Ορισμός: ημιαγωγοί είναι τα στερεά που έχουν χάσμα το οποίο όμως είναι αρκετά μικρό (E g

1. Ημιαγωγοί Υλη: 1.1 έως και 1.5, Παράρτημα Hall Ε. Κ. Παλούρα Ορισμός: ημιαγωγοί είναι τα στερεά που έχουν χάσμα το οποίο όμως είναι αρκετά μικρό (E g ev ) ώστε να έχουν μετρήσιμη αγωγιμότητα σε θερμοκρασίες μικρότερες από το σημείο τήξεως. Η ημιαγωγική συμπεριφορά ανακαλύφθηκε το 190 Το 1931 ο Pauli (1900-1958 -βραβείο Nobel 1945 μετά από πρόταση του Einstein) δήλωσε: "One shouldn't work on semiconductors, that is a filthy mess; who knows if they really exist!" Πιο ήταν το πρόβλημα? Οι ανεπιθύμητες προσμείξεις Το 1947 οι Shockley, Bardeen και Brattain κατασκεύασαν το πρώτο τρανζίστορ στα Bell Labs των ΗΠΑ. Κατηγορίες ημιαγωγών Στοιχειακοί : Si, Ge Δυαδικές ενώσεις III-V: GaAs, InP, AlAs κλπ Δυαδικές ενώσεις II-VI:ZnO, CdS, CdSe κλπ Τριαδικά κράματα (ternary alloys): x(alas)+(1-x)gaas Al x Ga 1-x As x(gap)+(1-x)(inp) Ga x In 1-x P 6/5/01 Σελίδα 1 από 9

Τετραδικά κράματα : Ga x In 1-x As y P 1-y Ημιαγωγοί ευρέως χάσματος : ZnSe, GaN, InN, AlN, Al x Ga 1-x N, In x Ga 1-x N κλπ Band-gap engineering Ημιαγωγοί II-VI & III-V Νιτρίδια της στήλης ΙΙΙ του περιοδικού πίνακα Η δομή των ημιαγωγών Το πλέγμα του διαμαντιού (Si, Ge, διαμάντι): fcc υποπλέγματα μετατοπισμένα μεταξύ τους κατά το 0,5 της διαγωνίου. Μέγιστη πυκνότητα επιστοίβαξης 74%. Η 4-εδρική δομή στο πλέγμα του διαμαντιού 6/5/01 Σελίδα από 9

Το πλέγμα του GaAs (ZnS, InP, c-gan, c-sic): Δομή zincblende ZnS/σφαλερίτη που συνίσταται από πλέγμα διαμαντιού όπου τα υποπλέγματα καταλαμβάνονται από διαφορετικά άτομα (κάθε άτομο περιβάλλεται τετραεδρικά από 4 άτομα του άλλου υποπλέγματος). Μέγιστη πυκνότητα επιστοίβαξης 34%. 4σθενή άτομα Ομοιπολικοί δεσμοί και υβριδισμός sp 3 που χαρακτηρίζεται από σταθερές & άκαμπτες γωνίες Δεσμοί: Oι ημιαγωγοί III-V σχηματίζουν ετεροπολικούς δεσμούς που είναι κυρίως ομοιοπολικοί αλλά έχουν και ιοντική συνιστώσα. O ετεροπολικός χαρακτήρας των δεσμών οφείλεται στη διαφορετική ηλεκτραρνητικότητα των στοιχείων που συμμετέχουν στο δεσμό, με αποτέλεσμα την ασύμμετρη κατανομή φορτίου (μεταφορά φορτίου) μεταξύ των ατόμων. Tο ποσοστό του ιονικού χαρακτήρα του δεσμού που σχηματίζεται μεταξύ των ατόμων A και B δίδεται από την σχέση: % ιοντικός χαρακτήρας = x 100 1 A x exp B 4 όπου x A και x B είναι οι ηλεκτραρνητικότητες των δύο στοιχείων. Παράδειγμα: Στον ημιαγωγό GaAs, το άτομο του As με τη μεγαλύτερη ηλεκτραρνητικότητα (x As =.0) έχει αρνητικό φορτίο ίσο προς -0.46e, ενώ το άτομο του Ga (x Ga =1.8) έχει αντίστοιχα θετικό φορτίο ίσο προς 0.46e. Στους ημιαγωγούς το χάσμα Ε g μεταξύ της ταινίας σθένους (ΤΑ) και της ταινίας αγωγιμότητος (ΤΑ) δεν είναι πολύ μεγάλο (π.χ. 1eV) ακόμη και σε χαμηλές Τ ένα μικρό κλάσμα των ηλεκτρονίων μεταπίπτουν από την ΤΣ στην ΤΑ μπορούν να άγουν το ηλεκτρικό ρεύμα 6/5/01 Σελίδα 3 από 9

Tο ποσοστό των ηλεκτρονίων που μπορούν να διεγερθούν θερμικά είναι της τάξης του exp (-E g /k B T) το χάσμα καθορίζει το εάν ένα στερεό είναι καλός ή κακός αγωγός. Παράδειγμα : Στη θερμοκρασία δωματίου (k B T=5meV) Σε στερεό με χάσμα E g =4eV το ποσοστό των ηλεκτρονίων που μπορούν να διεγερθούν θερμικά είναι της τάξης του exp(-e g /k B T) e -80 10-35 σε στερεό με τόσο μεγάλο χάσμα τα ηλεκτρόνια δεν μπορούν να διεγερθούν από την TΣ στη TA. Όταν E g =0.5 ev τότε exp(-e g /k B T) e -5 10 - η αγωγιμότητα είναι μετρήσιμη. Tυπικές τιμές της ειδικής αντίστασης και αγωγιμότητας για μέταλλα, ημιαγωγούς και μονωτές. Προσμείξεις: Ξένα άτομα προς τον μητρικό ημιαγωγό, με διαφορετικό σθένος, που όταν προστεθούν στον ημιαγωγό σε μικρές συγκεντρώσεις και καταλάβουν πλεγματικές θέσεις τροποποιούν με ελεγχόμενο τρόπο την αγωγιμότητα του. 6/5/01 Σελίδα 4 από 9

