο κλάσμα και πολλαπλασιάζονται οι άκροι όροι για να βρεθεί ο αριθμητής και οι μέσοι όροι για να βρεθεί ο παρονομαστής. Πίνακας 1: Οι στρατηγικές των μαθητών (Lemonidis and Kaiafa, 2014b) Strategies used in mental calculations with fractions Lemonidis and Kaiafa, (2014b) found students of fifth grade that use mental representations of objects to calculate the operation 1-1/4. Characteristically, a student writes down about the way he thought in this operation: I thought that 1 [the unit]
was a pizza that we separated into four equal parts, and we took one part of it and three parts remained, that is 3/4. On the contrary, other students in alignment with the majority of Greek students, like we ll see below use rules to answer, for instance, in exercise 1-1/4 they make the fractions equivalent and find the answer, or in exercise they reverse the second fractions and multiply. In this case, the answer is described as rule-based strategy. On the other hand, a fifth grade student gives a conceptual answer in exercise : 1/4 is half of ½, so gives us two. Strategies used in mental calculations with decimals Caney & Watson (2003, p. 10) Find that in mental operations with decimals most students responses were described as instrumental (rule-based strategy), contrary to the operations with fractions and percentages. Callingham & Watson (2008, p. 96) highlight that many students strategies in addition and subtraction of decimal numbers use the whole number analogues. They characteristically mention the answer of a sixth grade student in the operation four point five take three point three., in which the student says that he subtracts 3 out of 4 and the 0.3 out of 0.5 and finds the result 1.2. The writers indicate that this student uses the separation strategy in accordance with the place value. It seems that he has an implicit conceptual understanding of numbers contained in the operation. This strategy is common and is observed in different grades. The authors above report that the strategies are classified as instrumental (rule-based) when students use the whole number analogues and use procedures based on rules. For instance, in exercise 0.5+0.75 a seventh grade student uses whole numbers and the simulation of the written algorithm. He converts 0.5 to 50, 0.75 to 75, sums, finds 125 and then he places the decimal point and finds 1.25. Callingham & Watson (2008, p. 97) state that, regardless of the students facility with calculations with decimals, the fact that students cannot provide appropriate explanations about the position of the decimal point and the digit s place value shows that the knowledge of decimals is not very stable. Strategies used in mental calculations with percentages Caney & Watson (2003, p. 10) find that all responses of Australian students in exercises with percentages, except one, show that they use number sense strategies and that there is a conceptual understanding of numbers. On the contrary, most Greeks students use rule-based strategies, i.e. the rules to calculate percentages (Lemonidis and Kaiafa, 2014b). This difference in students behaviours is certainly due to the way the percentages are taught. In Australia, percentages are introduced with mental calculations of significant percentages, as 50%, 25%, 10%, 5%, etc., which in turn are connected with fractions, while in Greece the percentages are introduced with the written rules of calculation. Lemonidis and Kaiafa (2014b), in their research with sixth grade students, find that for the calculation of 90% of 40 the majority of students use rule-based strategies, i.e. the rule of finding rates (90/100x40=3600/100=36) or the proportions algorithm (90 out of 100, x out of 40). Fewer students convert the percentage to a decimal number (90:100=0.9 and 0.9x40=36), which is considered as a number sense strategy. Another number sense strategy, used by even fewer pupils, was to find 90% in regard
