ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού"

Transcript

1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1

2 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος υπάρχουν δύο εναλλακτικά εργοστάσια κατασκευής με αντίστοιχους περιορισμούς δυναμικότητας. Ανάλογα με το ποιο από τα δύο εργοστάσια θα επιλεγεί τελικά, θέλουμε ο αντίστοιχος περιορισμός δυναμικότητας να ισχύει, ενώ είμαστε αδιάφοροι για τον άλλο. Ας υποθέσουμε ότι ο περιορισμός για το πρώτο εργοστάσιο είναι 4x 1 + x 2 < 12 και για το δεύτερο x 1 + 3x 2 < 14 Τότε, οι δύο περιορισμοί γράφονται ως εξής: 4x 1 + x 2 < 12 + Μy 1 x 1 + 3x 2 < 14 + Μ(1-y 1 ) 2

3 Μεταξύ N περιορισμών, οι K πρέπει να ισχύουν Έστω ότι υπάρχουν N περιορισμοί μεταξύ των οποίων πρέπει να ισχύουν οι K. Έστω ότι οι περιορισμοί αυτοί είναι οι εξής: f 1 (x 1,...,x m ) < b 1... f N (x 1,...,x m ) < b N Στην περίπτωση αυτή, εισάγουμε μία δυαδική μεταβλητή y i για κάθε περιορισμό (i = 1,...,N) 3

4 Μεταξύ N περιορισμών, οι K πρέπει να ισχύουν Γράφουμε τους περιορισμούς ως εξής: f 1 (x 1,...,x m ) < b 1 + My 1... f N (x 1,...,x m ) < b N + My N Sum(i)yi = N - K Ο τελευταίος περιορισμός εξασφαλίζει ότι K από τις μεταβλητές αυτές θα είναι 0, οπότε οι αντίστοιχοι περιορισμοί θα ισχύουν. Η προηγούμενη περίπτωση είναι ειδική περίπτωση αυτής με K = 1 και N = 2. 4

5 Συναρτήσεις με N δυνατές τιμές Έστω μια συνάρτηση f(x 1,...,x m ), η οποία πρέπει να πάρει μία από N τιμές, b 1 ή b 2 ή... ή b N. Εισάγουμε N δυαδικές μεταβλητές y 1,...,y N και χρησιμοποιούμε την παρακάτω μορφοποίηση: Ο τελευταίος περιορισμός εξασφαλίζει ότι ακριβώς μία από τις N δυαδικές μεταβλητές θα είναι 1 και όλες οι άλλες 0, οπότε η συνάρτηση θα πάρει την αντίστοιχη τιμή. 5

6 Το πρόβλημα του σταθερού κόστους (fixed charge problem) Πολλές φορές, για την παραγωγή ενός προϊόντος υπάρχει ένα σταθερό κόστος k j (κόστος προετοιμασίας) και ένα μεταβλητό κόστος, ανάλογο του ύψους παραγωγής. Σε αυτή την περίπτωση, το συνολικό κόστος f j (x j ) είναι ίσο με k j + c j x j εάν παραχθεί το προϊόν (x j > 0) και 0 αν όχι (x j = 0), όπου x j είναι το ύψος της παραγωγής και c j το μοναδιαίο κόστος παραγωγής. Για να αποφύγουμε την εισαγωγή μη γραμμικών περιορισμών στη μορφοποίηση του προβλήματος, ορίζουμε μία δυαδική μεταβλητή y j που παίρνει την τιμή 1 αν παραχθεί το προϊόν (x j > 0) και 0 αν όχι (x j = 0). Τότε, το αντίστοιχο κόστος μορφοποιείται ως εξής: f j (x j ) = k j y j + c j x j x j My j Ο τελευταίος περιορισμός είναι αναγκαίος για να εξασφαλιστεί ότι αν y j = 0 τότε και x j = 0 και αντίθετα, αν x j > 0 τότε και y j = 1. Φυσικά, αν x j > 0 τότε ο περιορισμός αυτός ισχύει πάντοτε, αφού ο αριθμός M είναι ένας πολύ μεγάλος πραγματικός αριθμός. 6

7 Δυαδική απεικόνιση γενικών ακέραιων αριθμών Oι αλγόριθμοι επίλυσης προβλημάτων με δυαδικές μεταβλητές είναι πολύ πιο αποτελεσματικοί από αυτούς που προορίζονται για προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού και γι' αυτό οι πρώτοι θα πρέπει να προτιμώνται, όπου αυτό είναι εφικτό. Μία έξυπνη τεχνική που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι να αντικαταστήσουμε τις ακέραιες μεταβλητές με δυαδικές, χρησιμοποιώντας κατάλληλο μετασχηματισμό. Για τον μετασχηματισμό αυτό, απαραίτητη προϋπόθεση είναι να υπάρχει ένα άνω όριο, u, στην τιμή που μπορεί να πάρει η κάθε ακέραια μεταβλητή x. 7

