Ένα πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης αναπαρίσταται από... 10

1 Επιχειρησιακή Έρευνα Δικτυωτή Ανάλυση. Μέρος Ι Νίκος Τσάντας Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2012-13 Εισαγωγή 2 1 Ένα πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης αναπαρίσταται από... 10 4 5 7 8 4 11 6 3 1 9 10 Κόμβους Ακμές Τιμή στις Ακμές

2 Εισαγωγή Σπουδαιότητα της Δικτυωτής Ανάλυσης Πολλά καθημερινά προβλήματα επιλύονται με τη βοήθεια της δικτυωτής ανάλυσης. Λόγω της ειδικής μαθηματικής φύσης τους, οι βέλτιστες λύσεις αυτών των προβλημάτων είναι ακέραιες χωρίς απαιτούνται ιδιαίτεροι περιορισμοί προκειμένου να εξασφαλιστεί κάτι τέτοιο. Οι αλγόριθμοι επίλυσης των διαφόρων μοντέλων είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικοί, ακόμη και για προβλήματα μεγάλων διαστάσεων. Δικτυωτή Ορολογία Ροή η ποσότητα που ρέει από τον κόμβο i προς τον κόμβο j, μέσω της ακμής που τους συνδέει. Χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί: X ij = ποσότητα ροής U ij = άνω φράγμα της ροής L ij = κάτω φράγμα της ροής Προσανατολισμένες / Μη Προσανατολισμένες Ακμές όταν η ροή επιτρέπεται μόνο προς μία κατεύθυνση αυτή είναι προσανατολισμένη (βέλος). Όταν η ροή επιτρέπεται και προς τις δύο κατευθύνσεις αυτή είναι μη προσανατολισμένη.

3 Δικτυωτή Ορολογία Μονοπάτι / Συνεκτικό Δίκτυο Μονοπάτι: μια ακολουθία συνεχόμενων ακμών. Συνεκτικό Δίκτυο: Όταν για ένα (υπο)δίκτυο υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι που συνδέει κάθε δυάδα κόμβων του, τότε έχουμε ένα συνεκτικό (υπο)δίκτυο. Κύκλος / Δέντρο / Ζευγνύον Δέντρο Κύκλος: ένα μονοπάτι αποτελεί ένα κύκλο όταν μπορούμε να επιστρέψουμε στον κόμβο που ξεκινήσαμε χωρίς να περάσουμε από την ίδια ακμή. Δέντρο: ένα (υπο)δίκτυο χωρίς κύκλους. Ζευγνύον Δέντρο: ένα δέντρο που συνδέει όλους τους κόμβους ενός δικτύου (αποτελείται από n -1 ακμές). Πρόβλημα Μεταφοράς Συνήθως, το πρόβλημα της μεταφοράς δημιουργείται στις περιπτώσεις που θέλουμε να αποστείλουμε αγαθά προερχόμενα από διάφορες προελεύσεις πηγές σε διάφορους προορισμούς με τον οικονομικότερο δυνατό τρόπο.

4 Πρόβλημα Μεταφοράς - Υπάρχουν m πηγές. Η i-πηγή έχει προσφορά S i. Υπάρχουν n προορισμοί. Η ζήτηση του j-προορισμού είναι D j. Σκοπός: Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς των ζητουμένων ποσοτήτων στους προορισμούς από το διαθέσιμο απόθεμα των πηγών. CARLTON PHARMACEUTICALS Η Carlton Pharmaceuticals παράγει σειρά φαρμακευτικών ειδών. Έχει τρία εργοστάσια: Cleveland (1), Detroit (2), Greensboro (3). Έχει τέσσερις αποθήκες: Boston (1), Richmond (2), Atlanta (3), St. Louis (4). Η διοίκηση της Carlton επιθυμεί να μεταφέρει κιβώτια με κάποιο εμβόλιο όσο το δυνατόν οικονομικότερα.

