Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας.

Transcript

1 Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας. Έστω ένα πλήθος πληρωμάτων I, σε καθένα από τα οποία ανατίθεται καθημερινά κάποιο καθήκον (εργασία, βάρδια), από ένα συνολικό πλήθος Κ εργασιών. Ο στόχος μας είναι η κατάρτιση ενός προγράμματος εργασίας για ένα συγκεκριμένο χρονικό ορίζοντα J ημερών το οποίο να ικανοποιεί τις ανάγκες της επιχείρησης και να είναι δίκαιο ως προς την κατανομή του φόρτου εργασίας στα πληρώματα. Για το σκοπό αυτό ορίζουμε τις δυαδικές μεταβλητές X { 0,1} ijk. Η μεταβλητή, για δεδομένες τιμές των δεικτών i, j, k, παίρνει τιμή 1 εφόσον η εργασία k εκχωρείται την ημέρα j στο πλήρωμα i. X ijk Για παράδειγμα, αν η μεταβλητή X 2,4,7 πάρει τιμή μονάδα, τότε το πλήρωμα με δείκτη αναγνώρισης «2» αναλαμβάνει την εργασία με δείκτη «7» την ημέρα «4», δηλαδή εκχωρείται στην εργασία αυτή. Για την αναπαράσταση του φόρτου εργασίας, χρησιμοποιείται ένας δείκτης δυσκολίας ο οποίος έχει εκτιμηθεί από ιστορικά στοιχεία της επιχείρησης, τον οποίο ας συμβολίσουμε με. Ο δείκτης αυτός δεν εξαρτάται, τουλάχιστον στην αρχική του σύλληψη, από το πλήρωμα (θα μπορούσε όμως να γίνει και αυτό) αλλά από την εργασία και την ημέρα. Έτσι, για δεδομένες τιμές των δεικτών c jk j,k η συντελεστής c jk παριστάνει το δείκτη δυσκολίας της εργασίας που επιβαρύνεται η ομάδα που αναλαμβάνει να τη φέρει σε πέρας. Άρα, όταν η είναι ίση με τη μονάδα ο συντελεστής παριστάνει το συντελεστή δυσκολίας που θα πιστωθεί στο πλήρωμα με δείκτη «2» επειδή ανέλαβε την 4η ημέρα την εργασία με αριθμό 7. Περαιτέρω, ας συμβολίσουμε με X 2,4,7 c 4, 7 W το άνω επιθυμητό όριο του συνολικού συντελεστή δυσκολίας για κάθε πλήρωμα της συγκεκριμένης κλάσης εργασιών. Με παριστάνουμε αντιστοίχως το κάτω όριο του βαθμού δυσκολίας. W min θα Το πρόβλημα ουσιαστικά είναι να βρεθεί ένα «δίκαιο» σχέδιο εργασίας που να πληροί τις ανάγκες προσωπικού, για ένα συγκεκριμένο χρονικό ορίζοντα και είναι ένα πρόβλημα εκχώρησης όμοιο με το πολυεπίπεδο πρόβλημα στένωσης (multilevel bottleneck assignment problem). Η γενική ιδέα που εφαρμόζουμε είναι η ελαχιστοποίηση του δείκτη δυσκολίας. Όμως, η προσέγγιση μας είναι ότι θα θέλαμε το άθροισμα των δεικτών δυσκολίας του πληρώματος που έχει το μεγαλύτερο άθροισμα, να καθίσταται όσο δυνατόν μικρότερο. θα μπορούσαμε να το θέσουμε και αντίστροφα. Δηλαδή, θα θέλαμε ο συνολικός δείκτης του πληρώματος με το μικρότερο άθροισμα να είναι όσο γίνεται μεγαλύτερος. Στη συνέχεια, θα προχωρήσουμε στην κατάρτιση των περιορισμών του μοντέλου οι οποίοι διασφαλίζουν την εφαρμογή κανόνων που θα συμβάλλουν στην ομοιόμορφη κατανομή του φόρτου εργασίας (με την εφαρμογή του δείκτη δυσκολίας που ορίσαμε παραπάνω) στα διάφορα πληρώματα και στην ικανοποίηση των αναγκών σε προσωπικό. Η ομάδα περιορισμών (1) υποδεικνύει ότι κάθε ημέρα, κάθε πλήρωμα δύναται να αναλάβει το πολύ ένα καθήκον (βάρδια ή εργασία). Η φορά «<», αντί της ισότητας, επιτρέπει σε κάποιο πλήρωμα να εργαστεί λιγότερες ημέρες αρκεί να συμπληρώσει ένα συνολικό δείκτη εργασίας ο οποίος να βρίσκεται μεταξύ των ορίων W και W. Αυτό θα καταστεί δυνατόν αν το πλήθος των πληρωμάτων είναι τέτοιο ώστε min να μπορούν κάποια πληρώματα να παίρνουν ημέρες ρεπό χωρίς αυτό να έχει επίπτωση ούτε στη συμπλήρωση του κατώτατου ορίου του συνολικού τους δείκτη δυσκολίας ούτε στη διεκπεραίωση των εργασιών.

