4 Hsiu. Ha Ανάκλαση και μετάδοση του φωτός σε μια διηλεκτρική επαφή HMY 333 Φωτονική Διάλεξη Οπτικοί κυματοδηγοί i i i r i si c si v c hp://www.e.readig.ac.u/clouds/awell/ c 3 Γωνία πρόσπτωσης < κρίσιμη γωνία Γωνία πρόσπτωσης = κρίσιμη γωνία Προσπίπτοντα και Προσπίπτοντα, ανακλώμενα και Προσπίπτοντα και Προσπίπτοντα, ανακλώμενα και i, [ ] Hsiu. Ha 3 i, [ ]
5 Hsiu. Ha 6 Hsiu. Ha Προσπίπτοντα και Γωνία πρόσπτωσης > κρίσιμη γωνία Προσπίπτοντα, ανακλώμενα και Προσπίπτοντα, ανακλώμενα και Η γωνιά πρόσπτωσης μεταβάλλεται (ο χρόνος παραμένει σταθερός) 35 i, [ ] i 35 [ ] 7 8 Στόχος είναι η διάδοση του φωτός με τη χρήση κυματοδηγού. Δημιουργούμε ένα "σάντουιτς" από διηλεκτρικά στρώματα: > > 3 3 Κυματοδηγός πλάκας Εάν = 3, έχουμε συμμετρική πλάκα κατεύθυνση της διάδοσης Μεταλλικοί κυματοδηγοί για μικροκύματα Κυματοδηγοί υπάρχουν και για τις συχνότητες των μικροκυμάτων. Πχ κοίλοι σωλήνες με ορθογώνιες διατομές: Ηλεκτρικό πεδίο σε κοίλο μεταλλικό κυματοδηγό Σε αυτή την περίπτωση, το κύμα διαδίδεται στον αέρα και τα σύνορα είναι μεταλλικά: Ο κυματοδηγός είναι μια δομή που αναγκάζει ένα κύμα να διαδοθεί σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση, περιορίζοντας το μεταξύ δύο επιπέδων τα οποία αναπτύσσονται κάθετα στην κατεύθυνση της διάδοσης Παράλληλοι αγωγοί
9 Στην περίπτωση που έχουμε σαν σύνορο ένα αγωγό, εμφανίζεται μετατόπιση φάσης 8 κατά την ανάκλαση των T κυμάτων : Μέταλλο Σε μερικά σημεία κατά μήκος του άξονα, θα έχουμε ενισχυτική συμβολή ενώ σε άλλα θα έχουμε καταστρεπτική συμβολή: / Ενισχυτική συμβολή Καταστρεπτική συμβολή Μέτωπο κύματος (Μέγιστο) Μέτωπο κύματος (Ελάχιστο) Σημείωση: δεν υπάρχει μετατόπιση φάσης κατά την ανάκλαση των TM κυμάτων. Έχουμε σημεία σταθερού πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου και η ευθεία που τα ενώνει είναι παράλληλη με τον άξονα διάδοσης. Εάν διαμορφώσουμε τώρα ένα κυματοδηγό, με την εισαγωγή ενός δεύτερου παράλληλου αγωγού, μπορούμε να καθορίσουμε τους τρόπους διάδοσης: T Για αυτόν τον τρόπο, το κύμα έχει μέγιστο πλάτος στα μισά του δρόμου μεταξύ των τοιχωμάτων του κυματοδηγού d=d Σημείωση: οι πρακτικοί κυματοδηγοί είναι ορθογώνιοι στη διατομή, έτσι έχουμε επίσης τον περιορισμό κατά μήκος του άξονα. Joe Pacheco, MIT
3 4 Εάν η γωνία πρόσπτωσης παραμείνει σταθερή και αυξάνεται η απόσταση μεταξύ των αγωγών τότε σε μία συγκεκριμένη απόσταση θα υποστηρίζεται η διάδοση ενός διαφορετικού τρόπου: T d = d Joe Pacheco, MIT 5 T 3 Έχουμε δείξει πώς μπορούμε να πάρουμε τους τρόπους μεγαλύτερης τάξης εάν κρατάμε τη γωνία πρόσπτωσης σταθερή και αυξάνουμε το ύψος του κυματοδηγού. Οι τρόποι διάδοσης στον κυματοδηγό υπάρχουν για ύψη d που είναι ακέραια πολλαπλάσια του d. 6 Μπορούμε να πάρουμε τα ίδια αποτελέσματα εάν κρατάμε το ύψος κυματοδηγού σταθερό, αλλά αυξάνουμε τη γωνία πρόσπτωσης. Αυτή τη φορά, οι διάφοροι τρόποι θα εμφανίζονται σε συγκεκριμένες τιμές της γωνίας πρόσπτωσης. Οποιαδήποτε μέθοδο κι αν υιοθετήσουμε, οι T τρόποι πρέπει να ικανοποιούν τη σωστή συνοριακή συνθήκη Διαφορά φάσης 8 μεταξύ των προσπίπτοντων και των ανακλώμενων μετώπων κύματος σε όλα τα σημεία κατα μήκος της κατεύθυνσης διάδοσης,και για τις δύο πλάκες d = 3d
7 8 Μόνο ορισμένα τρόποι μπορούν να ικανοποιήσουν αυτή τη συνθήκη: Αρχίζουμε από το Α. Εδώ, το πλάτος του προσπίπτοντος κύματος είναι μέγιστο. Μετά από δύο μήκη κύματος, φθάνουμε στο Β. Η φάση έχει αλλάξει κατά 4. Στο, μετά την ανάκλαση η φάση αυξάνεται κατά. Από το στο, η φάση αλλάζει κατά ακόμα 4. Στο έχουμε αλλαγή φάσης πάλι κατά λόγω της ανάκλασης. Συνολική αλλαγή φάσης = = 5 Έτσι η προσπίπτουσα κυματομορφή στο σημείο είναι σε φάση με την προσπίπτουσα κυματομορφή στο σημείο Α. Η συνθήκη αυτή είναι επιθυμητή για να έχουμε "σταθερή" διάδοση. Η συνθήκη κυματοδηγού για τους T τρόπους που καθοδηγούνται από παράλληλους μεταλλικούς αγωγούς θ θ F θ Για να έχει συνέπεια η εικόνα πιο πάνω, πρέπει τα σημεία D και F να έχουν την ίδια φάση. Το και το ανήκουν στην ίδια κυματομορφή και έχουν την ίδια φάση. Έτσι η αλλαγή φάσης κατά μήκος της πορείας D σε σχέση με την αλλαγή της φάσης κατά μήκος του F, μπορεί να διαφέρει μόνο κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του. D d d cos D cos D d cos cos d cos 9 Αλλαγή φάσης κατά μήκος D D D F Ανάκλαση στο D Ανάκλαση στο D Τα κύματα διαδίδονται στον αέρα ( = ), έτσι η σταθερά φάσης είναι και: F Παράδειγμα: Εάν d = 3 ( ) cos d 6 Υπάρχουν πέντε πιθανοί τρόποι: θ 8.4 7.5 6. 3 48. D ( D) d cos 4 33.6 = = = = 3 = 4 d cos d cos ( ) Τρόποι υψηλότερης τάξης έχουν μικρότερες γωνίες, και ακολουθούν μακρύτερες διαδρομές κατά μήκος του κυματοδηγού Ο υπολογισμός των γωνιών για τους διαφορετικούς τρόπους είναι εύκολος. Για τους οπτικούς κυματοδηγούς, είναι δυσκολότερος.
Ανάλυση του συμμετρικού οπτικού κυματοδηγού πλάκας Επιθυμούμε τώρα να εκτελέσουμε μια παρόμοια ανάλυση, αλλά για ένα επίπεδο οπτικό κυματοδηγό: > κατεύθυνση της διάδοσης Joe Pacheco, MIT Υπάρχουν μερικές σημαντικές διαφορές έναντι των μεταλλικών κυματοδηγών : Οι συχνότητες είναι στο οπτικό φάσμα, όχι στη φάσμα των μικροκυμάτων Ο κυματοδηγός αποτελείται από διηλεκτρικά υλικά Το καθοδηγούμένο φως βλέπει δείκτη διάθλασης Υπάρχει ολική εσωτερική ανάκλαση στο σύνορο του κυματοδηγού Η αλλαγή φάσης (για τους τρόπους T και TM) εξαρτάται από τη γωνία 3 4 Τα κύματα πρέπει να έχουν γωνία πρόσπτωσης που να υπερβαίνει την κρίσιμη γωνία: Για γωνίες που είναι μικρότερες από την κρίσιμη γωνία, έχουμε τρόπους ακτινοβολίας όπως πιο κάτω: Συντελεστές Fresel (ανάκλαση).44 i. R.R. McLeod Για γωνίες που είναι μεγαλύτερες από την κρίσιμη γωνία, οι συντελεστές ανάκλασης τόσο για T όσο και για TM έχουν μέτρο μονάδα, και οι φάσεις τους εξαρτώνται από τη γωνία. Το φως περνά μέσα από τα στρώματα της επένδυσης.
