Πυρηνική και Στοιχειώδη Ι (5ου εξαμήνου) Επανάληψη μέσω ασκήσεων #2: Κοιλάδα σταθερότητας, ενέργεια σύνδεσης, φράγμα Coulomb Λέκτορας Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πυρηνική & Στοιχειώδη Ι, Αριστοτέλειο Παν. Θ/νίκης, 1 Νοεμβρίου 2010
Μέχρι τώρα - από το βιβλίο σας: Cottingham & Greenwood Παρ. 1.4, Παρ. 4.4 Παρ. 2.3 Μονάδες, amu μέσος χρόνος ζωής Κεφ. 4 - όλο μέγεθος και μάζα πυρήνα Κεφ. 5 Παρ. 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 ενέργεια σύνδεσης πυρήνα, κοιλάδα βσταθερότητας, κλπ. πρότυπο φλοιών, κ.λ.π. Ιστοσελίδα μαθήματος: http://www.physics.auth.gr/course/show/125 2
Σήμερα Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Στην κοιλάδα σταθερότηρας έχουμε συνήθως Ζ<Ν Ενέργεια σύνδεσης πυρήνων και Q-values από α-διάσμαση Υπολογισμός από ημιεμπειρικό τύπο Σύγκριση με πειραματικές τιμές Φράγμα Coulomb Πόσο κοντά έρχεται ένα σωμάτιο α σε πυρήνα χρυσού? Ύψος φράγματος Coulomb 3
Ενέργεια σύνδεσης πυρήνων Ενέργεια σύνδεσης = Β(Ν,Ζ) = πόση ενέργεια πρέπει να δώσω για να διαλύσω τον πυρήνα στα συστατικά του νουκλεόνια (εις τα εξ ων συνετέθη) Μπυρήνα + Ενέργεια Σύνδεσης = Σm (ελεύθερα νουκλεόνια) Η ενέργεια (=μάζα) που έχουν οι σταθεροί πυρήνες είναι μικρότερη απ' το να έχουμε τα συστατικά νουκλεόνια μόνα τους, ελεύθερα Αλλιώς δεν υπήρχε λόγος για τα νουκλεόνια να παραμείνουν στη σταθερότητα της παρέας Πόσο μικρότερη? Όσο η ενέργεια σύνδεσης Μπυρήνα = Σm (ελεύθερα νουκλεόνια) - Β(Ζ,Ν) 4
Ενέργεια σύνδεσης πυρήνων και πυρηνικές αντιδράσεις Αρχικοί πυρήνες Τελικοί πυρήνες + Q Να θυμάστε: η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας Ενέργεια πριν = Ενέργεια μετά Η ενέργεια πριν είναι όση η μάζα των αρχικών πυρήνων. Αυτή η ενέργεια χρησιμοποιείται στο να φτιαχτούν τα προϊόντα, και η υπόλοιπη ελευθερώνεται ως κινητική ενέργεια (Q) που τη μοιράζονται τα προϊόντα Σ Μ(αρχικά) = Σ Μ(τελικά) + Q αν Q>0 (εξωθερμική) η διάσπαση γίνεται μόνη της και δίνει και ενέργεια Μπυρήνα = Σm (ελεύθερα νουκλεόνια) - Β(Ν,Ζ) 5
Ενέργεια σύνδεσης πυρήνων Ενέργεια σύνδεσης = Β(Ν,Ζ) Μπυρήνα = Σm (ελεύθερα νουκλεόνια) - Β(Ν,Ζ) ιρ ε Π ές κ ι τ α μ α ς έ μ τι 6