8 Δυαδική απεικόνιση γενικών ακέραιων αριθμών Έστω λοιπόν ότι κάθε ακέραια μεταβλητή x έχει όρια ως εξής: 0 x u και έστω N ακέραιος τέτοιος ώστε 2 N u < 2 N+1. Τότε, η δυαδική απεικόνιση της μεταβλητής x είναι x = i 2 i y i, όπου οι μεταβλητές y i είναι βοηθητικές δυαδικές μεταβλητές. Αντικαθιστώντας κάθε ακέραια μεταβλητή με την δυαδική της απεικόνιση, μπορούμε να μετασχηματίσουμε το αρχικό πρόβλημα σε ένα ισοδύναμο πρόβλημα που έχει αποκλειστικά δυαδικές μεταβλητές. Η τελική τιμή που θα πάρει η μεταβλητή x καθορίζεται από τις τιμές που θα πάρουν οι δυαδικές μεταβλητές y i και την παραπάνω σχέση. 8

9 Παράδειγμα 2.1 Δίνεται το ακόλουθο πρόβλημα μη γραμμικού προγραμματισμού: Max 2x 1 x x 2-3x 2 2 x 1 + x 2 < 3/4 κάθε μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο τις τιμές 1/2, 1/3, 1/4, 1/5. Να μορφοποιηθεί το πρόβλημα αυτό σαν ένα πρόβλημα αμιγώς δυαδικού (ακέραιου) προγραμματισμού. Στη μορφοποίηση που θα αναπτύξετε θα πρέπει να υπάρχουν μόνο δυαδικές 0-1 μεταβλητές. 9

10 Λύση Παράδειγμα 2.1 Για i = 1,2, ορίζουμε δυαδικές μεταβλητές y i1, y i2, y i3, y i4, όπου: y i1 = 1 αν x i = 1/2 και 0 αλλιώς y i2 = 1 αν x i = 1/3 και 0 αλλιώς y i3 = 1 αν x i = 1/4 και 0 αλλιώς y i4 = 1 αν x i = 1/5 και 0 αλλιώς. Στη συνέχεια, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: Max 2(1/2 y /3 y /4 y /5 y 14 ) (1/4 y /9 y /16 y /25 y 14 ) + 3(1/2 y /3 y /4 y /5 y 24 ) -3(1/4 y /9 y /16 y /25 y 24 ) s.t. (1/2 y /3 y /4 y /5 y 14 ) + (1/2 y /3 y /4 y /5 y 24 ) < 3/4 y 11 + y 12 + y 13 + y 14 = 1 y 21 + y 22 + y 23 + y 24 = 1 όλες οι μεταβλητές 0 ή 1. 10

11 Παράδειγμα 2.2 Δίνεται το παρακάτω προγραμματισμού: πρόβλημα ακέραιου Max Z = x 1 + 5x 2 s.t. x x 2 < 20 x 1 < 2 x 1, x 2 ακέραιοι > 0 α) Μετασχηματίστε το πρόβλημα σε ένα πρόβλημα αμιγώς δυαδικού προγραμματισμού. β) Λύστε το δυαδικό πρόβλημα χρησιμοποιώντας το LINGO και μετά αναγνωρίστε τη βέλτιστη λύση του αρχικού ακέραιου προβλήματος. 11

12 Λύση Παράδειγμα 2.2 Από την προσεκτική ανάλυση των περιορισμών του προβλήματος προκύπτουν τα εξής άνω όρια στις μεταβλητές απόφασης: x 1 < 2 (από περιορισμό 2) x 2 < 2 (από περιορισμό 1) Επομένως, x 1 = y 1 + 2y 2 και x 2 = y 3 + 2y 4, όπου y 1, y 2, y 3 και y 4 δυαδικές μεταβλητές. Στη συνέχεια, παίρνουμε το ακόλουθο δυαδικό πρόβλημα: Max Z = y 1 + 2y 2 + 5y y 4 s.t. y 1 + 2y y y 4 < 20 y 1 + 2y 2 < 2 y 1, y 2, y 3 και y 4 δυαδικές μεταβλητές 12

