Τεχνολογίες Ελέγχου στα Αιολικά Συστήματα Ενότητα 4: Έλεγχος ισχύος που συνδέεται στο δίκτυο Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 2
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 3
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης creative commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκεινται σε άλλου τύπου άδειες χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 4
Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να παρουσιαστούν ο τριφασικός ς, το μοντέλο του στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο δύο καθέτων αξόνων dq και ο καθιερωμένος στη βιβλιογραφία έλεγχος με εν σειρά βρόχους ελέγχου. 5
Περιεχόμενα ενότητας Ο τριφασικός ς Το μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού 6
Ο τριφασικός ς Οι πιο ευρέως διαδεδομένοι ελεγχόμενοι τριφασικοί μετατροπείς είναι αυτοί που αποτελούνται από τρανζίστορ ισχύος με αντιπαράλληλες διόδους ελεύθερης ροής (freewheeling diodes), όπως φαίνεται στην Εικόνα 4.1. Ως τρανζίστορ ισχύος μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε τύπος διακόπτη ισχύος υψηλής συχνότητας, με πιο συνήθη σήμερα τον IGBT διακόπτη για εφαρμογές μεγάλης ισχύος. Ο πιο απλός τρόπος λειτουργίας του υπό μελέτη μετατροπέα είναι αυτός με τετραγωνικούς παλμούς (square wave) στην τριφασική έξοδο του. Ωστόσο, σε αυτή τη λειτουργία εμφανίζονται αρμονικές χαμηλής συχνότητας με αποτέλεσμα να δημιουργούνται προβλήματα απωλειών στα συστήματα που αυτοί οι μετατροπείς οδηγούν, όπως π.χ. ηλεκτρικές μηχανές. 7
Ο τριφασικός ς Εικόνα 4.1 8
Ο τριφασικός ς Έτσι, χρησιμοποιούνται μετατροπείς με λειτουργία διαμόρφωσης εύρους παλμών, οι οποίοι παρόλο που εμφανίζουν μεγαλύτερες απώλειες στα διακοπτικά στοιχεία λόγω της μεγαλύτερης διακοπτικής συχνότητας, αυξάνουν σημαντικά την τάξη των αρμονικών της τάσης εξόδου με αποτέλεσμα να μειώνεται η επίδραση τους στα συστήματα που οδηγούν. Σε αυτές τις εφαρμογές απαιτούνται πολύ γρήγορα διακοπτικά στοιχεία, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται συνήθως διακόπτες MOSFET ή IGBT. 9
Ο τριφασικός ς H αρχή λειτουργίας του μετατροπέα AC/DC με διαμόρφωση εύρους παλμών (pulse with modulation, PWM) βασίζεται στη σύγκριση ενός τριγωνικού σήματος υψηλής συχνότητας, που ονομάζεται φέρον σήμα (carrier signal) και συμβολίζεται ως V c, με ένα ημιτονοειδές σήμα χαμηλής συχνότητας και ίση με την επιθυμητή θεμελιώδη συχνότητα, όπως π.χ. τη συχνότητα δικτύου στην περίπτωση της Εικόνας 4.1, το οποίο ονομάζεται σήμα αναφοράς (reference signal) και συμβολίζεται ως. Όταν η στιγμιαία τιμή του Vref είναι μεγαλύτερη από του Vc η έξοδος του συγκριτή είναι θετικός παλμός, ενώ στην αντίθετη περίπτωση είναι αρνητικός παλμός, όπως φαίνεται στην Εικόνα 4.2. V ref 10
Ο τριφασικός ς Εικόνα 4.2 11
Ο τριφασικός ς Καθώς η συχνότητα του ημιτονοειδούς σήματος αναφοράς πρέπει να συμπίπτει συχνά με αυτή του δικτύου, συνήθως χρησιμοποιείται βρόχος κλειδώματος φάσης, προκειμένου να αναγνωριστεί η συχνότητα της τάσης του δικτύου. Ελέγχοντας το πλάτος του σήματος αναφοράς μεταβάλλεται κατάλληλα η τάση στην είσοδο του μετατροπέα, η οποία με τη σειρά της επηρεάζει τη συνεχή τάση στην έξοδο του, ενώ μεταβάλλοντας την αρχική φάση του σήματος αναφοράς αλλάζει η φάση του εναλλασσομένου ρεύματος στην είσοδο του μετατροπέα, ελέγχοντας έτσι το συντελεστή ισχύος της διάταξης. 12