to 10%, i.e. the following calculation: 10% of 40 is 4, 90% is 100%-10%, so 90% of 40 is 40-4=36. Here, that is, students use known numerical facts to calculate, as in our case 10% of 40, which is 4. Οι στρατηγικές στη σύγκριση κλασμάτων Από τις έρευνες φαίνεται ότι τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές, όταν πραγματοποιούν συγκρίσεις μεταξύ των κλασμάτων, δεν τις έχουν διδαχτεί ειδικά (Clarke, D., Roche, A. 2009, Post, et al. 1986). Τέτοιες στρατηγικές είναι η χρήση της σκέψης του υπολοίπου (residual thinking), το σημείο αναφοράς (benchmarks) ή μεταβατική ιδιότητα (transitive), οι οποίες είναι συνήθως στρατηγικές που οδηγούν στην επιτυχία. Ενώ η στρατηγική της σκέψης του διάκενου (gap thinking) είναι λιγότερο επιτυχής. Η στρατηγική της σκέψης του υπολοίπου (residual thinking) αναφέρεται στην ποσότητα που απαιτείται για να φτάσουμε στο όλο. Για παράδειγμα, ένας μαθητής στη σύγκριση των κλασμάτων 3/4 και 5/6 παρατηρεί ότι στο κλάσμα 3/4 υπολείπεται 1/4 για να συμπληρωθεί η μονάδα, ενώ στο κλάσμα 5/6 υπολείπεται 1/6 για να συμπληρωθεί η μονάδα. Έτσι, ισχυρίζεται ότι το κλάσμα 5/6 είναι μεγαλύτερο γιατί υπολείπεται λιγότερο από τη μονάδα. Η στρατηγική του σημείου αναφοράς (benchmarks) αναφέρεται στο ότι ο μαθητής συγκρίνει τα δύο κλάσματα που μας ενδιαφέρουν με ένα τρίτο κλάσμα, συχνά το 1/2 και μερικές φορές το 1. Ένας μαθητής που χρησιμοποιεί αυτήν την στρατηγική ισχυρίζεται ότι το κλάσμα 5/6 είναι μεγαλύτερο από το 3/8, επειδή το 5/6 είναι μεγαλύτερο από το 1/2 ενώ το 3/8 είναι μικρότερο. Οι Post et al. (1986) αναφέρουν τη στρατηγική του σημείου αναφοράς ως μεταβατική στρατηγική, επειδή χρησιμοποιείται η μεταβατική ιδιότητα με μια εξωτερική τιμή όπως το 1/2 ή το 1 (5/6>1/2, 1/2> 3/8, 5/6>3/8). Η λάθος στρατηγική της σκέψης του διάκενου (gap thinking) προέρχεται από τη λογική των ακεραίων αριθμών και είναι η εξής: ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι τα κλάσματα 3/4 και 5/6 είναι ίσα επειδή το 3 με το 4 διαφέρει κατά ένα όπως και το 5 με το 6. Εδώ, δηλαδή, ο μαθητής συγκρίνει τον αριθμητή και τον παρονομαστή ως ανεξάρτητους αριθμούς, χωρίς να παίρνει υπόψη του τους κοινούς παρονομαστές και την αναλογία που εκφράζει το κάθε κλάσμα. Εκτός από τις παραπάνω, άλλες στρατηγικές οι οποίες προέρχονται από τη διδασκαλία είναι: μετατροπή σε κοινό παρονομαστή, εδώ οι μαθητές κάνουν τα κλάσματα ομώνυμα για να τα συγκρίνουν, ή χρήση της ισοδυναμίας των κλασμάτων (π.χ. 2/4 & 4/8). Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε ερευνητικά αποτελέσματα, ώστε να δούμε τα ποσοστά των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι μαθητές, καθώς και τα ποσοστά της επιτυχίας τους στη σύγκριση κλασμάτων. 5.3.2. Αποτελέσματα έρευνας στη σύγκριση κλασμάτων Τα αποτελέσματα που θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια είναι από την έρευνα των Clarke, D. και Roche, A. (2009, σελ. 132-135) σε 323 μαθητές ΣΤ τάξης του Δημοτικού στη Βικτώρια της Αυστραλίας. Οι μαθητές εξετάστηκαν με ατομικές συνεντεύξεις που διήρκησαν 30 με 40 λεπτά της ώρας σε οκτώ ζευγάρια κλασμάτων, που παρουσιάζονται παρακάτω στον πίνακα 5.3. Στον πίνακα 5.3 τα ζευγάρια των κλασμάτων παρουσιάζονται με φθίνουσα σειρά ως προς τα ποσοστά επιτυχίας. Όπως ήταν αναμενόμενο, το πιο εύκολο ζευγάρι
