Υπολογίσιμες Συναρτήσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Υπολογίσιμες Συναρτήσεις"

Transcript

1 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν

2 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Μία συνάρτηση f καλείται υπολογίσιμη αν υπάρχει μία μηχανική διαδικασία που αποτελείται από πεπερασμένα καλά ορισμένα βήματα η οποία για κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού της f προσδιορίζει σωστά την τιμή της f(x).

3 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Μία συνάρτηση f καλείται υπολογίσιμη αν υπάρχει μία μηχανική διαδικασία που αποτελείται από πεπερασμένα καλά ορισμένα βήματα η οποία για κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού της f προσδιορίζει σωστά την τιμή της f(x). Μια τέτοια μηχανική διαδικασία καλείται αλγόριθμος.

4 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Μία συνάρτηση f καλείται υπολογίσιμη αν υπάρχει μία μηχανική διαδικασία που αποτελείται από πεπερασμένα καλά ορισμένα βήματα η οποία για κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού της f προσδιορίζει σωστά την τιμή της f(x). Μια τέτοια μηχανική διαδικασία καλείται αλγόριθμος. Παρατήρηση: Ο ορισμός που δώσαμε είναι άτυπος.

5 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Μία συνάρτηση f καλείται υπολογίσιμη αν υπάρχει μία μηχανική διαδικασία που αποτελείται από πεπερασμένα καλά ορισμένα βήματα η οποία για κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού της f προσδιορίζει σωστά την τιμή της f(x). Μια τέτοια μηχανική διαδικασία καλείται αλγόριθμος. Παρατήρηση: Ο ορισμός που δώσαμε είναι άτυπος. Χρειαζόμαστε έναν τυπικό ορισμό της υπολογίσιμης συνάρτησης αν θέλουμε, π.χ., να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση που μας έδωσαν είναι υπολογίσιμη.

6 Επιλύσιμα Προβλήματα Ένα πρόβλημα καλείται επιλύσιμο αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που το επιλύει για κάθε στιγμιότυπό του.

7 Επιλύσιμα Προβλήματα Ένα πρόβλημα καλείται επιλύσιμο αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που το επιλύει για κάθε στιγμιότυπό του. Υπάρχουν διάφοροι τύποι προβλημάτων.

8 Επιλύσιμα Προβλήματα Ένα πρόβλημα καλείται επιλύσιμο αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που το επιλύει για κάθε στιγμιότυπό του. Υπάρχουν διάφοροι τύποι προβλημάτων. Ένα πρόβλημα καλείται πρόβλημα συνάρτησης αν αφορά μία δεδομένη συνάρτηση και τα στιγμιότυπά του ζητούν να υπολογισθεί στα διάφορα στοιχεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης η εικόνα της.

9 Επιλύσιμα Προβλήματα Ένα πρόβλημα καλείται επιλύσιμο αν υπάρχει ένας αλγόριθμος που το επιλύει για κάθε στιγμιότυπό του. Υπάρχουν διάφοροι τύποι προβλημάτων. Ένα πρόβλημα καλείται πρόβλημα συνάρτησης αν αφορά μία δεδομένη συνάρτηση και τα στιγμιότυπά του ζητούν να υπολογισθεί στα διάφορα στοιχεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης η εικόνα της. Ένα πρόβλημα καλείται πρόβλημα απόφασης αν αφορά ένα δεδομένο σύνολο και τα στιγμιότυπά του ζητούν να ελεγχθεί για τα διάφορα στοιχεία ενός ευρύτερου συνόλου το κατά πόσον είναι στοιχεία του συνόλου του προβλήματος.

10 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Ο Hilbert το 1912.

11 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Ένας από τους «καθολικούς» μαθηματικούς του προηγούμενου αιώνα με συνεισφορά σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών. Ο Hilbert το 1912.

12 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Ένας από τους «καθολικούς» μαθηματικούς του προηγούμενου αιώνα με συνεισφορά σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών. Αναφέρουμε: το Θεώρημα Βάσης του στην Άλγεβρα, Ο Hilbert το 1912.

13 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Ένας από τους «καθολικούς» μαθηματικούς του προηγούμενου αιώνα με συνεισφορά σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών. Αναφέρουμε: το Θεώρημα Βάσης του στην Άλγεβρα, τα αξιώματά του στην Γεωμετρία (την πρότασή του για μια σύγχρονη αξιωματικοποίηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας) Ο Hilbert το 1912.

14 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Ένας από τους «καθολικούς» μαθηματικούς του προηγούμενου αιώνα με συνεισφορά σε πολλές περιοχές των Μαθηματικών. Ο Hilbert το Αναφέρουμε: το Θεώρημα Βάσης του στην Άλγεβρα, τα αξιώματά του στην Γεωμετρία (την πρότασή του για μια σύγχρονη αξιωματικοποίηση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας) και τους χώρους που τώρα φέρουν το όνομά του στην Ανάλυση.

