2-3. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ Σελίδα

2-3. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ Σελίδα 1. Σκοπός των ασκήσεων...1 2. Στοιχεία θεωρίας...1 2.1. Είδη Πόλωσης... 1 2.1.1 Γραμμική Πόλωση... 1 2.1.2 Κυκλική Πόλωση... 3 2.1.3 Ελλειπτική Πόλωση... 3 2.1.4 Φυσικό Φως & Μη-πολωμένο Φως... 3 2.2 Πολωτές... 4 2.2.1 Διχροϊκοί Γραμμικοί Πολωτές... 5 2.2.2 Διπλοθλαστικότητα & πλακίδια καθυστέρησης φάσης... 6 2.2.3 Στροφική Ικανότητα... 8 2.3. Χαρακτηρισμός της Πόλωσης... 9 3. Πειραματική διάταξη (& Λογισμικό)... 9 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων... 11 4.1 Δύο Γραμμικοί Πολωτές... 11 4.2 Τρεις Γραμμικοί Πολωτές... 12 4.3 Στροφική ικανότητα διαλύματος ζάχαρης... 13 4.4. Σύστημα πολωτή-πλακιδίου καθυστέρησης φάσης... 14 4.5 Προσδιορισμός Καθυστέρησης Φάσης Διπλοθλαστικού Πλακιδίου ~λ/4... 15 4.6 Διπλοθλαστικό Πλακίδιο λ/2... 16 5. Βιβλιογραφία... 18

1. Σκοπός των ασκήσεων. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ Οι δύο αυτές ασκήσεις είναι αφιερωμένες στην εξοικείωση με τα διάφορα είδη πόλωσης και τα κυριότερα οπτικά στοιχεία που την διαφοροποιούν ή την επηρεάζουν. Συγκεκριμένα θα παρατηρήσετε τη δράση των γραμμικών πολωτών, διαφόρων πλακιδίων καθυστέρησης φάσης και ουσιών με στροφική ικανότητα. Όλα τα πειράματα πραγματοποιούνται σύμφωνα με το βασικό σχήμα χαρακτηρισμού της πόλωσης. 2. Στοιχεία θεωρίας. 2.1 Είδη Πόλωσης. 2.1.1 Γραμμική Πόλωση. Η πόλωση είναι ιδιότητα που χαρακτηρίζει μόνο τα εγκάρσια κύματα ενώ δεν έχει έννοια για τα διαμήκη. Τα ηλεκτρομαγνητικά (ΗΜ) κύματα είναι εγκάρσια εφόσον τόσο το ηλεκτρικό όσο και το μαγνητικό πεδίο τους πάλλονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Μια και για τη συντριπτική πλειοψηφία των φαινομένων της οπτικής υπεύθυνο είναι το ηλεκτρικό πεδίο, εδώ δε θα ασχοληθούμε με το μαγνητικό πεδίο και δε θα το σχεδιάσουμε στα σχήματα που ακολουθούν. Για να α- πλοποιήσουμε δε ακόμη περισσότερο τη συζήτησή μας θα ασχοληθούμε μόνο με αρμονικά κύματα, δηλαδή κύματα της μορφής E z, t Emax cos k z t (1) όπου k=2πn/λ κενού, το μέτρο του κυματανύσματος του οποίου η κατεύθυνση είναι αυτή της διάδοσης του κύματος (στη περίπτωση της σχέσης (1) ο θετικός άξονας z). Με n συμβολίζουμε το δείκτη διάθλασης του υλικού εντός του οποίου διαδίδεται το κύμα και το μήκος κύματος αναφέρεται στο κενό, ισχύει δηλαδή λ κενού f = c o με f = ω/(2π) τη συχνότητα του κύματος και c o τη ταχύτητα του φωτός στο κενό. Ένα τέτοιο κύμα φαίνεται στο σχήμα 1, όπου δίδεται και ο ορισμός του επιπέδου πόλωσης που είναι το επίπεδο ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου. Επίπεδο Πόλωσης Επίπεδο Ταλάντωσης του Ηλεκτρικού Πεδίου Σχήμα 1. Ezt (, ) Για να ακριβολογούμε, μέχρι τώρα ορίσαμε μόνο τη γραμμική πόλωση, αυτή δηλαδή όπου το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο επίπεδο. Αυτό δε σημαίνει ότι το επίπεδο αυτό είναι αναγκαστικά το κατακόρυφο, όπως υπονοεί του σχήμα 1, αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση, αρκεί βέβαια να περιλαμβάνει και τη διεύθυνση διάδοσης. Μια τέτοια περίπτωση φαίνεται στο σχήμα 2, όπου μάλιστα το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου έχει αναλυθεί σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (1). Η ανάλυση σε δύο γραμμικά πολωμένα κύματα με κάθετα επίπεδα πόλωσης είναι ένας βολικός (αν και όχι ο μόνος) τρόπος περιγραφής της κατάστασης της πόλωσης (γραμμικής ή άλλης). Θεωρήστε τώρα ένα παρατηρητή που βλέπει το κύμα να πλησιάζει (όπως στο σχήμα 2). Υποθέτοντας ότι μπορεί να διακρίνει τη γρήγορη ταλάντωση του πεδίου ή των συνιστωσών του θα παρατηρήσει την εικόνα του σχήματος 3(α). E max E max k z (1) Λόγω της καθετότητας των ηλεκτρικών πεδίων τα δύο αυτά κύματα δεν μπορούν προφανώς να συμβάλλουν. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 1/18

Ezt (, ) Σχήμα 2. k z Ισχύει συνεπώς ότι, E z, t E z, ti E z tj x y, όπου i και j τα κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα των δύο διευθύνσεων ανάλυσης που έ- χουμε επιλέξει και E z, t Emax, cos k z t (3α) x x z t E cosk z t E y, max, y. (3β) Για τα πλάτη ισχύει προφανώς ότι Ε max,x,y 0 ενώ η διαφορά φάσης Δφ είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Δηλαδή, για γραμμικά πολωμένο φως θα έχουμε Τυχαίος αλλά δεδομένος λόγος πλατών Ε max,y /Ε max,x (4α) και Δφ = mπ, m = 0, ±1, ±2,. (4β) Εάν ο ακέραιος m είναι άρτιος οι δύο συνιστώσες είναι συμφασικές (λαμβάνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές τους σχήμα 3(α)). Αντίθετα, εάν είναι περιττός οι δύο συνιστώσες είναι εκτός φάσης κατά π (όταν η μία λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της η άλλη λαμβάνει την ελάχιστη και αντίστροφα σχήμα 3(β)). Δφ = 0 E max,y Δφ = π (2) E max,x j E max,x i -E max,y (α) Σχήμα 3. (β) Είναι φανερό ότι για να οριστεί πλήρως η γραμμική πόλωση του κύματος απαιτείται τόσο η γνώση της διαφοράς φάσης Δφ, όσο και ο λόγος των πλατών Ε max,y /Ε max,x (που καθορίζει τη γωνία του συνιστάμενου κύματος E z, t ως προς τη διεύθυνση π.χ. του διανύσματος i). Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 2/18