5 Δεδομένα CARLTON PHARMACEUTICALS Μοναδιαίο κόστος μεταφοράς, προσφορά, ζήτηση Προς Από Boston (1) Richmond (2) Atlanta (3) St. Louis (4) Προσφορά Cleveland (1) $35 30 40 32 1200 Detroit (2) 37 40 42 25 1000 Greensboro (3) 40 15 20 28 800 Ζήτηση 1100 400 750 750 Υποθέσεις Τα μοναδιαία κόστη μεταφοράς παραμένουν σταθερά. Όλες οι μεταφορές γίνονται ταυτόχρονα. Επιτρεπτή είναι μόνο η μεταφορά από τις πηγές προς τους προορισμούς. Η συνολική ζήτηση ισούται με τη συνολική προσφορά. Πηγές CARLTON PHARMACEUTICALS Δίκτυο Προορισμοί 1 Boston D 1 =1100 Cleveland S 1 =1200 1 Richmond 2 D 2 =400 Detroit 2 S 2 =1000 Atlanta 3 D 3 =750 Greensboro S 3 = 800 3 4 St.Louis D 4 =750

6 CARLTON PHARMACEUTICALS Μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού Δομή του μοντέλου: Minimize Συνολικό Κόστος Μεταφοράς ST [Ποσότητα που μεταφέρεται από πηγή] [Διαθέσιμη ποσότητα πηγής] [Ποσότητα που καταλήγει σε προορισμό] = [Ζήτηση του προορισμού] Μεταβλητές Απόφασης X ij = οι ποσότητες που θα μεταφερθούν από το i-εργοστάσιο στη j- αποθήκη. όπου: i=1 (Cleveland), 2 (Detroit), 3 (Greensboro) j=1 (Boston), 2 (Richmond), 3 (Atlanta), 4(St.Louis) Προσφορά από Cleveland X11+X12+X13+X14 < 1200 Περιορισμοί προσφοράς Προσφορά από Detroit X21+X22+X23+X24 < 1000 Προσφορά από Greensboro X31+X32+X33+X34 < 800 X11 Cleveland 1 X12 S 1 =1200 X13 X21 X14 X22 2 Detroit X31 X32 S 2 =1000 X23 X24 X33 Boston 1 D 1 =1100 Richmond 2 3 D 2 =400 Atlanta D 3 =750 Greensboro S 3 = 800 3 X34 Τι γίνεται με τους περιορισμούς της ζήτησης?? 4 St.Louis D 4 =750

7 CARLTON PHARMACEUTICAL Το πλήρες γραμμικό μοντέλο Minimize 35X11+30X12+40X13+ 32X14 +37X21+40X22+42X23+25X24+ 40X31+15X32+20X33+38X34 ST Supply constrraints: Το συνολικό φορτίο από μια πηγή δεν μπορεί να ξεπερνά την προσφορά της πηγής. X11+ X12+ X13+ X14 1200 X21+ X22+ X23+ X24 1000 X31+ X32+ X33+ X34 800 Demand constraints: X11+ X21+ X31 = 1000 X12+ X22+ X32 = 400 X13+ X23+ X33 = 750 X14+ X24+ X34 = 750 All Xij are nonnegative Το συνολικό φορτίο που φτάνει σ έναν προορισμό πρέπει να ισούται με τη ζήτηση του. CARLTON PHARMACEUTICALS Γραμμικό Μοντέλο (winqsb)

8 CARLTON PHARMACEUTICALS Βέλτιστη Λύση Κόστος ευκαιρίας Το μοναδιαίο κόστος μεταξύ Cleveland και Atlanta πρέπει να ελαττωθεί τουλάχιστον κατά $5, προκειμένου να γίνει οικονομικά συμφέρουσα η χρήση αυτής της διαδρομής. Εάν αυτή η διαδρομή χρησιμοποιηθεί, το συνολικό κόστος θα αυξηθεί κατά $5 για κάθε φορτίο που θα μεταφέρεται μεταξύ των δύο πόλεων. CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Allowable Increase/Decrease Εύρος Αριστότητας. Το μοναδιαίο κόστος μεταξύ Cleveland και Boston μπορεί να αυξηθεί μέχρι $2 ή να ελαττωθεί μέχρι $5 χωρίς να σημειωθεί καμία αλλαγή στο βέλτιστο σχέδιο μεταφοράς.

