ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (N. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως άνευ γραπτής αδείας του εκδότη η κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλουή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Θετικές επιστήμες Beppo Levi, Διαβάζοντας τον Ευκλείδη Τίτλος πρωτοτύπου: Leyendo a Eyclides Mετάφραση: Ανδρέας Μιχαηλίδης Πρόλογος-Επιμέλεια: Τεύκρος Μιχαηλίδης Yπεύθυνος εκδοτικού τμήματος: Kώστας Γιαννόπουλος Διορθώσεις: Ευαγγελία Σίντου Σελιδοποίηση: Aλέξιος Δ. Mάστορης Φιλμ-μοντάζ: Μαρία Ποινιού Ρένεση Copyright Libros del Zorzal, 2000 Copyright Agone, 2003 for the French translation (En lisant Euclide) Leyendo a Euclides was originally published in Spanish in 2000. This translation is published by arrangement with Libros del Zorzal, info@delzorzal.com. Copyright για την ελληνική γλώσσα, Σ. Πατάκης AEΕΔΕ (Eκδόσεις Πατάκη), 2009 Πρώτη έκδοση στην ισπανική γλώσσα από τις εκδόσεις Libros del Zorzal, Μπουένος Άιρες, 2000 Πρώτη έκδοση στην ελληνική γλώσσα από τις Eκδόσεις Πατάκη, Aθήνα, Μάρτιος 2014 Κ.Ε.Τ. 6807 Κ.Ε.Π. 119/14 ISBN: 978-960-16-4058-7 ΠANAΓH TΣAΛΔAPH (ΠPΩHN ΠEIPAIΩΣ) 38, 104 37 AΘHNA ΤΗΛ.: 210.36.50.000, 210.52.05.600, 801.100.2665 ΦAΞ: 210.36.50.069 ΚΕNΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕNΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗNΑ, ΤΗΛ.: 210.38.31.078 ΥΠOΚATAΣTHΜΑ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH Β ΚTEO), T.Θ. 1213, 570 09 KAΛOXΩPI ΘΕΣΣΑΛONΙΚΗΣ, ΤΗΛ.: 2310.70.63.54, 2310.70.67.15 ΦAΞ: 2310.70.63.55 Web site: http://www.patakis.gr e-mail: info@patakis.gr, sales@patakis.gr

BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ Ανδρέας Μιχαηλίδης ΠΡΟΛΟΓΟΣ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Τεύκρος Μιχαηλίδης ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Leopoldo Kulesz ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΝΕΑΣ ΕΚΔΟΣΗΣ Laura Levi

Επειδή ο συγγραφέας έχει ενσωματώσει στην επιχειρηματολογία του αρκετά ελεύθερες μεταφράσεις αποσπασμάτων του Πλάτωνα, αναπαράγουμε σε υποσημείωση δόκιμες, ακριβείς μεταφράσεις των αντίστοιχων κειμένων στα νέα ελληνικά: Πολιτεία, μετάφραση με εισαγωγή και σχόλια του Ν. Μ. Σκουτερόπουλου, εκδόσεις Πόλις, 2002. Θεαίτητος, μετάφραση με εισαγωγή και σχόλια του Β. Τατάκη, εκδόσεις Ι. Ζαχαρόπουλος. Μένων, μετάφραση με εισαγωγή και σχόλια του Ι. Πετράκη, εκδόσεις Πόλις, 2008.

ΠEPIEXOMENA Διαβάζοντας τον Ευκλείδη στην Ελλάδα του 21ου αιώνα Τεύκρος Μιχαηλίδης............................. 9 Γιατί Ευκλείδης; Leopoldo Kulesz................................ 17 Σημείωμα νέας έκδοσης Laura Levi.................................... 23 Πρόλογος Beppo Levi.................................... 29 Η γεωμετρία και η σωκρατική σκέψη................ 33 Διαβάζοντας τον Ευκλείδη...................... 101 Ι. Ορισμοί, αιτήματα, κοινές έννοιες. Η θεωρία της ισότητας........................ 103 ΙI. Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου και το πέμπτο αίτημα........................ 157 ΙII. H γεωμετρική άλγεβρα και η θεωρία των αναλογιών.................... 171 ΙV. Η μέθοδος της εξάντλησης..................... 217 V. Τα αριθμητικά βιβλία.........................229 Σημειώσεις................................... 251 Βιβλιογραφικό σημείωμα........................ 275 Κατάλογος προτάσεων από τα Στοιχεία που σχολιάζονται στο βιβλίο...................... 279

ΤΕΥΚΡΟΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ Διαβάζοντας τον Ευκλείδη στην Ελλάδα του 21ου αιώνα Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το αρχαιότερο σωζόμενο ολοκληρωμένο επιστημονικό σύγγραμμα. Σήμερα, 2.300 χρόνια μετά τη συγγραφή του, εξακολουθεί να αποτελεί το αδιαμφισβήτητο πρότυπο γραφής μαθηματικού, αν όχι και γενικότερα επιστημονικού, κειμένου. Η αξιωματική-παραγωγική μέθοδος δεν έχει ποτέ υποκατασταθεί από κάτι άλλο, ούτε φαίνεται στο ορατό μέλλον κάποια τέτοια προοπτική υποκατάστασης. Αναμφίβολα εκφράστηκαν στο παρελθόν και εξακολουθούν να εκφράζονται διαφορετικές αντιλήψεις ως προς το τι είδους προτάσεις είναι θεμιτό να επιλέγονται ως αξιώματα, ποια είναι η διαδικασία νομιμοποίησης μιας συγκεκριμένης επιλογής αξιωματικού συστήματος, ποιες κατασκευές και ποιες αποδείξεις υπάρξεως είναι αποδεκτές, ακόμα και ποιες μέθοδοι απόδειξης είναι επιτρεπτές. Η βασική δομή, όμως, παρέμεινε πάντοτε η ίδια: Επιλογή ενός συστήματος αξιωμάτων. Επιλογή και διαμόρφωση ενός ιστού θεμελιωδών προτάσεων που αποτελούν τη ραχοκοκαλιά της θεωρίας και στις οποίες αναφέρονται για τη λύση τους όλα τα προβλήματα που διατυπώνονται στα πλαίσιά της. Απόδειξη των παραπάνω θεωρημάτων με βάση τους

10 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ αριστοτελικούς κανόνες συναγωγής και με επίκληση, για το καθένα, αποκλειστικά των αξιωμάτων και των θεωρημάτων που η απόδειξή τους έχει προηγηθεί. Και μόνη της η διαπίστωση της οικουμενικότητας του ευκλείδειου προτύπου θα αποτελούσε επαρκές κίνητρο για να διαβάσει κανείς τα Στοιχεία. Ωστόσο, υπάρχουν και πολλοί ακόμη λόγοι: Η Ευκλείδεια γεωμετρία, μας λέει ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός του εικοστού αιώνα René Thom, είναι το πρώτο παράδειγμα μεταγραφής μιας διαδικασίας αναφερόμενης σε δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο, στη μονοδιάστατη γλώσσα της γραφής. Αυτή τη μεταγραφή, με πολύ πιο χαλαρό και άτυπο τρόπο, την κάνουμε διαρκώς με τις προφορικές ή γραπτές περιγραφές και αφηγήσεις μέσω των οποίων επικοινωνούμε. Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι λοιπόν μια αυστηρή και ακριβής τυποποίηση του επικοινωνιακού μας κώδικα και αποτελεί κατά κάποιον τρόπο τον διαμεσολαβητή, μοναδικό και αναντικατάστατο, ανάμεσα στην καθημερινή μας γλώσσα και τον μαθηματικό φορμαλισμό. Στην αδιάκοπη προσπάθεια να κατανοήσουμε τον κόσμο γύρω μας, βιώνουμε καθημερινά, μεταξύ άλλων, τον ανταγωνισμό ανάμεσα στο διακριτό και το συνεχές. Η αριθμητική είναι αυτή που μας δίνει τη διαισθητική αντίληψη του διακριτού. Η απαρίθμηση, ο προγραμματισμός και ο απολογισμός ενεργειών είναι δραστηριότητες που βασίζονται με φυσικό τρόπο στην έννοια του διακριτού και άπτονται όλες της αριθμητικής. Αντίθετα, η παρατήρηση του χώρου, η χάραξη, η τοποθέτηση πραγματική ή νοητή επιφανειών και όγκων μέσα σε αυτόν επικαλούνται την αίσθηση του συνεχούς και αναφέρονται στη γεωμετρία.

ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ 11 Όπως απέδειξε με τα περίφημα παράδοξά του ο Ζήνων ο Ελεάτης, καμιά από τις δύο έννοιες δεν είναι σε θέση να περιγράψει από μόνη της με ορθολογικό τρόπο τον κόσμο. Τέσσερα από τα περίπου σαράντα παράδοξα του Ζήνωνα διέσωσε για χάρη μας ο Αριστοτέλης και μέσω αυτών καταδεικνύεται ότι μια επιφανειακή και μεμονωμένη αποδοχή, είτε του συνεχούς είτε του διακριτού, δεν μπορεί να είναι ορθολογική. Είναι χαρακτηριστικό ότι, από τα τέσσερα σωζόμενα παράδοξα, τα δύο καταδεικνύουν τη μη ορθολογική φύση του συνεχούς και τα άλλα δύο την αντίστοιχη του διακριτού. Άλλωστε, η κρίση της ασυμμετρίας που δημιουργήθηκε με την ανακάλυψη της ύπαρξης ομοειδών μεγεθών όπως η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου που δεν μπορούν να μετρηθούν με την ίδια μονάδα μετρήσεως, είναι και αυτή μια έκφραση της ανεπάρκειας των εννοιών του διακριτού και του συνεχούς τουλάχιστον στην απλοϊκή εκδοχή τους για την περιγραφή του φυσικού κόσμου. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτελούν την πρώτη, στην ιστορία των ιδεών, ολοκληρωμένη, αυστηρά θεωρητική περιγραφή αυτών των δύο εννοιών, αποδίδοντας «τα του Καίσαρος τω Καίσαρει». Οι έννοιες του μεγέθους και του αριθμού, συναφείς αλλά όχι ταυτιζόμενες, αναλύονται κατά τρόπο που να ξεκαθαρίζει πότε μπορεί η μία να υποκαταστήσει την άλλη και πότε η διαφοροποίησή τους είναι ουσιώδης. Η διάκριση ανάμεσα στον λόγο γεωμετρικών μεγεθών και τον λόγο αριθμών αναδεικνύει το βάθος της σκέψης που γεννήθηκε από τους Ίωνες και τους πυθαγόρειους φιλοσόφους και καλλιεργήθηκε στην Ακαδημία του Πλάτωνα και το Λύκειο του Αριστοτέλη.

12 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Ο Ευκλείδης κληρονόμησε το μεγαλειώδες έργο του Θαλή, του Πυθαγόρα, του Ιπποκράτη του Χίου, του Θεαίτητου και του Ευδόξου το επεξεργάστηκε, το διαμόρφωσε, του προσέδωσε μια ενιαία δομή και το κληροδότησε σε μας. Ουδέποτε υπήρξε και μέχρι να το δούμε ποτέ δεν πρόκειται να πιστέψουμε ότι μπορεί να υπάρξει, ένα άξιο λόγου σύστημα γεωμετρίας που να αποκλίνει ουσιαστικά (και δεν εννοούμε διορθώσεις, επεκτάσεις ή εξελίξεις) από το πλάνο που διαμόρφωσε ο Ευκλείδης, έγραψε το 1848 ο Augustus De Morgan. Εξήντα χρόνια αργότερα ο Thomas Little Heath έσπευσε να υιοθετήσει και αυτός την ίδια θέση, που πιστεύω πως εξακολουθεί να ισχύει και σήμερα. Πράγματι, τα Στοιχεία είναι, ίσως, το μαθηματικό βιβλίο που μελετήθηκε περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο. Το απόσταγμα των μελετών, ερευνών, διορθώσεων και αμφισβητήσεων που διατυπώθηκαν για περισσότερες από δύο χιλιετίες αποτυπώθηκε στο Grundlagen der Geometrie (Θεμέλια της γεωμετρίας) του David Hilbert. Ωστόσο, ακριβώς όπως αναφέρει ο de Morgan, πρόκειται για διορθώσεις και επεκτάσεις που δεν αποκλίνουν ουσιαστικά από το πλάνο του Ευκλείδη. Ανάλογη δουλειά έκανε και ο Richard Dedekind στην αριθμητική όμως το πλάνο και της δικής του εργασίας είναι αυτό που σκιαγραφείται στα Στοιχεία και που οι μελετητές αποδίδουν σε πρωτογενή εργασία του Ευδόξου. Στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα αναπτύχθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Καθώς όμως καθεμιά από αυτές προέκυψε από τη μερική άρνηση ή τροποποίηση κάποιου ευκλείδειου αιτήματος, θα πρέπει να χα-

ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ 13 ρακτηριστούν ως εξελίξεις στο πλάνο του Ευκλείδη και, συνεπώς, εντάσσονται στην περιγραφή του De Morgan. Αξίζει, λοιπόν, όχι μόνο οι μαθηματικοί αλλά και όσοι ενδιαφέρονται γενικότερα για την ιστορία των ιδεών να μελετήσουν τα Στοιχεία. Μόνο που, 2.300 χρόνια μετά τη συγγραφή τους, κάτι τέτοιο είναι αρκετά δύσκολο χωρίς κάποια βοήθεια. Μπορεί οι έννοιες να παρέμειναν οι ίδιες, άλλαξαν όμως η γλώσσα (και δεν εννοούμε απλώς τη μετάβαση από τα αρχαία ελληνικά στις σύγχρονες γλώσσες), η διατύπωση, ο συμβολισμός. Το ανά χείρας βιβλίο του Beppo Levi είναι λοιπόν, κατά τη γνώμη μου, ένας απαραίτητος οδηγός, ένας πολύτιμος σύντροφος στην ανάγνωση του Ευκλείδη. Ωστόσο, είναι γραμμένο με τέτοιο τρόπο που θα μπορούσε να διαβαστεί και ανεξάρτητα, προσφέροντας στον αναγνώστη πολύτιμες και ουσιαστικές πληροφορίες και ιδέες. Ερευνητής μαθηματικός πρώτης γραμμής, ο Beppo Levi είναι κυρίως γνωστός για το λήμμα που φέρει το όνομά του και αναφέρεται στα ολοκληρώματα μονότονων ακολουθιών συναρτήσεων. Είχε, ωστόσο, σημαντική συνεισφορά τόσο στη θεμελίωση της θεωρίας των συνόλων όσο και στη μελέτη των αλγεβρικών επιφανειών. Ο Levi γεννήθηκε στο Τορίνο το 1875. Σπούδασε όπως και ο μικρότερος αδελφός του Eugenio Elia που σκοτώθηκε στον Α Παγκόσμιο Πόλεμο μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Τορίνο, απ όπου έλαβε το διδακτορικό του σε ηλικία 21 ετών. Δίδαξε σε διάφορα ιταλικά πανεπιστήμια πριν καταλήξει το 1928 στο φημισμένο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια. Με την εφαρμογή των ρατσιστικών νόμων του φασιστικού καθεστώτος του Μουσολίνι ο Levi έχασε το 1939 τη θέση του στο πανεπιστήμιο και ανα-