2 Η επόμενη ομάδα περιορισμών (2) διασφαλίζει ότι κάθε μέρα μόνο ένα πλήρωμα εκχωρείται σε μία περιφέρεια και όχι μόνο αυτό, αλλά ουσιαστικά διασφαλίζει ότι κάθε περιφέρεια κάθε ημέρα θα έχει ένα πλήρωμα για να την διεκπεραιώσει. Ο συνολικός δείκτης δυσκολίας ενός πληρώματος προκύπτει από το άθροισμα των επιμέρους συντελεστών δυσκολίας ανάλογα με τις εκχωρήσεις που γίνονται στο συγκεκριμένο πλήρωμα. Είναι λογικό να θεωρήσουμε (υιοθετώντας μία ευέλικτη άποψη για το φόρτο εργασίας) ότι ο δείκτης αυτός δύναται να κυμαίνεται μέσα σε ένα εύρος που ορίζεται από τα όρια W και W. Έτσι, υποθέτοντας ότι τα όρια αυτά είναι κοινά για όλα τα πληρώματα, προκύπτουν οι ακόλουθες δύο ομάδες περιορισμών: j k j k c jk X ijk Wmin, για κάθε i = 1,..., I (3α) c jk X ijk W, για κάθε i = 1,..., I (3β) Η ομάδα περιορισμών (3α) διασφαλίζει ότι κάθε πλήρωμα θα επιφορτιστεί με συνολικό έργο το οποίο θα έχει ένα συνολικό δείκτη βάρους τουλάχιστον ίσο με το ελάχιστο απαιτούμενο, δηλαδή με. Αντίστοιχα η ομάδα (3β) εξασφαλίζει την απαίτηση κανένα πλήρωμα να μην αναλαμβάνει εργασία περισσότερη από αυτήν που υπαγορεύεται από το άνω όριο του συνολικού δείκτη. Στο μοντέλο χρησιμοποιήθηκε μόνο η ομάδα 3β και αυτό θα εξηγηθεί στη συνέχεια σε σχέση με την αντικειμενική συνάρτηση. Οι περιορισμοί της κατηγορίας (3) θα μπορούσαν να ενσωματώσουν και τον προβληματισμό σχετικά με την ομοιομορφία των πληρωμάτων. Αν υποθέσουμε ότι τα πληρώματα δεν είναι ομοιόμορφα και ότι η έλλειψη ομοιομορφίας μπορεί να ερμηνευτεί με διαστήματα δείκτη ευκολίας διαφορετικού εύρους ή διαφορετικών άνω και κάτω ορίων τότε μπορούμε για συγκεκριμένα πληρώματα (δηλαδή για συγκεκριμένες τιμές του δείκτη i ) να δώσουμε διαφορετικές τιμές στα W και W. Στη γενική περίπτωση θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι οι παράμετροι W και W εξαρτώνται από το W min i i πλήρωμα και έχουν τη μορφή και για W min min min W min i = 1,..., I. Επίσης, θα μπορούσαμε εύκολα να αποκλείσουμε ένα πλήρωμα από συγκεκριμένο δρομολόγιο ορίζοντας τον αντίστοιχο δείκτη είναι μεγαλύτερος από το W πρέπει να θεωρήσουμε ότι το δηλαδή είναι =. c ijk c jk δηλαδή ουσιαστικά θέτοντας c jk c jk να =. Στην περίπτωση αυτή όμως θα εξαρτάται και από το πλήρωμα οπότε χρειάζεται ακόμα ένα δείκτη Σε πολλές περιπτώσεις, επιζητείται η μείωση των αλλαγών βάρδιας που πραγματοποιεί ένα πλήρωμα, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η δυσφορία η οποία προκαλείται από μετακινήσεις σε άλλες περιοχές ή άλλα καθήκοντα. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί με επιπλέον περιορισμούς και μεταβλητές οι οποίες να καταγράφουν τις αλλαγές κάθε πληρώματος και να τις ελέγχουν, περιορίζοντάς τις σε κάποια συγκεκριμένα πλαίσια. Το πρόβλημα φυσικά τίθεται και από την αντίθετη πλευρά. Δηλαδή, κάθε πλήρωμα θα πρέπει να κάνει τουλάχιστον ένα αριθμό αλλαγών βάρδιας (εργασίας, καθήκοντα) οι οποίες όμως να μην ξεπερνούν ένα άνω φράγμα. Η ιδέα αυτή μπορεί να εφαρμοστεί με διάφορες παραλλαγές, εδώ όμως θα δείξουμε μία μόνο εφαρμογή του. Στην περίπτωση αυτή εισάγουμε στο μοντέλο τις δυαδικές μεταβλητές V ijk οι οποίες χρησιμοποιούνται για την καταγραφή των αλλαγών περιφέρειας από ένα πλήρωμα. Πρακτικά οι μεταβλητές αυτές δεν είναι απαραίτητο να οριστούν ως δυαδικές, επειδή η μορφή του μοντέλου καθορίζει ότι τελικά εκ των πραγμάτων δεν μπορούν να πάρουν