9 CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Δυικές τιμές Για τα εργοστάσια, οι δυικές τιμές παριστούν το ποσό που θα εξοικονομείται για κάθε επιπλέον κιβώτιο που θα παράγεται. Για κάθε επιπλέον μονάδα που θα είναι διαθέσιμη στο Cleveland το συνολικό κόστος θα ελαττώνεται κατά $2. CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Δυικές τιμές Για τις αποθήκες, οι δυικές τιμές παριστούν το ποσό που θα εξοικονομείται για κάθε λιγότερο κιβώτιο που ζητείται. Για κάθε λιγότερη μονάδα που θα ζητείται στο Boston, το συνολικό κόστος θα ελαττώνεται κατά $37.

10 CARLTON PHARMACEUTICALS Αλγόριθμος «Ανακατανομής Εκχωρήσεων» CARLTON PHARMACEUTICALS Tableau Προβλήματος Μεταφοράς

11 CARLTON PHARMACEUTICALS Τελικό Tableau CARLTON PHARMACEUTICALS Βέλτιστη Λύση

12 CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Τροποποιήσεις στο πρόβλημα μεταφοράς Περιπτώσεις που τροποποιούν το βασικό μοντέλο. Blocked routes shipments along certain routes are prohibited Maximum Minimum shipment Maximum shipment Total supply is not equal to total demand

13 Limitations of Transportation Problem One commodity ONLY: any one product supplied and demanded at multiple locations. Invalid for multiple commodities (UNLESS transporting any one of the multiple commodities is completely independent of transporting any other commodity and hence can be treated by itself alone). Fixed-cost: transportation usually involves fixed charges. For example, the cost of truck rental (or cost of trucking in general) consists of a fixed charge that is independent of the mileage and a mileage charge that is proportional to the total mileage driven. Such fixed charges render the objective function NON-LINEAR and CONCAVE and make the problem much more difficult to solve. Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Μερικές φορές η μεταφορά προς τους σταθμούς προορισμού γίνεται μέσω σταθμών μεταφόρτωσης. Οι κόμβοι μεταφόρτωσης μπορεί να είναι Ενδιάμεσοι ανεξάρτητοι κόμβοι χωρίς ζήτηση ή προσφορά. Κόμβοι ζήτησης ή προσφοράς. Η μεταφορά μέσω των ακμών συνήθως φράζεται από δοσμένες ποσότητες.

14 Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Γραμμικό μοντέλο: Ροή πάνω στις ακμές μεταβλητές απόφασης Ελαχιστοποίηση κόστους αντικειμενική συνάρτηση Περιορισμοί για τους κόμβους: Πηγή Μεταφόρτωση Προορισμός : η ροή από τον κόμβο δεν ξεπερνά την παραγωγή : η ροή προς τον κόμβο ισούται με τη ροή από τον κόμβο : η ροή προς τον κόμβο ισούται με τη ζήτηση Περιορισμοί για τις ακμές: η ροή δεν μπορεί να ξεπερνά τη δυναμικότητα της ακμής DEPOT MAX Depot Max έχει έξι καταστήματα στην Κεντρική Μακεδονία και Θράκη.