Σχ. 1.1. Ενεργειακά διαγράμματα για ένα μέταλλο, έναν ημιαγωγό και έναν μονωτή. Τα μέταλλα έχουν μία μερικώς γεμάτη ταινία ακόμη και σε θερμοκρασία Τ=0 Κ (Η E F βρίσκεται μέσα σε μία μισογεμάτη ταινία). Στους ημιαγωγούς και τους μονωτές η E F βρίσκεται μέσα στο χάσμα. 1.1 Δεδομένα για Ορισμένους Σημαντικούς Ημιαγωγούς. Επίδραση της θερμοκρασίας στο χάσμα Στους στοιχειακούς ημιαγωγούς σχηματίζονται τετραεδρικά τροχιακά sp 3, τα οποία για μήκος δεσμού κοντά στην κατάσταση ισορροπίας, διαχωρίζονται σε δεσμικά και αντιδεσμικά μοριακά τροχιακά που αντιστοιχούν στις ΤΣ και ΤΑ αντίστοιχα.. Εικ. 7.9. Στην απόσταση ισορροπίας r 0 εμφανίζεται το χάσμα E g. Αυξανομένης της θερμοκρασίας η πλεγματική σταθερά αυξάνει λόγω θερμικής διαστολής το χάσμα μικραίνει. Ένας ακριβέστερος χειρισμός του φαινομένου θα έπρεπε να περιλαμβάνει και την επίδραση των δονήσεων του πλέγματος. Η μεταβολή του Ε g συναρτήσει της θερμοκρασίας δίνεται από την εμπειρική σχέση E g (T) E g (0) T T, όπου α & β σταθερές. Η μεταβολή του E g σημαντική μεταβολή στη συγκέντρωση των φορέων 6/5/01 Σελίδα 5 από 9

Μεταβολή του E g συναρτήσει της Τ (0-600K) Ημιαγωγός E g (300K) E g (0K) Ge 0.67 0.75 Si 1.1 1.17 GaAs 1.4 1.5 Μεταβολή της συγκέντρωσης φορέων συναρτήσει της Τ ημιαγωγός n i (cm -3 ) n i (cm -3 ) Ge 5x10 10 (0Κ) 10 16 (450Κ) Si 10 5 (00K) 10 16 (700K) GaAs 10 5 (70K) 4x10 14 (700K) Η ενδογενής συγκέντρωση φορέων στο Si μεταβάλλεται από 10 5-10 16 cm -3. Οι ηλεκτρονικές ταινίες Ε(k) των ημιαγωγών διαφέρουν μεταξύ τους επειδή σχηματίζονται από διαφορετικά ατομικά τροχιακά (κυματοσυναρτήσεις 3s, 3p σε σύγκριση με τις 4s, 4p). 6/5/01 Σελίδα 6 από 9

Σχ.1.. Η δομή ταινιών του Si και του Ge όπως υπολογίστηκε από προσομοίωση πειραματικών δεδομένων όπως το E g, η θέση των κρίσιμων σημείων και οι m *. Στο Ge είναι εμφανής ο διαχωρισμός Δ των ταινιών σθένους λόγω αλληλεπίδρασης του spin με το μαγνητικό πεδίο του πυρήνα (spin-orbit splitting). Στο Si Δ=0.044 ev ενώ στο Ge Δ=0.9 ev. Πιο αναλυτικά: Ημιαγωγοί αμέσου (ευθέως) και έμμεσου χάσματος Ταινία σθένους 1. Μέγιστο στο κέντρο της ζώνης (k=0). Ταινίες των ελαφρών & βαρέων οπών (εκφυλισμένες στο k=0) 3. Ταινία split-off: αλληλεπίδραση spin του e & μαγνητικού πεδίου του πυρήνα Ζ 4. Κοντά στο κέντρο της ζώνης σφαιρική συμμετρία παραβολική προσέγγιση το σχήμα και η καμπυλότητα των ταινιών είναι ανεξάρτητη του προσανατολισμού m* d E dk 6/5/01 Σελίδα 7 από 9

Δομή ταινιών επιλεγμένων ημιαγωγών. Στο Si η splitt-off βρίσκεται μόνον 0.044eV κάτω από το ελάχιστο της TΣ στους 300Κ συνεισφέρει σημαντικό αριθμό φορέων στη TA. Ταινία αγωγιμότητας. H TA αποτελείται από επί μέρους ταινίες τα απόλυτα ελάχιστα των οποίων είναι εντοπισμένα είτε στο k=0 (GaAs), είτε κατά μήκος μιας των διευθύνσεων υψηλής συμμετρίας (Si, Ge). Στο Ge το ελάχιστο της TA απαντάται στο όριο της ZB κατά μήκος της διεύθυνσης <111>. Συνολικά υπάρχουν 8 ισοδύναμα ελάχιστα της TA 8 ισοδύναμες διευθύνσεις <111>. Tα υπόλοιπα ελάχιστα της TA εμφανίζονται σε υψηλότερες ενέργειες και συνήθως έχουν μηδενικό πληθυσμό ηλεκτρονίων. 6/5/01 Σελίδα 8 από 9