2.1.2 Κυκλική Πόλωση. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (σχέσεις (3α,β)) μπορούμε να ορίσουμε και άλλα είδη πόλωσης. Η κυκλική πόλωση ορίζεται από τις συνθήκες Ε max,y = Ε max,x = Ε max (5α) και Δφ = ± π/2 + kπ, k =0, ±1, ±2,. (5β) Ezt (, ) 2 k z z Σχήμα 4. (α) (β) Ένα παράδειγμα δύο συνιστωσών με διαφορά φάσης π/2 φαίνεται στο σχήμα 4(α) όπου βλέπουμε ότι όταν η μία συνιστώσα μηδενίζεται ή άλλη λαμβάνει είτε τη μέγιστη j είτε την ελάχιστη τιμή της. Ακόμη, επειδή cos[kz-ωt±π/2] = sin[kz-ωt] για 2 2 το συνιστάμενο κύμα έχουμε E z, t = [ E x z, t+ E y z, t] 1/2 = i Ε max [cos 2 [kz-ωt]+sin 2 [kz-ωt]] 1/2 ω E max = Ε max. Συνεπώς, το διάνυσμα του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερό μέτρο Ε max και λόγω της συγκεκριμένης διαφοράς φάσης Δφ διαγράφει ελικοειδή τροχιά (σχήμα 4(β)). E y Ε Παρατηρητής που παρακολουθεί τη προβολή της τροχιάς σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (z) βλέπει ένα κύκλο που διαγράφεται με x συχνότητα ω (σχήμα 5). Σημειώστε ότι η μόνη διαφορά μεταξύ των περιπτώσεων Δφ = + π/2 και Δφ = π/2 είναι η φορά περιστροφής του διανύσματος η οποία τις περισσότερες φορές δεν ενδιαφέρει. Σχήμα 5. 2.1.3 Ελλειπτική Πόλωση. Η ελλειπτική πόλωση ορίζεται από τις συνθήκες, Τυχαίος αλλά δεδομένος λόγος πλατών Ε max,y /Ε max,x και Τυχαία αλλά (χρονικά και χωρικά) σταθερή διαφορά φάσης Δφ. j Στη γενικότερη αυτή περίπτωση το διάνυσμα του συνολικού ηλεκτρικού i πεδίου διαγράφει πάλι ελικοειδή τροχιά αλλά αυτή τη φορά με μέτρο που E max,y μεταβάλλεται μεταξύ μιας μέγιστης και μιας ελάχιστης τιμής. Η προβολή ω της τροχιάς σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (z) είναι έλλειψη α (σχήμα 6). Η ελλειπτική πόλωση προφανώς περιλαμβάνει (με τις κατάλληλες επιλογές της διαφοράς φάσης Δφ και του λόγου πλατών Ε max,y /Ε max,x ) τόσο τη γραμμική όσο και τη κυκλική πόλωση ως ειδικές περιπτώσεις. Σχήμα 6. 2.1.4 Φυσικό Φως & Μη-πολωμένο Φως. (6α) (6β) Ε max,x Το φως του Ήλιου αλλά και των συνηθισμένων φωτεινών πηγών (π.χ. λαμπτήρες πυρακτώσεως) χαρακτηρίζεται ως φυσικό φως. Οι πηγές φυσικού φωτός αποτελούνται από άτομα ή μόρια Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 3/18

που ακτινοβολούν σύμφωνα (δηλαδή με σταθερή διαφορά φάσης) μόνο εντός περιορισμένων χρονικών διαστημάτων τυπικής διάρκειας Δt~10-8 s. Επιπλέον, το επίπεδο πόλωσης της ακτινοβολίας κάθε ατόμου ή μορίου μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση η οποία μάλιστα μπορεί να αλλάζει μετά από χρόνο Δt. Συνεπώς και το είδος της πόλωσης αλλάζει κατά απρόβλεπτο τρόπο. Μια πρόχειρη απεικόνιση του φυσικού φωτός είναι αυτή του σχήματος 7(α) που υπονοεί την ύπαρξη επιπέδων γραμμικής πόλωσης σε οποιαδήποτε διεύθυνση, με διαφορετικά, εν γένει, πλάτη και φάσεις που μεταβάλλονται με το χρόνο. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι και η καλύτερη και για αυτό χρησιμοποιούμε συνήθως εναλλακτικούς τρόπους περιγραφής. Ένας από αυτούς φαίνεται στο σχήμα 7(β) όπου πάλι αναλύουμε όλα τα επιμέρους κύματα σε δύο κάθετες μεταξύ τους γραμμικά πολωμένες συνιστώσες. Η επιλογή των διευθύνσεων των συνιστωσών είναι αυθαίρετη (αρκεί βέβαια να είναι κάθετες μεταξύ τους). Αθροίζοντας όλες τις συνεισφορές βρίσκουμε ότι οι συνιστώσες του συνιστάμενου κύματος έχουν Ίσα πλάτη, Ε max,y = Ε max,x = Ε max (7α) και Χρονικά μεταβαλλόμενη διαφορά φάσης Δφ(t). (7β) Η διαφορά φάσης μεταβάλλεται με άλματα που απέχουν χρονικά κατά Δt (σχήμα 7(β)). Στο σημείο αυτό καλό είναι να αναφερθούμε και στον όρο μη-πολωμένο φως που είναι γενικότερος και χρησιμοποιείται ακόμη και για πηγές laser των οποίων η ακτινοβολία παρουσιάζει ι- διότητες που δεν συναντώνται στο φυσικό φως (συμφωνία, κατευθυντικότητα κλπ). Η ιδιότητα που ενδιαφέρει εδώ είναι η πολύ μεγαλύτερη συμφωνία των πηγών laser σε σχέση με τις συνήθεις φωτεινές πηγές. Συνεπώς, συνεχίζουμε να περιγράφουμε το φως των πηγών laser μέσω των σχέσεων (7) με την υπενθύμιση όμως ότι η χρονική διάρκεια Δt είναι κατά περίπου τρεις τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από αυτή που Σχήμα 7. προαναφέραμε για το φυσικό φως. Πέραν αυτού η συμπεριφορά του φυσικού ή μη-πολωμένου φωτός κατά τη πρόσπτωσή του σε γραμμικό πολωτή (βλέπε παρακάτω), τουλάχιστον σε ότι θα μας απασχολήσει εδώ, δεν παρουσιάζει διαφορές. 2.2 Πολωτές. (α) (t) Ε max,x E max,y t~10-8 s Ο πλέον συνήθης ορισμός των πολωτών είναι ότι πρόκειται για οπτικές διατάξεις στις οποίες όταν προσπέσει στην είσοδό τους φυσικό φως λαμβάνεται στην έξοδό τους πολωμένο φως κάποιου είδους. Στη πράξη, στο παραπάνω ορισμό μπορούμε να συμπεριλάβουμε τόσο το μη-πολωμένο όσο και το πολωμένο φως. Συνεπώς ένας καλύτερος ίσως ορισμός των πολωτών είναι ότι πρόκειται για οπτικές διατάξεις που μπορούν να μεταβάλουν το είδος της πόλωσης του προσπίπτοντος σε αυτούς φωτός. Η αρχή λειτουργίας των πολωτών βασίζεται στην ανισοτροπία που εμφανίζουν οι οπτικές ιδιότητες ορισμένων υλικών ως προς το είδος της πόλωσης. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν τέσσερις κατηγορίες φαινομένων που εκμεταλλευόμαστε κατά τη κατασκευή των πολωτών: Ανισοτροπία απορρόφησης (επιλεκτική απορρόφηση που εξαρτάται από τη πόλωση). Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται με τον όρο Διχροϊσμός. Ανισοτροπία του δείκτη διάθλασης (που εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης στο υλικό και τη πόλωση του φωτός). Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται με τον όρο Διπλοθλαστικότητα. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 4/18 (β) t j i

Ανισοτροπία ανάκλασης (συντελεστής ανάκλασης που εξαρτάται από τη πόλωση). Ανισοτροπία σκέδασης (επιλεκτική σκέδαση διαφορετικών πολώσεων σε διαφορετικές διευθύνσεις). Στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης θα δούμε ένα παράδειγμα της τρίτης κατηγορίας (γωνία Brewster). Στις ασκήσεις Πόλωση του φωτός Ι & ΙΙ θα δούμε παραδείγματα των δύο πρώτων κατηγοριών. Επίσης θα ασχοληθούμε με υλικά που παρουσιάζουν στροφική ικανότητα τα ο- ποία, αν και αυστηρά μιλώντας δεν εμπίπτουν στη κατηγορία των πολωτών, επηρεάζουν εν τούτοις την πόλωση του προσπίπτοντος σε αυτά φωτός. 2.2.1 Διχροϊκοί Γραμμικοί Πολωτές. Οι διχροϊκοί γραμμικοί πολωτές παρουσιάζουν μια χαρακτηριστική διεύθυνση που ονομάζουμε άξονα διέλευσης τέτοια ώστε φως γραμμικά πολωμένο παράλληλα σε αυτή διαδίδεται με λίγες ή καθόλου απώλειες ενώ φως γραμμικά πολωμένο κάθετα σε αυτήν απορροφάται σχεδόν πλήρως. Τα γνωστότερα και πλέον χρησιμοποιούμενα σε συνήθεις εφαρμογές υλικά που εμφανίζουν διχροϊσμό είναι τα πολωτικά φύλλα Polaroid που αποτελούνται από παράλληλες αλυσίδες πολυμερών. Δε θα εξηγήσουμε εδώ τα αίτια εμφάνισης διχροϊσμού σε τέτοιες δομές. Αναφέρουμε απλώς ότι στις ασκήσεις των μικροκυμάτων χρησιμοποιείται μια παρόμοια (αν και μεταλλική) διάταξη. Οι διαστάσεις της τελευταίας μάλιστα είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές που απαιτούνται για το ορατό φως, λόγω του πολύ μεγαλύτερου μήκους κύματος των μικροκυμάτων. Εάν μη-πολωμένο φως φωτεινής έντασης Ι ο προσπέσει σε γραμμικό πολωτή η εξερχόμενη ακτινοβολία είναι πλέον γραμμικά πολωμένη κατά τον άξονα διέλευσης του πολωτή (σχήμα 8) και η έντασή της δίνεται από τη σχέση I o Ι = T (8) 2 όπου T ο συντελεστής διαπερατότητας του πολωτή που λαμβάνει υπ όψη τις απώλειες έντασης τόσο λόγω ανάκλασης όσο και μικρής α- πορρόφησης. Εάν T =1 ο πολωτής ονομάζεται ιδανικός. Θεωρήστε τώρα τη περίπτωση όπου ακτινοβολία έντασης Ι ο, ήδη γραμμικά πολωμένη, προσπίπτει σε γραμμικό πολωτή. Τότε η ένταση της διερχομένης ακτινοβολίας δίδεται από τη σχέση Ι(θ) = Ι(θ=0)cos 2 (θ) (9) που είναι ο γνωστός Νόμος του Malus. Στην (9) θ είναι η γωνία μεταξύ του επιπέδου πόλωσης του προσπίπτοντος φωτός και του άξονα διέλευσης του πολωτή (σχήμα 9). Για θ=0, π, 2π, το επίπεδο πόλωσης παραμένει ανεπηρέαστο και η ένταση της διερχόμενης ακτινοβολίας είναι μέγιστη και ίση Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 5/18