15 DEPOT MAX The stores in towns E and F (nodes 5 and 6) are running low on the Arcadia workstation. DATA: 5-12 E 6-13 F DEPOT MAX The stores in towns A and B (nodes 1 and 2) have an access of 25 units. DATA: +10 A 1 5-12 E +15 B 2 6-13 F

16 DEPOT MAX DATA: The stores in towns C and F (nodes 3 and 4) are transshipment nodes with no excess supply or demand of their own. +10 A 1 3 C 5-12 E Depot Max wishes to transport the available workstations to E and F at minimum total cost. +15 B 2 4 D 6-13 F DEPOT MAX The possible routes and the shipping unit costs are shown. There are also upper limits (capacities) for quantities shipped to various routes DATA: 20 +10 A 3 6 1 10 3 C 8 8 7 7 5-12 E 5 6 12 11 7 +15 B 2 7 15 10 17 4 D 15 6 5-13 F

17 Παρατηρούμε ότι DEPOT MAX υπάρχουν διαφορετικά μοναδιαία κόστη μεταφοράς για τις διάφορες διαδρομές. υπάρχουν άνω φράγματα για τις ποσότητες που μπορούν να μεταφερθούν στις διάφορες διαδρομές. οι κόμβοι μεταφόρτωσης δεν έχουν ζήτηση ή προσφορά. δεν μπορεί να υπερβεί η προσφορά. η ζήτηση πρέπει να ικανοποιηθεί. Supply nodes: [Net flow out of the node] < [Supply at the node] 3 1 DEPOT MAX Είδη περιορισμών X 12 + X 13 + X 15 - X 21 < 10 (Node 1) X 21 + X 24 - X 12 < 15 (Node 2) Demand nodes: [Net flow into the node] = [Demand for the node] X 15 + X 35 +X 65 - X 56 = 12 (Node 5) X 46 +X 56 - X 65 = 13 (Node 6) Intermediate transshipment nodes: Capacity Constraints [Total flow out of the node] = [Total flow into the node] [Flow to any direction] [Flow Capacity] X 34 +X 35 = X 13 (Node3) X X 46 = X 24 + X 34 (Node 4) 20 15 6 (Node1 to Node 5) X 12 3 (Node1 to Node 2) 6 X 35 8 (Node 3 to Node 5) a.s.o. -12 +10 10 8 7 3 5 8 7 5 6 12 7 11 7 +15 7 2 4 10 15 17 15 6 5-13

18 DEPOT MAX Γραμμικό Μοντέλο Min 5X 12 + 10X 13 + 20X 15 + 6X 21 + 15X 24 + 12X 34 + 7X 35 + 15X 46 + 11X 56 + 7X 65 S.T. 10 X 12 + X 13 + X 15 X 21 - X 12 + X 21 + X 24 15 X 13 + X 34 + X 35 = 0 X 24 X 34 + X 46 = 0 X 15 + X 35 X 56 + X 65 = 12 X 46 + X 56 X 65 = 13 X 12 3; X 15 6; X 21 7; X 24 10; X 34 8; X 35 8; X 46 17; X 56 7; X 65 5 All variables are non-negative DEPOT MAX Βέλτιστη Λύση NODE INPUT ARC INPUT SOLUTION TOTAL COST= 645 NODE NAME NODE # SUPPLY DEMAND FROM TO COST CAPACITY FROM TO FLOW SLACK 100 Alexandria 1 10 1 2 5 3 1 2 Chevy Chase 2 15 1 3 10 100000 1 3 9 Fairfax 3 1 5 20 6 1 5 6 Georgetown 4 2 1 6 7 2 1 5 Falls Church 5 12 2 4 15 10 2 4 10 Betheda 6 13 3 4 12 8 3 4 1 3 5 7 8 3 5 8 4 6 15 17 4 6 11 5 6 11 7 5 6 2 6 5 7 5 6 5