3 άλλες τιμές εκτός από 0 ή 1. Η καταγραφή αυτή γίνεται στην ομάδα περιορισμών (4), ενώ η ομάδες περιορισμών (5) και (6) διασφαλίζουν ότι το πλήθος των αλλαγών περιφέρειας για κάθε πλήρωμα θα κυμαίνεται ανάμεσα στο κάτω και το άνω φράγμα που συμβολίζονται με Ch και Ch αντιστοίχως. Στη συγκεκριμένη περίπτωση τα φράγματα αυτά είναι κοινά για όλα τα πληρώματα αλλά είναι φανερό ότι αυτό εύκολα μπορεί να τροποποιηθεί. Ο παράγοντας της ημέρας ρεπό μπορεί να ενσωματωθεί στο μοντέλο αν συμβολίσουμε με R το μέγιστο πλήθος ημερών που ένα πλήρωμα εργάζεται, με Για την αντικειμενική συνάρτηση έχουμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Είναι φανερό ότι η εκτίμηση των παραμέτρων W και W είναι σημαντική όχι μόνο για τη διασφάλιση της δίκαιης κατανομής του φόρτου εργασίας αλλά και για την ύπαρξη εφικτής λύσης στο πρόβλημα. Αν το από όσο χρειάζεται ή το είναι μεγαλύτερο είναι μικρότερο από όσο πρέπει, τότε σε συνδυασμό με τους περιορισμούς (2) ενδέχεται να μην υπάρχει εφικτή λύση στο πρόβλημα. Η εκτίμηση των παραμέτρων αυτών θα πρέπει να στηρίζεται στις προσεγγίσεις των τιμών σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Δύναται όμως να πραγματοποιηθεί και με τη βοήθεια του γραμμικού προγραμματισμού και μάλιστα να ενσωματωθεί κατευθείαν στην ανάλυση για τον εντοπισμό του άριστου σχεδίου εργασίας. Το ακόλουθο μοντέλο, θεωρώντας ως άγνωστη την τιμή του δυνατή τιμή για το άνω όριο W R J, τότε κάθε πλήρωμα θα πάρει J R ημέρες ρεπό στον ορίζοντα προγραμματισμού. Ο περιορισμός που περιέχει την ιδέα αυτή είναι ο (7). εντοπίζει την ελάχιστη, η οποία είναι εφικτή, σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Δηλαδή ελαχιστοποιεί το συνολικό μέγιστο δείκτη δυσκολίας του αντίστοιχου πληρώματος. Η αντικειμενική συνάρτηση φανερώνει την ανάγκη να εντοπίσουμε τη μικρότερη δυνατή τιμή του άνω ορίου η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως άνω φράγμα στο εύρος του δείκτη δυσκολίας και ως διαμόρφωση το μοντέλο αυτό πλησιάζει περισσότερο το πολυσταδιακό πρόβλημα εκχώρησης. Ο περιορισμός (8) χρησιμοποιείται απλώς για να θέσει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης ίση με το W min W ώστε να χρησιμοποιηθεί στη διαδικασία της βελτιστοποίησης ως αντικειμενική συνάρτηση. Το μοντέλο που δίνεται στη συνέχεια, ελαχιστοποιεί το μέγιστο φόρτο εργασίας, ενώ στην επόμενη σελίδα, δίνεται η μορφή του στο εργαλείο βελτιστοποίησης Xpress για την περίπτωση 22 πληρωμάτων, 20 ημερησίων καθηκόντων, προγραμματισμό 12 ημερών, μέγιστο πλήθος αλλαγών καθηκόντων ίσο με 2 και ένα ρεπό το πολύ (θέτοντας R=11). c ijk W L W min U

