Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1"

Ευγένεια Κουρμούλης
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν τα µοναδιαία διανύσµατα για το Σ 2 ). Να σηµειωθεί πως τα εξαρτώνται από το χρόνο. Το ίδιο διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. z Ζ P Σ 2 y Υ Σ 1 Χ x 1

2 Η δράση του τελεστή παραγώγισης του διανύσµατος στο σύστηµα Σ 1 είναι Από τη σχέση αντιλαµβανόµαστε πως ο ορισµός της γωνιακής ταχύτητας που συναντάται στα σχολικά εγχειρίδια δεν είναι πλήρης εάν θεωρηθεί απλά σαν ρυθµός µεταβολής κάποιας γωνίας. Η γωνιακή ταχύτητα ορίζεται από τη διαφορά των χρονικών τελεστών παραγώγισης ενός κοινού διανύσµατος (εδώ το ) σε δυο συστήµατα αναφοράς, όπου το ένα περιστρέφεται ως προς το άλλο. 2

3 Όπως προσδιορίστηκε η «ταχύτητα» ενός κινούµενου σωµατιδίου ως προς τους δυο παρατηρητές µπορεί να προσδιοριστεί και η «επιτάχυνση» Πολλές φορές τα κέντρα των δυο συστηµάτων δεν ταυτίζονται z Ζ Σ 2 P y Q Ο Υ Σ 1 Χ x 3

4 To διάνυσµα στο σύστηµα Σ 1 γράφεται ως Εν συντοµία (και στη βιβλιογραφία) η παραπάνω σχέση γράφεται ως 4

5 Εξίσωση κίνησης σωµατιδίου ενός παρατηρητή που είναι πάνω στην επιφάνεια της γης Ζ Z παράλληλος Q φ Y Ο φ θ X Υ Ισηµερινός X µεσηµβρινός Ζ Z Y Υ X X 5

6 Z Y X Θα αναλύσουµε τη γωνιακή ταχύτητα της γης στο Χ Υ Ζ. Από το παραπάνω σχήµα παρατηρούµε ότι Σύµφωνα µε όσα έχουµε δει, ο νόµος του Νεύτωνα που συνδέει τις παρατηρήσεις ενός αδρανειακού και µη παρατηρητή στην περίπτωση όπου τα δυο συστήµατα δεν έχουν κοινή αρχή, δίνεται από τη σχέση: 6

7 Εφόσον στο πρόβληµα που µελετάµε ο αδρανειακός παρατηρητής βρίσκεται στο Σ 1, θα µπορεί να γράψει τον 2 ο νόµο του Νεύτωνα µε τη γνωστή µας σχέση Κοντά στην επιφάνεια της γης το µέτρο της φυγόκεντρου δύναµης έχει µέγιστη τιµή (έχοντας θεωρήσει πως µελετάµε ένα σωµάτιο που βρίσκεται σε ύψος 100m) η οποία είναι προφανώς αµελητέα σε σχέση µε την επιτάχυνση της βαρύτητας και µπορεί να αγνοηθεί. Επίσης κοντά στην επιφάνεια της γης η βαρυτική επιτάχυνση αλλάζει είναι το ρ), οπότε προκύπτει η εξίσωση έχει πρακτικά σταθερό µέτρο (το µόνο που 7

8 Η επιτάχυνση λόγω της δύναµης Coriolis αναλύεται ως εξής Οπότε Εάν εξισώσουµε τους αντίστοιχους συντελεστές προκύπτουν οι 8

9 Το εκκρεµές του Foucault Ζ Z παράλληλος Q Y Ο φ θ X Υ Ισηµερινός X µεσηµβρινός X 9

10 Οι δυνάµεις που ασκούνται στη µάζα, παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήµα. Λεπτοµέρεια µηχανισµού στήριξης α z Τ y d x mg 10

11 Στη συνέχεια θα κάνουµε κάποιες υποθέσεις. Αρχικά θεωρούµε πως η εκτροπή του εκκρεµούς είναι πολύ µικρή οπότε µπορούµε να θεωρήσουµε πως η κίνηση του γίνεται πάνω στο επίπεδο Χ Υ. Αυτό µας οδηγεί να θεωρήσουµε πως κατά τον άξονα των Ζ δεν παρουσιάζεται κίνηση (άρα ). Η µικρή εκτροπή µας επιτρέπει να θεωρήσουµε πως το ύψος από την κατακόρυφο z είναι τόσο µικρό.. Αντικαθιστώντας την τιµή της τάσης του νήµατος στην x συνιστώσα Αντικαθιστώντας την τιµή της τάσης του νήµατος στην y συνιστώσα 11

12 Και επειδή έχουµε θεωρήσει πως δεν υπάρχει κίνηση κατά τον άξονα των Ζ Το µικρό πλάτος ταλάντωσης καθιστά σε συνδυασµό µε µικρή γωνιακή ταχύτητα αλλά και το µεγάλο µήκος του νήµατος που κατασκευάζεται ένα εκκρεµές Foucault καθιστούν αµελητέες τις ποσότητες και. Οπότε το σύστηµα των γραµµικών εξισώσεων που προκύπτει είναι Σχόλιο: Από τις παραπάνω διαφορικές παρατηρούµε την ύπαρξη δυο γωνιακών ταχυτήτων ω, Ω. Η µια σχετίζεται µε κίνηση του εκκρεµούς και άλλη µε την κίνηση της γης. 12

13 Η λύση αυτού του προβλήµατος υποδεικνύει την τροχιά της προβολής στο επίπεδο Χ Υ και προσδιορίζεται θέτοντας Η τελική λύση είναι της µορφής Εάν εκφράσουµε τις λύσεις σε ένα διάνυσµα στο επίπεδο Χ Υ, θα έχουµε Η περίοδος του εκκρεµούς εάν θεωρήσουµε ότι το µήκος του νήµατος είναι 10m, είναι ενώ η περίοδος της στροφής του επίπεδου ταλάντωσης είναι. Αυτό σηµαίνει ότι το διάνυσµα περιστρέφεται πολύ αργά. 13

14 Το ίχνος ενός εκκρεµούς Foucault Τι ισχύει στην Πάτρα. Το γεωγραφικό πλάτος της Πάτρας είναι 38 ο. Άρα ένα εκκρεµές Foucault θα χρειαστεί Που είναι 38 ώρες 58 λεπτά και 8 δευτερόλεπτα. 14

15 15

Σχετικά έγγραφα

( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r

( ) Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα ( ) = d! r dt = d! u P. = ω! r ΦΥΣ 211 - Διαλ.28 1 Απειροστές περιστροφές και γωνιακή ταχύτητα q Θεωρήστε ότι έχετε ένα σώµα το οποίο περιστρέφεται ως προς άξονα: q Θεωρήστε ότι ένα σηµείο P πάνω στο σώµα µε διάνυσµα θέσης r t O r t