DEPOT MAX LINDO model DEPOT MAX - LINDO Solution LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 645.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X12 0.000000 11.000000 X13 9.000000 0.000000 X15 6.000000 0.000000 X21 5.000000 0.000000 X24 10.000000 0.000000 X34 1.000000 0.000000 X35 8.000000 0.000000 X46 11.000000 0.000000 X56 2.000000 0.000000 X65 0.000000 18.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 6.000000 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 16.000000 4) 0.000000 28.000000 5) 0.000000-32.000000 6) 0.000000-43.000000 7) 3.000000 0.000000 8) 0.000000 6.000000 9) 2.000000 0.000000 10) 0.000000 13.000000 11) 7.000000 0.000000 12) 0.000000 9.000000 13) 6.000000 0.000000 14) 5.000000 0.000000 15) 5.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 5 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X12 5.000000 INFINITY 11.000000 X13 10.000000 INFINITY 6.000000 X15 20.000000 6.000000 INFINITY X21 6.000000 INFINITY 6.000000 X24 15.000000 13.000000 INFINITY X34 12.000000 INFINITY 6.000000 X35 7.000000 9.000000 INFINITY X46 15.000000 INFINITY 6.000000 X56 11.000000 6.000000 18.000000 X65 7.000000 INFINITY 18.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 1 10.000000 5.000000 0.000000 2 15.000000 INFINITY 0.000000 3 0.000000 5.000000 0.000000 4 0.000000 1.000000 0.000000 5 12.000000 0.000000 1.000000 6 13.000000 0.000000 1.000000 7 3.000000 INFINITY 3.000000 8 6.000000 1.000000 2.000000 9 7.000000 INFINITY 2.000000 10 10.000000 1.000000 2.000000 11 8.000000 INFINITY 7.000000 12 8.000000 1.000000 2.000000 13 17.000000 INFINITY 6.000000 14 7.000000 INFINITY 5.000000 19

20 DEPOT MAX Δίκτυο 66 9 8 5 1 2 10 11 Πρόβλημα Μεταφόρτωσης The following steps describe how the optimal solution to a transshipment problem can be found by solving a transportation problem. Step1. If necessary, add a dummy demand point (with a supply of 0 and a demand equal to the problem s excess supply) to balance the problem. Shipments to the dummy and from a point to itself will be zero. Let s= total available supply. Step2. Construct a transportation tableau as follows: A row in the tableau will be needed for each supply point and transshipment point, and a column will be needed for each demand point and transshipment point.

21 Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Each supply point will have a supply equal to it s original supply, and each demand point will have a demand to its original demand. Let s= total available supply. Then each transshipment point will have a supply equal to (point s original supply)+s and a demand equal to (point s original demand)+s. This ensures that any transshipment point that is a net supplier will have a net outflow equal to point s original supply and a net demander will have a net inflow equal to point s original demand. Although we don t know how much will be shipped through each transshipment point, we can be sure that the total amount will not exceed s. Πρόβλημα Εκχώρησης Ορισμός n εργασίες πρέπει να γίνουν από n εργαζόμενους Υπάρχει ένα μοναδιαίο κόστος (ή κέρδος) C ij εάν ο i- εργάτης πραγματοποιήσει τη j-εργασία. Ελαχιστοποιούμε το συνολικό κόστος (ή μεγιστοποιούμε το συνολικό κέρδος) της εκχώρησης των εργασιών στους εργαζόμενους, έτσι ώστε σε κάθε εργαζόμενο να εκχωρηθεί μία εργασία, και κάθε εργασία να υλοποιηθεί.

22 Πρόβλημα Εκχώρησης The Air Force has used this for assigning thousands of people to jobs This is a classical problem. Research on the assignment problem predates research on LPs. Very efficient special purpose solution techniques exist (10 years ago, Yusin Lee and J. Orlin solved a problem with 2 million nodes and 40 million arcs in ½ hour). BALLSTON ELECTRONICS Five different electrical devices produced on five production lines (A E), are needed to be inspected. The inspection cost for finished goods depends on both the production line and the inspection lab (1-5). Management wishes to designate a separate inspection lab to inspect the products such that the total cost minimized.

23 BALLSTON ELECTRONICS Data: Inspection cost for each combination of assembly line and inspection lab. Assembly line A B C D E 1 10 4 6 10 12 Inspection 2 11 7 7 9 14 Lab 3 13 8 12 14 15 4 14 16 13 17 17 5 19 17 11 20 19 BALLSTON ELECTRONICS In general an assignment problem is balanced transportation problem in which all supplies and demands are equal to 1.

24 Inspection Areas BALLSTON ELECTRONICS- Δίκτυο Assembly Line S 1 =1 1 A D 1 =1 S 2 =1 2 B D 2 =1 S 3 =1 3 C D 3 =1 S 4 =1 4 D D 4 =1 S 5 =1 5 E D 5 =1 Πρόβλημα Εκχώρησης For the Ballston Electronics model on the define: X ij =1 if lab (worker) i is assigned to meet the demands of assembly line (job) j X ij =0 if lab (worker) i is not assigned to meet the demands of assembly line (job) j

25 Πρόβλημα Εκχώρησης In general, the LP formulation is given as Minimize n i 1 j 1 n j 1 n i 1 x ij n ij ij x 1, i 1,, n ij x 1, j 1,, n ij cx 0 or 1, ij Each supply is 1 Each demand is 1 BALLSTON ELECTRONICS Γραμμικό Μοντέλο Min 10X 11 + 4X 12 + + 20X 54 + 19X 55 S.T. X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 = 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 = 1 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 = 1 X 41 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 = 1 X 51 + X 52 + X 53 + X 54 + X 55 = 1 X 11 + X 21 + X 31 + X 41 + X 51 = 1 X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 = 1 X 13 + X 23 + X 33 + X 43 + X 53 = 1 X 14 + X 24 + X 34 + X 44 + X 54 = 1 X 15 + X 25 + X 35 + X 45 + X 55 = 1 All variables are non-negative

26 BALLSTON ELECTRONICS Γραμμικό Μοντέλο (winqsb) BALLSTON ELECTRONICS Γραμμικό Μοντέλο (winqsb)

27 Πρόβλημα Εκχώρησης There are n! ways of assigning n resources to n tasks. That means that as n gets large, we have too many trials to consider. Πρόβλημα Εκχώρησης Rates of Growth n log(n) n n 2 e n n! 1 0.00000 1 1 2.7 1 2 0.30103 2 4 7.4 2 3 0.47712 3 9 20.1 6 4 0.60206 4 16 54.6 24 5 0.69897 5 25 148.4 120 6 0.77815 6 36 403.4 720 7 0.84510 7 49 1096.6 5040 8 0.90309 8 64 2981.0 40320 9 0.95424 9 81 8103.1 362880 10 1.00000 10 100 22026.5 3628800 11 1.04139 11 121 59874.1 39916800 12 1.07918 12 144 162754.8 479001600 13 1.11394 13 169 442413.4 6227020800 14 1.14613 14 196 1202604.3 8.7178E+10 15 1.17609 15 225 3269017.4 1.3077E+12

28 Πρόβλημα Εκχώρησης

29 1. Find the minimum entry in each row and subtract it from each row 2. Find the minimum entry in each column and subtract it from each column Resulting matrix is nonnegative 5. Determine the smallest entry not covered by any line. Subtract this entry from all uncovered entries Add it to all doublecovered entries Return to Step 3.

30 BALLSTON ELECTRONICS Ουγγρικός Αλγόριθμος

31 BALLSTON ELECTRONICS Βέλτιστη Λύση Assembly line A B C D E 1 10 4 6 10 12 Inspection 2 11 7 7 9 14 Lab 3 13 8 12 14 15 4 14 16 13 17 17 5 19 17 11 20 19 Τροποποιήσεις στο πρόβλημα εκχώρησης Μη ισορροπημένο πρόβλημα. Απαγορευμένες εκχωρήσεις. A maximization assignment problem.