κλασμάτων ήταν το 3/8 και 7/8 (77,1% επιτυχία) και το πιο δύσκολο το 3/4 και 7/9 (10,8% επιτυχία). Ωστόσο, το ποσοστό επιτυχίας του εύκολου ζευγαριού (3/8 και 7/8) δεν θεωρείται υψηλό, αν αναλογιστούμε ότι είμαστε στο τέλος της ΣΤ τάξης και τα κλάσματα εισήχθησαν πριν από πολλά χρόνια. Παρατηρούμε, επίσης, ότι η μεγάλη πλειοψηφία των μαθητών (94,8%) που πετυχαίνουν στο ζευγάρι αυτό συγκρίνουν τους αριθμητές, ενώ το 5,2% των μαθητών για να συγκρίνουν τα κλάσματα χρησιμοποιούν ως σημείο αναφοράς το 1/2 και το 1. Ζευγάρι κλασμάτων Ποσοστό επιτυχίας Στρατηγική Ποσοστό που την επιλέγει 3/8 & 7/8 77,1% Ίδιος παρονομαστής και σύγκριση αριθμητή 94,8% Σημείο αναφοράς το ½ και 1 5,2% 2/4 & 4/8 64,4% Ισοδύναμα ( το ίδιο ) 100% 1/2 & 5/8 59,4% Σημείο αναφοράς το 1/2 82,3% Μετατροπή σε κοινό παρονομαστή 17,7% 2/4 & 4/2 50,5% Εξισώνει με το 1/2 και 2 83,3% Εξισώνει με το μισό και περισσότερο από ένα 16,7% Καταχρηστικό κλάσμα 18,1% 4/7 & 4/5 37,2% Ίδιος αριθμητής και σύγκριση παρονομαστή 60,0% Μετατροπή σε κοινό παρονομαστή 20,0% Σημείο αναφοράς το 1/2 και 1 9,1% Σκέψη υπόλοιπου 10,8% 3/7 & 5/8 20,4% Σημείο αναφοράς το 1/2 65,2% Μετατροπή σε κοινό παρονομαστή 28,8% Σκέψη υπόλοιπου 6,0% 5/6 & 7/8 14,9% Σκέψη υπόλοιπου (1/6 > 1/8) 54,2% Μετατροπή σε κοινό παρονομαστή 45,8% 3/4 & 7/9 10,8% Σκέψη υπόλοιπου με ισοδυναμία (2/8 > 2/9) 14,3% Σκέψη υπόλοιπου (1/4 > 2/9) με απόδειξη 25,7% Μετατροπή σε δεκαδικούς 5,7% Μετατροπή σε κοινό παρονομαστή 54,3% Πίνακας 5.3: Ποσοστά επιτυχίας με σωστές εξηγήσεις στη σύγκριση των ζευγών των κλασμάτων μαθητών ΣΤ τάξης. Οι στρατηγικές με τα αντίστοιχα ποσοστά των μαθητών που τις επιλέγουν (Ν=323). Από Clarke & Roche (2009, σελ. 132). Όπως δηλώνουν οι συγγραφείς της έρευνας αυτής, το πιο δύσκολο ζευγάρι (3/4, 7/9) ήταν δύσκολο και για αρκετούς εκπαιδευτικούς της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης που συνάντησαν κατά τη διάρκεια της έρευνας. Πολλοί εκπαιδευτικοί αδυνατούσαν να δώσουν μια εξήγηση, χωρίς την μετατροπή σε κοινούς παρονομαστές. Όπως βλέπουμε στον πίνακα 5.3, το 54,3% των μαθητών που πετυχαίνουν στη σύγκριση των κλασμάτων χρησιμοποιούν κοινούς παρονομαστές, ενώ συνολικά το 40% των μαθητών χρησιμοποιούν κάποια μορφή στρατηγικής του υπολοίπου (2/8>2/9, ή 1/4>2/9) και το 5,7% των μαθητών μετατρέπουν τα κλάσματα σε δεκαδικούς. Το 35,6% των λανθασμένων απαντήσεων (που διαλέγουν ως μεγαλύτερο το 3/4) επεξηγούν ότι το 3/4 έχει μικρότερο διάκενο, γι αυτό είναι και μεγαλύτερο (σκέψη του διάκενου). Οι στρατηγικές του σημείου αναφοράς και του υπολοίπου χρησιμοποιούνται από μαθητές που διαθέτουν μια πιο εννοιολογική κατανόηση του μεγέθους των κλασμάτων. Επίσης, φαίνεται πως οι στρατηγικές αυτές δεν χρησιμοποιούνται πολύ από τους εκπαιδευτικούς που συμμετείχαν στην έρευνα. Αυτές οι στρατηγικές εμφανίστηκαν με μεγάλα ποσοστά και είναι κατάλληλες για το ζευγάρι
και το ζευγάρι 5/6 και 7/8. Επίσης, στα παραπάνω ζευγάρια οι μαθητές χρησιμοποιούν και τη στρατηγική των κοινών παρονομαστών σε ποσοστό 28,8% και 45,8% αντίστοιχα. Ωστόσο το 21,2% των μαθητών χρησιμοποιεί τη σκέψη του διάκενου για το ζευγάρι και το 29,4% για το ζευγάρι 5/6 και 7/8, για τα οποία δηλώνουν ότι είναι τα ίδια κλάσματα (επειδή και τα δύο απέχουν κατά 1 από το όλο). Το ζευγάρι 2/4 και 4/8 σημειώνει επιτυχία 64,4%, που δεν θεωρείται και ένα τόσο καλό αποτέλεσμα. Το αποτέλεσμα αυτό δείχνει ότι δεν δίνεται έμφαση στα καταχρηστικά κλάσματα στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση. Το 25,3% των λανθασμένων εξηγήσεων δηλώνουν ότι τα δύο κλάσματα είναι ίδια επειδή περιέχουν τους ίδιους αριθμούς. Σύμφωνα με τους συγγραφείς η σύγκριση του ζευγαριού 4/7 και 4/5 φάνηκε πολύ πιο δύσκολη (επιτυχία μόνο 37,2%) από ό,τι είχαν προβλέψει. Όπως εξηγούν οι Mamede, Nunes, & Brayant (2005), σε αντίθεση με το ζευγάρι 3/8 και 7/8, οι μαθητές στο ζευγάρι 4/7 και 4/5 πρέπει να σκεφτούν την αντίστροφη σχέση μεταξύ του παρονομαστή και της ποσότητας που αναπαριστά το κλάσμα (σελ. 282). Από όλους τους μαθητές που επιλέγουν το 4/7 ως μεγαλύτερο, το 73,5% το δικαιολογεί λέγοντας «επειδή είναι μεγαλύτεροι αριθμοί», που δείχνει μια σκέψη με τη λογική των ακεραίων.