13 Λύση Παράδειγμα 2.2 Ο κώδικάς στο LINGO είναι ο εξής: MAX = Y1 + 2*Y2 + 5*Y3 + 10*Y4; Y1 + 2*Y2 + 10*Y3 + 20*Y4 <= 20; Y1 + 2*Y2 13

14 Λύση Παράδειγμα 2.2 Η λύση που παίρνουμε από το LINGO είναι η εξής: Global optimal solution found at iteration: 0 Objective value: Variable Value Reduced Cost Y Y Y Y Row Slack or Surplus Dual Price Επομένως, η βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήματος είναι x 1 = 0 + 2(0) = 0 και x 2 = 0 + 2(1) = 2 και Ζ = 0 + 2(0) + 5(0) + 10(1) =

15 Λογισμικό βελτιστοποίησης LINGO To LINGO είναι ένα λογισμικό βελτιστοποίησης με φιλικό γραφικό περιβάλλον επικοινωνίας. Επιλύει προβλήματα γραμμικού, ακέραιου και μη γραμμικού προγραμματισμού. Μπορείτε να κατεβάσετε και να εγκαταστήσετε τη δοκιμαστική έκδοση του λογισμικού στον υπολογιστή σας, από την ιστοσελίδα της εταιρείας που το διακινεί: Η συγκεκριμένη έκδοση έχει περιορισμό στο μέγιστο αριθμό συνεχών μεταβλητών (300), στο μέγιστο αριθμό περιορισμών (150), και στο μέγιστο αριθμό ακέραιων μεταβλητών (30). Γι αυτό, αν θέλετε να λύσετε κάποιο πρόβλημα θα πρέπει η μορφοποίηση που θα αναπτύξετε να μην παραβιάζει τα όρια αυτά. 15

16 Λογισμικό βελτιστοποίησης LINGO Για την εισαγωγή και επίλυση ενός προβλήματος θα πρέπει να ακολουθηθούν οι ακόλουθες οδηγίες: - Η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να ακολουθεί το ΜΑΧ = (ή ΜΙΝ =, ανάλογα, π.χ. ΜΑΧ = Χ1 + Χ2;). - Κάθε περιορισμός αλλά και η αντικειμενική συνάρτηση πρέπει να τελειώνουν με το ; - Οι περιορισμοί θα πρέπει να εισαχθούν αμέσως κάτω από την αντικειμενική συνάρτηση (ένας σε κάθε γραμμή). 16

17 Λογισμικό βελτιστοποίησης LINGO - Το γινόμενο ενός συντελεστή με μια μεταβλητή θα πρέπει να υποδηλωθεί με το * (π.χ. 2*Χ1 <= 3;) - Mία μεταβλητή Χ θα πρέπει να οριστεί ως ακέραια με την και ως δυαδική με την - Θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί το <= για να δηλωθεί το < και το >= για να δηλωθεί το >. - Η μη αρνητικότητα των μεταβλητών δεν είναι ανάγκη να δηλωθεί καθώς εννοείται. - Η επίλυση του προβλήματος γίνεται με την επιλογή της εντολής LINGO->Solve. 17

18 Παράδειγμα 2.3 Μία εταιρεία εξετάζει την εισαγωγή στην αγορά τριών νέων προϊόντων, 1, 2 και 3. Η διοίκηση έχει αποφασίσει ότι το πολύ δύο από τα τρία προϊόντα είναι σκόπιμο να εισαχθούν. Η εταιρεία διαθέτει δύο εργοστάσια αλλά λόγω περιορισμών μόνο ένα από τα δύο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή των νέων προϊόντων. Το κόστος αν αποφασιστεί η παραγωγή των προϊόντων 1, 2 ή 3 είναι 30000, και 80000, αντίστοιχα, ανεξαρτήτως του ύψους παραγωγής. Ο παρακάτω πίνακας δίνει το χρόνο που χρειάζεται για την παραγωγή μιας μονάδας για κάθε ένα από τα τρία προϊόντα σε κάθε ένα από τα δύο εργοστάσια. Τα εργοστάσια 1 και 2 μπορούν να δουλέψουν το πολύ μέχρι 30 και 40 ώρες την εβδομάδα, αντίστοιχα. Τα εβδομαδιαία έσοδα από την πώληση των προϊόντων 1, 2 και 3 θα είναι 10000, και ανά τεμάχιο αντίστοιχα, ενώ έχει υπολογιστεί ότι το μέγιστο εβδομαδιαίο ύψος της ζήτησης είναι 7, 5 και 9 αντίστοιχα. 18