15 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Το 1928, στο πλαίσιο του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών που διεξήχθη στην Μπολόνια της Ιταλίας, ο Hilbert διατυπώνει τρία ζητήματα θεμελίωσης των Μαθηματικών: Ο Hilbert το 1912.

16 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Το 1928, στο πλαίσιο του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών που διεξήχθη στην Μπολόνια της Ιταλίας, ο Hilbert διατυπώνει τρία ζητήματα θεμελίωσης των Μαθηματικών: 1. Να αποδειχθεί η πληρότητα των Μαθηματικών. Ο Hilbert το 1912.

17 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Το 1928, στο πλαίσιο του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών που διεξήχθη στην Μπολόνια της Ιταλίας, ο Hilbert διατυπώνει τρία ζητήματα θεμελίωσης των Μαθηματικών: 1. Να αποδειχθεί η πληρότητα των Μαθηματικών. 2. Να αποδειχθεί η συνέπεια των Μαθηματικών. Ο Hilbert το 1912.

18 David Hilbert ( ) Γερμανός μαθηματικός Ο Hilbert το Το 1928, στο πλαίσιο του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών που διεξήχθη στην Μπολόνια της Ιταλίας, ο Hilbert διατυπώνει τρία ζητήματα θεμελίωσης των Μαθηματικών: 1. Να αποδειχθεί η πληρότητα των Μαθηματικών. 2. Να αποδειχθεί η συνέπεια των Μαθηματικών. 3. Το Πρόβλημα Απόφασης του Hilbert, να αποδειχθεί η αποφασισιμότητα των Μαθηματικών.

19 Hilbert s Entscheidungsproblem Ν Α Β Ρ Ε Θ Ε Ι Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ο Σ Π Ο Υ Ν Α Δ Ε Χ Ε Τ Α Ι ΩΣ Ε Ι Σ Ο Δ Ο Μ Ι Α Π Ρ Ο Τ Α Σ Η Κ Α Ι Ν Α Α Π Ο Φ Α Σ Ι Ζ Ε Ι Α Ν Α Υ Τ Η Ε Ι Ν Α Ι Α Λ Η Θ Η Σ

20 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός

21 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Αναμφισβήτητα, ένας από τους σημαντικότερους επιστήμονες της λογικής.

22 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Αναμφισβήτητα, ένας από τους σημαντικότερους επιστήμονες της λογικής. Το 1929, στο πλαίσιο της διδακτορικής του διατριβής, αποδεικνύει το Θεώρημα Πληρότητας της πρωτοβάθμιας λογικής.

23 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Αναμφισβήτητα, ένας από τους σημαντικότερους επιστήμονες της λογικής. Το 1929, στο πλαίσιο της διδακτορικής του διατριβής, αποδεικνύει το Θεώρημα Πληρότητας της πρωτοβάθμιας λογικής. Το 1931, ένα έτος μετά το πέρας των διδακτορικών του σπουδών, αποδεικνύει και τα περίφημα Θεωρήματα Μη-Πληρότητάς του.

24 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων.

25 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν:

26 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν: τις σταθερές συναρτήσεις και

27 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν: τις σταθερές συναρτήσεις και τη συνάρτηση του απογόνου.

28 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν: τις σταθερές συναρτήσεις και τη συνάρτηση του απογόνου. και είναι κλειστές κάτω από:

29 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν: τις σταθερές συναρτήσεις και τη συνάρτηση του απογόνου. και είναι κλειστές κάτω από: σύνθεση,

30 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν: τις σταθερές συναρτήσεις και τη συνάρτηση του απογόνου. και είναι κλειστές κάτω από: σύνθεση, αναδρομή και

31 Kurt Gödel ( ) Αυστριακός μαθηματικός Στη συνέχεια στρέφεται στη μελέτη των αναδρομικών συναρτήσεων και το 1933 εισάγει την έννοια των μ-αναδρομικών συναρτήσεων. Αυτές περιλαμβάνουν: τις σταθερές συναρτήσεις και τη συνάρτηση του απογόνου. και είναι κλειστές κάτω από: σύνθεση, αναδρομή και ελαχιστοποίηση.

32 Η Συνάρτηση Ackermann

33 Alonzo Church ( ) Αμερικανός μαθηματικός Ακόμα ένας μαθηματικός με μεγάλη συνεισφορά στη Μαθηματική Λογική.

34 Alonzo Church ( ) Αμερικανός μαθηματικός Ακόμα ένας μαθηματικός με μεγάλη συνεισφορά στη Μαθηματική Λογική. To 1936 αποδεικνύει ότι το Πρόβλημα Απόφασης του Hilbert, ΔΕΝ είναι επιλύσιμο.