με Ι(θ=0)=T Ι ο. Για θ 0, π, 2π κ.λ.π. το διερχόμενο κύμα θα έχει μειωμένη (ή και μηδενική) ένταση και το νέο επίπεδο πόλωσης θα έχει τη διεύθυνση του άξονα διέλευσης. 2.2.2 Διπλοθλαστικότητα & πλακίδια καθυστέρησης φάσης. οπτικός άξονας Σχήμα 10. Έκτακτη ακτίνα (e-wave) Δεν υπακούει στο νόμο του Snell Τακτική ακτίνα (o-wave) Υπακούει στο νόμο του Snell Υπάρχουν υλικά (φυσικοί κρύσταλλοι ή άλλα) όπου η ταχύτητα διάδοσης του φωτός μέσα σε αυτά (και συνεπώς και ο δείκτης διάθλασης) εξαρτάται, εν γένει, από τη διεύθυνση διάδοσης και το προσανατολισμό του επιπέδου της γραμμικής πόλωσης. Εάν λοιπόν φυσικό φως προσπέσει σε ένα τέτοιο διπλοθλαστικό υλικό, κατά κανόνα διαχωρίζεται σε δύο κύματα με επίπεδα πόλωσης κάθετα μεταξύ τους και διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης (σχήμα 10). Το κύμα με επίπεδο πόλωσης κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης υπακούει στο νόμο του Snell (στο σχήμα 10 λόγω της κάθετης πρόσπτωσης συνεχίζει τη πορεία του στο υλικό χωρίς αλλαγή διεύθυνσης) και ονομάζεται τακτικό κύμα (ordinary wave). Το άλλο κύμα δεν υπακούει στο νόμο του Snell και ονομάζεται οπτικός άξονας έκτακτο κύμα (extraordinary wave). Υπάρχει όμως μια διεύθυνση για την οποία τα δύο αυτά κύματα έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης. Η διεύθυνση αυτή ονομάζεται οπτικός άξονας. Δε θα ασχοληθούμε με τις αιτίες εμφάνισης του φαινομένου. Για τη καλύτερη κατανόηση των παραπάνω όμως θεωρήστε φωτεινή πηγή φυσικού ή μη-πολωμένου φωτός που βρίσκεται εμβαπτισμένη στο διπλοθλαστικό υλικό, όπως στο σχήμα 11. Το τακτικό o-wave e-wave κύμα διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα προς όλες τις διευθύνσεις (κυκλικό μέτωπο κύματος στο σχήμα 11) με ταχύτητα υ o και αντίστοιχο δείκτη διάθλασης n o =c o /υ o. Το έκτακτο κύμα από την άλλη μεριά διαδίδεται με ταχύτητα που εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης (ελλειπτικό μέτωπο κύματος στο σχήμα 11). Κατά τη διεύθυνση o e no ne του οπτικού άξονα η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση ο-wave με αυτή του τακτικού κύματος ενώ η μεγαλύτερη διαφορά ταχυτήτων παρατηρείται για διάδοση κάθετα στο e-wave άξονα. Η ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι υ e και ο αντίστοιχος δείκτης διάθλασης n e =c o /υ e. Ανάλογα με το υλικό μπορεί να ισχύει n o >n e ή n o <n e (δηλαδή το έ- κτακτο κύμα να διαδίδεται πιο γρήγορα ή πιο αργά α- ντίστοιχα από το τακτικό, κάθετα στον οπτικό άξονασχήμα 11). Είναι σημαντικό τέλος να θυμόμαστε ότι o e no Σχήμα 11. ne αυτό που διαφοροποιεί τα δύο κύματα είναι η διαφορετική γραμμική πόλωσή τους (κάθετη στον οπτικό άξονα για το τακτικό κύμα και παράλληλη σε αυτόν για το έκτακτο). Ας θεωρήσουμε τώρα τη πρόσπτωση γραμμικά πολωμένου φωτός σε ένα διπλοθλαστικό πλακίδιο πάχους d το οποίο έχει κοπεί όπως φαίνεται στο σχήμα 12(β). Το επίπεδο πόλωσης του προσπίπτοντος κύματος σχηματίζει γωνία θ με τον οπτικό άξονα (σχήματα 12(α 1,2 )). Αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, τη μία παράλληλη (έκτακτο κύμα) και την άλλη κάθετη (τακτικό κύμα) στον οπτικό άξονα. Χωρίς απώλεια γενικότητας θα υποθέσουμε επίσης ότι οι δύο συνιστώσες είναι καταρχήν συμφασικές, Δφ=0. Μετά τη διέλευση από το πλακίδιο τα δύο κύματα θα έχουν αποκτήσει διαφορετικές καθυστερήσεις φάσης, φ e και φ ο. Αυτό σημαίνει ότι εάν χωρίς τη παρουσία του πλακιδίου οι δύο συνιστώσες θα ελάμβαναν ταυτόχρονα τη μέγιστη τιμή τους στο σημείο π.χ. Α του σχήματος 12(β), με τη παρουσία του πλακιδίου θα τις λαμβάνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 6/18

και διαφορετικά σημεία η κάθε μια, τα Β και Γ αντίστοιχα. Αυτό όμως που έχει σημασία είναι η σχετική καθυστέρηση φάσης Δφ = φ ο φ e η οποία δίνεται από τη σχέση, 2 ne no d (10) λ κενού (χρησιμοποιήσαμε την απόλυτη τιμή διότι το πρόσημο της Δφ δε ενδιαφέρει εδώ). Η διαφορά φάσης σε συνδυασμό με την επιλογή της γωνίας θ (λόγος πλατών Ε max,y /Ε max,x ), μπορεί να δώσει το επιθυμητό είδος πόλωσης στην έξοδο του πλακιδίου. οπτικός άξονας E max,y (e-wave) (α 1 ) θ Ε max,x (o-wave) j i (α 2 ) οπτικός άξονας E max,y θ Ε max,x d Δφ = φ o - φ e (β) z Δφ = 0 Γ Β A φ e φ o Σχήμα 12. d Για κάποιο συγκεκριμένο μήκος κύματος (συγκεκριμένοι δείκτες διάθλασης n o και n e ) μπορούμε να έχουμε την επιθυμητή διαφορά φάσης με κατάλληλη επιλογή του πάχους d. Παραδείγματος χάριν για Δφ=2π η διαφορά οπτικών δρόμων n e n o d =λ κενού (πλακίδιο λ), για Δφ=π, n e n o d =λ κενού /2 (πλακίδιο λ/2) και για Δφ=π/2, n e n o d =λ κενού /4 (πλακίδιο λ/4). Βέβαια, (οπτικά ή φυσικά) πάχη της τάξης του μήκους κύματος στο ορατό είναι πρακτικά δύσκολο να κατασκευαστούν. Έτσι επιλέγουμε τα πάχη να είναι της τάξης του ~1 mm. Τότε π.χ. για πλακίδιο λ/4 η διαφορά φάσης Δφ = 2mπ + π/2, όπου m ακέραιος που καθορίζει το πάχος. Είναι αξιοσημείωτο ότι κατά τη κατασκευή του πλακιδίου πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και το μήκος κύματος της ακτινοβολίας τόσο λόγω της σχέσης (10) όσο και λόγω της πιθανής μεταβολής των δεικτών διάθλασης με αυτό. Συνεπώς, ένα πλακίδιο που έχει κατασκευαστεί ώστε να λειτουργεί ως πλακίδιο λ/4 στα 633 nm, σε κάποιο άλλο μήκος κύματος (π.χ. 650 nm) θα λειτουργεί ως πλακίδιο λ/x όπου x 4. Κλείνουμε αυτή τη παρουσίαση των πλακιδίων καθυστέρησης φάσης με μερικά παραδείγματα: (Ι) Υποθέστε πρώτα ότι το αρχικό επίπεδο πόλωσης είναι είτε παράλληλο είτε κάθετο στον οπτικό άξονα, ισχύει δηλαδή θ = 0 ο, 90 ο, 180 ο ή 270 ο. Τότε η μία από τις δύο συνιστώσες (είτε η Ε x είτε η Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 7/18

Ε y ) είναι μηδενική και η γραμμική πόλωση παραμένει ανεπηρέαστη μετά το πλακίδιο και ανεξάρτητα από το είδος του. (ΙΙ) Έστω τώρα ότι θέλουμε να μετατρέψουμε το προσπίπτον στο πλακίδιο γραμμικά πολωμένο φως σε κυκλικά πολωμένο. Τότε θα πρέπει να επιλέξουμε το οπτικό πάχος να αντιστοιχεί σε πλακίδιο λ/4 (Δφ=π/2) και, ταυτόχρονα, τη γωνία θ=45 ο (ή 135 ο ) έτσι ώστε να εξασφαλιστεί ότι Ε max,y = Ε max,x (σχέσεις (5α,β)). Εάν θ 45 ο το φως μετά το πλακίδιο θα είναι ελλειπτικά πολωμένο, αφού τα δύο κύματα Ε y και Ε x θα έχουν μεν διαφορά φάσης π/2 αλλά άνισα πλάτη. (ΙΙΙ) Ας δούμε τέλος τη δράση ενός πλακιδίου λ/2 (Δφ=π) σε γραμμικά πολωμένο E max,y E max,y προσπίπτον φως που φαίνεται στο σχήμα 13 Δφ = π και όπου έχουμε υποθέσει ότι μετά το πλακίδιο είναι η συνιστώσα Ε x που έχει υποστεί θ 2θ καθυστέρηση φάσης κατά π σε σχέση με την Ε (2) y. Συνεπώς ενώ πριν από το πλακίδιο οι Ε max,x Ε max,x δύο συνιστώσες ελάμβαναν ταυτόχρονα τη μέγιστη τιμή τους (σχήμα 13α), μετά το πλακίδιο όταν η Ε y λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της η Ε x λαμβάνει την ελάχιστη (σχήμα οπτικός άξονας 13β). Συνθέτοντας τις νέες συνιστώσες παρατηρούμε ότι η πόλωση μετά το πλακίδιο (α) Σχήμα 13. (β) παραμένει γραμμική αλλά το επίπεδο πόλωσης έχει στραφεί κατά γωνία 2θ σε σχέση με την αρχική. Γενικά, αξίζει να θυμόμαστε ότι το είδος της πόλωσης καθορίζεται από δύο συνθήκες: (ι) τη σχέση πλατών και (ιι) τη σχετική φάση των δύο συνιστωσών. Τα πλακίδια καθυστέρησης φάσης επηρεάζουν τη σχετική φάση μέσω της διαφοράς οπτικού πάχους n e n o d ενώ η σχέση πλατών επηρεάζεται μέσω της επιλογής της γωνίας θ (σχήμα 12(α 2 )). 2.2.3 Στροφική Ικανότητα. Υπάρχουν υλικά όπου όταν γραμμικά πολωμένο φως διαδίδεται εντός αυτών συνεχίζει να είναι γραμμικά πολωμένο αλλά υφίσταται στροφή του επιπέδου πόλωσής του. Τα υλικά αυτά ονομάζονται οπτικώς ενεργά και μπορεί να είναι στερεά, υγρά, διαλύματα ή, σπανιότερα, αέρια. Η αρχή στην οποία βασίζεται η δράση τους απαιτεί κβαντομηχανική περιγραφή και δεν θα αναπτυχθεί λεπτομερώς εδώ αλλά μπορείτε να συμβουλευτείτε τις βιβλιογραφικές αναφορές που παρατίθενται στο τέλος των σημειώσεων. Αναφέρουμε όμως μερικά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά του φαινομένου. Κατ αρχήν σε αυτό παίζει μερικές φορές ρόλο και το μαγνητικό πεδίο του Η/Μ κύματος. Επίσης, τα μόρια ή οι κρύσταλλοι (ή και τα δύο) των οπτικώς ενεργών υλικών έχουν ελικοειδή δομή και εμφανίζουν στερεοϊσομέρεια. Συγκεκριμένα υπάρχουν σε δύο μορφές, μία όπου η έλικα είναι δεξιόστροφη και μία όπου είναι αριστερόστροφη. Η μία μορφή είναι το είδωλο της άλλης όπως θα το παρατηρούσαμε από επίπεδο κάτοπτρο (συμμετρία χειρός-chirality). Και οι δύο μορφές στρέφουν το επίπεδο πόλωσης αλλά το πρόσημο της γωνίας στροφής είναι αντίθετο. Η μορφή που στρέφει δεξιόστροφα (φορά περιστροφής δεικτών του ρολογιού και όπως παρατηρητής βλέπει το φως να τον πλησιάζει) ονομάζεται d(extro)- rotatory, ενώ η αριστερόστροφη μορφή l(evo)-rotatory. Στερεοϊσομερή ελικοειδή μόρια που παράγονται στη φύση ή στο εργαστήριο σε δείγματα ίσων ποσοτήτων d και l δεν παρουσιάζουν στροφική ικανότητα. Στη Φύση όμως πολλές ουσίες (π.χ. ζάχαρη, τα περισσότερα αμινοξέα κ.λ.π.) εμφανίζονται σε μία μόνο στερεοϊσομερή μορφή και τα διαλύματά τους είναι οπτικώς ενεργά. Εάν η οπτική ενεργότητα οφείλεται στην κρυσταλλική ελικοειδή δομή (χαλαζίας) η στροφική ικανότητα χάνεται με τη καταστροφή της (τήξη). Εάν οφείλεται στην μοριακή ελικοειδή δομή (ζάχαρη) παραμένει ακόμη και στα διαλύματα των οπτικά ενεργών ουσιών. (2) Όπως μπορείτε να ελέγξετε και μόνοι σας δεν υπάρχει πρακτική διαφορά εάν είναι η συνιστώσα Ε y που υφίσταται καθυστέρηση φάσης κατά π σε σχέση με την Ε x. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 8/18

Η σχέση που συνδέει τη γωνία στροφής του επιπέδου πόλωσης, β, με τα χαρακτηριστικά του υλικού (διαλύματος στη προκειμένη περίπτωση) δίνεται από το νόμο του Biot που γράφεται: β = α L [C] (11) όπου [C], η συγκέντρωση της οπτικά ενεργού ουσίας σε gr/cm 3, L το μήκος της διαδρομής του φωτός στο διάλυμα σε cm και α η λεγόμενη ειδική στροφική ικανότητα της ουσίας σε degrees cm 2 /gr (το γινόμενο α[c] ονομάζεται απλώς στροφική ικανότητα). Η ειδική στροφική ικανότητα εξαρτάται από το μήκος κύματος (α λ -2 ), τη θερμοκρασία και σε ορισμένες περιπτώσεις τόσο από το διαλύτη όσο και από τη συγκέντρωση του διαλύματος. 2.3 Χαρακτηρισμός της Πόλωσης. Η τυπική πειραματική διάταξη είτε για το χαρακτηρισμό της πόλωσης είτε για το χαρακτηρισμό ενός πολωτικού συστήματος φαίνεται στο σχήμα 14. Σε αυτή, φως είτε πολωμένο είτε μηπολωμένο προσπίπτει πρώτα στο γραμμικό πολωτή Π 1 του οποίου η διεύθυνση του άξονα διέλευσης χρησιμοποιείται ως διεύθυνση αναφοράς. Το φως μετά το Π 1 είναι γραμμικά πολωμένο σε αυτή τη διεύθυνση. Τότε προσπίπτει στο υπό μελέτη πολωτικό σύστημα Σ 2. Σκοπός μας είναι να χαρακτηρίσουμε το είδος της πόλωσης μετά το σύστημα αυτό, κάτι που επιτυγχάνεται με ένα δεύτερο γραμμικό πολωτή Π 3, που ονομάζεται αναλυτής. Το φως μετά το Π 3 είναι γραμμικά πολωμένο κατά τη διεύθυνση του άξονα διέλευσής του. Συνήθως, η γωνία θ 13 μεταξύ του πολωτή και του α- ναλυτή μεταβάλλεται και καταγράφεται η ένταση Ι της ακτινοβολίας. Η καμπύλη Ι(θ 13 ) μας δίνει πληροφορίες για το είδος της πόλωσης πριν από τον αναλυτή. 3. Πειραματική διάταξη (& Λογισμικό). Τα πειράματα των εργαστηριακών ασκήσεων Πόλωση φωτός I & ΙΙ θα πραγματοποιηθούν μέσω της διάταξης τους σχήματος 15 που περιλαμβάνει laser διόδου (λ650 nm), φωτοανιχνευτή και σύνολο γραμμικών πολωτών και πλακιδίων λ/4. Τα παραπάνω στοιχεία τοποθετούνται σε κατάλληλες βάσεις στήριξης που μπορούν να Laser Σχήμα 15. Πολωτής Π 1 στη βάση του Επιλογέας σχισμών περιορισμού φωτεινής έντασης Αναλυτής συνδεδεμένος με γωνιακό αισθητήρα μέσω λαστιχένιου ιμάντα Φωτοανιχνευτής Συσκευή διασύνδεσης με Η/Υ Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 9/18

μετακινηθούν κατά μήκος μιας οπτικής τράπεζας (ράγας) ή και να αφαιρεθούν από αυτή. Το laser είναι γραμμικά πολωμένο αλλά παρ όλα αυτά μετά από αυτό τοποθετείται γραμμικός πολωτής (Π 1 ). Ο άξονας διέλευσης του τελευταίου ε- πιλέγεται κατά προτίμηση κατακόρυφος και παραμένει σε αυτή τη διεύθυνση σε όλα από τα πειράματα. Ο αναλυτής είναι τοποθετημένος σε ειδική βάση στήριξης, συνδεδεμένη με γωνιακό αισθητήρα μέσω ενός λαστιχένιου ιμάντα. Η περιστροφή του αναλυτή γίνεται χειροκίνητα (σχήμα 16). Ο Σχήμα 16. αισθητήρας καθώς και ο φωτοανιχνευτής είναι συνδεδεμένοι με ειδική συσκευή που επικοινωνεί καλωδιακά με ηλεκτρονικό υπολογιστή (Η/Υ). Στο φωτοανιχνευτή υπάρχει διακόπτης μεταβολής της ενίσχυσης του σήματός του με κλίμακες 1, 10 και 100 ενώ μπροστά του είναι τοποθετημένος ένας επιλογέας σχισμών ή οπών (σχήμα 17) για τον περιορισμό της προσπίπτουσας φωτεινής έντασης. Η τελευταία είναι ανάλογη της τάσης εξόδου του φωτοανιχνευτή. Εάν όμως η τάση είναι 4.5 Volts ο ανιχνευτής είναι κορεσμένος. Από την άλλη για άνετη παρατήρηση μεταβολής της έντασης φροντίστε η τάση να είναι μεγαλύτερη των 0.5 Volts. Πριν ξεκινήσετε την εκτέλεση των ασκήσεων, φροντίστε για τη σωστή ευθυγράμμιση laserσχισμής. Αυτό επιτυγχάνεται με δύο βίδες οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης της φωτεινής δέσμης που είναι ενσωματωμένες στη πηγή laser. Δε θα ασχοληθείτε με τη συναρμολόγηση των κύριων μερών της διάταξης και τις απαραίτητες συνδέσεις τις οποίες θα βρείτε έτοιμες. Πριν όμως ξεκινήσει η οποιαδήποτε πειραματική διαδικασία πρέπει να γίνει (την πρώτη φορά) η σύνδεση με τον Η/Υ και η αναγνώριση των συσκευών από ειδικό λογισμικό. Για το σκοπό αυτό ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Θέστε σε λειτουργία το laser διόδου μέσω ενός διακόπτη στη πίσω πλευρά του. Θέστε σε λειτουργία τον Η/Υ. Θέστε σε λειτουργία τη συσκευή διασύνδεσης με τον Η/Υ, μέσω ενός πλευρικού διακόπτη. Ανοίξτε το αρχείο Πόλωση_I&ΙΙ (με διπλό αριστερό κλικ στο εικονίδιό του) που θα βρείτε στην επιφάνεια εργασίας (οθόνη του Η/Υ). Εάν όλες οι συνδέσεις είναι σωστές η σύνδεση και αναγνώριση θα έχει επιτευχθεί (διαφορετικά ζητήστε βοήθεια από το διδάσκοντα). Στην οθόνη εμφανίζεται χώρος εργασίας με τρία «παράθυρα». Το ένα αφορά τη σύνδεση των συσκευών και δεν θα σας απασχολήσει κατά τη διάρκεια της άσκησης. Το δεύτερο είναι ένα διάγραμμα ηλεκτρικής τάσης χρόνου (Διάγραμμα Ι). Το γράφημα [τάσης χρόνου] είναι βοηθητικό. Το τρίτο «παράθυρο» είναι ένα διάγραμμα τάσης γωνίας στροφής του αναλυτή (Διάγραμμα ΙΙ) και είναι αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο. Η λήψη δεδομένων ξεκινά με το πάτημα του «διακόπτη» Start στo επάνω μέρος της οθόνης και σταματά με το πάτημα του ιδίου διακόπτη (που εν τω μεταξύ έχει μετονομαστεί σε Stop). Κατά τη διάρκεια των πειραμάτων θα χρειαστεί να εκκινήσετε και να διακόψετε τη λήψη δεδομένων πολλές φορές. Το λογισμικό κρατά όλες τις καμπύλες και τις ονομάζει με αύξοντα αριθμό. Επειδή είναι ενοχλητικό να υπάρχει μεγάλος αριθμός καμπυλών στο ίδιο διάγραμμα, μπορείτε να σβήσετε μερικές (με επιλογή τους με το ποντίκι και πάτημα των πλήκτρων Delete Enter από το πληκτρολόγιο). Αφήνετε τουλάχιστον μία καμπύλη στο διάγραμμα πριν κάνετε νέες μετρήσεις διότι διαφορετικά το γράφημα καθίσταται ανενεργό. Καμπύλες της επιλογής σας μπορούν να εγγραφούν σε αρχεία γραφικών τύπου *.bmp (μενού Display Export Picture) ώστε να μεταφερθούν σε δισκέττα ή άλλο αποθηκευτικό μέσο το οποίο θα πάρετε μαζί σας για να τις παρουσιάσετε στην εργασία σας. Τα αριθμητικά δεδομένα των γραφημάτων μπορούν επίσης να αποθηκευτούν σε αρχεία κειμένου *.txt για περαιτέρω ανάλυση. Για το σκοπό αυτό πρέπει να ανατρέξετε στα μενού File Export Data και να επιλέξετε τη συγκεκριμένη καμπύλη ([τάσηγωνία] και αύξοντα αριθμό). Εξοικειωθείτε με τις δυνατότητες μεταβολής των κλιμάκων του γραφήματος (με το ποντίκι πλησιάστε το κέρσορα στους άξονες και ειδικά τις αριθμητικές ενδείξεις σε αυτούς). Επίσης, θα χρειαστείτε και πρέπει να εξοικειωθείτε με τη δυνατότητα παρεμβολής θεωρητικά αναμενό- Σχήμα 17. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 10/18

μενων καμπυλών στα πειραματικά δεδομένα (μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων). Για το σκοπό αυτό υπάρχουν δύο κουμπιά, ένα στο παράθυρο του γραφήματος ( Fit ) και ένα στο επάνω μέρος της οθόνης ( Curve Fit ). Τα κουμπιά πρέπει να πατηθούν με τη παραπάνω σειρά. Πατώντας το πρώτο ( Fit ) και επιλέγοντας User-Defined Fit η θεωρητική καμπύλη εμφανίζεται στο γράφημα. Στην αρχή, εφόσον δεν έχει οριστεί συνάρτηση, εμφανίζεται μόνο μια οριζόντια ευθεία. Πατώντας στη συνέχεια το δεύτερο κουμπί ( Curve Fit ) και επιλέγοντας πάλι User-Defined Fit ορίζουμε την συνάρτηση που θέλουμε να παρεμβάλουμε στα πειραματικά δεδομένα. Γράψτε την κατάλληλη εξίσωση (π.χ. A*cos(x)^2), επιλέξτε κατάλληλες μονάδες (π.χ. DEG), επιλέξτε τον αύξοντα αριθμό της πειραματικής καμπύλης που σας ενδιαφέρει ( Input ) και τέλος πατήστε το κουμπί Accept. Η καμπύλη και οι παράμετροι που θα προκύψουν από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (στη παραπάνω εξίσωση η παράμετρος Α) θα εμφανιστούν στην οθόνη. Ειδικό θέμα Πρέπει να σημειωθεί ότι το λογισμικό θέτει πάντα ως μηδενική γωνία τη γωνία εκκίνησής του, ανεξάρτητα εάν αυτή αντιστοιχεί σε πραγματική γωνία θ 13 =0 o μεταξύ των αξόνων διέλευσης του πολωτή και του αναλυτή. Από την άλλη είναι δύσκολο να βρεθεί η πραγματική γωνία μηδέν. Για το λόγο αυτό έχει οριστεί με το όνομα θ 13 μία ακόμη γωνία ως θ 13 = x + 90 ο όπου x η ένδειξη του γωνιακού αισθητήρα. Είναι αυτή η γωνία θ 13 που χρησιμοποιείται στον οριζόντιο άξονα του διαγράμματος τάσης γωνίας. Για να είναι όμως οι τιμές της θ 13 σωστές θα πρέπει οι άξονες διέλευσης του πολωτή και του αναλυτή να είναι κάθετοι μεταξύ τους κατά την εκκίνηση της εκάστοτε μέτρησης. Για να το επιτύχετε θα πρέπει πριν από κάθε κύρια μέτρηση να προηγείται μία προκαταρκτική όπου θα έχετε αφαιρέσει όλα τα οπτικά στοιχεία εκτός των πολωτή και αναλυτή. Για τη προκαταρκτική μέτρηση τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του αναλυτή και του φωτοανιχνευτή και παρατηρήστε τη φωτεινή δέσμη. Περιστρέψτε τον αναλυτή μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί. Τότε εισάγετε και τα υπόλοιπα οπτικά στοιχεία και προχωρήστε στη κύρια μέτρηση. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. Από τα πειράματα που ακολουθούν οι παράγραφοι 4.1, 4.2 και 4.3 αναφέρονται στις εργαστηριακές ασκήσεις της Πόλωσης Ι και οι 4.4., 4.5, και 4.6 της Πόλωσης ΙΙ. 4.1 Δύο Γραμμικοί Πολωτές. Θα βρείτε το άξονα του πολωτή Π 1 ήδη τοποθετημένο σε σχεδόν κατακόρυφη θέση. Προχωρήστε στη προκαταρκτική μέτρηση (κοιτάξτε το ειδικό θέμα στη παράγραφο 3) ως εξής: Τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του α- ναλυτή και του φωτοανιχνευτή και περιστρέψτε τον αναλυτή (που για ευνόητους λόγους θα ονομάσουμε Π 2 ) μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί. Στη θέση αυτή οι άξονες διέλευσης των πολωτών είναι κάθετοι. Ξεκινήστε τώρα από τη θέση αυτή τη δεύτερη, κύρια, μέτρηση πατώντας το Start και περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 2. Η περιστροφή του πρέπει να είναι αρκετά αργή (παρατηρείτε τις μετρήσεις στην οθόνη Διάγραμμα ΙΙ) ώστε να διαγράφεται καθαρά η καμπύλη. Πειραματιστείτε με διάφορες συνθήκες (καταγράφοντας μία καμπύλη κάθε φορά Start-Stop κ.λ.π.) καθώς και με Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 11/18

τη φορά περιστροφής που δίνει την καλύτερη καμπύλη (τα διάφορα μέγιστα να είναι ίσου ύψους και μη-κορεσμένα αντίστοιχα για τα ελάχιστα). Από τις καμπύλες που θα καταγράψετε κρατήστε την καμπύλη που σας ικανοποιεί και σβήστε τις υπόλοιπες. Σώστε τη καμπύλη αυτή σε αρχείο *.txt σε δισκέτα και στην επιφάνεια εργασίας, ονομάζοντάς το κατάλληλα ώστε να γίνεται αντιληπτό σε ποια ομάδα ανήκει και σε τι αναφέρεται. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να σχεδιάσετε θεωρητική καμπύλη της μορφής A*cos(x +Β)^2, με Α=V max I max, x=θ 12 (θ 13 στο πρόγραμμα) σε deg και Β μια σταθερά που λαμβάνει υπ όψη το γεγονός ότι πιθανόν οι άξονες διέλευσης των δύο πολωτών να μην ήταν ακριβώς κάθετοι όταν ξεκίνησε η μέτρηση. Καταγράψτε τις παραμέτρους που προκύπτουν από τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Σώστε το γράφημα ως αρχείο *.bmp στη δισκέττα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Με τα πειραματικά δεδομένα που έχετε φυλάξει στο αρχείο *.txt, σχεδιάστε κατά την επεξεργασία της άσκησης στο σπίτι σε χαρτί millimetré τις καμπύλες Ι 12 /A = F(cos 2 (θ 12 +B)) και Ι 12 /A = F(cos 2 (θ 12 )) καθώς και τη θεωρητικά αναμενόμενη καμπύλη ((η οποία, θέτοντας x=cos 2 (θ 12 ), παριστάνει την ευθεία y=i/i max =x η οποία περνά από τα σημεία (x,y)=(0,0) & (1,1)). Χρησιμοποιήστε τις παραμέτρους Α και Β που προσδιορίσατε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Εάν τα σημεία του αρχείου είναι πάρα πολλά χρησιμοποιήστε λιγότερα (π.χ. ένα κάθε πέντε ή δέκα), αρκεί να αποτυπώνουν πιστά τη πειραματική καμπύλη. Σχολιάστε τις πιθανές διαφορές και ομοιότητες μεταξύ των καμπυλών. 4.2 Τρεις Γραμμικοί Πολωτές. Στο πείραμα αυτό θα τοποθετήσετε ένα ακόμη πολωτή (Π 2 ) μεταξύ του Π 1 και του αναλυτή (Π 3 ). Η γωνία του άξονα του Π 2 πρέπει να είναι 45 ο (ή -45 ο ) σε σχέση με τον άξονα του Π 1 (σχήμα 19). Επειδή δεν υπάρχει στον Π 2 αξιόπιστη γωνιομετρική κλίμακα η τοποθέτηση στη γωνία αυτή πρέπει να γίνει πειραματικά με την εξής διαδικασία: o Πριν τοποθετήσετε τον Π 2, τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του αναλυτή και του φωτοανιχνευτή και περιστρέψτε τον Π 3 μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί (άξονες Π 1 Π 3 κάθετοι, θ 13 =90 ο ). o Σε αυτή τη θέση, παρεμβάλετε το Π 2. Πατήστε το Start και παρατηρήστε την ένταση του φωτός στο Διάγραμμα Ι ([τάση-χρόνος]). Περιστρέψτε τον Π 2 μέχρι να μεγιστοποιήσετε την ένταση. Στη θέση του μεγίστου η γωνία θ 12 = 45 ο. Αποδείξτε το στην εργασία που θα παραδώσετε με τη βοήθεια της σχέσης Ι 123 (θ 13 ) = T 2 Ι 1 cos 2 (θ 12 ) cos 2 (θ 13 θ 12 ). (12) που ισχύει για το σύστημα τριών πολωτών και προκύπτει από τη διπλή εφαρμογή του νόμου του Malus (σχέση (9)). Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 12/18

Χωρίς να μετακινήσετε από εδώ και πέρα τους Π 1 και Π 2 και εκκινώντας με τους άξονες διέλευσης των Π 1 και Π 3 ήδη καθετοποιημένους από τη προηγούμενη διαδικασία καταγράψτε την καμπύλη της τάσης (έντασης Ι 123 ) ως συνάρτηση της θ 13 (Διάγραμμα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Φυλάξτε την καμπύλη αυτή σε αρχείο *.txt στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για να παρεμβάλετε στα πειραματικά δεδομένα, θεωρητική καμπύλη της μορφής A*cos(θ 13 + Β)^2. Καταγράψτε τις παραμέτρους A και B που προκύπτουν από τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Φυλάξτε το γράφημα θεωρητικής και πειραματικής καμπύλης σε αρχείο *.bmp στη δισκέττα σας και στην ε- πιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Με τα δεδομένα του αρχείου *.txt σχεδιάστε κατά την επεξεργασία της άσκησης στο σπίτι σε χαρτί millimetré την καμπύλη Ι 123 /A = f(sin(2 θ 13 )). Με τη βοήθεια της σχέσης (12) αποδείξτε ότι η θεωρητική, αναγμένη στη μονάδα, σχέση της έντασης με τη γωνία θ 13 (για θ 12 = 45 ο ) γράφεται I/I max = (1sin[2 θ 13 ])/2. Σχεδιάστε αυτή τη θεωρητική καμπύλη (η οποία, θέτοντας x=sin[2 θ 13 ], παριστάνει την ευθεία y=i/i max =(1x)/2 η οποία, π.χ. για το θετικό πρόσημο, περνά από τα σημεία (x,y)=(-1,0),(0,0.5) &(1,1)) στο ίδιο διάγραμμα και σχολιάστε τα αποτελέσματα. 4.3 Στροφική ικανότητα διαλύματος ζάχαρης. Κατά το πείραμα αυτό θα εισάγετε μεταξύ του πολωτή και του αναλυτή τρεις σωλήνες με διαλύματα ζάχαρης διαφορετικών συγκεντρώσεων [C 1 ], [C 2 ] και [C 3 ]. Στόχος του πειράματος είναι ο προσδιορισμός των συγκεντρώσεων αυτών. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Πριν από τη τοποθέτηση των διαλυμάτων καταγράψτε μία καμπύλη τάσης-γωνίας μόνο με το πολωτή και τον αναλυτή, ακολουθώντας τα ίδια Σχήμα 20. βήματα όπως αυτά του πειράματος 4.1. Μη ξεχάσετε να καθετοποιήσετε τους άξονες διέλευσης των πολωτή-αναλυτή πριν από τη μέτρηση. Η καμπύλη αυτή είναι η καμπύλη αναφοράς σας. Θα τη σώσετε σε αρχείο *.txt και θα τη κρατήσετε σε κοινό διάγραμμα μαζί με αυτές που θα ακολουθήσουν. β 1.0 β Με Διάλυμα I/I max 0.5 Χωρίς Διάλυμα (β) β 0.0-30 0 30 60 90 120 150 180 θ 13 (deg) Καθετοποιήστε ξανά τους άξονες διέλευσης των πολωτή-αναλυτή και στη συνέχεια τοποθετήστε ένα διάλυμα (έστω το [C 1 ]) στη βάση του (σχήμα 20) και στην οπτική ράγα. Φροντίστε η δέσμη laser να περνά από το σωλήνα. Λόγω του ότι η διεύθυνση διάδοσης της δέσμης μπορεί να αλλάζει με και χωρίς το διάλυμα (λόγω διάθλασης) προτείνεται να χρησιμοποιή- Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 13/18

σετε είτε την μεγάλη ανοιχτή οπή του επιλογέα σχισμών και χαμηλή ευαισθησία (1), είτε την ημιδιαφανή (λευκή) οπή με μεγαλύτερη ευαισθησία εάν το σήμα είναι αρκετό (αλλά όχι κορεσμένο). Τότε καταγράψτε μία μέτρηση τάσης γωνίας υπό τη παρουσία του διαλύματος (σχήμα 21(α)). Φροντίστε ώστε η περιοχή γωνιών να περιλαμβάνει την αντίστοιχη περιοχή της πρώτης μέτρησης χωρίς διάλυμα. Σώστε την καμπύλη σε αρχείο *.txt. Επαναλάβατε το προηγούμενο βήμα για τα διαλύματα ζάχαρης συγκεντρώσεων [C 2 ] και [C 3 ]. Σώστε τις αντίστοιχες καμπύλες σε αρχεία *.txt και το γράφημα με τις τέσσερις καμπύλες ως αρχείο *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Μετρήστε τα μήκη L i, i=1-3 των σωλήνων που περιέχουν τα τρία διαλύματα. Κατά την εργασία στο σπίτι, υπολογίστε τις γωνίες στροφής β i για κάθε διάλυμα από τη διαφορά γωνιών εμφάνισης διαδοχικών μεγίστων (αλλά και ελαχίστων) μεταξύ της καμπύλης i και της καμπύλης αναφοράς (σχήμα 21(β)). Χρησιμοποιήστε είτε το γράφημα είτε τα δεδομένα των αρχείων *.txt (όποιο δίνει ακριβέστερα αποτελέσματα). Εκτιμήστε και τα σφάλματα των γωνιών στροφής. Υποθέστε ότι η ειδική στροφική ικανότητα για τα υδατικά διαλύματα της ζάχαρης α=6.645 degrees cm 2 /gr είναι ανεξάρτητη της συγκέντρωσης. Μέσω της σχέσης (11) υπολογίστε τη συγκέντρωση κάθε διαλύματος και το σφάλμα της (εάν β i <0 χρησιμοποιήστε απόλυτες τιμές). Συγκεντρώστε τα μεγέθη β i, L i και [C i ] σε πίνακα και σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 4.4 Σύστημα πολωτή-πλακιδίου καθυστέρησης φάσης. Στην άσκηση αυτή θα αποδείξουμε πειραματικά ότι σε ένα σύστημα χαρακτηρισμού ενός πολωτικού συστήματος και ιδιαίτερα των διπλοθλαστικών πλακιδίων η ύπαρξη του αναλυτή είναι α- ναγκαία. Πράγματι, ας θεωρήσουμε μόνο τον πολωτή Π 1 και ένα πλακίδιο R 2, άγνωστης καθυστέρησης φάσης Δφ, του οποίου ο οπτικός άξονας σχηματίζει γωνία θ 12 με τον άξονα διέλευσης του Π 1. Αναλύουμε το πεδίο Ε 1 μετά το πολωτή σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη και μία κάθετη στον οπτικό άξονα. Υποθέτουμε για απλούστευση ότι μετά το πλακίδιο η κάθετη συνιστώσα δεν έχει υποστεί καθυστέρηση φάσης ενώ η παράλληλη συνιστώσα έχει υποστεί καθυστέρησης φάσης κατά Δφ. Τότε στη γενικότερη περίπτωση το φως είναι ελλειπτικά πολωμένο και οι δύο συνιστώσες του γράφονται E x z, t E1 sin 12 cosk z t και E y z t E cos cosk z t, 12 1 Το μάτι και οι ανιχνευτές φωτός δεν μπορούν να παρακολουθήσουν τις πολύ γρήγορες χρονικές μεταβολές του πεδίου. Αντιλαμβάνονται μόνο τη μέση χρονική τιμή της έντασής του Ι που είναι ανάλογη της μέσης χρονικής τιμής του μεγέθους E z, t 2. Η εύρεση της μέσης χρονικής τιμής α- παιτεί ολοκλήρωση σε μία περίοδο του κύματος Τ=1/f και στις περιπτώσεις που ενδιαφέρουν εδώ έχει ως αποτέλεσμα την αντικατάσταση των όρων της μορφής cos 2 (kz-ωt+δφ) και sin 2 (kz-ωt+δφ) με 1/2. Συνεπώς η ένταση της ακτινοβολίας μετά το πλακίδιο γράφεται, που καταλήγει στη σχέση Ι 12 < E z, t 2 2 2 > Τ = < > Τ + < > Τ = E x E y 2 2 2 2 2 2 = E1 sin 12 cos k z t E T 1 cos 12 cos k z t T 2 / 2 / 2 2 2 2 2 Ι 12 E cos E sin 1 12 1 12 E1. (13) Η (13) μας λέει ότι η ένταση που καταγράφουμε μετά το πλακίδιο είναι ανεξάρτητη τόσο της διαφοράς φάσης Δφ όσο και τη γωνίας στροφής θ 12. Συνεπώς είναι αδύνατον να συμπεράνουμε το είδος του πλακιδίου με αυτή τη πειραματική διάταξη (σχήμα 22). Για το αποδείξετε πειραματικά α- κολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Τοποθετήστε ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης (επάνω του αναγράφεται η λέξη Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 14/18

Επαναλάβατε το προηγούμενο βήμα με δύο πλακίδια καθυστέρησης φάσης όπου θα περιστρέφετε το ένα από αυτά. Σώστε και αυτό το γράφημα ως αρχείο *.bmp. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι σχολιάστε τις παρατηρήσεις σας. 4.5 Προσδιορισμός Καθυστέρησης Φάσης Διπλοθλαστικού Πλακιδίου ~λ/4. Σε αυτή την άσκηση θα παρεμβάλετε μεταξύ Π 1 και Π 3 ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης R 2 το οποίο ονομαστικά λειτουργεί ως πλακίδιο λ/4. Το μήκος κύματος του laser διόδου όμως (~650 nm) διαφέρει από αυτό για το οποίο το πλακίδιο κατασκευάστηκε ως λ/4. Συνεπώς έχουμε να κάνουμε με ένα πλακίδιο λ/x. Η τιμή του αριθμού x είναι κοντά στο 4 αλλά όχι ακριβώς 4. Ο κύριος σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του x (ή ισοδύναμα της πραγματικής διαφοράς φάσης Δφ σχέση (10)). Επιπλέον, στο πλακίδιο δεν υπάρχει γωνιομετρική κλίμακα και δεν γνωρίζουμε τη διεύθυνση του οπτικού του άξονα. Συνεπώς και αυτό το στοιχείο πρέπει να προσδιοριστεί πειραματικά. Θα εργαστούμε και εδώ με γωνία θ 12 = 45 ο. Για να το επιτύχουμε α- κολουθούμε τα ίδια βήματα όπως και στο προηγούμενο πείραμα των τριών πολωτών δηλαδή: o Πριν τοποθετήσετε το R 2 τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του αναλυτή και του φωτοανιχνευτή και περιστρέψτε τον Π 3 μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί (άξονες Π 1 Π 3 κάθετοι, θ 13 =90 ο ). o Σε αυτή τη θέση, παρεμβάλετε το R 2 και περιστρέψτε το μέχρι να μεγιστοποιήσετε την ένταση στο βοηθητικό Διάγραμμα Ι. Στη θέση του μεγίστου η γωνία θ 12 = 45 ο και για οποιοδήποτε πλακίδιο, ανεξάρτητα της διαφοράς φάσης Δφ. Χρησιμοποιήστε τη γενική σχέση Ι 123 = C {cos 2 [θ 13 ] + sin[2θ 12 ] sin[2(θ 13 θ 12 )] sin 2 [Δφ/2]} (14) (C σταθερά) που ισχύει για σύστημα γραμμικός πολωτής διπλοθλαστικό πλακίδιο γραμμικός πολωτής για να το αποδείξετε. Όπως μπορεί να επιβεβαιωθεί από την (14) στη θέση αυτή (θ 12 = 45 ο ), εάν το πλακίδιο ήταν ακρι- Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 15/18

βώς πλακίδιο λ/4 (Δφ=π/2), η περιστροφή του αναλυτή Π 3 θα έπρεπε να δίνει σταθερή ένταση Ι 123 (κυκλικά πολωμένο φως σχήμα 23(α)). Στη πράξη θα παρατηρήσετε αυξομειώσεις της έντασης Ι 123 μεταξύ μιας μέγιστης και μιας ελάχιστης, μη-μηδενικής, τιμής (σχήμα 23(β)). Το γεγονός ότι η ελάχιστη τιμή είναι μη-μηδενική μας λέει ότι έχουμε να κάνουμε με ελλειπτικά πολωμένο (και όχι γραμμικά πολωμένο) φως πριν από τον Π 3. Για να προσδιορίσετε τη πραγματική διαφορά φάσης Δφ εργαστείτε ως εξής: Χωρίς να μετακινήσετε τους Π 1 και R 2 καταγράψτε την καμπύλη της τάσης (έντασης Ι 123 ) ως συνάρτηση της θ 13 (Διάγραμμα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Επιλέξτε τη φορά περιστροφής που δίνει μέγιστα ίσης έντασης (αντίστοιχα και για τα ελάχιστα). Καταγράψτε αρκετά μέγιστα και ελάχιστα (τουλάχιστον τέσσερα + τέσσερα). Φυλάξτε την καμπύλη σε αρχεία *.txt και *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Από το γράφημα στην οθόνη και με τη βοήθεια του κέρσορα καταγράψτε στις σημειώσεις σας τις τιμές των μεγίστων και ελαχίστων της έντασης. Μέσω της σχέσης (14) και για άγνωστη Δφ αποδείξτε στην εργασία που θα παραδώσετε ότι για θ 12 =45 ο ισχύει, I max I min I I cos. (15) max min Από τα μέγιστα και ελάχιστα που έχετε καταγράψει βρείτε μια μέση τιμή (και το σφάλμα της) για τα Ι max και Ι min αντίστοιχα και χρησιμοποιώντας τη σχέση (15) βρείτε τη διαφορά φάσης Δφ (και το σφάλμα της). Τέλος, μέσω της σχέσης (10) βρείτε και το x. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 16/18

4.6 Διπλοθλαστικό Πλακιδίο λ/2. Στη τελευταία άσκηση θα παρεμβάλετε μεταξύ Π 1 και Π 3 ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης R 2 το οποίο ονομαστικά λειτουργεί ως πλακίδιο λ/2. Στη πράξη θα παρεμβάλετε δύο πλακίδια ~λ/4 από αυτά που χρησιμοποιήσατε στο προηγούμενο πείραμα. Κάθε πλακίδιο θα πρέπει να έχει τη δική του βάση στήριξης. Θα εργαστείτε και πάλι με γωνία θ 12 =45 ο. Η πειραματική διαδικασία εύρεσης της γωνίας αυτής είναι η ίδια όπως και προηγουμένως αλλά θα πρέπει να την εκτελέσετε για κάθε πλακίδιο ξεχωριστά και χωρίς τη παρουσία του άλλου. Όπως είδαμε η διαδικασία αυτή θέτει τον οπτικό άξονα σε γωνία θ 12 = 45 ο και δεν δίνει πληροφορίες για το πρόσημο. Παρ όλα αυτά ένα πλακίδιο που έχει τεθεί σε γωνία π.χ. θ 12 = -45 ο μπορεί να τεθεί σε γωνία θ 12 = +45 ο εάν το αντιστρέψουμε (δηλαδή εάν εναλλάξουμε τις επιφάνειες εισόδου και εξόδου του φωτός). Σκοπός της άσκησης είναι να παρατηρήσετε και να εξηγήσετε τις διαφορές των καμπυλών όταν (ι) και τα δύο πλακίδια έχουν στραφεί κατά τη ίδια φορά, έστω θ 12 = +45 ο (σχήμα 24(α)). (ιι) τα πλακίδια έχουν στραφεί κατά φορά αντίθετη (το ένα κατά θ 12 = +45 ο και το άλλο κατά θ 12 = -45 ο σχήμα 24(β)). Αφού λοιπόν προηγηθεί η εύρεση της θ 12 = 45 ο για κάθε πλακίδιο, παρεμβάλετέ τα το ένα μετά το άλλο μεταξύ του Π 1 και του αναλυτή Π 3 και στη συνέχεια Χωρίς να μετακινήσετε τους Π 1 και R 2 (λ/4 + λ/4) καταγράψτε την καμπύλη της τάσης (έντασης Ι 123 ) ως συνάρτηση της θ 13 (Διάγραμμα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Επιλέξτε τη φορά περιστροφής που δίνει μέγιστα ίσης έντασης. Φυλάξτε την καμπύλη αυτή σε αρχείο *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Αντιστρέψτε τη βάση του ενός πλακιδίου (χωρίς να το βγάλετε από αυτή για να μη χαθεί η Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 17/18

Στην εργασία σας εξηγήστε λεπτομερώς τη μορφή των δύο καμπυλών σε σχέση με την αναμενόμενη συμπεριφορά (παράδειγμα (ΙΙΙ) της παραγράφου 2.2.2). 5. Βιβλιογραφία. [1] D. Halliday& R. Resnick, Φυσική, Τόμος Β (1976). [2] Γ. Ασημέλλης, Μαθήματα Οπτικής, Σύγχρονη Γνώση (2008). [3] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, MA, Second Edition (1987). [4] Α. Χριστοδουλλίδης, Εργαστηριακά Πειράματα Φυσικής 3, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων (2005). (αντίτυπα υπάρχουν στο αναγνωστήριο). Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 18/18