19 Παράδειγμα 2.3 α) Μορφοποιήστε ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού για αυτό το πρόβλημα. Σαν αντικειμενική συνάρτηση θεωρήστε το συνολικό κέρδος για μία εβδομάδα. β) Λύστε το πρόβλημα αυτό χρησιμοποιώντας το LINGO. 19

20 Λύση Παράδειγμα 2.3 Ορίζουμε ακέραιες μεταβλητές απόφασης X i (i = 1,2,3), όπου X i = αριθμός προϊόντων i που θα παραχθούν. Επίσης, ορίζουμε δυαδικές μεταβλητές απόφασης Υ i (i = 1,2,3), όπου Υ i = 1 αν το προϊόν i θα παραχθεί και 0 αλλιώς. Τέλος, ορίζουμε δυαδική μεταβλητή απόφασης Ζ, όπου Ζ = 1 αν χρησιμοποιηθεί το εργοστάσιο 1 για την παραγωγή των προϊόντων και 0 αν χρησιμοποιηθεί το εργοστάσιο 2. 20

21 Λύση Παράδειγμα 2.3 Με αυτά τα δεδομένα, η μορφοποίηση του προβλήματος στο LINGO είναι η εξής: MAX = 10000*X *X *X *Y *Y *Y3; Y1 + Y2 + Y3 <= 2; 3*X1 + 4*X2 + 2*X3 <= 30 + M*(1-Z); 4*X1 + 6*X2 + 2*X3 <= 40 + M*Z; X1 <= 7*Y1; X2 <= 5*Y2; X3 @GIN(X1); M = 100; 21

22 Λύση Παράδειγμα 2.3 Global optimal solution found at iteration: 21 Objective value: Variable Value X X X Y Y Y M Z Επομένως, η βέλτιστη λύση είναι να παραχθούν πέντε τεμάχια από το προϊόν 1 και εννιά τεμάχια από το προϊόν 3, χρησιμοποιώντας το εργοστάσιο 2. Το συνολικό κέρδος που προκύπτει είναι

23 Παράδειγμα 2.4 Μία τουρίστρια πρόκειται να πάει ένα ταξίδι και θέλει να διαλέξει τα ρούχα που θα πάρει μαζί της. Λόγω περιορισμών της αεροπορικής εταιρείας, το μέγιστο βάρος και ο μέγιστος όγκος των ρούχων που θα πάρει μαζί της δε μπορούν να υπερβαίνουν τα 4000 γραμμάρια και τα κυβικά εκατοστά, αντίστοιχα. Στο ταξίδι της επιστροφής, οι περιορισμοί είναι πιο χαλαροί. Η τουρίστρια διαθέτει συνολικά τρεις φούστες, τρία παντελόνια, τέσσερις μπλούζες και δύο φορέματα, ενώ όταν φτάσει στον προορισμό της, σκοπεύει να αγοράσει ένα πουλόβερ. Η τουρίστρια θέλει να μεγιστοποιήσει τον αριθμό των «συνόλων» που θα πάρει μαζί της (μαζί με αυτό που θα φορέσει στο ταξίδι). Ένα πουλόβερ ή μια μπλούζα πρέπει να συνδυαστεί με ένα παντελόνι ή μια φούστα για να θεωρηθεί σύνολο, ενώ ένα φόρεμα θεωρείται από μόνο του ως σύνολο. Οι συνδυασμοί ρούχων που φαίνονται με ένα x στον παρακάτω πίνακα δεν ταιριάζουν μεταξύ τους, λόγω των χρωματισμών των ρούχων. Tέλος ο δεύτερος πίνακας δείχνει το βάρος και τον όγκο κάθε ρούχου. Μορφοποιήστε ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού για αυτό το πρόβλημα. 23

24 Παράδειγμα 2.4 Μπλούζα 1 Μπλούζα 2 Μπλούζα 3 Μπλούζα 4 Πουλόβερ Φούστα x x 3 Φούστα 2 4 x x 5 x Φούστα 3 x Παντελόνι 1 10 x 11 x x Παντελόνι x Παντελόνι 3 x x Βάρος (gr) Όγκος (cm 3 ) Φούστα Φούστα Φούστα Παντελόνι Παντελόνι Παντελόνι Μπλούζα Μπλούζα Μπλούζα Μπλούζα Φόρεμα Φόρεμα

25 Λύση Παράδειγμα 2.4 Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές απόφασης: Mi = 1 αν η τουρίστρια πάρει τη μπλούζα i, (i = 1,2,3,4) και 0 αλλιώς Fi = 1 αν η τουρίστρια πάρει τη φούστα i, (i = 1,2,3) και 0 αλλιώς Pi = 1 αν η τουρίστρια πάρει το παντελόνι i, (i = 1,2,3) και 0 αλλιώς Di = 1 αν η τουρίστρια πάρει το φόρεμα i, (i = 1,2) και 0 αλλιώς Si = 1 αν πάρει το σύνολο i, (i = 1,,18, όπως φαίνονται στον πρώτο πίνακα) και 0 αλλιώς. Το ακέραιο πρόβλημα μορφοποιείται στο LINGO ως εξής: 25

