4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ Το µεσονικό παράδοξο Η κοσµική ακτινοολία (κυρίως πρωτόνια) αλληλεπιδρά µε τα άτοµα του αέρα στα υψηλά στρώµατα της ατµόσφαιρας και παράγει σωµατίδια π ± Αυτά διασπώνται σε µιόνια και νετρίνα + + π µ + ν µ π µ + ν µ µε µια µέση διάρκεια ζωής τ 5 ns π = Τα µιόνια, στη συνέχεια, διασπώνται e e µ µ + ν + ν µε µια µέση διάρκεια ζωής τ µ = µs, σύµφωνα µε τον νόµο της ραδιενέργειας, N( t) = N e t + + e + e + µ µ ν ν / τ Ο νόµος της ραδιενέργειας
Θα υποθέσουµε, χάριν απλότητας, ότι όλα τα µιόνια παράγονται στο ίδιο ύψος h και ότι έχουν όλα ανηγµένη ταχύτητα, κινούµενα κατακόρυφα προς τα κάτω Ο χρόνος που θα απαιτηθεί για να φτάσουν τα µιόνια στην επιφάνεια της θάλασσας θα είναι t = h / V = h / Ο αριθµός των µιονίων που θα επιιώσουν µετά από αυτό το ταξίδι στην ατµόσφαιρα θα είναι: t/ τ h/ τ N( t) = N e = N e Θέτοντας h= 1 km, =,98 και τ = µs, ρίσκουµε N( t) = N e = 1,94 1 N = N / 5, 1 15,5 7 6 δηλαδή ότι µόνο ένα µιόνιο στα 5, εκατοµµύρια θα επιζούσε για να ανιχνευτεί στο έδαφος Στην πραγµατικότητα όµως παρατηρείται να επιζεί ένα πολύ µεγαλύτερο ποσοστό,
Η ερµηνεία δίνεται από την ΕΘΣ Στους υπολογισµούς µας αγνοήσαµε το φαινόµενο της διαστολής του χρόνου Η τιµή που δίνεται για τη µέση διάρκεια ζωής, τ, των σωµατιδίων, δίνεται στο δικό τους σύστηµα αναφοράς, µέσα στο οποίο τα σωµατίδια είναι ακίνητα Ο χρόνος t όµως, που χρησιµοποιήσαµε είναι στο σύστηµα αναφοράς της Γης Αν στο σύστηµα της Γης το ταξίδι των σωµατιδίων διαρκεί χρόνο t = h / V = h / ίσο µε t = t / γ = h / γ, στο σύστηµα των σωµατιδίων θα διαρκέσει χρόνο Για =,98, είναι γ = 5 t/ γτ / και έτσι έχουµε N( t ) = N e = N e Αντικαθιστώντας, ρίσκουµε: N( t ) = N e =,454 N = N / 3,1 δηλαδή ότι ένα µιόνιο στα θα επιζήσει για να ανιχνευτεί στο έδαφος h γτ Εναλλακτικά, εργαζόµενοι στο σύστηµα αναφοράς της Γης, πρέπει να πάρουµε ως µέση διάρκεια ζωής των σωµατιδίων την τιµή γτ, που είναι γ φορές µεγάλύτερη αυτής των σωµατιδίων σε ηρεµία λόγω της διαστολής του χρόνου, όπως προλέπει η ΕΘΣ, σε συµφωνία µε το πείραµα Πειραµατική επιεαίωση της ΕΘΣ στο µεσονικό παράδοξο Οι B Rssi κά (194-194), µέτρησαν µια µείωση κατά έναν παράγοντα 1,43 στον αριθµό των µιονίων ανάµεσα σε δύο σηµεία µε διαφορά υψοµέτρου 164 m Χωρίς τη σχετικιστική διόρθωση για τη διαστολή του χρόνου, επειδή η µέση διάρκεια ζωής των µιονίων είναι µs, και αφού κινούνται σχεδόν µε την ταχύτητα του φωτός, σε µs τα µιόνια θα διένυαν 6 m και ο αριθµός τους θα µειωνόταν κατά έναν παράγοντα e =,718 Ο ρυθµός µείωσης µε το ύψος, που µέτρησαν οι Rssi κά είναι πολύ µικρότερος