5 6 Για συγκεκριμένες γωνίες που είναι μεγαλύτερες από την κρίσιμη, παίρνουμε έναν ή περισσότερους καθοδηγούμενους τρόπους. Παραδείγματος χάριν: Ο κυματοδηγός πλάκας (για τον τρόπο T): R.R. McLeod D d =a Ο αριθμός των τρόπων και οι τιμές των γωνιών εξαρτώνται από τις διαστάσεις του κυματοδηγού, το μήκος κύματος του φωτός και τις τιμές των δεικτών διάθλασης. Απαιτούμε οι φάσεις στο Α και το να είναι ίσες για να μπορεί να διαδοθεί το κύμα. Συγκεκριμένα, η συνολική αλλαγή φάσης μεταξύ του Α και του πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του. 7 8 D d =a Ουσιαστικά, η γεωμετρία είναι η ίδια με τον παράλληλο μεταλλικό κυματοδηγό d cos cos d cos cos d cos Η σταθερά φάσης για το κύμα που διαδίδεται μέσα στην περιοχή είναι =, οπού = / είναι η σταθερά φάσης στο κενό. Άρα η αλλαγή φάσης κατά μήκος του δρόμου + είναι: d cos d cos Κατά μήκος της πορείας, έχουμε ολικές εσωτερικές ανακλάσεις (TIR). Για τον κάθετο τρόπο (T), η μεταβολή φάσης δίνεται απο: si N a cos TIR στο N Από τις εξισώσεις Fresel TIR στο D d cos
9 3 Για να έχουμε ενισχυτική συμβολή και επιτυχή διάδοση του κύματος κατά μήκος του οπτικού κυματοδηγού, πρέπει αυτή η μεταβολή φάσης να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ακτίνια. Άρα η συνθήκη κυματοδηγού για τον T τρόπο είναι: d cos d οπού το είναι ακέραιος ( ) γνωστός ως αριθμός τρόπου. Απότοδιάγραμμα, d = a, και η συνθήκη κυματοδηγού μπορεί επίσης να γραφτεί: a cos cos Για τον τρόπο TM, αντικαταστήστε με // Υπάρχουν και άλλες μέθοδοι για να βρούμε τη συνθήκη κυματοδηγού. Ένας τρόπος είναι να εξεταστεί η εγκάρσια διεύθυνση μόνο (η κάθετη στην κατεύθυνση διάδοσης). Κατά μήκος της πορείας F, η εγκάρσια συνιστώσα της σταθεράς φάσης είναι: cos Η διαμήκης συνιστώσα είναι: si Η συνθήκη του εγκάρσιου συντονισμού D F d =a 3 3 Για μια πλήρη διαδρομή (ξεκινώντας από το σημείο Ε και καταλήγοντας στο ίδιο σημείο μετά από ανακλάσεις στα σημεία F και Ε), η μεταβολή στη φάση πρέπει να είναι. Έτσι έχουμε: d για ενισχυτική συμβολή κατά μήκος του. a cos Η τελευταία σχέση (που είναι ίδια με τη συνθήκη κυματοδηγού) μας λέει ότι για να έχουμε πλήρη διάδοση θα πρέπει ένας ακέραιος αριθμός μισών μηκών κύματος να εφαρμόζει επακριβώς στο πλάτος του κυματοδηγού a. Εξετάζουμε τώρα τη σταθερά φασης στην κατεύθυνση διάδοσης των κυμάτων (κατά μήκος του άξονα): si Η συνθήκη για TIR είναι: si Για τις γωνίες που μας ενδιαφέρουν, έχουμε: si Αρα το si περιορίζεται ως εξής: si si
33 34 Η συνθήκη κυματοδηγού είναι: Η χαρακτηριστική εξίσωση a cos Μόνο ένα σύνολο τιμών γωνιών επιτρέπει την διάδοση του φωτός σε ένα οπτικό κυματοδηγό. Για κάθε ακέραιο αριθμό ( =,,,3...) παίρνουμε μία επιτρεπτή τιμή του. Για να βρούμε τη γωνία πρέπει να λύσουμε: a cos Για τον τρόπο TM, αντικαταστήστε με // Υπάρχει TIR στον κυματοδηγό, έτσι από τις εξισώσεις Fresel ξέρουμε ότι η μεταβολή στη φάση εξαρτάται από τη γωνία, έτσι πρέπει να λύσουμε: a cos ( ) Από τη διάλεξη : a a cos a si N Άρα η συνθήκη κυματοδηγού μπορεί να γραφτεί: si cos cos N Αυτή η εξίσωση δεν έχει αναλυτική λύση, έτσι πρέπει να λυθεί με χρηση αριθμητικών μεθόδων. Την ξαναγράφουμε στη μορφή: a a a cos a si si N cos cos cos N f ( ) 35 36 Χαρακτηριστική εξίσωση για τους τρόπους T: a a cos si N cos f ( ) a a cos si N cos f ( ) Σχεδιάζοντας το αριστερό και δεξιό μέλος αυτής της εξίσωσης και βρίσκοντας τα σημεία τομής των δύο καμπυλών οδηγούμαστε στις λύσεις. Έχουμε 9 τρόπους: Χαρακτηριστική εξίσωση για τους τρόπους TΜ: a(a cos /) =,odd =,eve si N a a cos N cos f ( ) f( ) 89.7 Στο επόμενο παράδειγμα εξετάζουμε ένα κυματοδηγό με d =, =.455 και =.44. Θα υπολογίσουμε τις γωνίες που συνδέονται με τους τρόπους T όταν το μήκος κύματος του φωτός είναι 9. 5 c 88.34 87.5 86.68 8 84 86 88 9