26 Λύση Παράδειγμα 2.4 MAX = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 + S7 + S8 + S9 + S10 + S11 + S12 + S13 + S14 + S15 + S16 + S17 + S18 + D1 + D2; S1 <= 0.5*(F1+M1); S2 <= 0.5*(F1+M2); S3 <= F1; S4 <= 0.5*(F2+M1); S5 <= 0.5*(F2+M4); S6 <= 0.5*(F3+M2); S7 <= 0.5*(F3+M3); S8 <= 0.5*(F3+M4); S9 <= F3; 26

27 Λύση Παράδειγμα 2.4 S10 <= 0.5*(P1+M1); S11 <= 0.5*(P1+M3); S12 <= 0.5*(P2+M1); S13 <= 0.5*(P2+M2); S14 <= 0.5*(P2+M4); S15 <= P2; S16 <= 0.5*(P3+M3); S17 <= 0.5*(P3+M4); S18 <= P3; 27

28 Λύση Παράδειγμα *F *F *F *P *P *P *M *M *M *M *D *D2 <= 4000; 5000*F *F *F *P *P *P *M *M *M *M *D *D

29 Λύση Παράδειγμα 2.4 Η λύση που παίρνουμε από το LINGO είναι η εξής: Global optimal solution found at iteration: 353 Objective value: Variable Value S S S S S S S S S S S S S S S

30 Λύση Παράδειγμα 2.4 S S S D D F M M F M F M P P P Επομένως, η βέλτιστη λύση για την τουρίστρια είναι να πάρει μαζί της την 1η και την 3η φούστα, την 1η, τη 2η και την 3η μπλούζα και τα 3 παντελόνια, με συνολικό βάρος 3900 γραμμάρια και συνολικό όγκο κυβικά εκατοστά. Χρησιμοποιώντας και το πουλόβερ που πρόκειται να αγοράσει, θα διαθέτει συνολικά 13 σύνολα. 30

31 Παράδειγμα 2.5 Μία εταιρεία παράγει 3 προϊόντα σε 3 εργοστάσια και τα διαθέτει σε 3 αγορές. Για k = 1,2,3, i = 1,2,3 και j = 1,2,3 δίνονται τα εξής δεδομένα: Μοναδιαίο κόστος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο I k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Κόστος μεταφοράς ενός προϊόντος k από το εργοστάσιο i στην αγορά j (j=1) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Κόστος μεταφοράς ενός προϊόντος k από το εργοστάσιο i στην αγορά j (j=2) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i =

32 Παράδειγμα 2.5 Κόστος μεταφοράς ενός προϊόντος k από το εργοστάσιο i στην αγορά j (j=3) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Σταθερό κόστος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο I k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Μέγιστο ύψος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο i k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i =

33 Λύση Παράδειγμα 2.5 Ελάχιστο ύψος παραγωγής του προϊόντος k στο εργοστάσιο i (σε περίπτωση θετικής παραγωγής) k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Δυναμικότητα (σε εργατοώρες) του εργοστασίου i που απαιτείται για την παραγωγή ενός προϊόντος k k = 1 k = 2 k = 3 i = i = i = Συνολική δυναμικότητα (σε εργατοώρες) του εργοστασίου I i = 1 i = 2 i = Ζήτηση του προϊόντος k στην αγορά j k = 1 k = 2 k = 3 j = j = j =

34 Λύση Παράδειγμα 2.5 Μορφοποιήστε ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού που να ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος παραγωγής και μεταφοράς των προϊόντων, ώστε να καλυφθεί η ζήτηση. Βρείτε τη βέλτιστη λύση χρησιμοποιώντας το LINGO. Οι επιπλέον περιορισμοί που θα πρέπει να ικανοποιούνται είναι οι εξής: α) Κανένα εργοστάσιο δεν μπορεί να παράξει περισσότερα από 2 προϊόντα β) Κάθε προϊόν μπορεί να παραχθεί το πολύ σε 2 εργοστάσια. 34

35 Λύση Παράδειγμα 2.5 Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές απόφασης: xijk = αριθμός προϊόντων τύπου k που παράγονται στο εργοστάσιο i και διατίθενται στην αγορά j yik = δυαδική μεταβλητή που παίρνει την τιμή 1 αν το προϊόν k παράγεται στο εργοστάσιο i και 0 αν όχι. Στη συνέχεια, το πρόβλημα μορφοποιείται ως εξής: MIN = 5*X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y33; 35

36 Λύση Παράδειγμα 2.5 MIN = 5*X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *X *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y *Y33; X111 + X121 + X131 <= 500*Y11; (μέγιστο ύψος παραγωγής) X112 + X122 + X132 <= 950*Y12; X113 + X123 + X133 <= 900*Y13; X211 + X221 + X231 <= 400*Y21; X212 + X222 + X232 <= 900*Y22; X213 + X223 + X233 <= 850*Y23; X311 + X321 + X331 <= 900*Y31; X312 + X322 + X332 <= 850*Y32; X313 + X323 + X333 <= 950*Y33; 36

37 Λύση Παράδειγμα 2.5 X111 + X121 + X131 >= 10*Y11; (ελάχιστο ύψος παραγωγής) X112 + X122 + X132 >= 5*Y12; X113 + X123 + X133 >= 8*Y13; X211 + X221 + X231 >= 5*Y21; X212 + X222 + X232 >= 10*Y22; X213 + X223 + X233 >= 5*Y23; X311 + X321 + X331 >= 4*Y31; X312 + X322 + X332 >= 5*Y32; X313 + X323 + X333 >= 4*Y33; 2*(X111 + X121 + X131) + 2*(X112 + X122 + X132) + 3*(X113 + X123 + X133) <= 2000; 3*(X211 + X221 + X231) + 1*(X212 + X222 + X232) + 2*(X213 + X223 + X233) <= 3500; 4*(X311 + X321 + X331) + 2*(X312 + X322 + X332) + 3*(X313 + X323 + X333) <= 5000; (δυναμικότητα) 37

38 Λύση Παράδειγμα 2.5 X111 + X211 + X311 >= 200; (ικανοποίηση ζήτησης) X112 + X212 + X312 >= 350; X113 + X213 + X313 >= 500; X121 + X221 + X321 >= 300; X122 + X222 + X322 >= 400; X123 + X223 + X323 >= 250; X131 + X231 + X331 >= 400; X132 + X232 + X332 >= 450; X133 + X233 + X333 >= 350; Y11 + Y12 + Y13 <= 2; Y21 + Y22 + Y23 <= 2; Y31 + Y32 + Y33 <= 2; Y11 + Y21 + Y31 <= 2; Y12 + Y22 + Y32 <= 2; Y13 + Y23 + Y33 <= 2; (το πολύ 2 προϊόντα σε κάθε εργοστάσιο) (το πολύ 2 εργοστάσια για κάθε προϊόν) 38

39 Λύση

40 Λύση Παράδειγμα 2.5 Η λύση που παίρνουμε από το LINGO φαίνεται παρακάτω: Optimal solution found at step: 65 Objective value: Branch count: 5 40

41 Λύση Παράδειγμα 2.5 Variable Value Reduced Cost X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y Y Y Y Y Y

42 Παράδειγμα 2.6 Η κυβέρνηση εξετάζει την εγκατάσταση πυροσβεστικών σταθμών σε 5 πόλεις. Το κόστος εγκατάστασης των σταθμών σε κάθε πόλη καθώς και ο χρόνος που χρειάζεται για την κάλυψη της απόστασης μεταξύ των πόλεων αυτών δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Πόλη 1 Πόλη 2 Πόλη 3 Πόλη 4 Πόλη 5 Πόλη Πόλη Πόλη Πόλη Πόλη Κόστος εγκατάστασ ης Σε κάθε πόλη μπορεί να εγκατασταθεί το πολύ 1 σταθμός. Ο στόχος είναι να εγκατασταθεί ο ελάχιστος αριθμός πυροσβεστικών σταθμών έτσι ώστε για κάθε πόλη να υπάρχει κάποιος σταθμός που μπορεί να ανταποκριθεί σε περίπτωση φωτιάς σε χρόνο που δεν υπερβαίνει τα 20 λεπτά. Επειδή έχει ήδη συγκεντρωθεί το ποσό των 400 χιλιάδων ευρώ, αυτό πρέπει να είναι και το ελάχιστο ποσό που θα πρέπει να δαπανηθεί για το συγκεκριμένο σκοπό. Να βρεθεί η βέλτιστη χωροθέτηση των πυροσβεστικών σταθμών. 42

43 Λύση Παράδειγμα 2.6 Ορίζουμε τις εξής μεταβλητές: Xi = 1 αν εγκατασταθεί σταθμός στην πόλη i και 0 αλλιώς, i = 1, 2,,5 Τότε, το πρόβλημα μορφοποιείται στο LINGO ως εξής: MIN = X1 + X2 + X3 + X4 + X5; X1 + X2 + X3 > 1;! (πόλη 1); X1 + X2 + X5 > 1;! (πόλη 2); X1 + X3 + X4 > 1;! (πόλη 3); X3 + X4 + X5 > 1;! (πόλη 4); X2 + X4 + X5 > 1;! (πόλη 5); 200*X *X *X *X *X5 > @BIN(X5); 43

44 Λύση Παράδειγμα 2.6 και η λύση που παίρνουμε είναι η εξής: Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X X X X X

Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης

Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας. Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης Εφαρμογές Επιχειρησιακής Έρευνας Δρ. Γεώργιος Κ.Δ. Σαχαρίδης 1 Outline Introduction to mathematical programming Introduction to scheduling Flow shop optimization Scheduling of crude oil Decomposition techniques

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 1) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)

Πόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα) 1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα Επαναληπτικές Ασκήσεις Επιχειρησιακή Έρευνα 2016-17 1 η Άσκηση Έστω το παρακάτω πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού: min 6A + 4B subject to 2Α + Β 12 Α + Β 10 Β 4 Α, Β, 0 1. Διατυπώστε την τυπική μορφή

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: Εισαγωγή Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 3 η /2017 Γραμμικός προγραμματισμός Είναι μια μεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ (C) 2002 ΧΙΟΣ Παράδειγμα 8: Πρόβλημα ελαχίστης Διαδρομής (Shortest path problem)... 4 LINDO: Integer Linear

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 2 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού

Κεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση προβληµάτων

Μοντελοποίηση προβληµάτων Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας»

Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Λυμένες ασκήσεις στα πλαίσια του μαθήματος «Διοίκηση Εφοδιαστικής Αλυσίδας» Άσκηση 1. Έστω ότι μια επιχείρηση αντιμετωπίζει ετήσια ζήτηση = 00 μονάδων για ένα συγκεκριμένο προϊόν, σταθερό κόστος παραγγελίας

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις

Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 6 Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 6.1 2 Τυπικά δεδομένα Ενότητα 6.3 Δοκιμή με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Παράδειγμα προβλήματος ελαχιστοποίησης Μια κατασκευαστική εταιρία κατασκευάζει εξοχικές κατοικίες κοντά σε γνωστά θέρετρα της Εύβοιας Η

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο

Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό. Χειμερινό Εξάμηνο Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό Χειμερινό Εξάμηνο 2016-2017 Εισαγωγή Ασχολείται με το πρόβλημα της άριστης κατανομής των περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζόμενων δραστηριοτήτων μιας επιχείρησης

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός

Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 5. Εργοστάσια. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Άσκηση 5. Εργοστάσια. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης Άσκηση Μια μεγάλη εταιρεία σκοπεύει να μπει δυναμικά στην αγορά αναψυκτικών της χώρας διαθέτοντας συνολικά 7 μονάδες κεφαλαίου. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει είναι αν πρέπει να κατασκευάσει ένα κεντρικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΤΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΙΚΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΤΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΙΚΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΤΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΙΑΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕΙΚΤΗΣ ΑΚΕΡΑΙΑΣ ΔΙΕΠΙΠΕΔΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 3: Μαθηματικό Πρότυπο, Κανονική Μορφή, Τυποποιημένη Μορφή Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)

Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Δυϊκότητα. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Δυϊκότητα Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 1/12/2016 1 Το δυϊκό πρόβλημα Για κάθε πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 1: Εισαγωγή στο Γραμμικό Προγραμματισμό (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων

Μοντέλα Διανομής και Δικτύων Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή έρευνα. Επιχειρησιακή Έρευνα

Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή έρευνα. Επιχειρησιακή Έρευνα ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Διεθνούς Εμπορίου Επιχειρησιακή Έρευνα Προβλήματα Διαμόρφωση μαθηματικού μοντέλου Γραφική λύση Επίλυση με τη μέθοδο Simplex Δρ. Ζαχαρούλα Καλογηράτου 1 Πρόβλημα 1. Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ.