Tο απόλυτο ελάχιστο στο Si εμφανίζεται σε k0.8(π/α) κατά μήκος της <100>. Συνολικά υπάρχουν 6 ισοδύναμα ελάχιστα. Το GaAs είναι ημιαγωγός ευθέως χάσματος. Tο απόλυτο ελάχιστο της TA στο GaAs εμφανίζεται στο k=0. δυνατόν να αγνοηθεί. To ελάχιστο στο σημείο L (κατά μήκος της <111>), βρίσκεται μόνο 0.9eV επάνω από το απόλυτο ελάχιστο (σημείο Γ) και σε υψηλές θερμοκρασίες έχει σημαντικό πληθυσμό ηλεκτρονίων που δεν είναι H ενεργός μάζα των ηλεκτρονίων στη κοιλάδα Γ είναι 0.067mo ενώ στην L είναι 0.55mo. Στην παραβολική προσέγγιση οι επιφάνειες σταθερής ενέργειας είναι ελλειψοειδή γύρω από τις διευθύνσεις [111] για το Ge ή [100] για το Si (8 και 6 ισοδύναμες διευθύνσεις, αντίστοιχα). 6/5/01 Σελίδα 9 από 9

Η εξίσωση του ελλιψοειδούς σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι Ελλειψοειδή στην ΤΑ του Si. Ταινία αγωγιμότητος : Στους κυβικούς ημιαγωγούς οι επιφάνειες σταθερής ενέργειας είναι ελλειψοειδή εκ περιστροφής με m 3 =m l (διαμήκης ενεργός μάζα) και m 1 =m =m t (εγκάρσια διαμήκης μάζα σε διεύθυνση κάθετη προς τον κύριο άξονα) στην αναπαράσταση κυρίων αξόνων (για το Si και το Ge είναι οι [100] και [111], αντίστοιχα) οι επιφάνειες σταθερής ενέργειας των ηλεκτρονίων αγωγιμότητας είναι E( k ) όπου k x m * t και k m y * t kz m * l ή (1.1) m* l είναι οι εγκάρσιες και διαμήκεις ενεργοί μάζες, αντίστοιχα. Το μηδέν της κλίμακος της ενέργειας ορίζεται στο μέγιστο της ταινίας σθένους. Τις τιμές της ενεργού μάζας m * t και m* l των ηλεκτρονίων μπορούμε να τις μετρήσουμε με συντονισμό κύκλοτρον. Οι m * t και m * l για το Si και το Ge. Si Ge * m t m o 0.19 0.08 * m l mo 0.9 1.57 6/5/01 Σελίδα 10 από 9

Ημιαγωγοί ΙΙΙ-V: Ημιαγωγικές ιδιότητες εμφανίζουν και άλλα υλικά με τετραεδρική δομή (δηλ. με υβριδισμό sp 3 ) π.χ. οι ημιαγωγοί III-V : InSb, InP, GaP, GaAs, GaSb και AlSb. Σε αυτούς τους ημιαγωγούς οι δεσμοί έχουν μεικτό ιοντικό και ομοιοπολικό χαρακτήρα. Οι πιο σημαντικοί ημιαγωγοί III-V έχουν ευθύ χάσμα. (Εξαίρεση αποτελούν οι GaP και το AlSb) Ημιαγωγοί ΙΙ-VI: ZnO, ZnS, CdS, CdSe και CdTe (με E g που στους 300 Κ κυμαίνεται στην περιοχή 1,45-3,6 ev). Σε αυτά τα υλικά οι δεσμοί έχουν μεικτό ιοντικό-ομοιοπολικό χαρακτήρα, αλλά με ιοντική συνιστώσα μεγαλύτερη αυτής που απαντάται στους ημιαγωγούς III-V. Η τοπική δομή είναι τετραεδρική (sp 3 ). 1. Πυκνότητα φορέων φορτίου σε ενδογενείς ημιαγωγούς. Η ηλεκτρική αγωγιμότητα σ ενός ημιαγωγού είναι: e nn p p e (1.) όπου * m Σε αντίθεση με τα μέταλλα, η αγωγιμότητα των ημιαγωγών εξαρτάται ισχυρά από την θερμοκρασία λόγω μετάπτωσης φορέων από την ΤΣ στην ΤΑ που ισχυρή Τ-εξάρτηση των συγκεντρώσεων n και p. Σε πρώτη προσέγγιση αγνοείται η ενεργειακή εξάρτηση (από το k) των μ n και μ p διότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι υπάρχουν φορείς μόνον στην παραβολική περιοχή των ταινιών όπου οι m * n και m * p είναι σταθερές. Οι ημιαγωγοί ονομάζονται ενδογενείς όταν ελεύθερα ηλεκτρόνια και οπές δημιουργούνται μόνον με ηλεκτρονικές διεγέρσεις από την ΤΣ στην ΤΑ.. Η κατάληψη των ενεργειακών σταθμών υπακούει στη στατιστική Fermi f(e,t), δηλ. n D E C c( E ) f ( E,T ) de (1.3α) 6/5/01 Σελίδα 11 από 9

E V p DV ( E )[ 1 f ( E,T )] de Ε. Κ. Παλούρα (1.3β) Οι συναρτήσεις D C (E) και D V (E) είναι οι πυκνότητες καταστάσεων στις ταινίες αγωγιμότητας και σθένους, αντίστοιχα. Στην παραβολική προσέγγιση (m * =σταθερή) ισχύει: * 3 (1.4α) m n για Ε>Ε C D ( E ) c D ( E ) v 3 m * 3 p 3 E E E v c E για Ε<Ε V (1.4β) Μέσα στο χάσμα η πυκνότητα καταστάσεων είναι μηδενική. Επειδή το εύρος της συνάρτησης Fermi (kt) σε κανονικές θερμοκρασίες είναι μικρό σε σύγκριση με το Ε g η f (E,T) μπορεί να προσεγγιστεί μέσα στις ταινίες (Ε>Ε C και Ε<Ε V ) με στατιστική Boltzmann, δηλ. για την ταινία αγωγιμότητας: E E exp E E kt exp F 1 kt 1 F Αποδεικνύεται ότι: C E E n N C F eff exp kt p N V eff exp E V E kt F <<1 για Ε-Ε F >>kt (1.5) (1.8α) (1.8β) 6/5/01 Σελίδα 1 από 9