35 Alonzo Church ( ) Αμερικανός μαθηματικός Ακόμα ένας μαθηματικός με μεγάλη συνεισφορά στη Μαθηματική Λογική. To 1936 αποδεικνύει ότι το Πρόβλημα Απόφασης του Hilbert, ΔΕΝ είναι επιλύσιμο. Είναι περισσότερο γνωστός για το μαθηματικό μοντέλο υπολογισμού που ο ίδιος εισήγαγε και στη συνέχεια χρησιμοποίησε για την απόδειξη της μη-επιλυσιμότητας, τον Λογισμό Λάμδα (λ-calculus).

36 Alonzo Church ( ) Αμερικανός μαθηματικός Ο Λογισμός Λάμδα περιγράφει την κατασκευή των λ-εκφράσεων.

37 Alonzo Church ( ) Αμερικανός μαθηματικός Ο Λογισμός Λάμδα περιγράφει την κατασκευή των λ-εκφράσεων. Μία συνάρτηση F καλείται λ-υπολογίσιμη αν υπάρχει λ-έκφραση f τέτοια ώστε για κάθε x, y του πεδίου ορισμού της F να ισχύει ότι F(x) = y αν και μόνο αν f x y σύμφωνα με μία έννοια ισοδυναμίας που ορίζεται στον Λογισμό Λάμδα.

38 Alan Turing ( ) Βρετανός μαθηματικός Ο Turing το 1927.

39 Alan Turing ( ) Βρετανός μαθηματικός Είναι γνωστός στο ευρύ κοινό ως αυτός που «έσπασε» τον κώδικα κρυπτογράφησης της μηχανής Enigma που χρησιμοποιούνταν κατά τη διάρκεια του Δευτέρου Παγκόσμιου Πόλεμου από τις στρατιωτικές δυνάμεις του Άξονα για την μεταξύ τους επικοινωνία. Ο Turing το 1927.

40 Ο Alan Turing στον Κινηματογράφο The Imitation Game Έτος Κυκλοφορίας: 2014 Είδος: Ιστορικό Δράμα

41 Alan Turing ( ) Βρετανός μαθηματικός Ο Turing το Είναι γνωστός στο ευρύ κοινό ως αυτός που «έσπασε» τον κώδικα κρυπτογράφησης της μηχανής Enigma που χρησιμοποιούνταν κατά τη διάρκεια του Δευτέρου Παγκόσμιου Πόλεμου από τις στρατιωτικές δυνάμεις του Άξονα για την μεταξύ τους επικοινωνία. Πήρε το διδακτορικό του το 1938 από το Πανεπιστήμιο του Princeton όπου φοίτησε υπό την επίβλεψη του Church.

42 Alan Turing ( ) Βρετανός μαθηματικός Ευρέως θεωρούμενος ως ο «πατέρας» της (Θεωρητικής) Επιστήμης των Υπολογιστών. Ο Turing το 1927.

43 Alan Turing ( ) Βρετανός μαθηματικός Ευρέως θεωρούμενος ως ο «πατέρας» της (Θεωρητικής) Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1936, αμέσως μετά τον Church και ανεξάρτητα από αυτόν, αποδεικνύει ότι το Πρόβλημα Απόφασης του Hilbert δεν είναι επιλύσιμο. Ο Turing το 1927.

44 Alan Turing ( ) Βρετανός μαθηματικός Ο Turing το Ευρέως θεωρούμενος ως ο «πατέρας» της (Θεωρητικής) Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1936, αμέσως μετά τον Church και ανεξάρτητα από αυτόν, αποδεικνύει ότι το Πρόβλημα Απόφασης του Hilbert δεν είναι επιλύσιμο. Για το σκοπό αυτό εισήγαγε το δικό του μαθηματικό μοντέλο υπολογισμού, την αφηρημένη μηχανή που λέμε Μηχανή Turing.

45 Μηχανή Turing

46 Μηχανή Turing Αποτελείται από τρία μέρη.

47 Μηχανή Turing Αποτελείται από τρία μέρη. Μία ταινία που έχει αριστερό άκρο και εκτείνεται προς τα δεξιά στο άπειρο.

48 Μηχανή Turing Αποτελείται από τρία μέρη. Μία ταινία που έχει αριστερό άκρο και εκτείνεται προς τα δεξιά στο άπειρο. Μία κεφαλή που μπορεί να εκτελέσει τις ακόλουθες λειτουργίες:

49 Μηχανή Turing Αποτελείται από τρία μέρη. Μία ταινία που έχει αριστερό άκρο και εκτείνεται προς τα δεξιά στο άπειρο. Μία κεφαλή που μπορεί να εκτελέσει τις ακόλουθες λειτουργίες: Ανάγνωση/εγγραφή στην τρέχουσα θέση της πάνω στην ταινίας.