Α) δηλώνουν τις ποσότητες που, ανάλογα με το πρόβλημα, θα παραχθούν, επενδυθούν, αγοραστούν, κατασκευαστούν κ.λπ. 1. 0 γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στη διαχείριση αγροτικής παραγωγής για τη βέλτιστη κατανομή πόρων όπως., με τρόπο που να οδηγεί στη μεγιστοποίηση των κερδών. Α) διαθέσιμης προς καλλιέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος

Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων. Σαχαρίδης Γιώργος Οργάνωση και Διοίκηση Εργοστασίων Σαχαρίδης Γιώργος Πρόβλημα 1 Μία εταιρεία έχει μία παραγγελία για την παραγωγή κάποιου προϊόντος. Με τις 2 υπάρχουσες βάρδιες (40 ώρες την εβδομάδα η καθεμία) μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού

Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού 3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Δυϊκή Θεωρία (1) Θεώρημα : Το δυϊκό πρόβλημα του γραμμικού προβλήματος 0 0 1 1 2 2 0 0 T

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα 1: Γραµµικός προγραµµατισµός(γ.π.) ιδάσκων: Βασίλειος Ισµυρλής Τηλ:6979948174, e-mail: vasismir@gmail.com http://vasilis-ismyrlis.webnode.gr/

Διαβάστε περισσότερα

Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας.

Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας. Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας. Έστω ένα πλήθος πληρωμάτων I, σε καθένα από τα οποία ανατίθεται καθημερινά κάποιο καθήκον (εργασία, βάρδια), από ένα συνολικό πλήθος Κ εργασιών. Ο στόχος

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς

Διαβάστε περισσότερα

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m

max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός

Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ 5 η Σειρά Ασκήσεων του Μαθήματος «ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ» Διδάσκων: Νίκος Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Εκχώρησης (Assignment Problems)

Προβλήματα Εκχώρησης (Assignment Problems) Προβλήματα Εκχώρησης (Assigmet Problems) Παραδείγματα Δικτυακή Διατύπωση Λύση Hugaria Algorithm Προβλήματα Εκχώρησης (Assigmet Problems) Παραδείγματα Εκχώρηση ατόμων στην εκτέλεση μίας δραστηριότητας Κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z

Δυναμικότητα (GWh) A B C Ζήτηση (GWh) W X Y Z Άσκηση Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας

Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση Ευαισθησίας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Δρ. Σταύρος Τ. Πόνης Δυαδικό Πρόβλημα Εισαγωγή στην Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδος simplex Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 4 η /2017 Η γεωμετρία των προβλημάτων γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Data Envelopment Analysis

Data Envelopment Analysis Data Envelopment Analysis Η μέθοδος των «Βέλτιστων Προτύπων Αποδοτικότητας», γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως «Data Envelopment Analysis», εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της σχετικής αποδοτικότητας και

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες Χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης

Κανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού

Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η γραφική μέθοδος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 τελευταία ενημέρωση: 21/10/2016 1 Γραφική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Simplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες

Simplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 [ A c x = b ] Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 A x = b [ ] c Επιλογή αντιστρέψιµου υποπίνακα m m (Βάση) Συµβολισµοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ

ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΑΛΟΥΜΙΝΙΟΥ Μια εταιρεία αλουμινίου έχει αποθέματα βωξίτη στην περιοχή G, στην S και στην A. Επίσης, υπάρχουν εργοστάσια μετάλλου, όπου ο βωξίτης

Διαβάστε περισσότερα

ιαµόρφωση Προβλήµατος

ιαµόρφωση Προβλήµατος Γραµµικός Προγραµµατισµός ιαµόρφωση Προβλήµατος Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Γενικά Στοιχεία Γραµµικού

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αποφάσεων. Εργαστηριακές Ασκήσεις στον Γραμμικό Προγραμματισμό

Συστήματα Αποφάσεων. Εργαστηριακές Ασκήσεις στον Γραμμικό Προγραμματισμό Εργαστηριακές Ασκήσεις στον Γραμμικό Προγραμματισμό Άσκηση 1: Ανάθεση αεροπορικών πτήσεων Μικρή ιδιωτική αεροπορική εταιρία διαθέτει αεροσκάφη τριών τύπων: τα Α, Β και Γ, για να εκτελεί ναυλωμένες πτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Παραδείγματα Μοντελοποίησης Παράδειγμα 1 Οι φοιτητές του ΤΜΟΔ ως γνωστό-

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το µαθηµατικό µοντέλο του ακέραιου προγραµµατισµού είναι ακριβώς το µοντέλο του γραµµικού προγραµµατισµού µε τον επιπρόσθετο περιορισµό ότι όλες (γνήσιος ακέραιος προγραµµατισµός) ή κάποιες (µικτός

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )

3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +

min f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) + KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 2: Τεχνικές Μοντελοποίησης, Εφαρμογές Μοντελοποίησης Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα