ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Θέμα Α Α. γ, Α. α, Α. β, Α. γ, Α5. α.λ, β.σ, γ.λ, δ.λ, ε.σ. Θέμα B B. Η προσπίπτουσα στην πλευρά ΑΒ εισέρχεται στο πρίσμα χωρίς εκτροπή. Προσπίπτει στην υποτείνουσα ΒΓ στο σημείο Ε υπό γωνία 6 (Ε =9 -ΒΕΔ=9 - φ). Επειδή το υγρό είναι οπτικά αραιότερο (n <n ), συγκρίνουμε τη γωνία Ε = 6 με την κρίσιμη γωνία: ημθ crit = n,, = = =, n Είναι ημ6 () = =,5 ημθ crit. Επομένως 6 > θ crit, άρα ολική ανάκλαση στο Ε. Η ανακλώμενη ακτίνα προσπίπτει στην πλευρά ΑΓ στο σημείο Η υπό γωνία (Η γωνία ΕΗΑ είναι παραπληρωματική της ΔΕΗ= ως εντός και επί τα αυτά και η γωνία προσπτώσεως Η = 9 ΕΗΑ = ). () Είναι ημη = ημ =,5 <, ημη < ημθcrit H<θ crit. Ένα μέρος της ακτίνας ε- ξέρχεται στο υγρό από το σημείο Η και το υπόλοιπο ανακλάται και προσπίπτει στο σημείο Ζ της πλευράς ΒΓ υπό γωνία και εξέρχεται στο υγρό χωρίς εκτροπή. Για τη γωνία διάθλασης θ, έχουμε από το νόμο του Snell: n ημ = n ημθ ημθ = = =ημ6 θ =6,, B Δ n 6 Ε () Η n θ Ζ 6 φ Γ B.. Σωστό το γ. Δυ 8- /s Για το σώμα Α: α = = =-,5/s Δt - s Δυ -8-(-) / s Α Β x Για το σώμα Β: α = = =,5/s Δt - s a Για το Α: ΣF=α =a-μν =a-μg = a μ =- =,5 g Για το Β: ΣF=α B =aμν =aμg = a μ = a =,5 g Σημείωση: Σύμφωνα με την εκφώνηση ο σ.τ.ο. είναι ίδιος και για τα δύο σώματα, επομένως αρκεί ο υπολογισμός του για ένα από τα δύο σώματα. - -
ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ B.. Σωστό το α. p =p υ Α+ υ Β = + V και αλγεβρικά Από Α.Δ.Ο. λπ λμ Β Β 8-8 B = + B = B = B B. Σωστό το β Το σύστημα είναι μονωμένο και κατά τον άξονα x και κατά τον άξονα. Εφαρμόζουμε την ΑΔΟ χωριστά στους άξονες: Άξονας (θετική η φορά της υ ): p =p =υ +υ υ +υ =υημ -υημ = υ =υ () αρχ, τελ, Άξονας x (θετική η φορά της ): () p =p υ =υ +υ υ = υ +υ υ = υσυν +υ συν αρχ,x τελ,x x x x x υ =υσυν υ =υ () ΔΚ Κ (),() - Κ +Κ υ + υ υ +υ 6υ = =- =- - = Κ Κ υ = υ υ Θέμα Γ Γ.ΚΥΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΗΓΗ r = x r = l-x Κ: Η πηγή βρίσκεται στην αρχή Ο(x=) του άξονα x και x= x x=l x Κ Σ Λ δημιουργεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Σύμφωνα με τη θεωρία το αρμονικό κύμα που δημιουργείται θα περιγράφεται, από τη συνάρτηση: t x =ημπ -, με πεδίο ορισμού T λ x x, t υ ΚΥΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΗΓΗ Λ: Η πηγή βρίσκεται στη θέση x = l του άξονα x και δημιουργεί εγκάρσιο αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά την αρνητική κατεύθυνση του άξονα. Σύμφωνα με τη θεωρία το αρμονικό κύμα που δημιουργείται θα περιγράφεται από τη συνάρτηση =ημπ + ΜΟΝΟ αν το κύμα φτάνει στην αρχή t x T λ Ο τη χρονική στιγμήt =, κάτι που ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ στην περίπτωσή μας. Για την εύρεση της συνάρτησης, εργαζόμαστε σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο. Θεωρούμε τυχαίο σημείο Σ στη θέση x (<x<l), στο οποίο το κύμα φτάνει τη χρ. ΛΣ -x στιγμή τ = =. Η ταλάντωση του Σ μετά τη χρ. στιγμή τ, περιγράφεται από υ υ τη συνάρτηση: π -x t -x t x =ημωt-τ =ημ t- =ημπ - =ημπ + - Τ υ T λ T λ λ -x με πεδίο ορισμού x, t υ Οι σύγχρονες πηγές ταλαντώνονται με εξίσωση =,ημ(πt) (S.I.). Επομένως - -
ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Α =,, ω = πrad/s, f = 5HzκαιΤ =,s. Επειδή υ = /s, θα είναι λ =., =, Με αντικατάσταση στις εξισώσεις που περιγράφουν τα αρμονικά κύματα x =,ημπ 5t -,5x, x, t S.I x =,ημπ 5t +,5x -, x, t - S.I Τα αυτά κύματα συμβάλλουν και σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας των απομακρύνσεων: = + και μετά από τις γνωστές πράξεις καταλήγουμε στην =,συνπ(,5x -5)ημπ(5t -5) (S.I.). Η συμβολή θα αρχίσει τη χρονική στιγμή t = s κατά την οποία τα κύματα φτάνουν στο μέσον της χορδής και ολοκληρώνεται τη χρονική στιγμή t = s. Επομένως μετά τα s θα έχει εγκατασταθεί στη χορδή μια μόνιμη κατάσταση. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της συμβολής αντιστοιχεί σε εξίσωση στάσιμου κύματος, διότι για τυχαίο σημείο της χορδής, η φάση ταλάντωσης είναι συνάρτηση μόνο του χρόνου t, ενώ το πλάτος είναι συνάρτηση μόνο της θέσης x. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ένας άλλος τρόπος εργασίας, είναι να στηριχθούμε στο φαινόμενο της συμβολής. Έτσι, για το κύμα από την πηγή Κ ισχύει η t r t x =ημπ - =ημπ - =, ημπ5t -,5x SI. και για το κύμα από T λ T λ t r την πηγή Λ ισχύει η t -x -x =ημπ - =ημπ - =,ημπ5t - T λ T λ, =,ημπ 5t -,5( - x) =,ημπ 5t +,5x - S.I. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε την εξίσωση της συμβολής από δύο σύγχρονες πηγές: π r-r t r+r =συν ημπ - [με r = x και r = l x=-x (SI)] λ Τ λ π x-+x x+-x =,συν ημπ 5t - =,συνπ,5x -5 ημπ 5t -5,8,8 Γ.ΠΛΑΤΟΣ: =,συν 5πx-π Για x =,7 προκύπτει Για x =, προκύπτει (S.I.) =,συν 5π,7 -π =,συν,5π = (ΔΕΣΜΟΣ) =,συν 5π, -π =,συν 7π =, (ΚΟΙΛΙΑ) Γ.Στη θέση Ρ(x = ) το κύμα από την πηγή Κ θα φτάσει τη χρονική στιγμή t=/=,5s, ενώ το κύμα από την πηγή Λ τη χρονική στιγμή t=(-)/=,5s t =,5s: Κανένα κύμα δεν έχει φτάσει στο Ρ, άρα = t = s: Στο Ρ έχει φτάσει μόνο το κύμα από την πηγή Λ, άρα =,ημπ 5+7,5- = t =,55s: Στο Ρ έχουν φτάσει και τα κύματα. Άρα =,συνπ,5-5 ημπ 5,55-5 =,συν5πημ5,5π =, - - =, - -
ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Γ. Τη χρ. στιγμή t =,75s το στάσιμο έχει εγκατασταθεί σε όλο το μήκος της =,συνπ,5x -5 ημπ 5,75-5 =,συν 5πx-πημ7,5π χορδής. Επομένως =,συν5πx-=-,συν5πxs.i., x Για x = : = -,. (-) =, Θέμα Δ Δ. Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις w και T. Το σώμα ισορροπεί άρα ΣF = ή T = w άρα T = g. Όμοια στο σώμα θα είναι Τ = g. Στην τροχαλία ασκούνται οι δυνάμεις Τ από το νήμα, η δύναμη στήριξης στον ά- ξονα και το βάρος (δεν έχουν σχεδιαστεί) και η δύναμη από την ράβδο στο σημείο Γ που έχει αναλυθεί στην κάθετη αντίδραση F τ και στην στατική τριβή τ. Στην ράβδο ασκούνται οι δυνάμεις Τ και Τ από τα νήματα, το βάρος w, η δύναμη στήριξης στον άξονα F O και η δύναμη από την τροχαλία που έχει αναλυθεί στην δύναμη κάθετης αντίδρασης F ρ και στην στατική τριβή ρ (F ρ = F τ και ρ = τ σαν δράση - αντίδραση). Οι δυνάμεις φαίνονται στο σχήμα. F O R T T O M l/ l/ 6 w ρ F τ Γ τ F ρ T T w w - -
ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της σύμφωνα με το M M M θ. Steiner είναι I (O) = M +M ή I (O) = + άρα I (O) =. 6 6 9 Το σώμα ισορροπεί επομένως Τ = w άρα Τ = g. (T = N) Η ράβδος ισορροπεί άρα Σ τ ( Ο ) = ή T -Mg -F = άρα F = g -Mg ή 6 6 g -Mg F = g -Mg άρα F= ρ (). (F ρ = 5N) Το σώμα ισορροπεί επομένως Τ = w άρα Τ = g. Ο κύλινδρος ισορροπεί άρα Στ = ή τ R T R = και ρ = τ άρα ρ = g (). g -Mg Για να μην έχουμε ολίσθηση στο Γ πρέπει ρ μ s F ρ g μs επομένως -M -M - μs άρα, ax = μs ή, ax =, άρα,ax =,6kg. Όταν έχουμε τη μέγιστη η οριακή τριβή είναι ίση με την τριβή ολίσθησης, άρα =,ax g ή =,6 άρα = 6 Ν. (Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και από την () με αντικατάσταση στην = μ s F ρ ). Δ. Είναι >,ax άρα το σύστημα αρχίζει να στρέφεται, όπως στο σχήμα. Για το σώμα είναι ΣF = a ή g T = a () Για την τροχαλία είναι Στ = Ι κ α γων ή T R -R = R αγων ή T- = Rαγων (). Η επιτάχυνση α του σώματος είναι ίση με το ρυθμό που αυξάνεται η ταχύτητα του σημείου Κ της τροχαλίας, άρα dυ dωr dω α = ή α = ή α = R άρα α = αγωνr (5) dt dt dt Από (), (5) έχουμε T- = α (6). Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις () και (6) έχουμε g - T + T- = α + α ή g - = + α επομένως g - - 6 α α άρα α = /s. + 6 + ή dl Για την τροχαλία έχουμε =Ια κ γων ή dt dl dl = 6 kg, άρα =,6 kg dt s dt s. Εναλλακτικά : dl = Στ dt dl = T - dt ή R dl α = R dt R άρα dl = Rα dt άρα από (6) έχουμε dl = αr dt R F τ Γ κτλ. F ρ a T w α γων Κ T επομένως - 5 -
ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Δ. Για την κίνηση του ισχύει h= αt h άρα t = g ή t = α Για την τροχαλία έχουμε: α γων = ή α γων = άρα α γων = 5rad/s. R, άρα t = s. Η γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = s είναι ω = α γων t ή ω = 5rad/s s άρα ω = rad/s. Η στροφορμή της τροχαλίας είναι L = Ι ω άρα L= R ω ή rad L = 6 kg, άρα L=, kg s s. Η τροχαλία τη χρονική στιγμή t = s έχει διαγράψει γωνία θ = aγωνt επομένως rad θ = 5 s άρα θ = rad. s Το ποσό θερμότητας που έχει παραχθεί από την τριβή στο σημείο Γ είναι αντίθετο με το έργο της τριβής στη χρονική διάρκεια Δt = s, άρα Q = W ή Q=τ θ άρα Q= Rθ ή Q= 6 N, rad άρα Q = J. Δ. Όταν κόψουμε το νήμα που συνδέει το με τη ράβδο η ροπή του βάρους αρχίζει να στρέφει τη ράβδο. F Όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη έχει l/ αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω. O 6 M c Με εφαρμογή του θεωρήματος Έργου Ενέργειας στη ράβδο έχουμε : l/6 w Κ τελ Κ αρχ = W ολ ή Ιω ρ -=Μg άρα υ c c 6 w Μ ω = Μg επομένως g ω = άρα 9 6 8 6 ω = g (7). Στο σημείο στήριξης του άξονα Ο έ- χουμε δύναμη μόνο στον κατακόρυφο ω άξονα. (Όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη Στ = άρα α γων = άρα α c = και από την ΣF x = α c είναι F O,x = ) Για τον κατακόρυφο άξονα ισχύει ΣF = F κεντρ άρα, αλλά υ c = ω r επομένως Mωr F-Mg= r F-w= Mυ c r άρα F=Mg + Mω r. Η ακτίνα της τροχιάς του c είναι r= 6 Mg F=Mg + άρα Mg F= επομέ- g και με τη χρήση της (7) έχουμε F=Mg + M kg/s νως F= άρα F = N. 6 ή - 6 -