Ο τριφασικός ς Η ρύθμιση της συνεχούς τάσης εξόδου και του συντελεστή ισχύος είναι συνήθως οι στόχοι της λειτουργίας ενός τριφασικού μετατροπέα AC/DC που συνδέεται στο δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας. Λόγω της σύγκρισης του φέροντος σήματος με ένα ημιτονοειδές, η διαμόρφωση αυτή ονομάζεται ημιτονοειδής διαμόρφωση εύρους παλμών (sinusoidal PWM, SPWM). Ωστόσο, πρέπει να αναφερθεί ότι υπάρχουν και άλλες μέθοδοι διαμόρφωσης, με πιο γνωστή τη διαμόρφωση διανύσματος χώρου (space vector modulation, SVM), καθεμία από τις οποίες παρουσιάζει τα δικά της πλεονεκτήματα. 13
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Ο τριφασικός ς που χρησιμοποιείται στις περισσότερες σύγχρονες εφαρμογές ισχύος είναι ο μετατροπέας ο τριφασικός ς πηγής τάσης (voltage-source converter, VSC). Το σχηματικό διάγραμμα του μετατροπέα αυτού παρουσιάζεται στην Εικόνα 4.3. Παρατηρώντας τη ροή των ρευμάτων στην Εικόνα 4.3, γίνεται κατανοητό πως έχει επιλεγεί η ροή ισχύος από την πλευρά εναλλασσόμενου ρεύματος σε αυτή του συνεχούς, δηλαδή απεικονίζεται η λειτουργία της διάταξης ως ανορθωτή. Πιο συγκεκριμένα, στην Εικόνα 4.3 απεικονίζεται η τριφασική πηγή τροφοδοσίας που συνδέεται με τον μετατροπέα μέσω μιας ωμικής-επαγωγικής αντίδρασης R L. 14
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Εικόνα 4.3 O μετατροπέας ισχύος αποτελείται από έξι διακοπτικά στοιχεία με αντιπαράλληλες διόδους, τα οποία έχουν τη δυνατότητα να οδηγήσουν το ρεύμα και προς τις δυο κατευθύνσεις. 15
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Στην έξοδο συνεχούς ρεύματος του μετατροπέα υπάρχει ένας πυκνωτής C προκειμένου να διατηρείται η τάση εξόδου σταθερή, παράλληλα με τον πυκνωτή έχει τοποθετηθεί μια πηγή συνεχούς ρεύματος I S, ενώ οι ελεγχόμενες τάσεις στην είσοδο του μετατροπέα παριστάνονται με V. Επίσης, οι τάσεις της τριφασικής συμμετρικής τροφοδοσίας συμβολίζονται με U, ενώ τα τριφασικά ρεύματα εισόδου του μετατροπέα συμβολίζονται με Ι. To τριφασικό μοντέλο είναι το εξής U LI RI V a a a a U LI RI V b b b b U LI RI V c c c c 16
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Εκφράζοντας τις τάσεις εισόδου του μετατροπέα ως προς την συνεχή τάση, το μοντέλο γράφεται ισοδύναμα ως εξής όπου οι μεταβλητές pa, p και περιγράφουν την κατάσταση των b pc έξι διακοπτών ως εξής 1, Si closed pi με i a, b, c 1, Si closed για λειτουργία με τεχνική διαμόρφωσης PWM. V dc U LI RI 1 p V 2 U LI RI 1 p V 2 U LI RI 1 p V 2 a a a a dc b b b b dc c c c c dc 17
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Παρατηρείται ότι οι διαφορικές εξισώσεις περιλαμβάνουν διακριτές τιμές για τις θέσεις λειτουργίας των διακοπτών p i, γεγονός που κάνει δύσκολη την ανάλυση και το σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας τη θεωρία του μοντέλου μέσης τιμής για τους μετατροπείς ισχύος, το μαθηματικό μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού μετατροπέα AC/DC συμπίπτει με το αρχικό μοντέλο αντικαθιστώντας τις διακριτές συναρτήσεις p i με τις αντίστοιχες συνεχείς συναρτήσεις p i που περιγράφουν τους λόγους κατάτμησης και λαμβάνουν τιμές στο συνεχές διάστημα (-1,1). 18
