% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου

1. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L= 4 m και μάζας M= 2 kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήματος σταθερού μήκους, με το επάνω άκρο του συνδεδεμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο σημείο Γ ισορροπεί ομογενής σφαίρα μάζας m= 2,5 kg και ακτίνας r= 0,2 m. Δίνονται ΑΚ=L/4, AΓ=3L/4. α) Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο. Τη χρονική στιγμή t= 0 ασκείται στο κέντρο μάζας της σφαίρας με κατάλληλο τρόπο, σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F= 7 N, με φορά προς το άκρο Β. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. β) Να υπολογισθεί το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας κατά την κίνησή της. γ) Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας όταν φθάσει στο άκρο Β. δ) Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας όταν φθάσει στο άκρο Β. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας μάζας m ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και g= 10 m/s 2. (Πανελλ. εξετάσεις 2008). [Απάντηση: α) 115 Ν, β) 2 m/s 2, γ) 2 m/s, δ) 0,4 kg m 2 /s ] 2. Στερεό Π μάζας Μ= 10 kg αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R και 2R, όπου R= 0,2 m όπως στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι. Το στερεό Π περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ΟΌ, που συμπίπτει με τον άξονά του. Το σώμα Σ μάζας m= 20 kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ακτίνας R. Γύρω από το τμήμα του στερεού Π με ακτίνα 2R είναι τυλιγμένο πολλές φορές νήμα, στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου μπορεί να ασκείται οριζόντια δύναμη F. α) Να βρείτε το μέτρο της αρχικής δύναμης F0 που ασκείται στο ελεύθερο άκρο Α του νήματος, ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμένει ακίνητο. Τη χρονική στιγμή tο=0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F= 115 Ν. β) Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος Σ. Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h= 2 m, να βρείτε: γ) Το μέτρο της στροφορμής του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του. δ) Τη μετατόπιση του σημείου Α από την αρχική του θέση. ε) Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του στερεού Π κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ κατά h. Δίνεται g=10 m/s 2. Το συνολικό μήκος κάθε νήματος παραμένει σταθερό. (Πανελλ. εξετάσεις 2009). [Απάντηση: α) 100 Ν, β) 1 m/s 2, γ) 4 kg m 2 /s, δ) 4 m, ε) % ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 2012-13 1

3. Ο διπλός τροχός του σχήματος, μάζας 4 kg, έχει εξωτερική ακτίνα R = 0,2 m και εσωτερική r= 0,08 m. Στον εσωτερικό τροχό είναι τυλιγμένο πολλές φορές νήμα και στο ελεύθερο άκρο του ασκείται Α οριζόντια δύναμη μέτρου F= 12 N, όπως στο σχήμα. r α) Να βρεθεί η μεταφορική επιτάχυνση του κέντρου K μάζας του τροχού, αν κυλά χωρίς να ολισθαίνει. β) R Να υπολογιστεί η ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής τριβής μεταξύ τροχού και δαπέδου, ώστε να κυλά χωρίς να ολισθαίνει. γ) Αν η αλλάζει σημείο εφαρμογής, κατά μήκος της κατακόρυφης ακτίνας του τροχού, να κατασκευαστεί η γραφική παράσταση της συνάρτησης, όπου η δύναμη στατικής τριβής και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του. Επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s 2. Το σκοινί δεν γλιστρά στον τροχό. [Απάντηση: α) 2,8 m/s 2, β) 0,02 ] 4. Θέλουμε να μετρήσουμε πειραματικά την άγνωστη ροπή αδράνειας δίσκου μάζας m= 2 kg και ακτίνας r= 1 m. Για το σκοπό αυτό αφήνουμε τον δίσκο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ= 30 ξεκινώντας από την ηρεμία. Διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος διανύει την απόσταση x= 2 m σε χρόνο t= 1 s. α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. β) Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αφήνονται να κυλίσουν ταυτόχρονα, χωρίς ολίσθηση, δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι και του δακτυλίου ως προς τους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Να υπολογίσετε ποιο από τα σώματα κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση. Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών, όπως φαίνεται και στο σχήμα, με ράβδο αμελητέας μάζας, η οποία δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. γ) Να υπολογίσετε το λόγο των κινητικών ενεργειών K1/K2 όπου K1 η κινητική ενέργεια του δίσκου και Κ2 η κινητική ενέργεια του δακτυλίου. δ) Αν η μάζα κάθε στερεού είναι Μ= 1,4 kg, να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα. Δίνεται: g= 10 m/s 2. (Πανελλ. εξετάσεις 2010). [Απάντηση: α) 0,5 kg m 2, β) αcm1>αcm2, γ) 3/4, δ) 1 N ] 5. Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L = 4 m, μάζα M = 3 kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο της Α υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, ενώ στο άλλο άκρο k της Ζ υπάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας m1 = 0,6 kg και m 2 αμελητέων διαστάσεων. Ένα m 1 αβαρές τεντωμένο νήμα ΔΓ Α Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 2012-13 2 Γ Ζ