50 Μηχανή Turing Αποτελείται από τρία μέρη. Μία ταινία που έχει αριστερό άκρο και εκτείνεται προς τα δεξιά στο άπειρο. Μία κεφαλή που μπορεί να εκτελέσει τις ακόλουθες λειτουργίες: Ανάγνωση/εγγραφή στην τρέχουσα θέση της πάνω στην ταινίας. Μετακίνηση κατά μία θέση αριστερά/δεξιά πάνω στην ταινία.

51 Μηχανή Turing Αποτελείται από τρία μέρη. Μία ταινία που έχει αριστερό άκρο και εκτείνεται προς τα δεξιά στο άπειρο. Μία κεφαλή που μπορεί να εκτελέσει τις ακόλουθες λειτουργίες: Ανάγνωση/εγγραφή στην τρέχουσα θέση της πάνω στην ταινίας. Μετακίνηση κατά μία θέση αριστερά/δεξιά πάνω στην ταινία. Και την εσωτερική της κατάσταση.

52 Μηχανή Turing Ξεκινά τη λειτουργία της με την κεφαλή στην αριστερότερη θέση πάνω στην ταινία.

53 Μηχανή Turing Ξεκινά τη λειτουργία της με την κεφαλή στην αριστερότερη θέση πάνω στην ταινία. Σε κάθε βήμα διαβάζει το σύμβολο στην τρέχουσα θέση της κεφαλής πάνω στην ταινία και,

54 Μηχανή Turing Ξεκινά τη λειτουργία της με την κεφαλή στην αριστερότερη θέση πάνω στην ταινία. Σε κάθε βήμα διαβάζει το σύμβολο στην τρέχουσα θέση της κεφαλής πάνω στην ταινία και, συναρτήσει της εσωτερικής της κατάστασης και του συμβόλου που μόλις διαβάστηκε,

55 Μηχανή Turing Ξεκινά τη λειτουργία της με την κεφαλή στην αριστερότερη θέση πάνω στην ταινία. Σε κάθε βήμα διαβάζει το σύμβολο στην τρέχουσα θέση της κεφαλής πάνω στην ταινία και, συναρτήσει της εσωτερικής της κατάστασης και του συμβόλου που μόλις διαβάστηκε, αλλάζει την εσωτερική της κατάσταση,

56 Μηχανή Turing Ξεκινά τη λειτουργία της με την κεφαλή στην αριστερότερη θέση πάνω στην ταινία. Σε κάθε βήμα διαβάζει το σύμβολο στην τρέχουσα θέση της κεφαλής πάνω στην ταινία και, συναρτήσει της εσωτερικής της κατάστασης και του συμβόλου που μόλις διαβάστηκε, αλλάζει την εσωτερική της κατάσταση, γράφει ένα σύμβολο στην ίδια θέση και

57 Μηχανή Turing Ξεκινά τη λειτουργία της με την κεφαλή στην αριστερότερη θέση πάνω στην ταινία. Σε κάθε βήμα διαβάζει το σύμβολο στην τρέχουσα θέση της κεφαλής πάνω στην ταινία και, συναρτήσει της εσωτερικής της κατάστασης και του συμβόλου που μόλις διαβάστηκε, αλλάζει την εσωτερική της κατάσταση, γράφει ένα σύμβολο στην ίδια θέση και μετακινεί την κεφαλή πάνω στην ταινία.

58 Μηχανή Turing Για να αποδείξει την μηεπιλυσιμότητα του Προβλήματος Απόφασης του Hilbert, ο Turing κατασκευάζει μία ειδικού τύπου Μηχανή Turing που καλείται Καθολική Μηχανή Turing η οποία λαμβάνοντας ως είσοδο μία περιγραφή μία άλλης Μηχανής Turing και μια είσοδο αυτής μπορεί να προσομοιώσει την λειτουργία της δεύτερης πάνω στη δοθείσα είσοδο.

59 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός

60 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός Άλλος ένας μαθητής του Church που βοήθησε στη θεμελίωση της Επιστήμης των Υπολογιστών.

61 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός Άλλος ένας μαθητής του Church που βοήθησε στη θεμελίωση της Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1952 αποδεικνύει την ισοδυναμία των τριών μοντέλων υπολογισμού που αναφέραμε:

62 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός Άλλος ένας μαθητής του Church που βοήθησε στη θεμελίωση της Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1952 αποδεικνύει την ισοδυναμία των τριών μοντέλων υπολογισμού που αναφέραμε: των μ-αναδρομικών συναρτήσεων,

63 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός Άλλος ένας μαθητής του Church που βοήθησε στη θεμελίωση της Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1952 αποδεικνύει την ισοδυναμία των τριών μοντέλων υπολογισμού που αναφέραμε: των μ-αναδρομικών συναρτήσεων, των λ-υπολογίσιμων συναρτήσεων και

64 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός Άλλος ένας μαθητής του Church που βοήθησε στη θεμελίωση της Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1952 αποδεικνύει την ισοδυναμία των τριών μοντέλων υπολογισμού που αναφέραμε: των μ-αναδρομικών συναρτήσεων, των λ-υπολογίσιμων συναρτήσεων και των Turing-υπολογίσιμων συναρτήσεων.

65 Steven Kleene ( ) Αμερικανός μαθηματικός Άλλος ένας μαθητής του Church που βοήθησε στη θεμελίωση της Επιστήμης των Υπολογιστών. Το 1952 αποδεικνύει την ισοδυναμία των τριών μοντέλων υπολογισμού που αναφέραμε: των μ-αναδρομικών συναρτήσεων, των λ-υπολογίσιμων συναρτήσεων και των Turing-υπολογίσιμων συναρτήσεων. Διατυπώνει την Θέση των Church-Turing.

66 Church-Turing Thesis Κ Α Θ Ε Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Σ Ι Μ Η Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Η Ε Ι Ν Α Ι T U R I N G - Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Σ Ι Μ Η

67 Halting Problem Ν Α Β Ρ Ε Θ Ε Ι Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ο Σ Π Ο Υ Ν Α Δ Ε Χ Ε Τ Α Ι Ω Σ Ε Ι Σ Ο Δ Ο Μ Ι Α Μ Η Χ Α Ν Η T U R I N G Κ Α Ι Μ Ι Α Ε Ι Σ Ο Δ Ο Τ Η Σ Κ Α Ι Ν Α Α Π Ο Φ Α Σ Ι Ζ Ε Ι Α Ν Η Μ Η Χ Α Ν Η T U R I N G Θ Α Τ Ε Ρ Μ Α Τ Ι Σ Ε Ι Μ Ε Α Υ Τ Η Τ Η Ν Ε Ι Σ Ο Δ Ο

68 Noam Chomsky (1928-) Αμερικανός γλωσσολόγος Ο Chomsky το 2017.

69 Noam Chomsky (1928-) Αμερικανός γλωσσολόγος Από το 1955, που του απενεμήθη το διδακτορικό του από το Πανεπιστήμιο του Harvard, είναι καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (MIT). Ο Chomsky το 2017.

70 Noam Chomsky (1928-) Αμερικανός γλωσσολόγος Ο Chomsky το Από το 1955, που του απενεμήθη το διδακτορικό του από το Πανεπιστήμιο του Harvard, είναι καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (MIT). Εισήγαγε πολλές νέες ιδέες και εργαλεία που άλλαξαν τον μέχρι τότε τρόπο μελέτης των γλωσσών και για αυτόν τον λόγο συχνά του αποδίδεται ο ρόλος του «πατέρα» της σύγχρονης γλωσσολογίας.

71 Noam Chomsky (1928-) Αμερικανός γλωσσολόγος Από το 1955, που του απενεμήθη το διδακτορικό του από το Πανεπιστήμιο του Harvard, είναι καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (MIT). Το 1956 περιγράφει την ιεραρχία του από τυπικές γλώσσες και τα αυτόματα που τις αναγνωρίζουν. Ο Chomsky το 2017.

72 Τυπικές Γλώσσες Οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να θεωρηθεί αλφάβητο.

73 Τυπικές Γλώσσες Οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να θεωρηθεί αλφάβητο. Τα στοιχεία ενός αλφαβήτου καλούνται σύμβολα.

74 Τυπικές Γλώσσες Οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να θεωρηθεί αλφάβητο. Τα στοιχεία ενός αλφαβήτου καλούνται σύμβολα. Δοθέντος ενός αλφαβήτου Σ, (τυπική) γλώσσα είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου Σ * των πεπερασμένων ακολουθιών συμβόλων του Σ.

75 Τυπικές Γλώσσες Οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να θεωρηθεί αλφάβητο. Τα στοιχεία ενός αλφαβήτου καλούνται σύμβολα. Δοθέντος ενός αλφαβήτου Σ, (τυπική) γλώσσα είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου Σ * των πεπερασμένων ακολουθιών συμβόλων του Σ. Τα στοιχεία μίας γλώσσας καλούνται λέξεις.

76 Αυτόματα Τα μαθηματικά μοντέλα υπολογισμού που αποτελούν αφηρημένες μηχανές καλούνται αυτόματα.

77 Αυτόματα Τα μαθηματικά μοντέλα υπολογισμού που αποτελούν αφηρημένες μηχανές καλούνται αυτόματα. Λέμε ότι ένα αυτόματο αποδέχεται μία γλώσσα Γ με αλφάβητο Σ αν επιλύει το πρόβλημα απόφασης που αφορά το σύνολο Γ με το Σ * να είναι το ευρύτερο σύνολο του οποίου θα ελεγχθούν τα στοιχεία.

78 Ιεραρχία Chomsky Τύπος Γλώσσες που περιλαμβάνει Αυτόματα που τις αναγνωρίζουν 0 Αναδρομικά Απαριθμήσιμες (Recursively Enumerable) 1 Με Συμφραζόμενα (Context-sensitive) 2 Χωρίς Συμφραζόμενα (Context-free) 3 Κανονικές (Regular) Μηχανές Turing (Turing Machines) Γραμμικά Φραγμένα Αυτόματα (Linear Bounded Automata) Πεπερασμένα Αυτόματα με Στοιβάδα (Pushdown Automata) Πεπερασμένα Αυτόματα (Finite Automata)

79 Ιεραρχία Chomsky

80 Προτεινόμενα Αναγνώσματα

81 Βιβλιογραφία Το υλικό αυτής της ομιλίας αντλήθηκε από τις ακόλουθες εγγραφές τις Αγγλικής Wikipedia. Alan Turing Alonzo Church Automata theory Chomsky hierarchy Church-Turing Thesis Computability Computable function David Hilbert Effective method

82 Βιβλιογραφία Το υλικό αυτής της ομιλίας αντλήθηκε από τις ακόλουθες εγγραφές τις Αγγλικής Wikipedia. Entscheidungsproblem Halting problem History of the Church-Turing Thesis Kurt Gödel Lambda calculus Noam Chomsky Turing machine Turing machine gallery

83

84 Δυσεπίλυτα Προβλήματα σε Γραφήματα και Παίγνια Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 12: Μηχανές Turing ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 12: Μηχανές Turing Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing (TM) Τυπικός Ορισμός Μηχανής Turing (3.1.1) 1 Τι είδαμε μέχρι στιγμής Πεπερασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών. Προδιαγραφές Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσ.h.m.μ.y. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές Στάθης Ζάχος Συνεργασία: Κωστής Σαγώνας Επιμέλεια:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Recursive and Recursively Enumerable sets I

Recursive and Recursively Enumerable sets I Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 8: Ιδιότητες Γραμματικών χωρίς Συμφραζόμενα Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 1: Εισαγωγή Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines

CSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines CSC 314: Switching Theory Chapter 3: Turing Machines 28 November 2008 1 1 Υπολογισμοί σε Μηχανές Turing Πως χρησιμοποιούμε μια μηχανή Turing? Για την αναγνώριση μιας γλώσσας? Σύμβαση για την αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Turing (T.M) I

Μηχανές Turing (T.M) I Μηχανές Turing (T.M) I Οι βασικές λειτουργίες μιας TM είναι: Διάβασε το περιεχόμενο του τρέχοντος κυττάρου Γράψε 1 ή 0 στο τρέχον κύτταρο Κάνε τρέχον το αμέσως αριστερότερο ή το αμέσως δεξιότερο κύτταρο

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

num(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k ))

num(m(w 1 ;... ; w k )) = f(num(w 1 ),..., num(w k )) Υπολογισμοί με Μ.Τ. Εστω M = (K, Σ, δ, s, {y, n}) μια Μ.Τ. Κάθε συνολική κατάσταση τερματισμού της οποίας η κατάσταση τερματισμού είναι το y, θα ονομάζεται συνολική κατάσταση αποδοχής, ενώ αν η κατάσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα ΕΙΣΑΓΩΓΉ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Άννα Φιλίππου annap@cs.ucy.ac.cy ΕΠΛ 211 Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 0-1 Στοιχεία του μαθήματος Διδάσκουσα: Άννα Φιλίππου Γραφείο: FST-01

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα To Δόγμα Church-Turing Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μηχανές Turing (3.1) Τυπικό Ορισμός Παραδείγματα Παραλλαγές Μηχανών Turing (3.2) Πολυταινιακές

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 8 Λύσεις

Φροντιστήριο 8 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing. Φροντιστήριο 8 Λύσεις Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία των φάσεων τις οποίες διατρέχει η μηχανή όταν δέχεται τη διδόμενη λέξη. (α) 11 (β) 1#1

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 8 Λύσεις

Φροντιστήριο 8 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 8 Λύσεις Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing όπου όλες οι μεταβάσεις που απουσιάζουν οδηγούν στην κατάσταση απόρριψης (q απόρριψης). Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1 Υπολογισιμότητα. Ιστορία - Εισαγωγή. Μαθηματικό Υπόβαθρο. LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού

Περιεχόμενα. 1 Υπολογισιμότητα. Ιστορία - Εισαγωγή. Μαθηματικό Υπόβαθρο. LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού Αυτόματα και Τυπικές Γλώσσες Περιεχόμενα 1 Υπολογισιμότητα Ιστορία - Εισαγωγή Μαθηματικό Υπόβαθρο LOOP: Μια απλή γλώσσα προγραμματισμού LOOP-υπολογίσιμες και πρωταρχικές αναδρομικές συναρτήσεις Σταθερά

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει την ακόλουθη γλώσσα. { a n b n+2 c n 2 n 2 } Λύση: H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Μεταγλωττιστές. Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Μεταγλωττιστές Ενότητα 2: Τυπικές γλώσσες (Μέρος 1 ο ) Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der

invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Κουλακίδου Π. Ιστορία των Μαθηματικών Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Χ. Χαραλάμπους Εισαγωγή David Hilbert (1862 Königsberg - 1943 Göttingen). Διδακτορικό το 1885 υπό την επίβλεψη του Ferdinand von Lindemann με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 15: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΙΙ Τι θα κάνουμε σήμερα Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Ασυμφραστικές Γλώσσες (4.1.2) Το Πρόβλημα του Τερματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.

Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. 30 Νοεμβρίου 2016 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation

Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Αυτόματα και Υπολογιστικά Μοντέλα Automata and Models of Computation Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού

Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Κεφάλαιο 3 Η Σημασιολογία των Γλωσσών Προγραμματισμού Προπτυχιακό μάθημα Αρχές Γλωσσών Προγραμματισμού Π. Ροντογιάννης 1 Εισαγωγή Γνώση γλώσσας από τη σκοπιά Του συντακτικού (syntax) Περιγραφή με γραμματικές

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { ww w {a,b}* }. (β) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w#z w, z {a,b}* και η z είναι υπολέξη της w}. Συγκεκριμένα,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 10 Λύσεις

Φροντιστήριο 10 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 10 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {0,1} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 14: Διαγνωσιμότητα (Επιλυσιμότητα) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με τις Κανονικές Γλώσσες (4.1.1) Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { w w = (ab) 2m b m (ba) m, m 0 } (β) Να διατυπώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Τυπικές γλώσσες. Νίκος Παπασπύρου, Κωστής Σαγώνας Μεταγλωττιστές Μάρτιος / 216

Κεφάλαιο 2: Τυπικές γλώσσες. Νίκος Παπασπύρου, Κωστής Σαγώνας Μεταγλωττιστές Μάρτιος / 216 Κεφάλαιο 2: Τυπικές γλώσσες Νίκος Παπασπύρου, Κωστής Σαγώνας Μεταγλωττιστές Μάρτιος 2017 13 / 216 Τυπικές γλώσσες (i) Βασικές έννοιες Αλφάβητο Σύμβολο Συμβολοσειρά Μήκος συμβολοσειράς Σύνολο συμβολοσειρών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 7: Ασυμφραστικές Γλώσσες (Γλώσσες Ελεύθερες Συμφραζομένων) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Της Ασυμφραστικής

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ - ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ 7.1 Το Πρόβλημα του Τερματισμού Θεώρημα 7.1 (Πρόβλημα του Τερματισμού - ημιαπόφαση) Η γλώσσα του Προβ

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ - ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ 7.1 Το Πρόβλημα του Τερματισμού Θεώρημα 7.1 (Πρόβλημα του Τερματισμού - ημιαπόφαση) Η γλώσσα του Προβ Κεφάλαιο 7 Επιλυσιμότητα - Μη επιλυσιμότητα Σύνοψη Στα προηγούμενα κεφάλαια επικεντρωθήκαμε σε επιλύσιμα προβλήματα και μελετήσαμε υπολογιστικά μοντέλα με δυνατότητες, που συνεχώς διευρύναμε. Το τελευταίο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) ({ G η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική που δεν παράγει καμιά λέξη με μήκος μικρότερο του 2 } (β) { Μ,w

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {1010 2 10 3 10 n 1 10 n 1 n 1}. (β) Να διατυπώσετε

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines

CSC 314: Switching Theory. Chapter 3: Turing Machines CSC 314: Switching Theory Chapter 3: Turing Machines 21 November 2008 1 Dr. Vicky Papadopoulou 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

244 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 8. ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η f είναι μία μερική συνάρτηση στο πεδίο X, αν και μόνο αν η συνάρτηση ορίζεται για μηδέν ή περισσότερα στοι

244 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 8. ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η f είναι μία μερική συνάρτηση στο πεδίο X, αν και μόνο αν η συνάρτηση ορίζεται για μηδέν ή περισσότερα στοι Κεφάλαιο 8 Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σύνοψη Εχοντας αναπτύξει τη θεωρία γύρω από τις Μηχανές Turing (ΜΤ) δεν περιοριζόμαστε πλέον μόνο στην ανάλυση προβλημάτων απόφασης γλωσσών (βλ. Ενότητα 1.2.3). Οι ΜΤ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία.

Γνωριµία. Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά. Αντικείµενο Μαθήµατος. Επικοινωνία. Γνωριµία Θεωρία Υπολογισµού: Εισαγωγικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr Ωρες γραφείου (502, Γρ.Λαµπράκη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2 Πρόβλημα σελ 13-18

Ενότητα 2 Πρόβλημα σελ 13-18 Πρόβλημα Ποιό θεωρείτε το σημαντικότερο πρόβλημα της ανθρωπότητας και ποιο το σημαντικότερο πρόβλημα που χρήζει αντιμετώπισης στο σχολείο ; Με τον όρο Πρόβλημα προσδιορίζεται μια κατάσταση η οποία χρήζει

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 6η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 8: Πεπερασμένα Αυτόματα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Διαγνωσιμότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Διαγνώσιμες Γλώσσες (4.1) Επιλύσιμα Προβλήματα σχετικά με Κανονικές Γλώσσες Επιλύσιμα Προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α.

Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α. Ισοδυναμία Αιτ. Και μη Αιτ. Π.Α. Δύο Π.Α. Μ 1 και Μ 2 είναι ισοδύναμα ανν L(M 1 ) = L(M 2 ). Έστω Μ = (Q, Σ, q 0, Δ, F) μη Αιτ. Π.Α. Για κάθε κατάσταση q Q, ορίζουμε ως Ε(q) Q το σύνολο των καταστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Μεταγλωττιστές. Γιώργος Δημητρίου. Μάθημα 2 ο. Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Γιώργος Δημητρίου Μάθημα 2 ο Αλφάβητα και Γλώσσες Αλφάβητο: Ένα μη κενό και πεπερασμένο σύνολο συμβόλων Γλώσσα: Ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των συμβολοσειρών ενός αλφαβήτου (οι προτάσεις της γλώσσας, πχ.

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών ΣΗΜΜΥ ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ 1η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής 1 Μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων (FSM) Τρόπος

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ 4η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/focs

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος του επιµελητή xiii Πρόλογος στην πρώτη έκδοση xv Προς τους ϕοιτητές.......................... xv Προς τους διδάσκοντες........................ xvii Ηπρώτηέκδοση........................... xviii

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο;

Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα. Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα. Η έννοια της αναγωγής. Τερµατίζει µια δεδοµένη TM για δεδοµένη είσοδο; Αποφασισιµότητα / Αναγνωρισιµότητα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Μη Επιλύσιµα Προβλήµατα Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 2/12/2015 Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αποφασισιµότητα 2/12/2015

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ Η/Υ Ιστότοπος Βιβλίου http://www.iep.edu.gr/ και «Νέα Βιβλία ΙΕΠ ΓΕΛ και ΕΠΑΛ» 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing (αυθεντικός ορισμός) η οποία να διαγιγνώσκει τη γλώσσα {w 1w 2 w 1 {0,1} * και w 2 = 0 k 1 m όπου k και m

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { n 3 } (α) H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την επτάδα Q,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing Κανονική μορφή Kleene Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing:

Διαβάστε περισσότερα

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις. Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα

10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Πιο κάτω υπάρχει ένα σχεδιάγραμμα που τοποθετεί τις κλάσεις των κανονικών, ασυμφραστικών, διαγνώσιμων και αναγνωρίσιμων γλωσσών μέσα στο σύνολο όλων των γλωσσών. Ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 9: Αυτόματα Στοίβας (Pushdown Automata - PDA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Αυτόματα Στοίβας Τυπικός Ορισμός Αυτομάτου Στοίβας (2.2.1) Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 11 : Γραμματικές χωρίς συμφραζόμενα Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # = Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ασυμφραστικές Γραμματικές (2.1) Τυπικός Ορισμός Σχεδιασμός Ασυμφραστικών Γραμματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική

Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εφαρμογές της Λογικής στην Πληροφορική Ενότητα 3 Πέτρος Στεφανέας, Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή

Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I

Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 10ο πρόβλημα του Hilbert I Το 1900 στο Παρίσι, ο David Hilbert έκανε μια ομιλία για τα 23 πιο σπουδαία μαθηματικά προβλήματα που κληρονομούσε ο 20ος αιώνας από τον 19ο. Το 10ο ήταν: Απόφανση περί επιλυσιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/introcs

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1. Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις

Διαβάστε περισσότερα

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών

Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 4η ενότητα: Αυτόματα, τυπικές γλώσσες, γραμματικές Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού Συναρτήσεις και υπολογισιμότητά τους Μηχανές Turig Στοιχειώδης γλώσσα προγραμματισμού Μη υπολογίσιμη συνάρτηση Πολυπλοκότητα προβλημάτων Προβλήματα κλάσης P, NP, NP- Complete

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Γλωσσών Προγραμματισμού Συντακτική Ανάλυση Ι. Εαρινό Εξάμηνο Lec /03/2019 Διδάσκων: Γεώργιος Χρ. Μακρής

Σχεδίαση Γλωσσών Προγραμματισμού Συντακτική Ανάλυση Ι. Εαρινό Εξάμηνο Lec /03/2019 Διδάσκων: Γεώργιος Χρ. Μακρής Σχεδίαση Γλωσσών Προγραμματισμού Συντακτική Ανάλυση Ι Εαρινό Εξάμηνο 2018-2019 Lec 09 18 /03/2019 Διδάσκων: Γεώργιος Χρ. Μακρής Φάσεις μεταγλώττισης Αρχικό Πρόγραμμα Λεκτική Ανάλυση λεκτικές μονάδες Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα