Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο"

Μαγδαληνή Ζαφειρόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Κανονική εξέταση στο µάθηµα Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ ΕΙ ΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ιδάσκων: Κ Χριστοδουλίδης 7 Ιουλίου ιάρκεια εξέτασης:,5 ώρες Ααντήστε σε όλα τα θέµατα Τα θέµατα είναι ισοδύναµα Θέµα (α) Η διάµετρος του Γαλαξία µας είναι έτη φωτός Με οια σταθερή ταχύτητα ως ρος τον Γαλαξία θα ρέει να κινείται ένας αστροναύτης για να διασχίσει τον Γαλαξία µας µε ένα ταξίδι ου για αυτόν θα διαρκέσει 5 χρόνια; [ ίνονται: Για x, είναι + x + x και ( + x) x ] (β) Ένα διαστηµόλοιο, Α, κινείται αοµακρυνόµενο αό τη Γη µε ταχύτητα V = / ως ρος αυτήν Ένα δεύτερο διαστηµόλοιο, Β, λησιάζει τη Γη άνω στην ίδια ευθεία, µε ταχύτητα υ = / ως ρος αυτήν Ποια είναι η ταχύτητα του διαστηµολοίου Β όως την µετρά αρατηρητής ου βρίσκεται µέσα στο διαστηµόλοιο Α; Αν το µήκος ηρεµίας του διαστηµολοίου Β είναι l = 48 m, οιο είναι το µήκος του, l, όως το µετρά ένας αρατηρητής ου βρίσκεται µέσα στο διαστηµόλοιο Α; Θέµα (α) Εξηγήστε γιατί είναι αδύνατο να συγκρουστεί ένα φωτόνιο µε ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο και να του δώσει όλη του την ενέργεια (β) Το σωµατίδιο α είναι ένας υρήνας ηλίου, αοτελούµενος αό δύο ρωτόνια και δύο νετρόνια Να βρεθεί η ενέργεια σύνδεσης του σωµατιδίου α [Μάζες ηρεµίας: ρωτόνιο m = 938,7 ev /, νετρόνιο m n = 939,565 ev /, σωµατίδιο α m α = 377,379 ev / ] Θέµα 3 Το «µεσονικό» αράδοξο ιαστολή του χρόνου Η κοσµική ακτινοβολία (αοτελούµενη κυρίως αό ρωτόνια) αλληλειδρά µε τα άτοµα του αέρα στα υψηλά στρώµατα της ατµόσφαιρας και αράγει σωµατίδια ± Αυτά στη συνέχεια διασώνται σε µιόνια και νετρίνα ( µ νµ + ) µε µια µέση διάρκεια ζωής τ = 5 ns Τα µιόνια, στη e e µ συνέχεια, διασώνται σε ηλεκτρόνια και νετρίνα ( µ + ν + ν ) µε µια µέση διάρκεια ζωής τ µ = µs Υοθέστε ότι όλα τα µιόνια αράγονται σε ένα ύψος km και ότι έχουν όλα ανηγµένη ταχύτητα β µ =, 99, κινούµενα κατακόρυφα ρος τα κάτω Υολογίστε το οσοστό των µιονίων ου θα φτάσει στην ειφάνεια της Γης (α) σύµφωνα µε την Κλασική Μηχανική και (β) σύµφωνα µε τη Σχετικιστική Μηχανική Πόσο είναι το άχος της ατµόσφαιρας στο σύστηµα αναφοράς των µιονίων; [Νόµος της ραδιενέργειας: N ( t) e t / τ = N ] Θέµα 4 Ένα µεσόνιο K +, του οοίου η µάζα ηρεµίας είναι K ( K = 494 ev ), κινείται στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου και διασάται σε δύο µεσόνια Το ένα αραµένει ακίνητο Η µάζα ηρεµίας του µεσονίου είναι ( = 4 ev ) Ποια είναι η ολική ενέργεια του µεσονίου K + και οια του κινούµενου µεσονίου ; [Εισηµαίνεται ότι: β γ = γ ] p ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

2 Σχετικιστική Κινηµατική: Τυολόγιο Αν ένα σύστηµα αναφοράς S' κινείται µε ταχύτητα V x ˆ ως ρος ένα σύστηµα αναφοράς S, και οι άξονες των δύο συστηµάτων συµίτουν όταν t= t =, τότε: V x = γ ( x Vt) y = y z = z t = γ t x Συστολή του µήκους: l= l / γ ( l = µήκος ηρεµίας) ιαστολή του χρόνου: t= γ t ( t = ιδιοχρόνος) υxv υ y Μετασχηµατισµός της ταχύτητας: υ x =, υ υ xv = y υx γ V Σχετικιστική υναµική: V β, γ β υz υ = z υ x γ V m = m() m= m( υ) = γ m όου γ =, υ =ταχύτητα του σωµατιδίου ( υ / ) r r r 4 p= mυ=γ m υ E= m = γ m E = m + p Για φωτόνια: h E = hf = λ E= p p x = γ px VE / p y = py p z = pz E = γ E Vp x Μετασχηµατισµός ορµής-ενέργειας: ( ) ( ) Ισοδυναµία µάζας-ενέργειας: E= m Ηλεκτροµαγνητισµός: Μετασχηµατισµός του ηλεκτροµαγνητικού εδίου: x = Ex E y = γ( Ey VBz) Ez = γ( Ez+ VBy) x = Bx B y = γ( By + VEz / ) Bz = γ( Bz VE y / ) E B

3 Θέµα (α) Η διάµετρος του Γαλαξία µας είναι έτη φωτός Με οια σταθερή ταχύτητα ως ρος τον Γαλαξία θα ρέει να κινείται ένας αστροναύτης για να διασχίσει τον Γαλαξία µας µε ένα ταξίδι ου για αυτόν θα διαρκέσει 5 χρόνια; [ ίνονται: Για x, είναι + x + x και ( + x) x ] (β) Ένα διαστηµόλοιο, Α, κινείται αοµακρυνόµενο αό τη Γη µε ταχύτητα V = / ως ρος αυτήν Ένα δεύτερο διαστηµόλοιο, Β, λησιάζει τη Γη άνω στην ίδια ευθεία, µε ταχύτητα υ = / ως ρος αυτήν Ποια είναι η ταχύτητα του διαστηµολοίου Β όως την µετρά αρατηρητής ου βρίσκεται µέσα στο διαστηµόλοιο Α; Αν το µήκος ηρεµίας του διαστηµολοίου Β είναι l = 48 m, οιο είναι το µήκος του, l, όως το µετρά ένας αρατηρητής ου βρίσκεται µέσα στο διαστηµόλοιο Α; (α) Έστω ότι το διαστηµόλοιο κινείται µε ταχύτητα V ως ρος τη Γη Το ταξίδι θα διαρκέσει χρόνο t= D / V για έναν αρατηρητή στη Γη, όου D είναι η διάµετρος του Γαλαξία Για κάοιον µέσα στο διαστηµόλοιο, το ταξίδι θα διαρκέσει χρόνο t = D / Vγ Έτσι, D t =, βγ D βγ =, t β D = t, β β t = + D, t = + β D, t 5 7 β = = D, β =, 5 =, Παρατήρηση: Είναι λάθος να γράψει κανείς ροσεγγιστικά ότι ή ή κάτι άλλο Όλη η ακρίβεια χρειάζεται για να βρεθεί η σωστή τιµή του γ (β) Στο σύστηµα αναφοράς S της Γης, η ταχύτητα του διαστηµολοίου Β είναι υ = / Στο σύστηµα αναφοράς S του διαστηµολοίου Α θα είναι εοµένως υv / / υ = = = = υv + / 3 / 3 Στην ταχύτητα υ = ( / 3) ου µετρά ο Α για τον Β, αντιστοιχεί αράγοντας Lorentz γ = = = = 3 / 8 / 9 / 3 ( υ ) ( ) l 48 Εοµένως l = = = 6 m γ 3

4 Θέµα (α) Εξηγήστε γιατί είναι αδύνατο να συγκρουστεί ένα φωτόνιο µε ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο και να του δώσει όλη του την ενέργεια (β) Το σωµατίδιο α είναι ένας υρήνας ηλίου, αοτελούµενος αό δύο ρωτόνια και δύο νετρόνια Να βρεθεί η ενέργεια σύνδεσης του σωµατιδίου α [Μάζες ηρεµίας: ρωτόνιο m = 938,7 ev /, νετρόνιο m n = 939,565 ev /, σωµατίδιο α m α = 377,379 ev / ] (α) Ένα φωτόνιο συγκρούεται µε ακίνητο ηλεκτρόνιο, και του δίνει όλη του την ενέργεια p Στο σύστηµα µηδενικής ορµής, για να διατηρείται η ορµή, θα ρέει το ηλεκτρόνιο να είναι ακίνητο µετά την κρούση Πριν όµως αό την κρούση, στο ίδιο σύστηµα, εκτός αό το φωτόνιο υήρχε και ένα κινούµενο ηλεκτρόνιο Προφανώς η ενέργεια δεν διατηρείται αφού ένα ακίνητο ηλεκτρόνιο έχει λιγότερη ενέργεια αό ένα αρχικά κινούµενο ηλεκτρόνιο Άρα το φαινόµενο είναι αδύνατο να συµβεί (β) Η αντίδραση «σχηµατισµού» ενός σωµατιδίου α είναι: p+ n α+ Q Q είναι η ενέργεια σύνδεσης του σωµατιδίου α και εκλύεται κατά τον σχηµατισµό του Η διατήρηση µάζας-ενέργειας δίνει: p n α m + m = m + Q όου Q= ( mp+ mn mα) = είναι το έλλειµµα µάζας = mp+ mn mα Η µάζα του σωµατιδίου α µορεί να βρεθεί αό αυτήν του ατόµου του Ηλίου-4 αν αφαιρέσουµε τη µάζα δύο ηλεκτρονίων και αγνοήσουµε την ενέργεια σύνδεσής τους στον υρήνα του Ηλίου, η οοία είναι µικρή σε σύγκριση µε τις άλλες ενέργειες: m = m m α He e Εοµένως = (, 7 76+, 8 665) (4, 64, 549) = 4,388 4, 56 =,3 376 u Αό την ισοδυναµία u 93, 478 ev Προκύτει ότι Q=, 34 93= 8,3 ev Η ενέργεια σύνδεσης του σωµατιδίου α είναι: 8,3 ev

5 Θέµα 3 Το «µεσονικό» αράδοξο ιαστολή του χρόνου Η κοσµική ακτινοβολία (αοτελούµενη κυρίως αό ρωτόνια) αλληλειδρά µε τα άτοµα του αέρα στα υψηλά στρώµατα της ατµόσφαιρας και αράγει σωµατίδια ± Αυτά στη συνέχεια διασώνται σε µιόνια και νετρίνα ( µ νµ + ) µε µια µέση διάρκεια ζωής τ = 5 ns Τα µιόνια, στη e e µ συνέχεια, διασώνται σε ηλεκτρόνια και νετρίνα ( µ + ν + ν ) µε µια µέση διάρκεια ζωής τ µ = µs Υοθέστε ότι όλα τα µιόνια αράγονται σε ένα ύψος km και ότι έχουν όλα ανηγµένη ταχύτητα β µ =, 99, κινούµενα κατακόρυφα ρος τα κάτω Υολογίστε το οσοστό των µιονίων ου θα φτάσει στην ειφάνεια της Γης (α) σύµφωνα µε την Κλασική Μηχανική και (β) σύµφωνα µε τη Σχετικιστική Μηχανική Πόσο είναι το άχος της ατµόσφαιρας στο σύστηµα αναφοράς των µιονίων; [Νόµος της ραδιενέργειας: N ( t) e t / τ = N ] (α) Κλασική Μηχανική 8 6 Εειδή είναι β τ =,99 3 = 6 m, αυτή είναι η µέση αόσταση ου θα διανύσουν τα µ µ µιόνια ριν διασαστούν, σύµφωνα µε την Κλασική Μηχανική Ο χρόνος ου χρειάζονται τα µιόνια για να διανύσουν αόσταση km είναι t= km /,99= 33 µs Το οσοστό των σωµατιδίων ου ειζούν σε χρόνο t µετά τη δηµιουργία τους δίνεται αό τη γενική σχέση Για τ = τ µ = µs και t= 33 µs, βρίσκουµε / τ N / N = e t 33/ 8 N / N = e = 7 ηλαδή, λιγότερο αό ένα µ 7 στα θα ειζήσει για αρκετό χρόνο ώστε να φτάσει στην ειφάνεια της Γης (α) Σχετικιστική Μηχανική / Στη σχέση N / N e t τ =, τα t και τ ρέει να δίνονται στο ίδιο σύστηµα αναφοράς Οι σταθερές τ για τα σωµατίδια δίνονται στο σύστηµα ηρεµίας τους Θα υολογίσουµε εοµένως και το t στο σύστηµα ηρεµίας των µιονίων Αν στο σύστηµα του εργαστηρίου (Γης) είναι t= 33 µs και β =,99, γ = 7,7, τότε ο χρόνος ου ααιτείται για τα σωµατίδια να διανύσουν την αόσταση µέχρι τη Γη είναι, στο δικό τους σύστηµα αναφοράς, t = t / γµ = 33 / 7,7= 4,7 µs Εοµένως, 4,7/ N / N = e =,95 ηλαδή, ένα µ στα θα ειζήσει για αρκετό χρόνο ώστε να φτάσει στην ειφάνεια της Γης, σύµφωνα µε την Ειδική θεωρία της Σχετικότητας Για τα µ, η ατµόσφαιρα φαίνεται να έχει άχος km / γ =,4 km και την βλέουν να τα λησιάζει µε ταχύτητα V = =,99 β µ µ µ µ

6 Θέµα 4 Ένα µεσόνιο K +, του οοίου η µάζα ηρεµίας είναι K ( K = 494 ev ), κινείται στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου και διασάται σε δύο µεσόνια Το ένα αραµένει ακίνητο Η µάζα ηρεµίας του µεσονίου είναι ( = 4 ev ) Ποια είναι η ολική ενέργεια του µεσονίου K + και οια του κινούµενου µεσονίου ; [Εισηµαίνεται ότι: β γ = γ ] Έστω ότι οι ταχύτητες των σωµατιδίων αρχικά και τελικά είναι υk = βk και υ = β, αντίστοιχα, στις οοίες αντιστοιχούν οι αράγοντες Lorentz γ K και γ Οι νόµοι της διατήρησης δίνουν: διατήρηση της ορµής Kγ KβK = γβ () διατήρηση της ενέργειας Kγ K γ = + () Υψώνοντας την εξίσωση () στο τετράγωνο και χρησιµοοιώντας τη σχέση β γ = γ έχουµε ( γ ) ( γ ) K K = (3) Αό την εξίσωση (), Kγ K = ( + γ) ή γ K = ( + γ) Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (3), έχουµε και (+ γ + γ K γ K K ( γ ) ( + ) = K = ( ) ) γ K, γ + = K K K, γ K K γ = = = Αριθµητικά, β K =,84, γ K =,764, β =,98 και γ = 5,5, και εοµένως είναι EK = Kγ K = 494,764 = 87 ev και Όως ρέει, είναι EK = E+ = 87 ev E = γ = 4 5, 5= 73 ev

Σχετικά έγγραφα

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Εαναλητική εξέταση στο µάθηµα ΕΙ