14 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ γκάστηκε να μεταναστεύσει στην Αργεντινή. Εκεί διορίστηκε στο Πανεπιστήμιο Universidad Nacional del Litoral, όπου τέθηκε επικεφαλής του Μαθηματικού Ινστιτούτου. Πέθανε το 1961 στην Αργεντινή, σε ηλικία 86 ετών. Ο Levi έγραψε το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη το 1947 απευθυνόμενος, όπως αναφέρει και ο ίδιος στον πρόλογό του, στο ευρύ αναγνωστικό κοινό. Πράγματι, το μόνο που απαιτείται για να διαβαστεί είναι το ενδιαφέρον για την ιστορία και τη φιλοσοφία της επιστήμης και μαθηματικές γνώσεις που δεν ξεπερνούν αυτές της τρίτης Γυμνασίου. Παρ όλα αυτά το έργο παρέμεινε στην αφάνεια επί πενήντα χρόνια. Πρόσφατα, με τη φροντίδα της κόρης του Laura, κυκλοφόρησε πρώτα στα ισπανικά και στη συνέχεια στα γαλλικά. Ο Levi εκτός από ερευνητής μαθηματικός ήταν εξαιρετικός δάσκαλος και άνθρωπος με ευρύτατη μόρφωση. Στο Διαβάζοντας τον Ευκλείδη συνδυάστηκαν και οι τρεις αυτές ιδιότητές του με αποτέλεσμα ένα ευανάγνωστο και ταυτόχρονα βαθύ και διεισδυτικό πόνημα. Πρόκειται για ένα εξαιρετικά πρωτότυπο έργο που, ενώ αποτελεί την ιδανική εισαγωγή στο σύγγραμμα του Ευκλείδη, έχει να προσφέρει πολλές καινοτόμες ιδέες ακόμα και στον έμπειρο μελετητή. Ιδιαίτερα χρήσιμο θα φανεί το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη στον εκπαιδευτικό τόσο της μέσης όσο και της ανώτατης εκπαίδευσης. Παρόλο που τα τελευταία χρόνια το μερίδιο της γεωμετρίας στα αναλυτικά προγράμματα έχει συρρικνωθεί σημαντικά, η γεωμετρία παραμένει το σημαντικότερο εργαλείο προσέγγισης της μαθηματικής διαδικασίας. Αν αποδεχθούμε ότι η ουσία των μαθηματικών είναι η απόδειξη, η γεωμετρία αποτελεί το

ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ 15 καταλληλότερο εργαλείο για την παρουσίασή της. Στα γεωμετρικά προβλήματα ο μαθητής μπορεί εύκολα να μάθει να ξεχωρίζει την υπόθεση (το δεδομένο) από το συμπέρασμα (το αποτέλεσμα που ζητείται να αποδειχθεί). Μπορεί να ασκηθεί στη διάκριση της απλής συνεπαγωγής από την ισοδυναμία (π.χ. αν ένα τετράπλευρο έχει όλες του τις γωνίες ορθές, είναι παραλληλόγραμμο, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει), ενώ από τον πλούτο των εύκολα προσιτών αντιπαραδειγμάτων μπορεί να αντλήσει πολλές χρήσιμες εμπειρίες. Ακόμα, η γεωμετρία, όπως εξηγήσαμε και πιο πάνω, αποτελεί ένα εξαιρετικό εργαλείο για τη μελέτη της γλώσσας, κάτι που δεν είναι αμελητέο ακόμα και για τους μαθητές που στα ενδιαφέροντά τους δεν περιλαμβάνονται τα μαθηματικά. Το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη μπορεί να διαβαστεί άνετα και πολύ ευχάριστα μόνο του, μπορεί όμως και να χρησιμεύσει ως οδηγός για τη μελέτη των ίδιων των Στοιχείων. Τα δυο του μέρη, παρόλο που αλληλοσυμπληρώνονται κατά τρόπο θαυμαστό, μπορούν να διαβαστούν και ανεξάρτητα. Το πρώτο, «Η γεωμετρία και η Σωκρατική σκέψη», εντάσσει το εγχείρημα του Ευκλείδη στο ευρύτερο πνευματικό και φιλοσοφικό κλίμα της εποχής. Ο Levi αναλύει με ιδιαίτερη οξυδέρκεια αποσπάσματα από Πλατωνικούς διαλόγους και συνδυάζοντάς τα με ιστορικά στοιχεία μάς εξηγεί πώς το έργο του Ευκλείδη υπήρξε στην ουσία το προϊόν ερευνών και προβληματισμών των δυο αιώνων που προηγήθηκαν. Το δεύτερο μέρος αναλύει ένα προς ένα τα βασικά δομικά στοιχεία του έργου αποφεύγοντας τις τεχνικές λεπτομέρειες, όπου αυτές δεν παίζουν καθοριστικό ρόλο στην ανάδειξη των βασικών ποιοτικών στοιχείων του βιβλίου.

16 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Αν και ηλικίας άνω των εξήντα ετών, το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη δεν έχει χάσει τίποτα από το νεανικό του σφρίγος. Γλαφυρό, ζωντανό, αναλυτικό όπου χρειάζεται, αλλά και εξαιρετικά επιδέξιο στο να παρακάμπτει τα τετριμμένα και επουσιώδη, είναι ένα έργο χρήσιμο όσο και ευχάριστο. Σεπτέμβρης 2010

LEOPOLDO KULESZ Γιατί Ευκλείδης; Το 1999, έναν χρόνο μετά την υποστήριξη της διδακτορικής διατριβής μου στα θεωρητικά μαθηματικά και συγκεκριμένα στη θεωρία αριθμών, διορίστηκα διευθυντής του Ινστιτούτου Εκπαίδευσης Καθηγητών Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο General Sarmiento της Αργεντινής. Στην προσπάθειά της να εκπονήσει ένα πρόγραμμα ενδεδειγμένο για την εκπαίδευση των μελλοντικών καθηγητών μαθηματικών, η ομάδα μας αποφάσισε να επισκεφθεί τα λύκεια της περιοχής για να συζητήσει με τους εκπαιδευτικούς και να μελετήσει σε βάθος τα σχολικά εγχειρίδια και τη διαθέσιμη βιβλιογραφία. Έτσι, διαπιστώσαμε ότι, όσον αφορά στη γεωμετρία, η διδακτέα ύλη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης περιεχόταν κατά βάση στα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη. Δυστυχώς, η σκέψη και οι μέθοδοι του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού παρουσιάζονταν με τρόπο συγκεχυμένο και συχνά παραποιημένο, κάτι που αποτελούσε συχνά αιτία παρανοήσεων τόσο για τους μαθητές όσο και για τους ίδιους τους εκπαιδευτικούς. Στην προσπάθειά μας να θεραπεύσουμε την κατάσταση αποφασίσαμε να εισαγάγουμε στην εκπαίδευση των καθηγητών τη μελέτη των Στοιχείων του Ευκλείδη

18 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ καθώς και κάποιων έργων άλλων μεγάλων Ελλήνων μαθηματικών όπως ο Απολλώνιος, ο Αρχιμήδης και ο Πάππος. Αυτή η εμπειρία αποτέλεσε για μένα μια σημαντική μαθηματική, επιστημολογική αλλά και θεμελιωδώς παιδαγωγική ανακάλυψη. Τότε ήταν που ανέφερα τις μελέτες μου σχετικά με τους αρχαίους Έλληνες στον Manuel Sadosky, έναν μεγάλο Αργεντινό μαθηματικό και δάσκαλο. «Σε ενδιαφέρουν οι Έλληνες; Διάβασε τότε αυτό» μου είπε δίνοντάς μου μια στοίβα από παλιές φωτοτυπίες που έφεραν τον τίτλο Leyendo a Euclides. Ήταν ένα χειρόγραφο του Beppo Levi. Η ανάγνωση του χειρογράφου υπήρξε για μένα μια συναρπαστική εμπειρία. Ενέταξα το κείμενο στο πρόγραμμα σπουδών των μαθητών μου και αργότερα οι εκδόσεις Zorzal το εξέδωσαν. Σήμερα βλέπω με ιδιαίτερη χαρά ότι εκδίδεται και στα γαλλικά. Αυτή η εργασία αποτελεί για μένα μια πνοή δροσιάς στη διδασκαλία των μαθηματικών, που τις τελευταίες δεκαετίες έχει υποστεί τα πάνδεινα. Ο εικοστός αιώνας γνώρισε σημαντικές αναταράξεις σχετικά με τη μαθηματική γνώση. Με την πρωτοβουλία μιας ομάδας Γάλλων μαθηματικών, που συστήθηκε το 1933 υπό την επωνυμία Nicolas Bourbaki, καθορίστηκαν νέες προτεραιότητες, υιοθετήθηκε μια νέα γλώσσα και σταδιακά, κάποια προβλήματα που έμοιαζαν απρόσιτα άρχισαν να επιλύονται. Παρά την αποτελεσματικότητα αυτών των νέων ιδεών και μεθόδων, το εγχείρημα δεν έγινε ενθουσιωδώς δεκτό από το σύνολο της μαθηματικής κοινότητας που κάποια μέλη της δεν έκρυψαν τον σκεπτικισμό τους. Το 1962 ο Γαλλο-αμερικανός μαθηματικός Serge Lang δημοσίευσε μια πρώτη εκδοχή του

ΓΙΑΤΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ; 19 έργου του Diophantine Geometry (Διοφαντική Γεωμετρία) που αποτέλεσε μια πρώτη προσπάθεια «εκμοντερνισμού» της μαθηματικής σύμφωνα με τις αρχές των Bourbaki. Λίγο αργότερα, ο Άγγλος μαθηματικός Louis Mordell του άσκησε μια δριμύτατη κριτική: «Στο σύνολό του σχεδόν, το βιβλίο του Lang κυριολεκτικά δε διαβάζεται εκτός και αν ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος μεταξύ άλλων με το έργο των Bourbaki, τα βιβλία του Lang σχετικά με την αλγεβρική γεωμετρία και τις αβελιανές πολλαπλότητες καθώς και με τα Θεμέλια του Weil για την αλγεβρική γεωμετρία. Ενδεχομένως, ο Lang να απευθύνεται σε αυτό το μοναδικό είδος αναγνώστη [...]. Ας επιχειρήσουμε όμως να φανταστούμε την αντίδραση κάποιου που δεν είναι εξοικειωμένος με την αλγεβρική γεωμετρία κάποιου για τον οποίο κατά πάσα πιθανότητα ο Lang δεν ενδιαφέρεται ο οποίος όμως θα ήθελε να μάθει μερικά πράγματα σχετικά με τη διοφαντική γεωμετρία. Ο τίτλος του βιβλίου υποδηλώνει ότι αυτή η ευκαιρία τού προσφέρεται. Σύντομα θα απογοητευθεί και, αποδυόμενος σε μια τιτάνια μάχη θα χρειαστεί την υπομονή του Ιώβ, το θάρρος του Αχιλλέα και τη δύναμη του Ηρακλή για να κατανοήσει την απόδειξη κάποιων βασικών θεωρημάτων». Η απάντηση του Lang ήταν οργίλη: «Ουδέποτε ισχυρίστηκα ότι το Diophantine Geometry θα ήταν κατανοητό από εσάς ή οποιονδήποτε άλλο δε διαθέτει τις αναγκαίες γνώσεις για να το διαβάσει». Σ αυτό το σημείο επενέβη και ο κορυφαίος Γερμανός μαθηματικός Carl Siegel: «Όταν διάβασα για πρώτη φορά το βιβλίο του Lang ο τρόπος με τον οποίο και οι δικές μου εργασίες παραποιήθηκαν και κατέστησαν ακατανόητες με ενόχλησε βαθύτατα. Το στιλ του συγγραφέα αντιτίθε-

20 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ται στις αρχές της απλότητας και της τιμιότητας που θαυμάζουμε τόσο στο έργο των κορυφαίων της θεωρίας αριθμών. [...] Φοβούμαι ότι αν επικρατήσει αυτή η τάση υπέρμετρης και χωρίς νόημα θεωρητικοποίησης την οποία χαρακτηρίζω ως θεωρία του κενού συνόλου τα μαθηματικά θα εξαφανιστούν πριν από το τέλος του αιώνα». Αυτή η διαμάχη, την οποία περιγράψαμε με βάση ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, εγγράφεται στις σύγχρονες τάσεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών που επιλέγουν ως σημείο εκκίνησης τις πιο πρόσφατες εξελίξεις της θεωρίας. Οι παρεμβάσεις διανοητών, όπως ο Siegel και ο Mordell, δε στάθηκαν ικανές να αποσταθεροποιήσουν τις επιλογές μιας μαθηματικής κοινότητας που, έκθαμβη από τις επιτυχίες της επιστήμης της, αδυνατούσε να διακρίνει με σαφήνεια ανάμεσα στις προτεραιότητες του ερευνητή και τους, από παιδαγωγική άποψη, επιθυμητούς στόχους. Αυτή η αίσθηση ευφορίας έφτασε με γοργούς ρυθμούς και μέχρι τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση όπου σταδιακά απαλείφθηκαν οι τρόποι σκέψης και ανάπτυξης που επικρατούσαν πριν τον 17ο αιώνα επειδή θεωρήθηκαν ξεπερασμένοι. Θα χρειαστεί να αναπτύξουμε περισσότερο αυτά τα προκαταρκτικά σχόλια και κυρίως να εξηγήσουμε την αναγκαιότητα της επιστροφής στην ιστορική στιγμή κατά την οποία το ανθρώπινο πνεύμα τυποποίησε τη γεωμετρία ως την παιδαγωγική μέθοδο που ταιριάζει περισσότερο με το πνεύμα του αρχαρίου. Ωστόσο, αυτές οι επισημάνσεις υπερβαίνουν τους σκοπούς του παρόντος προλόγου. Ας αναφέρουμε απλώς ότι μέσα σε αυτό το πλαίσιο λαμβάνει χώρα η στροφή μας προς την πρωτοβουλία του Beppo Levi (1875-1961), ενός κορυφαίου μα-

ΓΙΑΤΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ; 21 θηματικού του 20ού αιώνα, ο οποίος, βρισκόμενος στο απόγειο της μαθηματικής παραγωγής του, επέλεξε να αφιερώσει ένα βιβλίο στο έργο του Ευκλείδη (300 π.χ.). Γεννημένος στο Τορίνο, ο Beppo Levi είναι ένας από τους σημαντικότερους εκπροσώπους της ιταλικής μαθηματικής σχολής που έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της αλγεβρικής γεωμετρίας. Εμπνευστής του λήμματος που αναφέρεται στις διαδοχικές ολοκληρώσεις συναρτήσεων, ο Levi είναι επίσης γνωστός για την επίλυση των σημείων ιδιομορφίας* στις αλγεβρικές επιφάνειες, για τη συμβολή του στην αριθμητική των ελλειπτικών καμπυλών και γιατί υπήρξε, σύμφωνα με τον Bourbaki (Eléments d Histoire des Mathématiques Στοιχεία ιστορίας των μαθηματικών), ο πρώτος που επισήμανε, πριν από τον Zermelo, την έμμεση χρήση του αξιώματος της επιλογής στη θεωρία των συνόλων. Όταν το 1939, με τη θέσπιση των ρατσιστικών νόμων του φασιστικού καθεστώτος της Ιταλίας, εκδιώχθηκε από τη θέση του στο Πανεπιστήμιο της Πάρμας, ο Beppo Levi μετανάστευσε στην Αργεντινή. Εγκαταστάθηκε στο Ροζάριο όπου διορίστηκε διευθυντής του μαθηματικού τμήματος στο Universidad del Litoral. Στο Ροζάριο έγραψε, το 1947, το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη, έργο για το οποίο ένιωθε ιδιαίτερη υπερηφάνεια επειδή, όπως αναφέρει και στον πρόλογο, φιλοδοξούσε να το απευθύνει σε αναγνώστες που δεν ήταν αναγκαστικά μαθηματικοί. Η παιδαγωγική μας πρακτική μας οδήγησε στη σκέψη ότι η ένταση της διαστρέβλωσης που υφίστανται οι * Παντού στο βιβλίο, χρησιμοποιούμε τον όρο «ιδιομορφία» ως μετάφραση του «singularité». (Σ.τ.Ε.)

22 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ φοιτητές που είναι παγιδευμένοι από τις συνέπειες της βουρβαχικής ευφορίας δεν είναι συγκρίσιμη παρά μόνο με την έκσταση που ενδέχεται να βιώσουν ανακαλύπτοντας τα έργα και τις προθέσεις διανοητών όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Θεαίτητος, ο Εύδοξος, ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης (για να μην αναφέρουμε παρά μόνον τους γνωστότερους) δια μέσου των μαθημάτων δασκάλων, όπως ο Ευκλείδης και ο Beppo Levi. Μέσα από τις σελίδες του έργου, ο αναγνώστης θα απολαύσει την πρόσκληση του Levi να διατρέξει επιμελώς το έργο του Ευκλείδη και να ανακαλύψει μέσα από μια διαρκή έκπληξη το βάθος της σωκρατικής σκέψης. Θα συμμετάσχει ακόμα σε μια συγκινητική απόπειρα διάσωσης της ευκλείδειας σκέψης που έχει σήμερα εξοβελιστεί εν ονόματι ενός υποτιθέμενου μοντερνισμού που υποτιμά τη ρήση του Jorge Luis Borges: «Ως νεωτερισμούς, τα κλασικά». Σεπτέμβριος 2003