* 3 C Οι προ-εκθετικοί παράγοντες m kt N n eff και h 3 * V mpkt N eff ονομάζονται ενεργοί πυκνότητες καταστάσεων. h Με την χρήση των N C eff και N V eff μπορούμε να προσεγγίσουμε την ΤΑ ( ή τη ΤΣ) με ένα μόνο ενεργειακό επίπεδο E C (E V ) (δηλ. το ακρότατο της ταινίας) με πυκνότητα καταστάσεων C N eff ( V eff N ). Από τις σχέσεις (1.8α, β) : C V Eg n p N eff N eff e kt 3 kt 4 * * 3 Eg kt m m e n p (1.9) όπου E g =E C -E V Σύμφωνα με τον νόμο δράσης μαζών: np n i και για ενδογενή ημιαγωγό (n i =p i ) C V Eg ni pi N N eff eff exp kt ή (1.10) ni pi 3 kt * * 3 4 Eg mnmp exp kt υπολογισμός του E g Πίνακας 1.4. Το χάσμα E g και η ενδογενής συγκέντρωση φορέων n i για το Ge, το Si και το GaAs. E g (300K) [ev] n i (300K) [cm -3 ] Ge 0.67.4x10 13 Si 1.1 1.5x10 10 GaAs 1.43 5x10 7 6/5/01 Σελίδα 13 από 9

Tο επίπεδο Fermi σε δεδομένη Τ βρίσκεται σε θέση που εξασφαλίζει την ηλεκτρική ουδετερότητα, δηλ. V * (1.13) E C EV kt N eff Eg 3 m p E ln F kt ln C 4 * N eff mn όταν οι V eff C eff N N και m* * n m p (δηλαδή οι ΤΣ και ΤΑ έχουν την ίδια καμπυλότητα) τότε το επίπεδο Fermi σε ενδογενή ημιαγωγό βρίσκεται στο μέσον του χάσματος για όλες τις θερμοκρασίες. Σχ.1.5. (α) Συνάρτηση Fermi f(e), πυκνότητα καταστάσεων D(E) και συγκεντρώσεις ηλεκτρονίων και οπών στις ΤΑ και ΤΣ για την περίπτωση ίσης πυκνότητας καταστάσεων. (β) Οταν οι ΤΑ και ΤΑ έχουν διαφορετική V C πυκνότητα καταστάσεων ( Neff Neff και οι * * m n m p ) η E F μετακινείται μέσα στο χάσμα και εμφανίζει ασθενή θερμοκρασιακή έτσι ώστε να ισχύει n=p. 6/5/01 Σελίδα 14 από 9

1.3 Ημιαγωγοί με Προσμείξεις. Προσμείξεις είναι ηλεκτρικώς ενεργά άτομα, με σθένος διαφορετικό από αυτό του μητρικού υλικού και εισάγονται σκόπιμα στους ημιαγωγούς με στόχο τον ακριβή έλεγχο της συγκέντρωσης φορέων σε επίπεδα κατάλληλα για την λειτουργία των διατάξεων. Δότες (5-σθενή άτομα στο Si) ονομάζονται οι προσμείξεις που αποδίδουν ηλεκτρόνια στην ΤΑ ενώ οι αποδέκτες (3-σθενή άτομα) αποδέχονται e από την ΤΑ έτσι ώστε να μπορούν να σχηματιστούν οι τετραεδρικοί δεσμοί. Παράδειγμα: η ενδογενής συγκέντρωση φορέων n i στο Si είναι πολύ μικρή (1.5x10 10 cm -3 στους 300 K) δεν είναι ικανοποιητική για την λειτουργία ημιαγωγικών διατάξεων. Οι ανεπιθύμητες προσμείξεις εισάγονται από το περιβάλλον ανάπτυξης και ο έλεγχος τους είναι δύσκολος. Στους περισσότερους ημιαγωγούς δεν είναι δυνατή η παρατήρηση ενδογενούς αγωγιμότητας στους 300Κ. Οι μικρότερες συγκεντρώσεις προσμείξεων που επιτυγχάνονται σήμερα σε μονοκρυστάλλους ημιαγωγών είναι της τάξης μεγέθους 10 1 cm -3. Αριθμητικό παράδειγμα: Το Ge έχει ενδογενή συγκέντρωση φορέων n i της τάξης των.4x10 1 cm -3 (στους 300 Κ). Αναπτύσσεται αρκετά καθαρό ώστε να παρατηρείται ενδογενής αγωγιμότητα σε θερμοκρασία δωματίου. Στο Si (n i =1.5x10 10 cm -3 στους 300K) δεν παρατηρείται ενδογενής αγωγιμότητα σε θερμοκρασία δωματίου λόγω της παρουσίας ανεπιθύμητων προσμείξεων σε συγκέντρωση >n i. Στο GaAs η ενδογενής συγκέντρωση φορέων είναι n i =5x10 7 cm -3 ενώ στους πιο καθαρούς μονοκρυστάλλους η πυκνότητα φορέων 10 16 cm -3 (στους 300 K). 6/5/01 Σελίδα 15 από 9

Σχ.1.6 α. Σχηματική αναπαράσταση της επίδρασης ενός δότη (στο πλέγμα του Si. Το πεντασθενές άτομο του P αντικαθιστά στο πλέγμα ένα άτομο Si. Το 5 ο ηλεκτρόνιο του P δεν συμμετέχει σε δεσμό είναι ασθενώς συνδεδεμένο. Η ενέργεια δέσμευσής του μπορεί να εκτιμηθεί αν περιγράψουμε το σύστημα σαν ένα άτομο υδρογόνου που περιβάλλεται από διηλεκτρικό μέσο. Η πρώτη ακτίνα Bohr του τροχιακού της πρόσμειξης είναι περίπου δέκα φορές μεγαλύτερη από την πλεγματική σταθερά. Παράδειγμα: Γιατί ένα 5-σθενές άτομο (π.χ. P, As ή Sb με ηλεκτρονική δομή της εξωτερικής στοιβάδας s p 3 ) που αντικαθιστά 1 άτομο Si στο πλέγμα του Si (με ηλεκτρονική δομή της εξωτερικής στοιβάδας 3s 3p ) λειτουργεί σαν δότης? Στον σχηματισμό του sp 3 υβριδικού συμμετέχουν μόνον τα s p ηλεκτρόνια του 5-σθενούς ατόμου ενώ το επί πλέον ηλεκτρόνιο του τροχιακού p που δεν μπορεί να συμμετάσχει στον sp 3 δεσμό είναι ασθενώς δεσμευμένο στον θετικώς φορτισμένο και 4-εδρικώς συναρμοσμένο πυρήνα του δότη που μπορεί να περιγραφεί ως ένας θετικώς φορτισμένος μονοσθενής πυρήνας στον οποίο δεσμεύεται ένα ηλεκτρόνιο. Το 5 ο ηλεκτρόνιο μπορεί να αποσπασθεί από τον πυρήνα, να διεγερθεί από την πρόσμειξη στην ταινία αγωγιμότητος και να κινηθεί ελεύθερα μέσω του πλέγματος και. Υπολογισμός της ενέργειας ενεργοποίησης των δοτών Το άτομο του δότη μπορεί να περιγραφεί ως ένα υδρογονικό κέντρο στο οποίο η ελκτική δύναμη Coulomb, που ασκείται ανάμεσα στον πυρήνα και το ηλεκτρόνιο σθένους, θωρακίζεται από την παρουσία ηλεκτρονίων του Si που βρίσκονται στην γειτονία του. Η θωράκιση του ατόμου του δότη από το Si που το περιβάλει εισάγεται με την διηλεκτρική συνάρτηση του Si (ε Si =11.7) στο μοντέλο του ατόμου του υδρογόνου. 6/5/01 Σελίδα 16 από 9

Τα ενεργειακά επίπεδα για την σειρά Rydberg του ατόμου του υδρογόνου δίδονται από την σχέση (1.14) και 4 (1.14) H e me 1 En 4 n Για το επίπεδο n=1 η ενέργεια ιονισμού είναι 13.6 ev. 1) Για το άτομο του P που είναι δότης, πρέπει να αντικαταστήσουμε την m e με την ενεργό μάζα m* n του ηλεκτρονίου αγωγιμότητας στο Si και την διηλεκτρική σταθερά ε o του κενού με την ε ο ε Si. (ε Si =11.7). Επομένως η 4 m * n e E 4 είναι μικρότερη αυτής που αντιστοιχεί Si στο άτομο του υδρογόνου κατά Si m * n m η ενέργεια ιονισμού E d του δότη είναι ~30 mev δηλ. ενεργειακή στάθμη E D του ηλεκτρονίου του δότη στην δέσμια κατάσταση βρίσκεται 30 mev κάτω από την ακμή της ταινίας αγωγιμότητας E C. Στο Ge ε Ge =15.8 και m * n ~0.1m e Ε d (Ge)6 mev<ε d (Si). Σχ. 1.7. Ποιοτική αναπαράσταση των ενεργειακών σταθμών δοτών και αποδεκτών ως προς τα ακρότατα των ταινιών (E C και E V ). Με E d και E a συμβολίζονται οι ενέργειες ιονισμού των δοτών και αποδεκτών, αντιστοίχως. Απεικονίζονται μόνον οι βασικές καταστάσεις των ατόμων των προσμείξεων. 6/5/01 Σελίδα 17 από 9

Ανάμεσα την βασική κατάσταση της πρόσμειξης και την ακμή της ΤΑ υπάρχει μία σειρά από διηγερμένες καταστάσεις για n>1 στην E H n 4 e m 1 e. n 4 Η απόσταση μεταξύ των διηγερμένων καταστάσεων μειώνεται αυξανομένης της ενέργειας και τελικώς συμπίπτουν με το συνεχές της ταινίας αγωγιμότητας. Η ενέργεια των διηγερμένων καταστάσεων μπορεί να προσδιοριστεί από οπτικά φάσματα. Σχ.1.8. Φάσματα οπτικής απορρόφησης του δότη Sb σε Ge. Οι μετρήσεις έγιναν στους 9 Κ. Οι ταινίες για Ε<9.6meV σε διεγέρσεις από την βασική κατάσταση σε υψηλότερες, διηγερμένες καταστάσεις. Για Ε>9.6 mev τα ηλεκτρόνια διεγείρονται στο συνεχές της ταινίας αγωγιμότητας. Πίνακας 1.5. Ενέργειες ιονισμού E d για αντιπροσωπευτικούς δότες σε Si και Ge. P [mev] As [mev] Sb [mev] Si 45 54 43 Ge 13 14 100 Λόγω της θωράκισης η κυματοσυνάρτηση εκτείνεται σε πολλές πλεγματικές σταθερές. Η ακτίνα του τροχιακού είναι (1.15) h r s m * n 6/5/01 Σελίδα 18 από 9

αύξηση της ακτίνας κατά παράγοντα ε s (1 για το Si) σε σύγκριση με ακτίνα Bohr του υδρογόνου. Επομένως το δέσμιο ηλεκτρόνιο σθένους που προέρχεται από το άτομο του δότη εκτείνεται σε περίπου 10 3 πλεγματικές θέσεις. Πίνακας 1.6. Ενέργειες ιονισμού E a αποδεκτών σε Si και Ge. Β [mev] Al [mev] Ga [mev] In [mev] Si 45 67 74 153 Ge 11 11 11 1 1.4 Πυκνότητες Φορέων σε Ημιαγωγούς με Προσμείξεις Ένα ηλεκτρόνιο στην ΤΑ ενός ημιαγωγού με προσμείξεις μπορεί να προέρχεται είτε από την ταινία σθένους είτε από τον ιονισμό ενός δότη. Παρομοίως, μία οπή στην ταινία σθένους θα μπορούσε να αντιστοιχεί είτε σε ένα ηλεκτρόνιο στην ταινία αγωγιμότητος είτε σε έναν αρνητικώς φορτισμένο (ιονισμένο) αποδέκτη. Για ένα μη-εκφυλισμένο ημιαγωγό, η κατάληψη των ταινιών αγωγιμότητας και σθένους διέπεται από την προσέγγιση Boltzmann (1.8α,β) C E E n N C F eff exp kt p N V eff exp E V E kt ενώ ισχύει και ο νόμος δράσης μαζών (1.9) F (1.8α) (1.8β) n p N C eff N V eff e Eg / kt Στους ημιαγωγούς με προσμείξεις ισχύει 6/5/01 Σελίδα 19 από 9

N N D A Ε. Κ. Παλούρα N N N (1.17α, β) N D A o D o A και η θέση της E F ελέγχεται από τη συνθήκη ουδετερότητος ηλεκτρικού φορτίου, η οποία λαμβάνει υπ όψιν της το φορτίο των προσμείξεων. Σε έναν ομογενή ημιαγωγό ισχύει: (1.16) n N A p N D Για Τ>0Κ (ή kt>e a ) όλες οι προσμείξεις είναι ιονισμένες n N p A N D Σχ.1.9. Οι συνολικές συγκεντρώσεις N D και N A των δοτών και αποδεκτών δίνονται από τις σχέσεις o N D N D N D και o N A N A N A Τα ηλεκτρόνια στην TA (πυκνότητα n) και των οπών στην ΤΣ (πυκνότητα p) προέρχονται είτε από διαταινιακές διεγέρσεις είτε από προσμείξεις. Θερμοκρασιακή εξάρτηση της συγκέντρωσης φορών σε ημιαγωγό τύπου n. Η παρακάτω ανάλυση γίνεται για ημιαγωγό τύπου n, στον οποίο υπάρχουν μόνον δότες. Αποδεικνύεται ότι Ι) εάν η θερμοκρασία Τ είναι τόσο χαμηλή ώστε οι φορείς είναι «παγωμένοι» στα άτομα των προσμείξεων (περιοχή freeze-out): n N D N C eff e E d / kt Πρέπει να σημειωθεί η ομοιότητα με την σχέση για ενδογενή ημιαγωγό: C V Eg ni pi Neff Neff exp kt 6/5/01 Σελίδα 0 από 9

ΙΙ) Σε θερμοκρασίες Τ όπου όλες οι προσμείξεις είναι ιονισμένες (περιοχή κορεσμού) n N D ά ΙΙΙ) Σε ακόμη υψηλότερες θερμοκρασίες η συγκέντρωση των ηλεκτρονίων που διεγείρονται από την ΤΣ στην ΤΑ αυξάνει δραματικά και είναι >>> από την ηλεκτρονική πυκνότητα λόγω των προσμείξεων. Σε αυτή την περιοχή το n-τύπου υλικό συμπεριφέρεται σαν ενδογενής ημιαγωγός και αυτή η περιοχή της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων ονομάζεται ενδογενής. Μεταβολή της συγκέντρωσης φορέων συναρτήσει της θερμοκρασίας σε ημιαγωγό τύπου N. Σχ.1.10. (α) Ποιοτική αναπαράσταση της n(τ) (σε σύστημα αξόνων logn-1/t) στην ΤΑ ημιαγωγού τύπου n για δύο διαφορετικές συγκεντρώσεις δοτών N D N D. Το εύρος του χάσματος είναι E g και E d είναι η ενέργεια ιονισμού των δοτών. (β) Ποιοτική θερμοκρασιακή εξάρτηση της Ε F (T). E C και E V είναι τα ακρότατα της ταινίας αγωγιμότητας και σθένους, αντίστοιχα, E D είναι η στάθμη του δότη και E i είναι η στάθμη Fermi του ενδογενούς ημιαγωγού. Σε n-si με προσμείξεις P=3x10 14 cm -3, η περιοχή κορεσμού εκτείνεται στην περιοχή 45-500Κ στους 300Κ όλοι οι δότες είναι ιονισμένοι. 6/5/01 Σελίδα 1 από 9

Συγκέντρωση φορέων (logn) συναρτήσει του (1/Τ) για ημιαγωγό με προσμείξεις. Παρατηρούνται περιοχές κορεσμού. Τα σύμβολα SD (shallow donor) και DD (deep donor) αντιστοιχούν σε ρηχούς και βαθείς δότες αντίστοιχα. Στην περιοχή θερμοκρασιών που σημειώνεται με το βέλος έχουν ιονιστεί πλήρως τόσο οι SD όσο και οι DD. Σχ.1.11. Η συγκέντρωση n των ελεύθερων ηλεκτρονίων σε n-ge (μετρήσεις Hall) με συγκέντρωση δοτών N D στην περιοχή 10 18 έως 10 13 cm -3. Η διακεκομμένη γραμμή περιοχή ενδογενούς συμπεριφοράς. Εκφυλισμένοι ημιαγωγοί Όταν n ή p > 10 18 cm -3 τα άτομα των προσμείξεων δεν μπορούν να θεωρηθούν απομονωμένα και οι κυματοσυναρτήσεις των ηλεκτρονίων των δοτών αλληλεπικαλύπτονται σημαντικά διεύρυνση των σταθμών E D ή/και E A σε ταινίες και την εμφάνιση "ουράς" (tailing) στον πυθμένα και την κορυφή των ΤΣ και ΤΑ, αντίστοιχα ελάττωση του χάσματος. 6/5/01 Σελίδα από 9

Η θέση της E F συναρτήσει της συγκέντρωσης των προσμείξεων σε ημιαγωγό τύπου n και p. Στους εκφυλισμένους ημιαγωγούς η συγκέντρωση των φορέων πλειονότητας μπορεί να υπολογισθεί εάν θεωρήσουμε ότι όλα τα άτομα των προσμείξεων είναι ιονισμένα και επομένως nnd ή pna. (Η συγκέντρωση φορέων μειονότητας και η θέση της E F δεν είναι δυνατόν να υπολογιστούν από τις σχέσεις που συζητήσαμε). 1. 5 Η Αγωγιμότητα των Ημιαγωγών Η πυκνότητα ρεύματος j σε έναν ισότροπο ημιαγωγό (η σ είναι αριθμητικό μέγεθος) δίνεται από την σχέση j e n p (1.30) n p Γνωρίζουμε ότι η ευκινησία επηρεάζεται από γεγονότα σκέδασης q cm m Vs Κύριοι Μηχανισμοί σκέδασης Αποδεικνύεται ότι: Πλέγμα T Ιονισμένες προσμείξεις & φορτισμένες ατέλειες δομής ph def 1 tot 3 3 T N def 1 6/5/01 Σελίδα 3 από 9

Η σκέδαση από το πλέγμα είναι σημαντική σε υψηλή Τ Η σκέδαση από τις προσμείξεις δεν είναι σημαντική σε υψηλή Τ επειδή οι φορείς κινούνται ταχύτατα και παραμένουν στο δυναμικό της πρόσμειξης ελάχιστο χρόνο. Σχ.1.1. Σχηματική αναπαράσταση της θερμοκρασιακής εξάρτησης της ευκινησίας μ για ημιαγωγό στον οποίο η σκέδαση οφείλεται σε φωνόνια (υψηλή Τ) και φορτισμένες προσμείξεις (χαμηλή Τ). Σε υψηλή θερμοκρασία ο σημαντικός μηχανισμός σκέδασης είναι από το πλέγμα. Σε χαμηλές συγκεντρώσεις φορέων κυριαρχεί η σκέδαση από το 3 πλέγμα T. ph Σε υψηλή συγκέντρωση φορέων μ σταθερή. Γιατί? η σκέδαση από τις ιονισμένες προσμείξεις ελαττώνεται με την Τ ενώ η σκέδαση από το πλέγμα αυξάνεται οι συνιστώσες σχεδόν αλληλοαναιρούνται εκλείπει η έντονη Τ-εξάρτηση. 6/5/01 Σελίδα 4 από 9

Σχ.1.14. Η αγωγιμότητα σ(τ) δείγματος n-ge με συγκέντρωση N D 10 18-10 13 cm -3. Παρατηρούμε την παρόμοια συμπεριφορά των σ(τ) και μ(τ). Ισχυρά ηλεκτρικά πεδία. Μέχρι τώρα θεωρήσαμε την ωμική συμπεριφορά σε σχετικώς μικρά ηλεκτρικά πεδία Ε όπου η υ D Ε (ισχύει για Ε x10 3 V/cm) ενώ η ευκινησία μ=υ D /Ε = σταθερή. Στις μοντέρνες διατάξεις ημιαγωγών με διαστάσεις < των μm τα ηλεκτρικά πεδία είναι συχνά > των 10 5 V/cm και ο νόμος του Ohm δεν ισχύει αφού η μέση υ D δεν είναι πλέον ανάλογη της έντασης του πεδίου Σε ισχυρότερα πεδία η υ D φθάνει σε σημείο κορεσμού στην τιμή 10 7 cm/s για το Si και το Ge. Η ενέργεια που μεταφέρεται συνεχώς από το ηλεκτρικό πεδίο στους φορείς χάνεται ουσιαστικά μέσω σκεδάσεων των φωνονίων και επομένως μετατρέπεται σε θερμότητα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τον κορεσμό της ταχύτητας ολίσθησης. Αρνητική διαφορική αγωγιμότητα j E end / E 0 παρατηρείται σους ημιαγωγούς ευθέως χάσματος GaAs, InP και GaN υπό την επίδραση ισχυρών πεδίων. Στην περιοχή των ασθενών πεδίων (<10 3 V/cm) τα ηλεκτρόνια έχουν μεγάλη ευκινησία λόγω της μικρής ενεργού μάζας που στο GaAs είναι ίση προς 0.068m o στο k=0. 6/5/01 Σελίδα 5 από 9

Σχ.1.15. Η υ D στους 300 Κ συναρτήσει του ηλεκτρικού πεδίου E. Τα δεδομένα για το Si και το GaAs κρυσταλλικά δείγματα υψηλής καθαρότητας. Σημειώνεται ότι το Si και το GaAs έχουν συγκρίσιμη υ D κορεσμού σε ισχυρά πεδία. Επομένως, το πλεονέκτημα της υψηλής ευκινησίας του GaAs σε ασθενή πεδία σε σύγκριση με το Si χάνεται σε διατάξεις μικρών διαστάσεων στις οποίες αναπτύσσονται σχετικώς υψηλά πεδία. Στο GaAs όταν τα ηλεκτρόνια επιταχυνθούν σε υψηλότερη κινητική ενέργεια αρχίζει αποτελεσματική σκέδαση φωνονίων από το ελάχιστο στο Γ στα ελάχιστα L και X όπου τα e έχουν μεγαλύτερη ενεργό μάζα. Επομένως η μ και η μέση υ D μειώνονται. Όταν το Ε>3x10 5 V/cm, τα e στις κοιλάδες L και X επιταχύνονται και η υ D αυξάνεται E, όμως με πολύ μικρότερη μ από ότι στην περιοχή χαμηλού πεδίου Σε εξαιρετικά ισχυρά πεδία (Ε>10 5 V/cm) αρχίζει το φαινομένο χιονοστοιβάδος. Τα επιταχυνόμενα ηλεκτρόνια κερδίζουν αρκετή ενέργεια ώστε να μπορούν να διεγείρουν ολοένα και περισσότερα ηλεκτρόνια από την ΤΣ στην ΤΑ η αγωγιμότητα του ημιαγωγού αυξάνει απότομα λόγω του πολλαπλασιασμού του αριθμού των ελεύθερων φορέων. Αυτό το φαινόμενο βρίσκει εφαρμογές σε μοντέρνες διατάξεις (π.χ. διόδους Gunn). Το GaN έχει υψηλή υ D και μεγάλη θερμική σταθερότητα είναι κατάλληλο για εφαρμογές σε διατάξεις που λειτουργούν σε υψηλές ταχύτητες και υψηλές θερμοκρασίες. Επί πλέον, οι μεγάλες τιμές του 6/5/01 Σελίδα 6 από 9

χάσματος (>3 ev) των νιτριδίων της ομάδος ΙΙΙ (GaN, AlN, Al x Ga 1-x N) επιτρέπουν υψηλές τιμές δυναμικού διάτρησης (μέχρι τα 100V) και επομένως βρίσκουν εφαρμογές σε διατάξεις υψηλής ταχύτητας και υψηλής ισχύος. Παράρτημα: Φαινόμενο Hall (1879) Το φαινόμενο Hall περιγράφει τις αλλαγές που συμβαίνουν σε ένα αγώγιμο υλικό, μέταλλο ή ημιαγωγό, το οποίο ταυτοχρόνως διαρρέεται από ρεύμα και εκτίθεται σε μαγνητικό πεδίο Β. Το φαινόμενο Hall έδωσε την 1 η πειραματική απόδειξη ότι το ηλεκτρικό ρεύμα στα μέταλλα άγεται από ηλεκτρόνια. Στο δείγμα εφαρμόζεται dc διαφορά δυναμικού // x (που οδηγεί το σταθερό ρεύμα ρεύμα i) και μαγνητικό πεδίο Β //z. Τα e υφίστανται την επίδραση δύναμης Lorentz: evxb F που ασκείται σε επίπεδο (x,z) δηλαδή η F // άξονα y τα e συσσωρεύονται στο ένα άκρο του δείγματος ενώ στο άλλο άκρο εμφανίζεται θετικό φορτίο αναπτύσσεται το πεδίο Hall Ε Η που είναι αντίθετο προς την Lorentz. 6/5/01 Σελίδα 7 από 9

Η συσσώρευση φορτίου σταματά όταν: ee e B E H B x H x Γνωρίζουμε ότι: E x B J H x J ne x x x ne E H 1 J xb πεδίο Hall ne 1 R H συντελεστής Hall ne Volt m 3 Ο συντελεστής Hall έχει αρνητικό πρόσημο όταν ο Amp Weber κυρίαρχος φορέας είναι τα e και θετικό πρόσημο όταν ο κυρίαρχος φορέας είναι οι οπές. Σε ημιαγωγούς με μεικτή αγωγιμότητα: Επομένως: R H e p h e n p e n Από μετρήσεις Hall υπολογίζουμε τη συγκέντρωση φορέων (n ή p) Το + πρόσημο του R Hall αγωγιμότητα από οπές Το πρόσημο του R Hall αγωγιμότητα από ηλεκτρόνια Στους ημιαγωγούς το πρόσημο εξαρτάται από το είδος των προσμείξεων. Γιατί? ne Υπενθυμίζεται ότι : n e * m Για να προσδιορίσουμε το μ πρέπει να κάνουμε μετρήσεις αγωγιμότητας σ και Hall h 6/5/01 Σελίδα 8 από 9

Σημαντικά σημεία του κεφαλαίου Ορισμοί: Ημιαγωγός, άμεσο και έμμεσο χάσμα, προσμείξεις (δότες και αποδέκτες), εκφυλισμένος ημιαγωγός Επίδραση της θερμοκρασίας στο χάσμα Θέση της Fermi στο χάσμα (μεταβολή με τη θερμοκρασία και τις ενεργούς μάζες ηλεκτρονίων και οπών) Συγκέντρωση φορέων σε ενδογενή ημιαγωγό Νόμος δράσης μαζών Ημιαγωγός με προσμείξεις: μεταβολή της συγκέντρωσης φορέων συναρτήσει της θερμοκρασίας Υπολογισμός της ενέργειας ενεργοποίησης δοτών & της ακτίνας του τροχιακού του ηλεκτρονίου Σκέδαση φορέων σε ημιαγωγούς-μεταβολή της ευκινησίας συναρτήσει της θερμοκρασίας Φαινόμενο Hall 6/5/01 Σελίδα 9 από 9