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Park στο σύγχρονα στρεφόμενο πλαίσιο δυο αξόνων d-q, το δυναμικό μοντέλο μέσης τιμής του μετατροπέα γράφεται ως εξής s LI RI LI V U d d s q d d LI LI RI V U q s d q q q όπου είναι η γωνιακή συχνότητα της τριφασικής τάσης τροφοδοσίας. Επιπλέον, στο σύγχρονα στρεφόμενα πλαίσιο d-q δυο αξόνων grid grid αποδεικνύεται ότι η ενεργός, P, και η άεργος, Q, ισχύς που ανταλλάσσει ο μετατροπέας με το δίκτυο (δηλαδή αριστερά του φίλτρου στην Εικόνα 4.3) υπολογίζονται ως grid 3 grid 3 P U d Id U qiq Q U qid U d Iq 2 2 19
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού out out Επιπλέον, η ενεργός P, και η άεργος, Q, ισχύς ακριβώς στην τριφασική είσοδο του μετατροπέα υπολογίζονται ως out 3 out 3 P V d Id VqI q Q VqI d Vd Iq 2 2 Οι ισχύς λαμβάνουν θετική τιμή όταν ρέουν προς την πλευρά συνεχούς ρεύματος. Από την ισορροπία ισχύος στην πλευρά συνεχούς ρεύματος, και υπό την παραδοχή ότι οι απώλειες στα διακοπτικά στοιχεία και τις αντιπαράλληλες διόδους είναι αμελητέες, λαμβάνουμε τη σχέση ή ισοδύναμα 3 2 out P PC PS Vd Id VqI q CVdcVdc IsVdc 20
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Έτσι, το πλήρες μη γραμμικό μοντέλο μέσης τιμής που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του μετατροπέα ισχύος είναι το ακόλουθο μοντέλο τρίτης τάξης LI RI LI V U d d s q d d LI LI RI V U q s d q q q 3 CV V V I V I I V 2 dc dc d d q q s dc Σημειώνεται ότι το μοντέλο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς μετατροπές και στην περίπτωση λειτουργίας ως αντιστροφέα. Σε αυτή την περίπτωση τα ρεύματα θα λαμβάνουν αρνητική τιμή καθώς ρέουν προς την τριφασική τροφοδοσία, ενώ το ίδιο θα ισχύει τόσο για τις ισχείς. 21
Μοντέλο μέσης τιμής του τριφασικού Επιπλέον, ορίζοντας τους λόγους κατάτμησης ευθέως και εγκάρσιου άξονα ως m d V V d dc, m q V V q dc το πλήρες μη γραμμικό μοντέλο μέσης τιμής τρίτης τάξης γράφεται ισοδύναμα LI RI LI m V U d d s q d dc d LI LI RI m V U q s d q q dc q 3 CV m I m I I 2 dc d d q q s 22
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Η καθιερωμένη στη διεθνή βιβλιογραφία μεθοδολογία ελέγχου σε τριφασικούς AC/DC μετατροπείς ισχύος είναι αυτή που βασίζεται στη σχεδίαση εν σειρά βρόχων ελέγχου (cascaded control loops) όπου συνήθως χρησιμοποιούνται ελεγκτές αναλογικήςολοκληρωτικής (proportional-integral, PI) μορφής. Πιο συγκεκριμένα οι εσωτερικοί βρόχοι ελέγχου ρυθμίζουν τις dq συνιστώσες των ρευμάτων σε κατάλληλες αναφορές ρεύματος, οι οποίες προέρχονται από τους εξωτερικούς βρόχους ελέγχου. Οι εξωτερικοί ελεγκτές είναι υπεύθυνοι για τη ρύθμιση της τάσης συνεχούς ρεύματος και της άεργου ισχύος που ανταλλάσσεται με το δίκτυο. Συνήθης προσανατολισμός για το σχεδιασμό του συστήματος ελέγχου είναι αυτός στην τάση του δικτύου. 23
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού I. Σχεδίαση εσωτερικών βρόχων ελέγχου Υιοθετώντας προσανατολισμό του σύγχρονα στρεφόμενου πλαισίου στην q-συνιστώσα της τάσης του δικτύου, δηλαδή U d 0 και U U, οι διαφορικές εξισώσεις ρευμάτων γράφονται ως q grid LI RI LI V d d s q d LI LI RI V U q s d q q grid Από τις τελευταίες σχέσεις γίνεται κατανοητό ότι υπάρχει σύζευξη μεταξύ των ρευμάτων του μετατροπέα μέσω των όρων ω s L, ο σταθερός όρος του μέτρου της τάσης δικτύου στη δεύτερη σχέση και οι συνιστώσες της τάσης στην έξοδο του μετατροπέα V μέσω των οποίων δίνεται η δυνατότητα ελέγχου του ρεύματος ίδιου άξονα με αυτές. 24
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Εισάγοντας τις εξής δυο νέες βοηθητικές εισόδους ελέγχου u LI V d s q d u LI V U q s d q grid Οι διαφορικές εξισώσεις ρευμάτων απλοποιούνται ως εξής LI RI u d d d LI RI u q q q Παρατηρούμε ότι οι τελευταίες εξισώσεις αναπαριστούν δυο αποσυζευγμένα πρώτης τάξης υποσυστήματα. Έτσι, εισάγονται οι ακόλουθοι PI ελεγκτές ρευμάτων ref ref u k I I k I I d d Pd d d Id 0 d d ref ref u k I I k I I d q Pq q q Iq 0 q q t t 25
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Τα κέρδη kpd, kid, kpq και kiq είναι θετικοί αριθμοί και αντιπροσωπεύουν τα αναλογικά και ολοκληρωτικά κέρδη, αντίστοιχα. Τα ρεύματα αναφοράς δίνονται από κατάλληλους εξωτερικούς βρόχους ελέγχου που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια του κεφαλαίου. Παρατηρώντας ότι τόσο οι απλοποιημένες διαφορικές εξισώσεις όσο και οι PI ελεγκτές έχουν κοινή μορφή και στους δύο άξονες, παραλείπουμε στη συνέχεια τους δείκτες d, q και προχωράμε στη λογική ρύθμισης των ελεγκτών. Έτσι, γενική μορφή που συναντάμε είναι η εξής LI RI u P ref ref I u k I I k I I d t 0 26
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Συνδυάζοντας τις τελευταίες δυο σχέσεις και εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace καταλήγουμε στην ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς I kps ki ref 2 I Ls R kps ki ή ισοδύναμα I 1 ref I Ls R 1 s k s k Επιλέγονται τα κέρδη των ελεγκτών ως P I k P L i και k I R i 27
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Έτσι, η συνάρτηση μεταφοράς απλοποιείται στην I 1 ref I 1 s i η οποία έχει έναν πόλο σε σημείο που μπορούμε να καθορίσουμε μέσω των κερδών και αυτός βρίσκεται στη θέση 1/ i. Η παράμετρος i αποτελεί την επιθυμητή σταθερά χρόνου, ενώ σε χρόνο αποκατάστασης T ύστερα από βηματική μεταβολή στο s 4 i ρεύμα αναφοράς, το ελεγχόμενο ρεύμα αναμένεται να απέχει λιγότερο από 2% από την τιμή αναφοράς του. Βασικό μειονέκτημα αυτής της μεθόδου σχεδίασης ελεγκτών ρεύματος αποτελεί η άμεση εξάρτηση του συστήματος ελέγχου από τις ακριβείς τιμές των παραμέτρων του συστήματος. 28
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Καθώς οι πραγματικές είσοδοι είναι τάσεις Vd και Vq, αυτές γράφονται τελικά ως και τα κέρδη των ελεγκτών ref ref V LI k I I k I I d d s q Pd d d Id 0 d d ref ref V U LI k I I k I I d q grid s d Pq q q Iq 0 q q L R kpd kpd και kid kiq i t t i 29
II. Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Σχεδίαση εξωτερικών βρόχων ελέγχου Η σχεδίαση των συστημάτων ελέγχου εξωτερικού βρόχου βασίζεται τόσο στον επιλεγμένο προσανατολισμό στην τάση του δικτύου όσο και στην επιλεγμένη τιμή σταθεράς χρόνου εσωτερικού βρόχου αλλά και τη θεώρηση των ξεχωριστών σταθερών χρόνου εσωτερικού βρόχου, σύμφωνα με την οποία αν ρυθμιστεί ο κλειστός βρόχος ρευμάτων να είναι επαρκώς γρήγορος και ο κλειστός βρόχος που προκύπτει από την εισαγωγή ref εξωτερικού ελεγκτή να είναι επαρκώς αργός, τότε ισχύει ότι I I. Ένας πρακτικός κανόνας είναι πως η σταθερά χρόνου εξωτερικού βρόχου (ή αντίστοιχα ο χρόνος αποκατάστασης) πρέπει να είναι τουλάχιστον τριπλάσια αυτής του εσωτερικού βρόχου. 30
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Η ρύθμιση της άεργου ισχύος που ανταλλάσσει ο μετατροπέας με το δίκτυο είναι αρκετά εύκολη στην υλοποίηση και δεν απαιτεί τη γνώση παραμέτρων του συστήματος. Πιο συγκεκριμένα, ανακαλώντας τη σχέση της και τον προσανατολισμό στην τάση δικτύου, καταλήγουμε στην ακόλουθη έκφραση grid 3 Q U grid Id 2 οπότε εύκολα μπορεί κανείς να υπολογίσει το ρεύμα αναφοράς μέσω της προκειμένου να επιτευχθεί η ανταλλαγή της επιθυμητής ποσότητας άεργου ισχύος με το δίκτυο ως εξής I ref d 2 3U grid Q grid, ref 31
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Βάση της τελευταίας σχέσης και υπο βηματικές μεταβολές στην αναφορά της άεργου ισχύος, η άεργος ισχύς αναμένεται να έχει την ίδια μεταβατική συμπεριφορά με αυτή του ρεύματος. Ωστόσο, αν είναι επιθυμητό να μεταβάλλεται πιο αργά η άεργος ισχύς σε σχέση με το ρεύμα, μπορεί να σχεδιαστεί ένας ολοκληρωτικός ελεγκτής που να επιβάλλει την επιθυμητή σταθερά χρόνου εξωτερικού βρόχου κάνοντας χρήση της θεώρησης χωριστών σταθερών χρόνου. ref Πιο συγκεκριμένα, κάνοντας χρήση της σχέσης Id Id, της παρατήρησης ότι η άεργος ισχύς συνδέεται με το ρεύμα μέσω της σχέσεως 2 grid Id Q 3U grid I d 32
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού και να εισάγει τον ελεγκτή Εύκολα κανείς μπορεί να συνδυάσει τις προηγούμενες σχέσεις και να καταλήξει στην ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς grid Q 1 grid, ref Q 2 1 s 3 U k Η σταθερά χρόνου t ref grid, ref grid d IQ 0 I k Q Q d iq grid σε αυτή την περίπτωση είναι ίση με iq 3U 2 grid k IQ IQ 33
Εν σειρά έλεγχος του τριφασικού Άρα, το κέρδος ολοκληρωτή πρέπει να επιλεγεί ως 2 kiq 3U grid iq ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή σταθερά χρόνου iq για τον εξωτερικό βρόχου ελέγχου, η οποία δεν πρέπει να παραβιάζει τη θεώρηση ξεχωριστών σταθερών χρόνου. Όσον αφορά τη σχεδίαση του εξωτερικού ελεγκτή PI ρύθμισης της ref συνεχούς τάσης V dc στην επιθυμητή τιμή αναφοράς V dc, αυτός μπορεί να παρέχει το ρεύμα αναφοράς q-άξονα ως εξής t ref ref ref q Pdc dc dc Idc0 dc dc I k V V k V V d ενώ υπάρχουν διάφορες μέθοδοι ρύθμισης του, κάθε μια από τις οποίες έχει τα δικά της πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. 34
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Όλα τα σχήματα, οι εικόνες και τα γραφήματα που παρουσιάστηκαν σε αυτήν την ενότητα προέρχονται από τις πανεπιστημιακές σημειώσεις με τίτλο «Τεχνολογίες Ελέγχου στα Αιολικά Συστήματα», Αντώνης Θ. Αλεξανδρίδης, εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών. 36
Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. 37
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αντώνιος Αλεξανδρίδης. «Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση. Ενότητα 4». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/ee889. 38
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 39