Πειραµατικός έλεγχος του φαινοµένου της διαστολής του χρόνου σε πειράµατα µε µιόνια στο CERN (J Bailey κά, 1977) µ ± Μιόνια από τη δέσµη µιονίων του CERN αποθηκεύονταν σε δακτύλιο διαµέτρου 14 m, όπου κυκλοφορούσαν µε ταχύτητα που αντιστοιχούσε σε =,9994 και γ = 9,3 Τα µιόνια διασπώνται e e µ µ + ν + ν Οι διασπάσεις των καταγράφονταν µε ανίχνευση των εκπεµπόµενων ηλεκτρονίων και ποζιτρονίων Η περίοδος περιφοράς των µιονίων στον δακτύλιο είναι περίπου,15 µs, που είναι µικρή σε σχέση µε τη µέση διάρκεια ζωής τους, που είναι τ = µs µ + + e + e + µ µ ν ν e µ Προσδιορίστηκε έτσι η µέση διάρκεια ζωής των ταχέων αυτών µιονίων Για τα µ + µετρήθηκε τ + E = 64,419±,58 µs και για τα µ τ E = 64,368±, 9 µs (δείκτης Ε = στο σύστηµα του εργαστηρίου) Από τις µετρήσεις αυτές προκύπτει η µέση διάρκεια ζωής για τα σωµατίδια στο σύστηµά τους, τ ± τ ± = / γ E, όπως προλέπει η θεωρία Αυτές οι τιµές µπορούν να συγκριθούν µε µετρήσεις των τ ± ηρεµίας, σε σωµατίδια που είχαν πολύ µικρότερες ταχύτητες Η σύγκριση έδωσε, για τα µ + + + τ τ / E γ 4 = (± 9) 1, + τ µε αντίστοιχα αποτελέσµατα για τα µ Αξίζει να σηµειωθεί ότι η κεντροµόλος επιτάχυνση των µιονίων στην 16 15 τροχιά τους είναι της τάξης του 1 m/s = 1 g, και όµως οι προλέψεις της ΕΘΣ εξακολουθούν να ισχύουν!
Ρολόγια γύρω από τη Γη Το φαινόµενο Sagna Ένα ρολόι P µετακινείται µε µικρή σταθερή ταχύτητα υ, προς ανατολάς, κατά µήκος του Ισηµερινού Ένα άλλο ρολόι, P, παραµένει ακίνητο στη Γη στο σηµείο από όπου αρχίζει το ταξίδι το κινούµενο ρολόι, και όπου θα επανέλθει µετά από µια πλήρη περιφορά γύρω από τη Γη Θα επικαλεστούµε αδρανειακό παρατηρητή Α, εκτός της Γης (η οποία δεν είναι αδρανειακό σύστηµα αναφοράς) Αν σε κάποια στιγµή το κινούµενο ρολόι P ρίσκεται πάνω από παρατηρητή Β, σε σχέση µε τον οποίο κινείται µε ταχύτητα V= Vˆ x, η ταχύτητά του ως προς τον Α θα έχει µέτρο υ+ V υ+ V υv υa = στην οποία αντιστοιχεί γ A = 1 υv Αν περάσει χρόνος t A για τον Α, για το ρολόι P θα περάσει χρόνος t = ta 1 V t υ+ V υv V = 1 1 t Αν το κινούµενο ρολόι διαγράψει µια περιφορά γύρω από τη Γη κατά µήκος του Ισηµερινού σε χρόνο T για τον P και T για τον P, θα είναι: 1/ 1/ T ( υ+ V) υv V = 1 1 T ( ) ( ) υ V υv + και για το ρολόι Ρ θα περάσει χρόνος t = ta 1 1 + Ο λόγος των δύο χρονικών διαστηµάτων είναι ( ) 1/
Αναπτύσσουµε τις ρίζες για V και διατηρούµε µόνο όρους µέχρι τις δυνάµεις V /, υ / και υv / : ( ) T 1 υ+ V 1 V 1 V 1υ υv 1 V 1 1 1 + + T και τελικά: T υ υ 1 V υ 1 V υ = 1 + T V Η διαφορά της ένδειξης του ρολογιού που κινήθηκε γύρω από τη Γη (κινούµενο προς ανατολάς) από την ένδειξη του ρολογιού που ήταν ακίνητο ως προς τη Γη, θα είναι: υv υ T = T T = T V υv Αν επίσης είναι υ V, τότε T = T T T Όµως, είναι υt = π R Γ, όπου R Γ είναι η ισηµερινή ακτίνα της Γης π R Επίσης είναι V = Γ, όπου T Γ = 1ηµέρα είναι η περίοδος T περιστροφής της Γης Εποµένως, για κίνηση προς ανατολάς, θα είναι ενώ για κίνηση προς δυσµάς, θα είναι Γ ( R ) π Γ TΓ T = = 7 ns T = 7 ns Οι διαφορές είναι ανεξάρτητες από την ταχύτητα υ του ρολογιού Ρ Για µικρή ταχύτητα υ η διαστολή του χρόνου είναι µικρότερη αλλά το ταξίδι διαρκεί περισσότερο χρόνο Το φαινόµενο της διαστολής του χρόνου είναι µετρήσιµο χάρη στην ακρίεια µε την οποία µπορούµε να µετρήσουµε τον χρόνο µε ατοµικά ρολόγια, και χάρη στην εµφάνιση του γινοµένου υv µιας µικρής ταχύτητας υ µε µια σχετικά µεγάλη ταχύτητα V
Αν τα ρολόγια δεν ρίσκονται στον Ισηµερινό αλλά πάνω σε έναν παράλληλο µε γεωγραφικό πλάτος λ, τότε αντί της ισηµερινής ακτίνας R Γ θα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε ως ακτίνα των τροχιών η R sλ και ( π R s ) Γ λ T = = 7 s λ ns TΓ Για µια µετακίνηση ΑΒ όπως αυτήν του σχήµατος, το κινούµενο ρολόι Β θα πηγαίνει µπροστά σε σχέση µε το ακίνητο ρολόι Α κατά χρόνο που είναι ανάλογος της σκιασµένης επιφάνειας στο σχήµα Ο συντελεστής µετατροπής 6 είναι 1,6 ns ανά 1 km επιφάνειας Η επιφάνεια θεωρείται θετική για κινήσεις προς δυσµάς, και αρνητική για κινήσεις προς ανατολάς Γ Για ταχύτητες υ που δεν είναι αµελητέες σε σύγκριση µε την V, είναι υ υ T = T T =± 7 1 + ns=± 7 ns T V ( + για κίνηση προς τη ύση και για κίνηση προς την Ανατολή) Αν η κίνηση γίνεται σε γεωγραφικό πλάτος λ, η σχέση αυτή γίνεται: ( ) π R s λ υ υ T = T T =± T =± 7 s λ ns T Γ TΓ Ερώτηση: Για υ = V θα είναι T = Γιατί;
Ερώτηση: Για υ = V θα είναι T = Γιατί; Παράδειγµα: Με R Γ = 6378 km (η ισηµερινή ταχύτητα της Γης), είναι V = 167 km/h = 464 m/s Για αεροπλάνο που κινείται στον Ισηµερινό µε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα, έχουµε υ = 34 m/s υ 34 για κίνηση προς ανατολάς 1 + = =1,37 V 464, και T = 383 ns υ 34 και για κίνηση προς δυσµάς 1 + =1 =,634 V 464 T = 131 ns
Το πείραµα των Hafele και Keating Το 1971, οι Hafele και Keating έαλαν 4 ατοµικά ρολόγια δέσµης καισίου σε ένα εµπορικό αεροπλάνο και έκαναν τον γύρο της Γης σε 41 ώρες πετώντας προς ανατολάς Σε µια άλλη πτήση έκαναν τον γύρο της Γης σε 49 ώρες πετώντας προς δυσµάς Οι ενδείξεις των ρολογιών που ταξίδεψαν συγκρίθηκαν στο τέλος µε αυτές άλλων ατοµικών ρολογιών που παρέµειναν στην επιφάνεια της Γης, στο αρχικό σηµείο εκκίνησης Οι διαφορές των ενδείξεων των ιπτάµενων ρολογιών από τις ενδείξεις των επίγειων προέκυψε από δύο φαινόµενα: 1 Σύµφωνα µε τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, ένα ρολόι που ρίσκεται σε ύψος h µέσα σε αρυτικό πεδίο έντασης (επιτάχυνσης της αρύτητας) g, θα προηγηθεί ενός ρολογιού που ρίσκεται σε µηδενικό ύψος κατά χρόνο gh ( T ) Γ = T Σύµφωνα µε την Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, ένα ρολόι που κινείται µε ταχύτητα υ ως προς την επιφάνεια της Γης σε γεωγραφικό πλάτος λ θα προηγηθεί ενός ρολογιού που είναι ακίνητο ως προς τη Γη κατά χρόνο υv υ ( T ) E = T 1 + s λ V Επειδή κατά τη διάρκεια της πτήσης τα h, υ και λ µεταάλλονται, η διαφορά στις ενδείξεις των ρολογιών θα είναι: T gh υ υv T = ( T ) E + ( T ) Γ = T 1 + dt V T s λ dt
Θεωρητική πρόλεψη: Τα αποτελέσµατα του πειράµατος των Hafele και Keating Λόγω της κίνησης (ΕΘΣ) Λόγω της αρύτητας (ΓΘΣ) Συνολική θεωρητικά προλεπόµενη διαφορά χρόνου ιαφορά χρόνου που µετρήθηκε ιαφορά θεωρίας-πειράµατος Χρόνος κατά τον οποίο τα ιπτάµενα ρολόγια προηγούνται αυτών που έµειναν στη γη (ns) Πτήση προς τη ύση (διάρκεια 49 h) Πτήση προς την Ανατολή (διάρκεια 41 h) 96± 1 184± 18 179± 18 144± 14 75± 1 4± 3 73± 7 59± 1 ± 19± 5 Η συµφωνία ανάµεσα στις θεωρητικές προλέψεις και τις πειραµατικές µετρήσεις είναι πολύ καλή Πηγή που εκπέµπει παλµούς φωτός µε περίοδο T ρίσκεται, ως προς έναν παρατηρητή στο σηµείο Ο του συστήµατος S, σε µια κατεύθυνση που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των x και κινείται µε ταχύτητα V= Vˆ x Στο σύστηµα S, τη χρονική στιγµή t 1, όταν η πηγή ρίσκεται στη θέση, εκπέµπει έναν παλµό x 1 Το φαινόµενο Ντόπλερ Μετά από χρόνο T, στο σύστηµα της πηγής, η πηγή εκπέµπει τον επόµενο παλµό, από τη θέση x στο S Λόγω της διαστολής του χρόνου είναι t t1 = γt, όπου γ = 1 / 1 ( V / )
Οι παλµοί έχουν να ταξιδέψουν, αντιστοίχως, αποστάσεις 1 και για να φτάσουν στον παρατηρητή στο Ο Η διαφορά στους χρόνους άφιξης των δύο παλµών στο Ο θα είναι, εποµένως, Για και εποµένως T t t ( t t ) γt = + + = + = + x x, 1 1 1 1 1 1 1, είναι ( x x )sθ = γt V sθ 1 1 T = γt + γt ( V / )s θ = γt [1 + ( V / )s θ ] sθ V Τελικα T = T, όπου = 1 Για τις συχνότητες ισχύει η σχέση f 1 = f sθ ιερεύνηση Για θ =, sθ = 1, και f f = 1 διάµηκες φαινόµενο Ντόπλερ µε την πηγή να αποµακρύνεται από τον παρατηρητή Για θ = 9, sθ =, και έχουµε το εγκάρσιο φαινόµενο Ντόπλερ, Ένα καθαρά σχετικιστικό φαινόµενο λόγω της διαστολής του χρόνου Για θ = 18, sθ = 1, και δηλαδή το διάµηκες φαινόµενο Ντόπλερ, µε την πηγή να κινείται προς τον παρατηρητή f f = 1 f f = 1
Υπάρχει µια τιµή της γωνίας θ θ, για την οποία είναι f = f = Αυτό συµαίνει όταν είναι sθ = 1 ( ) 1 sθ = 1 1, (9 < θ < 18 ) ή Γιατί συµαίνει αυτό; Για θ 9 έχουµε δύο φαινόµενα που αλληλοαναιρούνται: 1 Τη σχετικιστική µείωση της συχνότητας που οφείλεται στη διαστολή του χρόνου (εγκάρσιο φαινόµενο Ντόπλερ), και Την αύξηση της συχνότητας που οφείλεται στην ακτινική ταχύτητα προσέγγισης της πηγής στον παρατηρητή Για θ = θ τα δύο φαινόµενα αλληλοαναιρούνται πλήρως Υπάρχει µια τιµή 9 θ 18 για κάθε τιµή του 1 : θ,1,5,9,99,999 1 9 9,9 15,5 18,8 15, 163 18
Άσκηση Το φαινόµενο Ντόπλερ Ένα διαστηµόπλοιο µεγάλου µήκους κινείται µε ταχύτητα V ως προς παρατηρητή Π Στα δύο άκρα του διαστηµοπλοίου, Α και Β, υπάρχουν δύο πηγές φωτός που εκπέµπουν φως µε µήκη κύµατος, στο σύστηµα του διαστηµοποίου, λ και, αντίστοιχα, που A = 4 nm λ B = 7 nm αντιστοιχούν στα δύο άκρα του ορατού φάσµατος του φωτός Σε κάποια στιγµή, ο παρατηρητής ρίσκεται ανάµεσα στα άκρα Α και Β (και πολύ κοντά στην ευθεία ΑΒ) µε το Α να αποµακρύνεται από αυτόν και το Β να τον πλησιάζει Για ποια ταχύτητα του διαστηµοπλοίου, V =, ο παρατηρητής θα δει το φως από τα δύο άκρα να έχει το ίδιο µήκος κύµατος, λ, και ποια είναι η τιµή του λ ; O Β λb V Π O Α λa
Αφού η πηγή Α αποµακρύνεται από τον Π, το µήκος κύµατος του φωτός από την πηγή Α, όπως το λέπει ο Π, θα είναι όπου = V / Η πηγή πλησιάζει τον Π και το µήκος κύµατος του φωτός από την πηγή B, όπως το λέπει ο Π, θα είναι Για λ λ, πρέπει να είναι: A = B λa = λb 1 1 λ = λ A λ = λ B A B 1 1 Εποµένως, λb λ και B λa = = 1 λa λb + λa Για αυτή την τιµή του, είναι λb λa λ + λ λ λ = λ = λ = λ = λ = λ λ 1 λ + λ B A B A B A A A B λb λa λa B A λb λa Βρήκαµε = και λ = λa = λb = λaλb λ + λ B A Αντικαθιστώντας λ = 4 nm και λ B = 7 nm, ρίσκουµε A 7 4 3 = = 7+ 4 11 και λ = λa = λb = 4 7 = 53 nm
Πειραµατική επιεαίωση των σχετικιστικών όρων στο φαινόµενο Ντόπλερ Η εξίσωση που περιγράφει το φαινόµενο Ντόπλερ µπορεί να γραφτεί ως sθ λ = λ λ + θ + 1 1 ( 1 s ) αν ο παρονοµαστής αναπτυχθεί µέχρι και το τετράγωνο του Η µετατόπιση Ντόπλερ στο µήκος κύµατος είναι, εποµένως, V λ V λ = λ λ λ sθ + Ο πρώτος όρος είναι ο κλασικός όρος ενώ ο δεύτερος προέρχεται από τη σχετικιστική διαστολή του χρόνου Η σχετικιστική εξίσωση για το φαινόµενο Ντόπλερ µπορεί να ελεγχθεί µε ακρίεια στον δεύτερο όρο Οι Ives και Stilwell (1938-41) µέτρησαν την µετατόπιση Ντόπλερ στο φώς που εξέπεµπαν αποδιεγειρόµενα άτοµα υδρογόνου στην κατεύθυνση κίνησής τους ( θ = ) και στην αντίθετη κατεύθυνση ( θ =18 ) Τα διεγερµένα άτοµα του υδρογόνου παρήχθησαν µε συγκρούσεις ιονισµένων µορίων υδρογόνου, H + και H + 3, τα οποία είχαν επιταχυνθεί σε µια γεννήτρια van-de-gaaf, µε άτοµα αερίου νέου σε 3 χαµηλή πίεση (της τάξης του 1 T ) Μέσω των αντιδράσεων + + + + H + Ne H τ + [H + Ne] και H3 + Ne H τ + [H + Ne] παράγονται τα ταχέα και διεγερµένα άτοµα του υδρογόνου, H τ Επιτεύχθησαν έτσι δέσµες ταχέων ατόµων υδρογόνου µε ενέργειες που αντιστοιχούσαν σε τιµές του V / µέχρι και,5 Για το φως που εκπέµπεται από τα αποδιεγειρόµενα άτοµα του υδρογόνου στις κατευθύνσεις µε θ = και θ =18 ισχύει, αντιστοίχως, V λ V λ λ + και V λ V λ18 λ +
λ 18 H τ V λ Αν µετρηθούν οι δύο µετατοπίσεις, το ηµιάθροισµά τους δίνει τον καθαρά σχετικιστικό όρο λ + λ18 λ V λ = Για τη γραµµή H α του υδρογόνου, µε µήκος κύµατος 656,3 nm, µετρήθηκαν, αναλόγως της τιµής του V /, τιµές του σχετικιστικού για το λ που µεταάλλονταν από,11 nm (µε θεωρητική τιµή,19 nm) µέχρι,47 nm (µε θεωρητική τιµή,469 nm) Η συµφωνία του πειράµατος µε τη θεωρία ήταν πολύ καλη Παρόµοια πειράµατα από τους Mandelbeg και Witten έδωσαν αντί της θεωρητικής τιµής 1/ του αριθµητικού συντελεστή στην εξίσωση για το λ την πειραµατική τιµή του, 498±,5= 1/ (,1±,1) Οι Olin, Alaxande, Häuse και MDnald έκαναν παρόµοιες µετρήσεις, όχι όµως µε γ Ne ορατό φως αλλά µε φωτόνια ενέργειας 8,64 MeV 8,64 MeV που εκπέµπονται κατά την =,5 αποδιέγερση του πυρήνα του Ne Στενή δέσµη διεγερµένων ιόντων του Ne παράγεται µέσω των αντιδράσεων 16 4 4 16 O He, Ne και He O, γ Ne Αφού µέτρησαν µια εγκάρσια µετατόπιση Ντόπλερ ίση, σε ενέργεια, µε 1,9±,41 kev, ρήκαν µια συµφωνία µε τη θεωρία στο επίπεδο των 3,5% για ταχύτητες που αντιστοιχούν σε =,5 Ο αριθµητικός συντελεστής 1/ στην εξίσωση για τη σχετικιστική µετατόπιση λ ρέθηκε από το πείραµα ίσος µε Ο όρος για τη σχετικιστική µετατόπιση Ντόπλερ έχει εποµένως επιεαιωθεί πειραµατικά µε ικανοποιητική ακρίεια ( γ ) ( ) 8 1 8 1,491±,17= 1/ (,37±,7)
(α) Μη σχετικιστική ανάλυση Η αποπλάνηση του φωτός α Αν η Γη κινείται µε ταχύτητα V και το φως µε ταχύτητα ως προς τον αιθέρα, η ταχύτητα του φωτός ως προς τη Γη θα έχει µέτρο ίσο µε + V και θα κινείται σε κατεύθυνση που σχηµατίζει γωνία ως προς την κάθετη στην V, όπου tan α =V / V V Εποµένως, tanα = = και α = atan = atan () Σχετικιστική ανάλυση Το άστρο εκπέµπει φως στην κατεύθυνση του άξονα των y στο σύστηµά του, το S Εποµένως, οι συνιστώσες της ταχύτητάς του στο αυτό θα είναι υ =, υ =, υ = x y z Στο σύστηµα S του παρατηρητή, που κινείται µε ταχύτητα V= Vˆ x ως προς το S, θα είναι: υ x = V, υ y = / γ, υ z = Εποµένως, α = atan υ x / υ y = atanγ Επειδή tanα = γ =, 1 έπεται ότι είναι sinα = ή α = asin
Η διαφορά ανάµεσα στην κλασική και τη σχετικιστική τιµή Η κλασική σχέση δίνει Η σχετικιστική σχέση δίνει Η διαφορά ανάµεσα στις δύο τιµές είναι 4 Για την ταχύτητα της Γης στην τροχιά της, V = 3 km/s, = 1 και α α Η ποσοστιαία διαφορά είναι 3 5 αk = atan = + 3 5 3 5 1 3 ασ = asin = + + + 3 4 5 α α = 1 Σ K Η διαφορά αυτή δεν είναι φυσικά µετρήσιµη ακόµη και µε τα σηµερινά όργανα 3 1 3 13 7 Σ K = = 5 1 ad = (1 ) α α Σ K 1 ασ = = 5 1 9 Άσκηση 47* Το άστρο α του Κενταύρου απέχει από τον Ήλιο 4,4 έτη φωτός και έχει ιδίαν κίνηση (γωνιακή µετατόπιση στον ουράνιο θόλο) ίση µε 3,68 y 1 Η φασµατική γραµµή του ασεστίου, η οποία στο εργαστήριο έχει µήκος κύµατος λ = 396,8 nm, φαίνεται στο φάσµα του άστρου µετατοπισµένη κατά λ= λ λ =,9 nm Υπολογίστε την ταχύτητα του άστρου (µέτρο και κατεύθυνση) ως προς τον Ήλιο Η θ D α υ θ υ θ υ Στην κίνησή του στον ουράνιο θόλο, το άστρο έχει γωνιακή ταχύτητα ω= = 1 13 3,68 y 5,65 1 ad/s * Στις Σηµειώσεις, η λύση που δίνεται είναι προσεγγιστική και υπάρχει λάθος στο πρόσηµο της υ θ
Η θ D α υ θ υ θ υ 16 εδοµένου ότι ρίσκεται στην απόσταση D= 4, 4 ly = 4,16 1 m η εγκάρσιά του ταχύτητα είναι: 13 16 υ = ωd= 5,65 1 ad/s 4,16 1 m= 3,5 km/s 5 και θ υθ / = 7,83 1 Η σχέση για τα µήκη κύµατος είναι όπου = s θ = υ / 1 θ είναι η ανηγµένη ακτινική ταχύτητα Είναι υ = υ + υ ή = + και εποµένως λ = λ θ θ θ λ = λ 1 λ 1 θ 1 ( ) = + λ 1 λ λ θ 1 λ + λ + + + = λ λ 5 Αντικαθιστώντας = 7,83 1 και λ / λ = 1,73, έχουµε θ, 146 +,9 +,146= + 1, 73 +, 73= 5 Της οποίας οι ρίζες είναι 1 = 1 και = 7, 3 1 Η ρίζα 1 = 1 απορρίπτεται γιατί θα έδινε > 1 5 Για τη ρίζα = 7,3 1 είναι υ = 1,9 km/s = + = 1, 7 1 υ = 3,1 km/s 4 θ Η γωνία που σχηµατίζει η ταχύτητα του άστρου µετην ευθεία που το ενώνει µε τον Ήλιο είναι υ θ ± 3,5 θ = atan = atan = atan( ± 1,73) =± 133 υ 1,9 υ θ υ θ υ
Άσκηση Ταχύτητα µεγαλύτερη της ; Ένα άστρο, Σ, ρίσκεται στο κέντρο ενός σφαιρικού φλοιού σκόνης, ακτίνας R Το φως που εκπέµπεται από το άστρο απορροφάται και επανεκπέµπεται προς όλες τις κατευθύνσεις από τη σκόνη Το άστρο υφίσταται έκρηξη υπερκενοφανούς (supenva) και εκπέµπει προς όλες τις κατευθύνσεις έναν έντονο παλµό φωτός Ένας παρατηρητής, σε πολύ µεγάλη απόσταση από το άστρο, λέπει το φως από την έκρηξη, µε το φως που επανεκπέµπεται από το σηµείο Α να φτάνει σε αυτόν ενωρίτερα από το φως που εκπέµπεται από ένα άλλο σηµείο όπως το Β Το τελικό αποτέλεσµα είναι ο παρατηρητής να λέπει έναν δακτύλιο µε κέντρο το σηµείο Α και αυξανόµενη ακτίνα Να ρεθεί η ταχύτητα µεταολής της ακτίνας, συναρτήσει της γωνίας θ Μπορεί να είναι µεγαλύτερη της ; Αν το φως από το σηµείο Α φτάνει στον παρατηρητή τη χρονική στιγµη, το φως από το σηµείο Β θα φτάσει τη χρονική στιγµή t + t Είναι t 1 R= ( ΣΓ ) + t R= R + t d = + dt R d R, d ( ΣΓ) = = και τελικά dt dt d d = tθ Για θ < 45 είναι dt dt >