Άσκηση με ενέργεια σύνδεσης και πυρηνικές αντιδράσεις Άσκηση 4 (πρόβλημα 4.5 του βιβλίου σας) α) Δείξτε ότι το 8Be μπορεί να διασπαστεί σε δύο α-σωμάτια. β) είξτε ότι το 1 2C δεν μπορεί να διασπαστέι σε τρία α-σωμάτια. γ) Γίνεται (χωρίς βοήθεια) η αντίδαραση 2Η + 4Ηe 6Li + γ? Δίνονται: το βιβλίο σας - Πίνακας 4.2 - m(n) = 939.57 MeV, m(p) = 938.27 MeV Ενέργεια πριν = Ενέργεια μετά Η ενέργεια πριν είναι όση η μάζα των αρχικών πυρήνων. Αυτή η ενέργεια χρησιμοποιείται στο να φτιαχτούν τα προϊόντα, και η υπόλοιπη ελευθερώνεται ως κινητική ενέργεια (Q) που τη μοιράζονται τα προϊόντα Σ Μ(αρχικά) = Σ Μ(τελικά) + Q, αν Q>0 (εξωθερμική) η διάσπαση γίνεται μόνη της και δίνει και ενέργεια Μπυρήνα = Σm (ελεύθερα νουκλεόνια) - Β(Ν,Ζ) 7
Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Ενέργεια σύνδεσης πυρήνα = B(N,Z) συνάρτηση και του Ζ και του Ν και τα δύο είδη νουκλεονίων παίζουν ρόλο όχι όπως στά άτομα που φτάνει μόνο το Ζ γιατί έχουμε να κάνουμε μόνο με ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις 8
Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Β(Ζ,Ν) = aa (όγκου) - b A2 / 3 (επιφάνειας) - s (N-Z)2 / A (ασυμμετρίας) - d Z2 / A 1 / 3 (Coulomb) - δ / A1 / 2 (ζευγαρώματος) a=15.835 MeV, b=18.33 MeV s=23.20 MeV, d=0.714 MeV +11.2 MeV περιτοί-περιτοί (Ζ περιττό και Ν περιττό) δ= 0 περιτοί-άρτιοι (π.χ: Ζ άρτιο και Ν περιττό) -11.2 MeV άρτιοι-άρτιοι (Ζ άρτιο και Ν άρτιο) 9
Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Β(Ζ,Ν) = aa - b A2 / 3 - s (N-Z)2 / A - d Z2 / A 1 / 3 Ευνοούνται τα ζεύγη p-n (μεγαλύτερη ενέργεια σύνδεσης όταν Ζ=Ν) - δ / A1 / 2 a=15.835 MeV, b=18.33 MeV s=23.20 MeV Η άπωση Coulomb μεταξύ των πρωτονίων έχει διαλυτικές τάσεις, d=0.714 MeV +11.2 MeV περιτοί-περιτοί (Ζ περιττό και Ν περιττό) δ= 0 περιτοί-άρτιοι (π.χ: Ζ άρτιο και Ν περιττό) -11.2 MeV άρτιοι-άρτιοι (Ζ άρτιο και Ν άρτιο) 10
Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Β(Ζ,Ν) = aa - b A2 / 3 - s (N-Z)2 / A - d Z2 / A 1 / 3 - δ / A1 / 2 a=15.835 MeV, b=18.33 MeV s=23.20 MeV, d=0.714 MeV +11.2 MeV περιτοί-περιτοί δ= 0 περιτοί-άρτιοι -11.2 MeV άρτιοι-άρτιοι 11
Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Β(Ζ,Ν) = aa - b A2 / 3 - s (N-Z)2 / A - d Z2 / A 1 / 3 - δ / A1 / 2 a=15.835 MeV, b=18.33 MeV s=23.20 MeV, d=0.714 MeV ΠΡΟΣΟΧΗ: Η περιγραφή είναι γενικά καλή αλλά όχι τέλεια! +11.2 MeV περιτοί-περιτοί δ= 0 περιτοί-άρτιοι -11.2 MeV άρτιοι-άρτιοι 12
Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων Άσκηση 5 Χρησιμοποιήστε τον ημιεμπειρικό τύπο της μάζας να βρείτε την ενέργεια σύνδεσης των πυρήνων: α) 42Ηe β) γ) δ) 8 4 16 8 206 82 210 84 Βe Ο Pb ε) Pο Συγκρίνετε με με τις πειραματικές τιμές (πίνακας 4.2 και σχήμα στην προηγούμενη σελίδα). Γιατί έχουμε μεγάλες αποκλίσεις? Δίνονται: το βιβλίο σας - Πίνακας 4.2, - Παρ. 4.8 (μαγικοί αριθμοί: 2, 8, 20, 28, 50, 82 and 126) - m(n) = 939.57 MeV, m(p) = 938.27 MeV 13
Άσκηση 5: Ημιεμπειρικός τύπος μάζας πυρήνων B(42Ηe) = B(Z=2, N=2) = 20.95 MeV ( 28.30 MeV) B(84Be) = B(Z=4, N=4) = 51.6 MeV ( 56.5 MeV) B(1 26O) = B(Z=6, N=6) = 121.64 MeV B(2 0 68 2Pb) = B(Z=82, N= 124) = 1611.874 MeV B(2 1 08 4Po) = B(Z=84, N= 126) = 1636.054 MeV ΠΡΟΣΟΧΗ: (127.62 MeV) Η περιγραφή είναι γενικά καλή αλλά όχι τέλεια! Δεν φτάνει μόνο ο ημιεμπειρικός τύπος. Ο πυρήνας δέν είναι μια υγρή σταγόνα. Υπάρχουν κι άλλα πράγματα που πρέπει να λάβουμε υπ' όψιν μας (είδατε το μοντέλο των φλοιών και τους μαγικούς αριθμούς ) 14
β-σταθερό: To σταθερότερο Ζ σε κάθε Α Ενέργεια σύνδεσης πυρήνα: Β(Ζ,Ν) = a A - b A2 / 3 - s (N-Z)2 / A - d Z2 / A1 / 3 - δ / A1 / 2 Αντικαθιστώντας Ν=Α-Ζ, έχουμε Β(Α,Ζ) αντί για Β(Ζ,Ν): Β(A,Z) = a A - b A2 / 3 - s (Α-2Z)2 / A - d Z2 / A1 / 3 - δ / A1 / 2 B(A,Z) = παραβολή ως προς Ζ Αν λάβουμε υπ'όψιν μας το άτομο ώς σύνολο: M(A,Z) = Σm B(A,Z) B(Coulomb) 0 B(Coulomb) ~ 0 (τάξη μεγέθους ev, ενώ στον πυρήνα έχουμε MeV) ==> M(A,Z) = Z mp + Z me + (A-Z) mn [a A - b A2 / 3 - s (Α-2Z)2 / A - d Z2 / A1 / 3 - δ / A1 / 2] M(A,Z) =πάλι παραβολή ως πρός Ζ 15
Άκσηση 6: β-σταθερό, τo σταθερότερο Ζ σε κάθε Α Άσκηση 6 (πρόβλημα 4.7 από το βιβλίο και α) Σε ποιό Ζ εμφανίζεται η μέγιστη ενέργεια σύνδεσης των πυρήνων, για κάθε Α? β) Σε ποιό Ζ εμφανίζεται η ελάχιστη μάζα των ατόμων (άρα τα πιό σταθερά άτομα), για κάθε Α? γ) Για Α=100 και Α=200 βρείτε το Ζ του σταθερού νουκλιδίου δ) Για μερικά Α=1...300 κάνετε το γράφημα Ν vs. Z για τα σταθερά Ζ. Δίνονται: το βιβλίο σας - Παρ. 4.4, 4.5, 4.6 - m(n) = 939.57 MeV, m(p) = 938.27 MeV, m(e) = 0.511 MeV 16
Άκσηση 6α: β-σταθερό, τo σταθερότερο Ζ σε κάθε Α Μέγιστο Β(Α,Ζ), για κάθε Α=σταθερό: Άρα το Ζ που δίνει το μέγιστο Β(Α,Ζ), για κάθε Α είναι: Z= A 2 d /2s A s=23.20 MeV Z= 2/3 A 2 0.0154 A 2/ 3, d=0.714 MeV Ζ < Α/2 17
Άκσηση 6β: β-σταθερό, τo σταθερότερο Ζ σε κάθε Α Ελάχιστη μάζα Μ(Α,Ζ) για κάθε Α=σταθερό: Στο βιβλίο σας Άρα το Ζ που δίνει την ελάχιστη Μ(Α,Ζ), για κάθε Α είναι: m(n) = 939.57 MeV / c2 m(p) = 938.27 MeV /c2 m(e) = 0.511 MeV / c2 s=23.20 MeV, d=0.714 MeV Z= A 1.983 0.0153 A 2/3 Ζ < Α/2 18
Άκσηση 6β και η κοιλάδα β-σταθερότητας Ζ < Α/2 Ν Στο βιβλίο σας Ζ 19
Η κοιλάδα β-σταθερότητας Z Z=110 N=160 A=const. Πολλοί προτιμούν το Ζ στον άξονα των y. Z=92 (U) N=Z Για κάθε Α, τα β-σταθερά νουκλίδια είναι στη μαύρη ζώνη ( κοιλάδα σταθερότητας valuey of stability ). Αυτά που είναι μακρυά απ'την κοιλάδα, πάνε προς αυτήν με β+ ή βdecays Z A=58 (Fe58, Ni58) unstable to β+ decay (or K capture) N unstable to β- decay N 20
Άκσηση 7: α από Πολώνιο σε στόχο χρυσού Άσκηση 7 α) Υπολογίστε από τον ημιεμπειρικό τύπο μάζας την κινητική ενέργεια σωματιδίου α που εκπέμπεται από 2 1 08 4Po 2 0 68 2Pb + α β) Συγκρίνετε με την πειραματική τιμή και χρησιμποιήστε την πειραματική τιμή εφ' εξής γ) Ποιά είναι η πλησιέστερη απόσταση που μπορεί να φτάσει ένα τέτοιο σωμάτιο α σε πυρήνες χρυσού (1 9 7 7 9Au) δ) Πόσο μεγάλο είναι το φράγμα Coulomb που συναντά το σωμάτιο α πλησιάζοντας τον πυρήνα χρυσού? ε) Επαναλάβετε τα ερωτήματα γ και δ, αν αντί για χρυσό έχουμε υδρογόνο (11Η). Δίνονται: το βιβλίο σας - Παρ. 4.4, 4.5, 4.6, 6.1, 6.2 - m(n) = 939.57 MeV, m(p) = 938.27 MeV 21
Διασπάσεις α - γενικά α-διάσπαση: M(A,Z) M(A-4, Z-2) + α + Q Οπότε: Z Mp + N Mn B(A,Z) = (Z-2) Mp + (N-2) Mn B(A-4,Z-2) + 2 Mp + 2 Mn B(4He) +Q Κι έτσι: Q = B(A-4,Z-2) + 28.3 MeV B(A,Z) 22
Διασπάσεις α - γενικά Q = B(A-4,Z-2) + 28.3 MeV B(A,Z) Για πυρήνες στην κοιλάδα β-σταθερότητας: Β(Ζ,Ν) = a A - b A2 / 3 - s (Α-2Z)2 / A - d Z2 / A1 / 3 - δ / A1 / 2 Z= A 1.983 0.0153 A 2/3 Αγνοώντας τον όρο ζευγαρώματος, παίρνουμε τη γραμμή Σύμφωνα με την προσσέγγιση πού κάναμε: στοιχεία με Z<66 δίνουν Q<0 και δεν κάνουν α-διάσπαση 23
Άσκηση 7: Διασπάση α - Πολώνιο Q = B(A-4,Z-2) + 28.3 MeV B(A,Z) Από την άσκηση 5: B(2 0 68 2Pb) = B(Z=82, N= 124) = 1611.874 MeV B(2 1 08 4Po) = B(Z=84, N= 126) = 1636.054 MeV Q = 1611.874 + 28.3 1636.054 = 4.12 MeV 24
Άσκηση 7: α-διάσπαση (Po), κινητική ενέργεια του α Τα σωμάτια α από την πηγή Πολωνίου (Po, Z=84, A=210) έχουν κινητική ενέργεια T ~ 4 MeV (πειραματικά είναι 5.41 MeV) (προηγούμενη σελίδα, και σχήμα 6.1, σελ. 96, για Ζ=84, υποθέτοντας Q=Τ του α) Πινακας 6.1 στο βιβλίο σας 25
Άσκηση 7: Δυναμικό που βλέπει το α καθώς πλησιάζει το Au Το α έρχεται από δεξιά με ενέργεια Ε0 και συναντά το φράγμα Coulomb από την ηλερομαγνητική άπωση του πυρήνα χρυσού. Η δυναμική ενέργεια Coulomb γίνεται μέγιστη, με τιμή VB, όταν οι δύο πυρήνες εφάπτονται. α Πυρήνας 26
Άσκηση 7: Απόσταση εγγύτερης προσέγγισης στο Au Το α προχωράει μέχρι που όλη η κινητική του ενέργεια (E0 = T) να γίνει δυναμική ενέργεια Coulomb 2 1 2 e Ze 1 e 2 Z ℏc 2 Z ℏc Τ= T = =a min min min 4 π ε 0 r0 4 π ε 0 ℏc r0 r0 Τ=a 2 Z ℏc r min 0 r min 0 2 Z ℏ c 2 79 197 MeV fm min =a = r 0 =42 fm T 137 5.41 MeV α Πυρήνας Το σωμάτιο α προσεγγίζει πολύ πιό κοντά από την ακτίνα του ατόμου (R=10000 fm), αλλά δεν "ακουμπάει τον πυρήνα (R=6.5 fm) 27
Άσκηση 7: Φράγμα Coulomb Au και α από Πολώνιο Πόσο μεγάλο είναι το φράγμα (VB) σε ενέργεια? Μπορεί το α να το σκαρφαλώσει και να περάσει μέσα στον πυρήνα? Το δυναμικό Coulomb είναι μέγιστο ( φράγμα VB) όταν το α εφάπτεται στον πυρήνα. Δηλαδή όταν η απόσταση από το κέντρο του α μέχρι το κέντρο του πυρήνα να έιναι Ra + RA u, όπου Ra και RA u είναι οι ακτίνες των πυρήνων α και Au, αντίστοιχα. R=1.12 A 1/ 3 fm R Au =1.12 197 R a=1.12 4 1/ 3 1 /3 fm=6.5 fm fm=1.8 fm 1 2 e Ze 2 Z ℏc 2 79 197 MeV fm V B= =a = =27.4 MeV 4 π ε 0 R Au Ra R Au R a 137 6.5 1.8 fm Κλασσικά: όταν ένα σωματίδιο α έχει κινητική ενέργεια Τ<VB T<27.3 MeV, τότε δέν μπορεί να μπεί στον πυρήνα (ή να βγεί από αυτόν, αν είναι ήδη μέσα) 28
Πάντα χρήσιμα: Σχετικιστική κινηματική και μονάδες Σχετικιστική κινηματική: E = mc ενέργεια μάζα c = ταχύτητα του φωτός Γενικά, με κινητική ενέργεια Τ, έχουμε: E=m γ c 2,γ = 1 1 β p=m γ υ=m γ βc 2 2 Η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας 2 2 2 E = pc m c 2 E=T m c 2 και β=υ/c, με υ = η ταχύτητα του σωματιδίου, όπου p = ορμή E [MeV], p [MeV/c], m [MeV/c2 ] Μονάδες: 8 c= 3 10 m / s μονάδα ταχύτητας = 1 h ℏ c=197 MeV fm, όπου: ℏ= μονάδα δράσης (ενέργεια x χρόνος) = 1 2π 2 1 e α= = 2 2 2 4 πε 0 ℏ c 137 Σημείωση: με c=1 έχουμε E =p +m,κλπ. 29