1. Σκοπός της άσκησης Στοιχεία θεωρίας Γεωμετρική οπτική Ο νόμος της ανάκλασης Ο νόμος της διάθλασης...

Transcript

1 1. Λεπτοί Φακοί Σελίδα 1. Σκοπός της άσκησης Στοιχεία θεωρίας Γεωμετρική οπτική Ο νόμος της ανάκλασης Ο νόμος της διάθλασης Είδωλα & παραξονική προσέγγιση Είδη φακών & τύπος κατασκευαστών των λεπτών φακών Θεμελιώδης εξίσωση φακών, μεγέθυνση & γραφικός προσδιορισμός ειδώλων Παραδείγματα Εστιακή απόσταση επιπεδόκοιλου φακού Είδωλα σφαιρικών κατόπτρων Συστήματα φακών Μεγεθυντής δέσμης. 3. Πειραματική διάταξη Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού & μεγέθους αντικειμένου Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού με τη μέθοδο Bessel Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού μέσω συστήματος φακών Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού με τη μέθοδο διαμέτρου φωτεινής δέσμης laser & μεγεθυντή δέσμης Βιβλιογραφία

2 Λεπτοί Φακοί 1. Σκοπός της άσκησης. Η άσκηση αυτή είναι αφιερωμένη στην εξοικείωση με τα βασικά στοιχεία της απεικονιστικής λειτουργίας των λεπτών φακών όπως αυτά προβλέπονται από τη Γεωμετρική Οπτική. Εφαρμόζονται τέσσερις μέθοδοι μέτρησης της εστιακής απόστασης λεπτών φακών τόσο συγκλινόντων όσο και αποκλινόντων. Ο προσδιορισμός των ζητούμενων μεγεθών και των σφαλμάτων τους γίνεται γραφικά, φέρνοντάς μας σε επαφή με μεθοδολογίες που θα χρησιμοποιηθούν κατ επανάληψη και στις υπόλοιπες ασκήσεις. 2. Στοιχεία θεωρίας. 2.1 Γεωμετρική οπτική. Στη Γεωμετρική Οπτική δεχόμαστε ότι το φως αποτελείται από ακτίνες που εκκινώντας από κάποια φωτεινή λ Σχήμα 1. πηγή διαδίδονται προς διάφορες κατευθύνσεις και κάμπτονται απότομα λόγω της διάθλασης ή ανάκλασής τους σε D διάφορα οπτικά στοιχεία. Θεωρούμε ότι σε ομογενή μέσα οι φωτεινές ακτίνες διαδίδονται ευθύγραμμα και αγνοούμε τον κυματικό χαρακτήρα του φωτός, εφαρμόζοντας τους νόμους της ανάκλασης και της διάθλασης χωρίς περιορισμούς. Σε L όλα τα οπτικά συστήματα, το φως διαδίδεται πάντα μέσα από κάποιο αριθμό οπών, διαφραγμάτων ή σχισμών από τις οποίες διέρχεται ένα μέρος του προσπίπτοντος κυματομετώπου. Η Γεωμετρική Οπτική μπορεί να θεωρηθεί ως το όριο της Κυματικής Οπτικής στο οποίο η περίθλαση στα στοιχεία αυτά είναι αμελητέα. Στο παράδειγμα του σχήματος 1, επίπεδο κύμα προσπίπτει σε οπή διαμέτρου D και διαδίδεται μέχρι την οθόνη που απέχει από αυτή απόσταση L. Εάν τα φαινόμενα περίθλασης είναι αμελητέα τότε το διερχόμενο κύμα θα συνεχίσει να είναι επίπεδο και οι διαστάσεις της διαδιδόμενης δέσμης θα είναι ίσες με αυτές της οπής. Διαφορετικά θα παρατηρήσουμε αποκλίσεις από την ευθύγραμμη διάδοση. Αποδεικνύεται ότι για να ισχύει η Γεωμετρική Οπτική πρέπει οι διαστάσεις του ανοίγματος να είναι πολύ μεγαλύτερες του μήκους κύματος λ της ακτινοβολίας. Ακριβέστερα, θα πρέπει να ικανοποιείται η σχέση, D Lλ. (1) Σε ότι ακολουθεί αποδεχόμαστε την ισχύ της (1). 2.2 Ο νόμος της ανάκλασης. Υποθέστε ότι φωτεινή ακτίνα (ή φωτεινή δέσμη) διαδίδεται σε κάποιο διαφανές μέσο (π.χ. αέρας) και προσπίπτει σε επίπεδη και λεία επιφάνεια. Η επιφάνεια αυτή μπορεί να είναι είτε αδιαφανής είτε απλώς η μεσεπιφάνεια μεταξύ δύο διαφανών υλικών. Κατά την ανάκλαση το φως αλλάζει διεύθυνση διάδοσης αλλά παραμένει εντός του ιδίου μέσου. Ο νόμος της ανάκλασης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Κατά την ανάκλαση, (α) η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη ακτίνα και η κάθετη στην ανακλαστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται επί του αυτού επιπέδου το οποίο ονομάζουμε επίπεδο πρόσπτωσης, και (β) η γωνία πρόσπτωσης θ π ισούται με τη γωνία ανάκλασης θ π, δηλαδή ισχύει: θ π =θ α. (2) Λεπτοί φακοί 1/12