συνδέει το σημείο Γ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας m2 = 1 kg, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Η απόσταση ΑΓ είναι ίση με 2,8 m. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, στο οποίο γίνονται και όλες οι κινήσεις. Το σύστημα ελατηρίου - νήματος θεωρείται κατακόρυφο, όπως φαίνεται και στο σχήμα. Να υπολογίσετε: α1) τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σφαιριδίου m1 ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξης α2) το μέτρο της τάσης του νήματος ΔΓ. β) Αν κόψουμε το νήμα ΔΓ, το σφαιρίδιο m2 εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση, ενώ η ράβδος μαζί με το σώμα m1, υπό την επίδραση της βαρύτητας, περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο Α. Να υπολογίσετε: β1) το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο m2 από τη στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φθάσει στην ψηλότερη θέση του για πρώτη φορά, β2) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: g = 10 m s -2, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της ράβδου και είναι κάθετος στη διεύθυνση της, π = 3,14. (Πανελλ. εξετάσεις 2003). [Απάντηση: α1) 25,6 kg.m 2, α2) 30 N, β1) s, β2) 4 6, 5625 m/s] 6. Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ με μήκος L και μάζα Μ=3 kg έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άλλο άκρο Γ ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 9 Ν, με φορά προς τα κάτω. Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β με στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R1= 0,1 m και R2= 0,2 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η απόσταση του σημείου επαφής Β από το άκρο Γ της ράβδου είναι L/4. To στερεό μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, σαν ένα σώμα γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο του. Ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι= 0,09 kg m 2. Γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας R1 είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα στο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m= 1 kg. α) Να υπολογίσετε την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Β από το στερεό. β) Αν το σώμα μάζας m ισορροπεί, να βρείτε το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού. γ) Στο σημείο επαφής Β μεταξύ ράβδου και στερεού ρίχνουμε ελάχιστη ποσότητα λιπαντικής ουσίας έτσι, ώστε να μηδενιστεί η τριβή χωρίς να επιφέρει μεταβολή στη ροπή αδράνειας του στερεού. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m, όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5 m. Να θεωρήσετε ότι το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στον εσωτερικό κύλινδρο. δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5 m. Δίνεται g=10m/s 2. (Πανελλ. εξετάσεις 2006). [Απάντηση: α) 32 Ν, β) 5 Ν, γ) 1m/s, δ) 9 J/s] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 2012-13 3

7. Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), μάζας M= 6 kg και μήκους L= 0,3 m, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας. α) Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήματος δοκούσφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου Ν, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα. β) Βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την περιστροφή του συστήματος μέχρι την οριζόντια θέση της. γ) Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος δοκού-σφαίρας στην οριζόντια θέση. Επαναφέρουμε το σύστημα δοκού-σφαίρας στην αρχική κατακόρυφη θέση του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου 30 3 Ν, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό. δ) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφο τη στιγμή που η κινητική της ενέργεια γίνεται μέγιστη. Δίνονται: g = 10 m/s 2, ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους L, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν, (Πανελλ. εξετάσεις 2012). [Απάντηση: α) 0,45 kg m 2, β) 18 J, γ) 0, δ) 60 0 ] 8. Η διάταξη του σχήματος είναι μία διπλή τροχαλία η οποία αποτελείται από δύο συγκολλημένες τροχαλίες που έχουν κοινό άξονα. Η μεγάλη τροχαλία έχει μάζα Μ1= 3 kg και ακτίνα R1= 0,2 m, ενώ η μικρή R 1 τροχαλία έχει μάζα M2= 2 kg και R 2 ακτίνα R2= 0,1 m. Γύρω από τη μεγάλη τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα Σ μάζας m1. Γύρω από τη μικρή τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα το ελεύθερο άκρο του οποίου συγκρατεί οριζόντια την ομογενή Σ Α Γ ράβδο ΑΓ που έχει μάζα m2= 2 kg και μήκος L= 0,6 m. Η ράβδος ΑΓ μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Γ και είναι κάθετος σε αυτήν. Η διπλή τροχαλία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κοινό κέντρο των δύο τροχαλιών. α) Πόση είναι η ροπή αδράνειας Ι της διπλής τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της; β) Ποια τιμή πρέπει να έχει η μάζα m1 ώστε το σύστημα διπλή τροχαλία-ράβδος-σώμα Σ να ισορροπεί; γ) Τη στιγμή t0=0 κόβουμε το νήμα που συγκρατεί τη ράβδο ΑΟ οριζόντια. γ1) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος της διπλής τροχαλίας και του σώματος Σ ως προς τον άξονα περιστροφής της διπλής τροχαλίας καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση της διπλής τροχαλίας. γ2) Πόσο είναι το μέτρο της στροφορμής της διπλής τροχαλίας τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία το σώμα Σ έχει μετατοπιστεί κατά h= 0,9 m; γ3) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της διπλής Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 2012-13 4

τροχαλίας τη χρονική στιγμή t1. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν, η ροπή αδράνειας μιας τροχαλίας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδο της, όπου Μ η μάζα και R η ακτίνα της τροχαλίας και η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s 2. [Απάντηση: α) 0,07 kg m 2, β) 0,5 kg, γ1) 1 kg m 2 /s 2, rad/s2, γ2) 0,7 kg m 2 /s, γ3) J/s ] 9. Δίνεται συμπαγής, ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουμε τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος. β) Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούμε πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r, όπου r < R, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, που προκύπτει μετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τμήματος, είναι 1. γ) Στη συνέχεια λιπαίνουμε το κυλινδρικό τμήμα που αφαιρέσαμε και το επανατοποθετούμε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κοίλο κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), στο ίδιο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος. δ) Όταν, να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο κεκλιμένο επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του συστήματος. Ο άξονας του συστήματος διατηρείται πάντα οριζόντιος. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας Ι συμπαγούς και ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ και ακτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται: Ι = MR2. Ο όγκος V ενός συμπαγούς κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h: V= πr 2 h. (Πανελλ. εξετάσεις 2013). [Απάντηση: α), γ), δ) m ] 10. Η ομογενής ράβδος ΑΓ του διπλανού σχήματος έχει μήκος L = 1 m και μάζα Μ = 3 kg. Στο άκρο Γ της ράβδου είναι στερεωμένη σημειακή μάζα m = 1 kg. To σύστημα μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο m επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το άκρο Α και είναι κάθετος στη ράβδο. Τη Α στιγμή t0 = 0 που η αρχικά ακίνητη ράβδος είναι οριζόντια, ασκούμε στο μέσο Μ της ράβδου Μ Γ δύναμη με φορά προς τα πάνω η οποία παραμένει συνεχώς κάθετη στη ράβδο. Η τιμή της Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 2012-13 5

δύναμης μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση: 60120 (SI), όπου θ η γωνία που διαγράφει η ράβδος (σε rad) μετρημένη από την οριζόντια θέση. Η δύναμη F καταργείται τη στιγμή που μηδενίζεται η τιμή της. Να υπολογιστούν: α) Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του. β) Η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος τη χρονική στιγμή t0 = 0. γ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τη στιγμή t1, που θα έχει διαγράψει γωνία φ = 60 από την οριζόντια θέση. δ) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος τη στιγμή t2 που η ράβδος περνά για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. ε) Η στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του τη στιγμή t3 που το σύστημα περνά ξανά από την οριζόντια θέση. στ) Τη στιγμή t3 που το σύστημα περνά από την οριζόντια θέση, με κατάλληλο εσωτερικό μηχανισμό, η μάζα m εκτοξεύεται ακαριαία με κατακόρυφη ταχύτητα προς τα κάτω. Αν μετά την εκτόξευση, η ράβδος περιστρέφεται κατά την αντίθετη φορά και η γωνιακή της ταχύτητα μηδενίζεται στιγμιαία όταν βρεθεί ξανά στην κατακόρυφη θέση που βρισκόταν τη στιγμή t2 να υπολογιστεί το μέτρο της κατακόρυφης ταχύτητας με την οποία εκτοξεύθηκε η μάζα m. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s 2, π = 3,14 και π 2 10. [Απάντηση: α) 2 kg m 2, β) 34,6 rad/s 2, γ) 18,9 kg m 2 /s, δ) 5 2 rad/s, ε) 30 kg m 2 /s, στ) 10 3 30 m/s ] 11. Ο τροχός του σχήματος, μάζας Μ= 2 kg και ακτίνας R, έχει τον άξονά του συνδεδεμένο με ελατήριο σταθεράς 300 N/m. Αρχικά ο τροχός είναι ακίνητος και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. α) Να αποδειχθεί ότι αν εκτρέψουμε λίγο Κ τον τροχό από τη θέση ισορροπίας του, το κέντρο του θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β) Να υπολογιστεί η περίοδος της ταλάντωσης αυτής. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι. Θεωρούμε ότι ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s 2. [Απάντηση: β) 0,2π s ] 12. Βαγόνι μάζας 16 kg (χωρίς τους τροχούς) έχει τέσσερις τροχούς, ο καθένας μάζας 1 kg και ακτίνας 0,2 m. Το βαγόνι είναι συνδεδεμένο με το ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς 900 N/m του οπoίου το άλλο άκρο είναι δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Ενώ το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος εκτρέπεται κατά 0,1 m προς τα δεξιά και τη χρονική στιγμή t=0 και αφήνεται ελεύθερο. α) Να αποδειχθεί ότι κέντρο μάζας του βαγονιού θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β) Να υπολογιστεί η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. γ) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κάθε τροχού, ως προς τον άξονά του. Οι τριβές μεταξύ κάθε τροχού και του άξονά του είναι αμελητέες. Θεωρούμε ότι κατά την κίνηση του βαγονιού οι τροχοί του κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. [Απάντηση: β) 50 2 rad/s, γ) 0,150 2 (SI)] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 2012-13 6