4

5 Το μοντέλο XPRESS για το πρόβλημα LET NK LET NJ LET NI LET REP TABLES C(NJ,NK) = 20! NUMBER OF Daily Duties = 12! NUMBER OF DAYS COMPRISING THE SCHEDULING HORIZON = 22! NUMBER OF CREWS AVAILABLE FOR SCHEDULING = 1! NUMBER OF Day offs! VECTOR OF REGION WEIGHTS DATA! WEIGHTS! =======! C(1,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(2,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(3,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(4,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(5,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(6,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(7,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(8,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(9,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(10,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(11,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 C(12,1)= 12,19,11,9,11,11,17,14,14,12,13,15,17,15,12,12,16,15,10,17 VARIABLES X(NI,NJ,NK)! Binary variable. Takes value one if CREW i IS ASSIGNED Duty k at day j V(NI,NJ,NK)! Binary variable, tracks shift changes Z! objective function ASSIGN DIFF = NJ - REP CONSTRAINTS! objective function Objective : Z $ ATMOSTONE (I=1:NI, J=1:NJ): SUM(K=1:NK) X(I,J,K)<1! A CREW IS ASSIGNED AT MOST ONE REGION EACH DAY ONLYONE (J=1:NJ, K=1:NK): SUM(I=1:NI) X(I,J,K)=1! EACH REGION IS ASSIGNED TO EXACTLY ONE CREW EACH DAY UPPERBOUNDS(I=1:NI): SUM(J=1:NJ, K=1:NK) C(J,K)*X(I,J,K) < Z! CREW UPPER BOUND FOR TOTAL WEIGHT SHIFTCHANGES(I=1:NI, J=2:NJ, K=1:NK): V(I,J,K) > X(I,J,K) - X(I,J-1,K)!LTOTALSHIFTCHANGES (I=1:NI): SUM(J=2:NJ, K=1:NK) V(I,J,K) > 2 UTOTALSHIFTCHANGES (I=1:NI): SUM(J=2:NJ, K=1:NK) V(I,J,K) < 2 WORKING (i=1:ni): SUM(J=1:NJ, K=1:NK) X(I,J,K)<DIFF!EACH CREW WORKS AT MOST (NJ - REP) DAYS BOUNDS X(I=1:NI,J=1:NJ, K=1:NK).BV.! Binary conditions V(I=1:NI,J=1:NJ, K=1:NK) > 0 GENERATE

6 Συνοπτική λύση του προβλήματος Ελαχιστοποίηση του μέγιστου βαθμού δυσκολίας με ελεγχόμενες αλλαγές καθηκόντων για Κ=20, Ι=22, J=12 και Ch U = 2 με περιορισμό στον τρόπο κατανομής των διαθέσιμων ρεπό ώστε κάθε πλήρωμα να πάρει τουλάχιστον 1. Το πρόβλημα, που έχει 5,411 περιορισμούς και 10,121 μεταβλητές, έχει άριστη τιμή z=172, δηλαδή είναι ο ελάχιστος μέγιστος φόρτος εργασίας. Στον ακόλουθο πίνακα φαίνεται το άριστο πρόγραμμα εργασίας. Παρατηρήστε ότι κανένα πλήρωμα δεν κάνει παραπάνω από δύο αλλαγές καθήκοντος και ότι όλοι παίρνουν από ένα ρεπό τουλάχιστον. Στις επόμενες σελίδες περιέχεται η λύση όπως προκύπτει από το πρόγραμμα. Ημέρα Πλήρωμα

7 Η λύση του προβλήματος όπως παρέχεται από το Χpress Problem Statistics Matrix sct7 Objective OBJECTIV Problem has 5411 rows and structural columns Solution Statistics Minimisation performed Optimal solution found after iterations Objective function value is Rows Section Number Row At Value Slack Value Dual Value RHS N 1 OBJECTIV BS C 6065 X BS C 6087 X BS C 6117 X LL C 6139 X UL C 6161 X BS C 6183 X BS C 6205 X BS C 6213 X UL C 6235 X BS C 6257 X BS C 6279 X BS C 6301 X BS C 6324 X LL C 6360 X LL C 6373 X BS C 6395 X BS C 6417 X BS C 6439 X LL C 6458 X LL C 6488 X LL C 6510 X LL C 6532 X BS C 6540 X LL C 6562 X UL C 6583 X BS C 6605 X BS C 6627 X BS C 6651 X LL C 6684 X BS C 6706 X BS C 6728 X BS C 6750 X BS C 6772 X BS C 6794 X BS C 6820 X BS C 6842 X UL C 6864 X BS C 6886 X BS C 6908 X BS C 6930 X BS C 6952 X BS C 6974 X BS C 6996 X BS C 7018 X BS C 7037 X BS C 7059 X BS C 7081 X LL C 7104 X BS C 7129 X UL

8 C 7151 X BS C 7167 X BS C 7189 X BS C 7211 X BS C 7233 X BS C 7255 X BS C 7277 X BS C 7294 X BS C 7316 X BS C 7338 X BS C 7360 X BS C 7376 X LL C 7398 X LL C 7420 X LL C 7442 X BS C 7464 X UL C 7486 X BS C 7508 X BS C 7530 X LL C 7563 X UL C 7585 X LL C 7607 X LL C 7629 X BS C 7638 X UL C 7660 X LL C 7702 X LL C 7724 X BS C 7746 X BS C 7768 X BS C 7790 X BS C 7812 X BS C 7834 X BS C 7856 X BS C 7878 X LL C 7894 X BS C 7911 X UL C 7933 X BS C 7958 X BS C 7980 X BS C 8002 X BS C 8024 X BS C 8046 X BS C 8068 X BS C 8090 X BS C 8102 X BS C 8134 X LL C 8156 X UL C 8179 X BS C 8198 X LL C 8220 X UL C 8242 X BS C 8263 X BS C 8285 X UL C 8307 X LL C 8329 X LL C 8351 X LL C 8373 X BS C 8395 X UL C 8417 X UL C 8446 X BS C 8468 X BS C 8490 X BS C 8512 X BS C 8534 X BS

9 C 8556 X BS C 8578 X LL C 8591 X BS C 8613 X BS C 8635 X BS C 8657 X BS C 8679 X BS C 8702 X BS C 8724 X BS C 8746 X BS C 8768 X BS C 8790 X UL C 8812 X BS C 8833 X LL C 8859 X BS C 8881 X BS C 8903 X UL C 8925 X BS C 8947 X BS C 8961 X BS C 8983 X BS C 9005 X LL C 9033 X UL C 9056 X BS C 9078 X BS C 9100 X BS C 9122 X BS C 9144 X BS C 9166 X UL C 9188 X BS C 9210 X BS C 9234 X UL C 9256 X LL C 9270 X LL C 9289 X BS C 9311 X LL C 9333 X LL C 9354 X BS C 9376 X LL C 9398 X BS C 9420 X BS C 9442 X LL C 9464 X UL C 9490 X UL C 9514 X BS C 9536 X BS C 9558 X BS C 9580 X BS C 9602 X BS C 9624 X LL C 9646 X BS C 9668 X BS C 9702 X LL C 9712 X LL C 9734 X BS C 9757 X BS C 9779 X UL C 9801 X BS C 9823 X BS C 9845 X BS C 9863 X BS C 9885 X BS C 9907 X BS C 9929 X BS C 9951 X BS

10 C 9973 X BS C 9995 X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X UL C X BS C X LL C X UL C X BS C X BS C X BS C X LL C X LL C X LL C X UL C X BS C X LL C X UL C X UL C X BS C X BS C X LL C X LL C X LL C X LL C X LL C X UL C X BS C X BS C X BS C X BS C X UL C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X BS C X LL C X BS C X BS C X LL C X LL C X UL C X LL C X LL C X LL C X LL C X UL C X BS C V BS C V BS C V BS

11 C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS C V BS