3 Ανακλαστική Επιφάνεια Επίπεδο πρόσπτωσης Ανακλώμενη ακτίνα θ α θ π θ π θ α Κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης Προπίπτουσα ακτίνα Σχήμα 2. Ως γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης ορίζουμε αυτές που σχηματίζονται από την κάθετη στην επιφάνεια και την προσπίπτουσα και ανακλώμενη ακτίνα αντίστοιχα. Η διάχυτη ανάκλαση (ή απλά διάχυση) του φωτός από τραχιές επιφάνειες εξηγείται μέσω της εφαρμογής του νόμου της ανάκλασης σε κάθε στοιχειώδη επιφάνεια που μπορεί να θεωρηθεί επίπεδη. 2.3 Ο νόμος της διάθλασης. Υποθέστε τώρα ότι φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στην επίπεδη και λεία μεσεπιφάνεια μεταξύ δύο διαφανών υλικών. Στην περίπτωση αυτή, εκτός από ανάκλαση, παρατηρείται και διάθλαση δηλαδή αλλαγή τόσο της διεύθυνσης διάδοσης του φωτός όσο και του μέσου διάδοσης. Ο νόμος της διάθλασης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Κατά τη διάθλαση, (α) η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη ακτίνα και η κάθετη στη διαθλαστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται επί του αυτού επιπέδου (επίπεδο πρόσπτωσης) και (β) η γωνία πρόσπτωσης θ π συνδέεται με τη γωνία διάθλασης θ δ μέσω της σχέσης, n π sinθ π =n δ sinθ δ. (3) n π n δ Ανακλαστική/ ιαθλαστική Επιφάνεια Επίπεδο πρόσπτωσης ιαθλώμενη ακτίνα θ α θ δ θ π n π θ π θ α Κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης n π <n δ Προπίπτουσα ακτίνα n δ θ δ Σχήμα 3. Στη σχέση (3) (που είναι γνωστή ως νόμος του Snell) η γωνία διάθλασης ορίζεται ανάλογα με αυτές της πρόσπτωσης και ανάκλασης, δηλαδή είναι η γωνία μεταξύ της κάθετης στην επιφάνεια και Λεπτοί φακοί 2/12

4 της διαθλώμενης ακτίνας. Οι δείκτες διάθλασης n π και n δ χαρακτηρίζουν το κάθε διαφανές υλικό και ορίζονται από τη σχέση, c λ n ο (4) co λ όπου c o και λ ο η ταχύτητα και το μήκος κύματος του φωτός στο κενό και c και λ η ταχύτητα και το μήκος κύματός του στο διαφανές υλικό. Μεταξύ δύο υλικών, αυτό με το μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης ονομάζεται οπτικά πυκνότερο. Ο δείκτης διάθλασης του κενού είναι προφανώς ίσος με 1. Ο δείκτης διάθλασης του αέρα είναι Όμως η ακρίβεια προσδιορισμού του δείκτη διάθλασης διαφανών υλικών μέσω των πειραμάτων των εργαστηρίων Κυμάνσεων & Οπτικής περιορίζεται συνήθως στα δύο δεκαδικά ψηφία και για το λόγο αυτό θεωρούμε από εδώ και στο εξής ότι n αέρα 1. Πρέπει επίσης να τονιστεί ότι, ακόμη και για το ίδιο διαφανές υλικό, ο δείκτης διάθλασης έχει έ- ντονη εξάρτηση από το μήκος κύματος του φωτός. Η εξάρτηση αυτή θα μελετηθεί διεξοδικά στην άσκηση του φασματοσκοπίου. Εάν n π <n δ, (πέρασμα από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο) τότε θ π >θ δ και η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετη στη μεσεπιφάνεια. Αντίθετα, εάν n π >n δ, (πέρασμα από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο) τότε θ π <θ δ και η διαθλώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετη στη μεσεπιφάνεια. 2.4 Είδωλα & παραξονική προσέγγιση. Στο σχήμα 4 από το σημείο S εκπέμπεται Μάτι Παρατηρητή αποκλίνουσα δέσμη φωτεινών ακτίνων η οποία α- S νακλάται από την επιφάνεια του επίπεδου κατόπτρου σύμφωνα με το νόμο της ανάκλασης και εισέρχεται στο μάτι του παρατηρητή. Σε αυτόν δημιουργείται η εντύπωση ότι οι ακτίνες εκκινούν από το σημείο S το οποίο είναι το είδωλο του S. Το είδωλο αυτό είναι φανταστικό, αφού σχηματίζεται από τις προεκτάσεις ακτίνων και όχι από τις ίδιες τις ακτίνες. Παρ όλα αυτά, όπως γνωρίζουμε από θ π θ α την καθημερινή μας εμπειρία, τα φανταστικά είδωλα Σχήμα 4. μπορούμε να τα δούμε. Δεν μπορούν όμως να S' σχηματιστούν σε οθόνη. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο για τα πραγματικά είδωλα, δηλαδή αυτά που δημιουργούνται από τις ίδιες τις ακτίνες και όχι τις προεκτάσεις τους. Οι λείες επιφάνειες χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τις ασφαιρικές (ελλειπτικές, παραβολικές κλπ) και τις σφαιρικές. Τα ασφαιρικά στοιχεία εμφανίζουν καλύτερες ιδιότητες απεικόνισης αλλά παρουσιάζουν κατασκευαστικές δυσκολίες. Εδώ θα αναφερθούμε μόνο σε σφαιρικά κάτοπτρα και φακούς που παρουσιάζουν σειρά σφαλμάτων κατά την εστίαση/απεικόνιση. Τα σφάλματα αυτά ελαχιστοποιούνται εάν ισχύει η λεγόμενη παραξονική προσέγγιση ότι δηλαδή: Οι φωτεινές ακτίνες βρίσκονται κοντά στον άξονα του συστήματος και σχηματίζουν μικρές γωνίες με αυτόν. Στο σχήμα 5 παρατηρούμε ότι η εάν η φωτεινή δέσμη έχει μεγάλη εγκάρσια διάστάση, συγκρίσιμη με του σφαιρικού φακού, δεν ε- στιάζονται όλες οι φωτεινές ακτίνες στο ίδιο σημείο, όπως θα συνέβαινε εάν οι επιφάνειές του ήταν παραβολικές. Λόγω του ότι τα σφάλμα αυτό οφείλεται στο σφαιρικό σχήμα των δύο επιφανειών Σχήμα 5. Λεπτοί φακοί 3/12

5 του φακού ονομάζεται σφάλμα σφαιρικότητας ή σφαιρική εκτροπή. Όταν όμως οι διαστάσεις της δέσμης είναι μικρές όλες οι ακτίνες εστιάζονται με πολύ καλή προσέγγιση στο ίδιο σημείο. 2.5 Είδη φακών & τύπος κατασκευαστών των λεπτών φακών. Οι δύο μεγάλες κατηγορίες φακών είναι οι συγκλίνοντες (συγκεντρωτικοί) και οι αποκλίνοντες (αποκεντρωτικοί). Οι πρώτοι εστιάζουν προσπίπτουσα παράλληλη (α) Συγκεντρωτικός Εστιακή απόσταση, >0 (β) Αποκεντρωτικός φωτεινή δέσμη (σχήμα 6(α)) ενώ οι αποκλίνοντες την α- πεστιάζουν (σχήμα 6(β)). Η δράση Ο Εστία και των δύο είναι αποτέλεσμα <0 του νόμου της διάθλασης και της καμπυλότητας που παρουσιάζουν οι επιφάνειές τους. Ο υπολογισμός των χαρακτηριστικών τους απλοποιείται κατά πολύ εάν θεωρήσουμε ότι είναι λεπτοί, δηλαδή ότι το πάχος τους είναι πολύ μικρότερο της εστιακής τους απόστασης. Η τελευταία συμβολίζεται Εστιακό επίπεδο με και ορίζεται ως η από- σταση μεταξύ του φακού (ακριβέστερα του οπτικού του κέντρου Ο) και του σημείου - εστίας - ό- που συγκλίνουν όλες οι φωτεινές Οπτικός άξονας ακτίνες μιας παράλληλης φωτεινής δέσμης (ή οι προεκτάσεις Οπτικό κέντρο τους). Λόγω της αντίστροφης πορείας του φωτός κάθε φακός έχει δύο εστίες εκατέρωθεν αυτού. Σε Συμβολισμός Σχήμα 6. λεπτό φακό και οι δύο απέχουν ίση απόσταση από αυτόν, δηλαδή οι δεξιά και η αριστερή εστιακή απόσταση είναι ίσες. Συμβολίζοντας με n γ το δείκτη διάθλασης του γυαλιού από το οποίο είναι κατασκευασμένος και υποθέτοντας ότι περιβάλλεται εξ ολοκλήρου από διαφανές μέσο με δείκτη διάθλασης n περ, η εστιακή απόσταση λεπτού φακού δίνεται από τον λεγόμενο τύπο των κατασκευαστών των λεπτών φακών που γράφεται 1 n n R1 R 2 (5) Στην (5) R 1 και R 2 είναι οι ακτίνες καμπυλότητας των επιφανειών που συναντούν οι φωτεινές ακτίνες (πρώτη και δεύτερη αντίστοιχα). Τόσο αυτές όσο και η εστιακή απόσταση μπορούν να πάρουν θετικές ή αρνητικές τιμές. Οι συμβάσεις προσήμων φαίνονται στο σχήμα 7. Έτσι λοιπόν, εάν το κέντρο καμπυλότητας C μιας επιφάνειας βρίσκεται από τη μεριά πρόσπτωσης Κατεύθυνση πρόσπτωσης φωτεινών ακτίνων Σχήμα 7. C R<0 R Λεπτοί φακοί 4/12 R>0 C

6 των φωτεινών ακτίνων τότε η ακτίνα αυτή είναι αρνητική. Διαφορετικά είναι θετική. Εάν η επιφάνεια είναι επίπεδη η ακτίνα καμπυλότητάς της είναι άπειρη. Όσο για την εστιακή απόσταση όπως αυτή προκύπτει από την (5), εάν αυτή είναι θετική τότε μιλάμε για συγκλίνοντα ή θετικό φακό. Στην αντίθετη περίπτωση ο φακός είναι αποκλίνων ή αρνητικός. Προσέξτε ότι το πρόσημο της και η δράση του φακού δεν εξαρτώνται μόνον από τα πρόσημα των ακτίνων καμπυλότητας αλλά και από το σχετικό δείκτη διάθλασης n σχ =n γ /n περ. Στη συνηθέστερη περίπτωση όπου n σχ >1, οι συγκλίνοντες φακοί είναι λεπτότεροι στα άκρα και παχύτεροι στο κέντρο τους, ενώ οι αποκλίνοντες παχύτεροι στα άκρα και λεπτότεροι στο κέντρο. Σημειώστε ακόμη ότι, εφόσον ο δείκτης διάθλασης εξαρτάται από το μήκος κύματος, η εστιακή απόσταση είναι διαφορετική για κάθε χρώμα. Αυτό το σφάλμα των φακών ονομάζεται χρωματική εκτροπή. A>0 n σχ >1, >0 A>0 n σχ >1, <0 a>0 (I) O a>0 b<0 (I) B>0 b>0 (II) (III) (III) (II) (i) B<0 (ii) Σχήμα Θεμελιώδης εξίσωση φακών, μεγέθυνση & γραφικός προσδιορισμός ειδώλων. Θεωρούμε παρακάτω την περίπτωση n σχ >1. Στα παραδείγματα του σχήματος 8 αντικείμενο απέχει από το συγκλίνοντα φακό απόσταση a. Η απόσταση του ειδώλου, b, από αυτόν δίνεται από τη θεμελιώδη εξίσωση των λεπτών φακών (6) a b Εάν συμβολίσουμε το μέγεθος του αντικειμένου με Α και του ειδώλου με Β, η μεγέθυνση Μ δίνεται από τη σχέση, B b M. (7) A a Τα μεγέθη a, b, Β, Μ μπορούν να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά (όπως και η ). Οι συμβάσεις προσήμων φαίνονται στο Πίνακα 1. Πίνακας 1. Συμβάσεις προσήμων για λεπτούς σφαιρικούς φακούς. Μέγεθος Πρόσημο + a Από τη μεριά πρόσπτωσης των ακτίνων (πραγματικό αντικείμενο) Μετά το φακό ως προς τη μεριά πρόσπτωσης των ακτίνων (φανταστικό αντικείμενο) b Μετά το φακό ως προς τη μεριά πρόσπτωσης των ακτίνων ( πραγματικό είδωλο) Από τη μεριά πρόσπτωσης των ακτίνων (φανταστικό είδωλο) B Ίδιας κατεύθυνσης με το Α Αντίθετης κατεύθυνσης σε σχέση με το Α Μ Μη-αντιστροφή ειδώλου ως προς αντικείμενο Αντιστροφή ειδώλου ως προς αντικείμενο Για το γραφικό προσδιορισμό του ειδώλου ενός σημείου του αντικειμένου αρκεί να βρούμε το σημείο τομής δύο φωτεινών ακτίνων (ή των προεκτάσεών τους) που εκκινούν από αυτό. Χρησιμοποιούμε συνήθως το πλέον απομεμακρυσμένο από τον οπτικό άξονα σημείο και τουλάχιστον δύο από τις τρεις κύριες ακτίνες (Ι), (ΙΙ) και (ΙΙΙ) του σχήματος 8. Σύμφωνα με αυτές: Λεπτοί φακοί 5/12

7 (Ι) Προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα παράλληλη στον οπτικό άξονα περνά, η ίδια ή η προέκτασή της, μετά το φακό από τη μία εστία του. (ΙΙ) Η διεύθυνση προσπίπτουσας φωτεινής ακτίνας που περνά από το οπτικό κέντρο λεπτού φακού δεν υφίσταται καμία μεταβολή. (ΙΙΙ) Προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα που διέρχεται, η ίδια (>0) ή η προέκτασή της (<0), από την άλλη εστία του φακού παραλληλίζεται μετά από αυτόν. 2.7 Παραδείγματα Εστιακή απόσταση επιπεδόκοιλου φακού. Η δράση ενός φακού προφανώς δεν αλλάζει εάν εναλλαγεί η σειρά με την οποία η φωτεινή δέσμη συναντά τις δύο επιφάνειές του (αν και τα σφάλματα εξαρτώνται από τη σειρά αυτή). Θεωρήστε το παράδειγμα του σχήματος 9 όπου σημειώνεται η κατεύθυνση της προσπίπτουσας δέσμης και Σχήμα 9. R 1 R 2 <0 R 1 >0 R 2 οι δύο τρόποι που μπορεί να τοποθετηθεί ο επιπεδόκοιλος φακός. Στην περίπτωση (α) το φως συναντά πρώτα την επίπεδη επιφάνεια στην οποία αντιστοιχούμε την ακτίνα R 1. Η δεύτερη επιφάνεια έχει αρνητική ακτίνα καμπυλότητας R 2 <0. Έστω ότι ο φακός περιβάλλεται από αέρα συνεπώς n περ =1 και n σχ =n γ >1. Θέτοντας R 2 = R και χρησιμοποιώντας την (5) η εστιακή απόσταση γράφεται, 1 1 R n (8) R n 1 Στην περίπτωση (β) από την άλλη μεριά η δέσμη προσπίπτει πρώτα στην καμπύλη επιφάνεια. Τώρα, είναι η ακτίνα αυτής της επιφάνειας που θα ονομάσουμε R 1 και μάλιστα είναι θετική R 1 = R >0. Η επίπεδη επιφάνεια είναι η δεύτερη που συναντά το φως συνεπώς R 2. Εύκολα επιβεβαιώνεται ότι εισάγοντας αυτές τις ακτίνες στη (5) καταλήγουμε ξανά στη σχέση (8) και η εστιακή απόσταση είναι πάλι θετική. (α) (β) Είδωλα σφαιρικών κατόπτρων. Οι σχέσεις (6) και (7) ισχύουν και για τα σφαιρικά κάτοπτρα είτε είναι κοίλα, όπως αυτό του σχήματος 10, είτε κυρτά. Στην παραξονική προσέγγιση η εστιακή απόσταση των κατόπτρων δίνεται από τη σχέση, R (9) 2 όπου R η ακτίνα καμπυλότητας του κατόπτρου. Οι συμβάσεις των προσήμων είναι ίδιες με αυτές των φακών εκτός από αυτές που αφορούν την απόσταση κέντρου κατόπτρου-ειδώλου, b, όπου αντιστρέφονται. Τα κάτοπτρα έχουν το πλεονέκτημα ότι δεν εμφανίζουν χρωματική εκτροπή όπως οι φακοί μια και κατά την ανάκλαση δεν Α (ΙΙ) Σχήμα 10. a (Ι) (ΙIΙ) C Β R<0 F b>0 >0 O Λεπτοί φακοί 6/12

8 υπάρχει εξάρτηση από το μήκος κύματος Συστήματα φακών. Πολλές φορές η χρήση ενός και μόνο φακού δεν αρκεί για να φέρει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Γι αυτό και καταφεύγουμε σε συστήματα φακών. Εδώ θα περιοριστούμε στους δύο φακούς. Στο παράδειγμα του σχήματος 11 έχουμε επιλέξει να είναι και οι δύο συγκλίνοντες. Γενικά, για να βρούμε το τελικό είδωλο ενός αντικειμένου Α εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτα βρίσκουμε το είδωλο Β 1 του αντικειμένου ως προς τον πρώτο φακό χωρίς την παρουσία του άλλου (σχήμα 11(α)). Θεωρούμε στη συνέχεια το είδωλο αυτό ως αντικείμενο για το δεύτερο φακό και βρίσκουμε το τελικό είδωλο Β 2 χρησιμοποιώντας ξανά τους τρεις κανόνες της παραγράφου 2.5. Στο σχήμα 11(β) η απόσταση d μεταξύ των φακών είναι μεγαλύτερη από την απόσταση πρώτου φακού-πρώτου ειδώλου b 1. Έτσι, η απόσταση πρώτου ειδώλου-δεύτερου φακού (για τον οποίο είναι το αντικείμενο) a 2 = d - b 1 > 0 και το ενδιάμεσο αντικείμενο (Β 1 ) είναι πραγματικό. Αντίθετα, στο σχήμα 11(γ) η απόσταση d έχει επιλεγεί έτσι ώστε a 2 = d - b 1 < 0 οπότε το ενδιάμεσο αντικείμενο είναι φανταστικό (δημιουργείται από προεκτάσεις ακτίνων). Παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα δύο φακών (ενός συγκλίνοντος και ενός α- ποκλίνοντος) για τη μέτρηση της εστιακής απόστασης του αποκλίνοντος φακού. Ο λόγος για τον οποίο καταφεύγουμε σε αυτή τη σχετικά περίπλοκη μέθοδο είναι ότι η μέτρηση της εστιακής απόστασης αποκλινόντων φακών δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί άμεσα (διότι από μόνοι τους δεν δημιουργούν πραγματικά είδωλα) Μεγεθυντής δέσμης. Μία ενδιαφέρουσα περίπτωση συστήματος φακών είναι ο μεγεθυντής δέσμης που φαίνεται στο σχήμα 12. Αποτελείται από δύο συγκλίνοντες φακούς εστιακών αποστάσεων 1 και 2 > 1 τοποθετημένους σε απόσταση L= (10) Εάν παράλληλη δέσμη διαμέτρου d προσπέσει πρώτα στο φακό μικρότερης εστιακής απόστασης, στην έξοδο του συστήματος η δέσμη θα είναι πάλι παράλληλη αλλά με διαφορετική διάμετρο, έστω D. d 1 Σχήμα D Λεπτοί φακοί 7/12

9 Από ομοιότητα τριγώνων έχουμε D 2 (11) d 1 Συνεπώς η διάμετρος εξόδου είναι μεγεθυσμένη σε σχέση με τη διάμετρο εισόδου κατά το παράγοντα 2 / 1. Εάν το φως εισέλθει από την αντίθετη μεριά του συστήματος τότε θα έχουμε σμίκρυνση κατά τον παράγοντα 1 / 2, δηλαδή θα έχουμε ένα τηλεσκόπιο Keppler. 3. Πειραματική διάταξη. Στο σχήμα 13 φαίνονται τα όργανα και στοιχεία που θα χρησιμοποιήσετε στην άσκηση. Υπάρχουν δύο φωτεινές πηγές. Σε τρία πειράματα θα χρησιμοποιηθεί λάμπα πυρακτώσεως και στο τελευταίο laser He/Ne (λ=632.8 nm). Οι φακοί και η χιλιοστομετρική οθόνη τοποθετούνται σε κατάλληλες βάσεις (συνήθως μαγνητικής) στήριξης που μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκος μιας Laser He/Ne Λάμπα πυρακτώσεως Σχήμα 13. Οπτική ράγα Συγκλίνοντες φακοί Οθόνη & είδωλο νήματος πυρακτώσεως Αποκλίνοντες φακοί σε βάση οπτικής τράπεζας (ράγας) στην οποία τοποθετούνται και οι φωτεινές πηγές. Φροντίζετε πάντα η όλη διάταξη (φωτεινή πηγή, φακοί και οθόνη) να είναι ευθυγραμμισμένα για την καλύτερη εκτέλεση των πειραμάτων. Οι αποστάσεις μετρώνται με μετροταινία ή απευθείας από την κλίμακα που είναι ενσωματωμένη στην οπτική ράγα. Σημειώστε τέλος ότι σε κάποιες ασκήσεις ως αντικείμενο προς απεικόνιση θα χρησιμοποιηθεί το νήμα πυρακτώσεως της λάμπας. Το νήμα βρίσκεται στο ε- σωτερικό της λάμπας και σε απόσταση 2.2 cm από την εμπρόσθια πλευρά της από όπου εξέρχεται το φως. Την απόσταση αυτή θα πρέπει να την συνυπολογίζετε στον υπολογισμό της απόστασης α- ντικειμένου-φακού. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. 4.1 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού & μεγέθους αντικειμένου. Στο πείραμα αυτό ένας συγκλίνων φακός δημιουργεί σε οθόνη το πραγματικό είδωλο ενός αντικειμένου. Μεταβάλλοντας την απόσταση μεταξύ αντικειμένου και φακού, a, μεταβάλλεται προφανώς η απόσταση μεταξύ φακού και ειδώλου, b, αλλά και το μέγεθός του Β, συνεπώς και η μεγέθυνση Μ. Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε τόσο την εστιακή απόσταση όσο και το μέγεθος του αντικειμένου Α. Για την πρώτη θα βασιστούμε στη σχέση (6) των λεπτών φακών η οποία μπορεί να γραφεί και ως a b = (a + b) (12) δηλαδή έχει μορφή ευθείας y=κ x με y= a b, x = a + b και κλίση κ =. Αντίστοιχα για το μέγεθος του αντικειμένου χρησιμοποιούμε τη σχέση (7) της μεγέθυνσης (κατ απόλυτη τιμή), την οποία γράφουμε ως Λεπτοί φακοί 8/12

10 Β = Α Μ (13) που είναι πάλι της μορφής y=κ x με y= Β, x= Μ = b/a και κλίση κ= Α. Ως αντικείμενο θα χρησιμοποιήσετε το ίδιο το νήμα πυρακτώσεως της φωτεινής πηγής. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Επιλέξτε έναν από τους διαθέσιμους συγκλίνοντες φακούς και σημειώστε την ονομαστική τιμή της εστιακής του απόστασης. Επιλέξτε κατά προτίμηση φακό μεγάλης εστιακής απόστασης (π.χ 127 mm ή 252 mm). 2. Τοποθετήστε την βάση με την χιλιοστομετρική οθόνη απεικόνισης του ειδώλου σε κάποια απόσταση από την εμπρόσθια επιφάνεια της λάμπας πυρακτώσεως. Μετρείστε την απόσταση αυτή και προσθέστε τα 2.2 cm, δηλαδή την απόσταση μεταξύ εμπρόσθιας πλευράς της λάμπας και του νήματος πυρακτώσεως. Συμβολίζουμε τη συνολική αυτή απόσταση με. 3. Τοποθετήστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό μεταξύ της λάμπας και της οθόνης και μετακινήστε την έως ότου εμφανιστεί στην οθόνη το ευκρινές είδωλο του νήματος. Μετρείστε την απόσταση μεταξύ φακού και ειδώλου b και υπολογίστε την απόσταση a = b. 4. Μετρείστε στην οθόνη το μέγεθος του ειδώλου, έστω Β. 5. Επαναλάβατε τα βήματα 2 και 3 για ακόμη 6-9 διαφορετικές αποστάσεις i. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις i, a i, b i και Β i σε πίνακα. 6. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές a i, b i και Β i να περιέχει και τις τιμές a i + b i, a i b i και Μ i = b i /a i. 7. Κατασκευάστε τις γραφικές παραστάσεις a i b i = F(a i + b i ) και Β i = F( Μ i ) (mm-χαρτί) που α- ναμένουμε να είναι ευθείες με σημείο οδηγό το (0,0) [δηλαδή πρέπει να περνούν - τόσο οι κύριες όσο και οι βοηθητικές - υποχρεωτικά από αυτό και πρέπει να συμπεριλαμβάνεται στο διάγραμμα]. Βρείτε τις κλίσεις κ= και κ= Α και τα σφάλματά τους από τα διαγράμματα. Ειδικά για της εστιακή απόσταση, βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή που σημειώσατε. Συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά. 4.2 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού με τη μέθοδο Bessel. Στόχος μας και εδώ είναι ο προσδιορισμός της εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού αλλά αυτή τη φορά με τη μέθοδο Bessel. Η τελευταία βασίζεται στο γεγονός ότι, εάν ισχύει =a+b 4, υπάρχουν δύο θέσεις του φακού για τις οποίες δημιουργείται πραγματικό είδωλο. Χρησιμοποιώντας την (6), οι δύο αποστάσεις αντικειμένου-φακού για τις οποίες συμβαίνει αυτό ικανοποιούν την εξίσωση a 2 2 a + = 0. Ορίζοντας την απόσταση d μεταξύ των δύο θέσεων, έστω Ο 1 και Ο 2 (σχήμα 14) καταλήγουμε στη σχέση 2 2 d, 4 (14) 4 Η (14) μπορεί να γραφεί και στη μορφή 2 d 2 = (4 ) που παριστάνει ευθεία της μορφής y=κ x με y= 2 d 2, x=4 και κλίση κ=. Από την (14) προκύπτει ότι για =4 οι δύο θέσεις συμπίπτουν, ενώ για >4 βρίσκονται συμμετρικά ως προς τις σταθερές θέσεις του αντικειμένου Α και του ειδώλου Β. Συνεπώς ισχύει ότι a 1 = b 2, και a 2 = b 1 οπότε οι μεγεθύνσεις Μ 1 = b 1 /a 1 και Μ 2 = b 2 /a 2 για την πρώτη και δεύτερη θέση αντίστοιχα συνδέονται μέσω της σχέσης Μ 1 Μ 2 =1. Στη μία λοιπόν θέση το είδωλο είναι μεγαλύτερο του αντικειμένου και στην άλλη μικρότερο. Η μέθοδος παρουσιάζει το πλεονέκτημα ότι, εφόσον μετρώνται οι αποστάσεις και d μεταξύ αντικειμένου-ειδώλου και των δύο θέσεων Λεπτοί φακοί 9/12 (i) (ii) a 1 Σχήμα 14. O 1 a 2 d O 2 b 1 b 2

11 του φακού αντίστοιχα αλλά όχι οι αποστάσεις a και b απευθείας, μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση μη-λεπτών φακών. Ως αντικείμενο θα χρησιμοποιήσετε πάλι το νήμα πυρακτώσεως της φωτεινής πηγής. Εργαστείτε κατά προτίμηση με τον ίδιο φακό του προηγουμένου πειράματος και φροντίστε ώστε για ό- λες τις μετρήσεις να ικανοποιείται η συνθήκη 4. Μην αμελήσετε επίσης να λάβετε υπ όψη την απόσταση των 2.2 cm μεταξύ της εμπρόσθιας πλευράς της λάμπας και του νήματος πυρακτώσεως στον υπολογισμό της απόστασης. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Τοποθετήστε την βάση με την οθόνη απεικόνισης του ειδώλου σε απόσταση. 2. Τοποθετήστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό μεταξύ της λάμπας και της οθόνης και μετακινήστε την έως ότου εμφανιστεί στην οθόνη ευκρινές είδωλο του νήματος μεγαλύτερο του αντικειμένου. Σημειώστε τη θέση αυτή. 3. Χωρίς μεταβολή της μετακινήστε ξανά τη βάση με το φακό έως ότου εμφανιστεί στην οθόνη ευκρινές είδωλο του νήματος μικρότερο του αντικειμένου. Σημειώστε και αυτή τη θέση και βρείτε τη διαφορά d μεταξύ των δύο θέσεων. 4. Επαναλάβατε τα βήματα 2 και 3 για 6-9 φορές ακόμη. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις i, και d i σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές i, και d i να περιέχει και τις τιμές 4 i και i 2 d i Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση i 2 d i 2 = F(4 i ) (σημείο οδηγός το (0,0)) σε mm-χαρτί και βρείτε την κλίση κ= και το σφάλμα της. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. Συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά και συγκρίνετε το σφάλμα της μεθόδου Bessel με αυτό της προηγούμενης μεθόδου. 4.3 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού μέσω συστήματος φακών. Όπως είπαμε και στην παράγραφο η μέτρηση της εστιακής απόστασης αποκλινόντων φακών δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί άμεσα διότι από μόνοι τους δεν δημιουργούν πραγματικά είδωλα. Για το λόγο αυτό καταφεύγουμε εδώ σε σύστημα ενός συγκλίνοντος ( 1 >0) και ενός αποκλίνοντος ( 2 <0) φακού (με το φως να προσπίπτει πρώτα στον συγκλίνοντα). Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να παράγει πραγματικό τελικό είδωλο εάν ισχύουν οι δύο παρακάτω συνθήκες: (Ι) το ενδιάμεσο αντικείμενο είναι φανταστικό (συνεπώς a 2 = d - b 1 < 0) και (ΙΙ) 2 > a 2. Οι ορισμοί των αποστάσεων φαίνονται στα σχήματα 15(α,β). Ως αντικείμενο χρησιμοποιήστε πάλι το νήμα πυρακτώσεως. Εργαστείτε με συγκλίνοντα φακό σχετικά μεγάλης εστιακής α- πόστασης και τον αμφίκοιλο φακό Φ4 για τον οποίο η αναμενόμενη τιμή της εστιακής απόστασης είναι -167 mm. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: Λεπτοί φακοί 10/12

12 1. Τοποθετήστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό σε σταθερή απόσταση a 1 από το νήμα. Η απόσταση αυτή δεν χρειάζεται να μετρηθεί αλλά πρέπει να είναι τέτοια ώστε η απόσταση b 1 (που πρέπει να μετρηθεί αλλά είναι σταθερή σε όλη της διάρκεια του πειράματος) να είναι αρκετά μεγάλη ώστε να έχετε μεγάλη περιοχή μετρήσεων. Βρείτε τη θέση του πρώτου ειδώλου και σημειώστε τη. 2. Τοποθετήστε τη βάση με τον αποκλίνοντα φακό σε θέση που βρίσκεται μεταξύ του συγκλίνοντα φακού και της θέσης που σημειώσατε στο βήμα 1. Μετρήστε την απόσταση d μεταξύ των δύο φακών και υπολογίστε το μέγεθος a 2 = d b 1 <0. Φροντίστε ώστε η απόσταση a 2 που προκύπτει να είναι (κατ απόλυτη τιμή) μικρότερη από την αναμενόμενη τιμή της εστιακής απόστασης του Φ4. 3. Βρείτε τη θέση του τελικού ειδώλου μετακινώντας τη βάση με την οθόνη και μετρήστε την απόστασή του, b 2, από τον αποκλίνοντα φακό. 4. Επαναλάβατε τα βήματα 2 και 3 για 6-9 φορές ακόμη για διάφορες τιμές d i προσέχοντας ώστε να ισχύουν πάντα οι συνθήκες (Ι) και (ΙΙ). Συγκεντρώστε τις μετρήσεις a 2i, και b 2i σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές a 2i, και b 2i, να περιέχει και τις τιμές a 2i + b 2i και a 2i b 2i <0. 6. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση a 2i b 2i = F(a 2i + b 2i ) (mm-χαρτί) που αναμένεται να είναι ευθεία με σημείο οδηγό το (0,0) και αρνητική κλίση ίση με 2. Βρείτε τη κλίση και το σφάλμα της. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. Συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά. 4.4 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού με τη μέθοδο διαμέτρου φωτεινής δέσμης laser & μεγεθυντή δέσμης. Στο πείραμα αυτό θα προσδιορίσουμε την εστιακή απόσταση αποκλίνοντος φακού (του επιπεδόκοιλου Φ5) με διαφορετική μέθοδο. Έστω D ο η D o d διάμετρος παράλληλης δέσμης Laser He/Ne D που προσπίπτει στο φακό και D η διάμετρος της αποκλίνουσας 1 2 δέσμης μετά το φακό (τον οποίο θεωρούμε λεπτό). Μέσω του Σχήμα σχήματος 16 και ομοιότητας τριγώνων έχουμε, D D 1 1 (15) Do Do Η σχέση (15) στη δεύτερη μορφή της παριστάνει ευθεία y=κ x + c με y= D/D ο, x=,σταθερά c=1 και κλίση κ=1/. Συνεπώς έχει σημείο οδηγό το σημείο (0,1). Για τον προσδιορισμό της πρέπει να μετρήσουμε την αρχική διάμετρο της δέσμης D ο καθώς και τη διάμετρό της D μετά το φακό σε διάφορες αποστάσεις από αυτόν. Αντιμετωπίζουμε όμως το πρόβλημα ότι η δέσμη laser έχει πολύ μικρή διατομή d (της τάξης του 1 mm) και οι μετρήσεις των διαμέτρων είναι δύσκολες και ανακριβείς. Για το λόγο αυτό πριν προχωρήσουμε χρησιμοποιούμε ένα μεγεθυντή δέσμης του τύπου που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 2.7.4, δηλαδή με δύο συγκλίνοντες φακούς εστιακών αποστάσεων 1 και 2 > 1 τοποθετημένους σε απόσταση L= Είναι η διάμετρος της εξερχόμενης από το μεγεθυντή δέσμης που θα προσπέσει στον επιπεδόκοιλο φακό. Η διάμετρος αυτή θα είναι ίση με D ο =d 2 / 1. Από τους διαθέσιμους φακούς χρησιμοποιήστε αυτούς που σας δίνουν τη μεγαλύτερη δυνατή μεγέθυνση. Στο σχήμα 16 φαίνεται σχηματικά η διάταξη στο σύνολό της. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Λεπτοί φακοί 11/12

13 1. Αντικαταστήστε τη λάμπα πυρακτώσεως με το laser He/Ne στην οπτική ράγα και θέστε το σε λειτουργία. 2. Τοποθετήστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό μικρότερης εστιακής απόστασης 1 όσο κοντύτερα γίνεται στην έξοδο του laser. Κατόπιν τοποθετήστε την άλλη βάση με το συγκλίνοντα φακό μεγαλύτερης εστιακής απόστασης 2 σε απόσταση από το πρώτο ίση με το άθροισμα των αναγραφόμενων εστιακών τους αποστάσεων. Ελέγξτε με χιλιοστομετρική οθόνη ότι πράγματι η εξερχόμενη από το σύστημα δέσμη διατηρεί τη ίδια διάμετρο σε κοντινές, μέσες και μακρινές αποστάσεις. Εάν όχι μετακινείστε ελαφρά τη βάση του δεύτερο φακού έως ότου το επιτύχετε. Τότε μετρήστε αυτή τη διάμετρο D ο. 3. Τοποθετήστε τη βάση με τον επιπεδόκοιλο φακό Φ5 μετά τον φακό 2 και όσο κοντύτερα γίνεται. Τοποθετήστε τη βάση με τη χιλιοστομετρική οθόνη σε απόσταση από τον Φ5. Μετρήστε την απόσταση και τη διάμετρο της δέσμης D. 4. Κρατώντας της θέση του Φ5 σταθερή μετακινήστε την οθόνη σε διάφορες θέσεις i και μετρήστε τις διαμέτρους D i (6-9 φορές). Συγκεντρώστε τις μετρήσεις i και D i καθώς και την D ο σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές i και D i να περιέχει και τις τιμές D i /D ο. 6. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση D i /D ο = F( i ) (mm-χαρτί) με σημείο οδηγό το (0,1). Βρείτε την κλίση και το σφάλμα της και από αυτά την (κατ απόλυτη τιμή) εστιακή απόσταση του Φ5 και το σφάλμα της. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή η οποία είναι ίση με -360 mm. Συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά. 5. Βιβλιογραφία. [1] D. Halliday& R. Resnick, Φυσική, Τόμος Β (1976). [2] Γ. Ασημέλλης, Μαθήματα Οπτικής, Σύγχρονη Γνώση (2008). [3] E. Hecht, Optics, Addison-Wesley, MA, Second Edition (1987). [4] Α. Χριστοδουλλίδης, Εργαστηριακά Πειράματα Φυσικής 3, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων (2005). (αντίτυπα υπάρχουν στο αναγνωστήριο). Λεπτοί φακοί 12/12