Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Transcript

1

2 Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 1979 και από το 197 μέχρι σήμερα εργάζεται σ αυτό. ISBN set ISBN T Copyright 006 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσεις ZHTH Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: 90 7 (5 γραμ.) - Fax: info@ziti.gr EKΔOΣEIΣ ZHTH Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ , Fax sales@ziti.gr

3 «Καταλήγω λοιπόν στην ακόλουθη τοποθέτηση: αν η νόηση και η αληθής γνώμη είναι δύο διακριτά γένη, τότε οπωσδήποτε υπάρχουν όντα «αυτά καθαυτά», Ιδέες που τις συλλαμβάνουμε όχι με την αίσθηση αλλά μόνο με τη νόηση αν πάλι, ό- πως πιστεύουν μερικοί, η αληθής γνώμη δεν διαφέρει σε τίποτα από τη νόηση, τότε θα αποδώσουμε βέβαιη ύπαρξη μόνον σε όσα αισθανόμαστε διαμέσου του σώματος. Νόηση όμως και αληθής γνώμη είναι χωρίς αμφιβολία δύο διακριτά γένη, γιατί έχουν αναπτυχθεί χωριστά και διατηρούν ανόμοιο χαρακτήρα.» ΠΛΑΤΩΝ (49-47 π.χ.) Τίμαιος (51 cd)

4 Αφιερώνεται στη μνήμη των παππούδων μου Κωνσταντίνου και Σάββα

5 Πρόλογος Η σειρά με τον τίτλο «Ανώτερα Μαθηματικά», που αποτελείται από τρεις τόμους, γράφηκε για να προσφέρει σε Μαθηματικούς και μη Μαθηματικούς, μια αξιόπιστη και σχετικά συνοπτική παρουσίαση βασικών θεμάτων των Μαθηματικών, και κυρίως της Μαθηματικής Ανάλυσης. Τα θέματα που αναπτύσσονται αφορούν την Άλγεβρα, την Αναλυτική Γεωμετρία, τις Ακολουθίες και Σειρές πραγματικών αριθμών, το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό συναρτήσεων μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών, τη Διανυσματική Ανάλυση, τις Σειρές Fourier, τις Μιγαδικές Συναρτήσεις, τις Διαφορικές Εξισώσεις και τις Εξισώσεις Διαφορών. Η παρουσίαση αυτών των θεμάτων γίνεται με απλό, κατανοητό και πρακτικό τρόπο, χωρίς όμως να βλάπτεται η μαθηματική αυστηρότητα. Βέβαια ο απαιτητικός αναγνώστης θα πρέπει να ανατρέξει σε άλλα πιο ειδικά βιβλία πάνω στα θέματα αυτά, όπου υπάρχουν περισσότερες λεπτομέρειες και άλλη επιπλέον ύλη. Ο δεύτερος τόμος αποτελείται από τρία κεφάλαια. Στο έκτο κεφάλαιο περιέχονται βασικά θέματα του διαφορικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, όπως το όριο, η συνέχεια, οι μερικές παράγωγοι, η διαφόριση, ο τύπος του Τaylor, οι πεπλεγμένες συναρτήσεις, τα ακρότατα συναρτήσεων και στοιχεία της θεωρίας καμπύλων στο χώρο Ñ. Στο έβδομο κεφάλαιο αναπτύσσονται βασικά θέματα του ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, όπως το διπλό και τριπλό ολοκλήρωμα, το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα, τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα, τα γενικευμένα ο- λοκληρώματα και ολοκληρώματα εξαρτώμενα από παράμετρο. Στο όγδοο κεφάλαιο περιέχονται θέματα της διανυσματικής ανάλυσης, όπως ο διανυσματικός λογισμός, οι διανυσματικές συναρτήσεις, τα αριθμητικά και διανυσματικά πεδία, οι τελεστές (κλίση, απόκλιση, στροφή), τα επικαμπύλια ολοκληρώματα και ο τύπος του Green, τα επιεπιφάνεια ολοκληρώματα και τα Θεωρήματα του Gauss και του Stokes. Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται ασκήσεις των οποίων οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου. Θεσσαλονίκη, 005 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

6 Περιεχόμενα ΤΟΜΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1. Εισαγωγή... n 1.1 Τοπολογική δομή του Ñ Ακολουθίες Όριο και συνέχεια συνάρτησης.1 Όριο Συνέχεια Μερικές παράγωγοι Ολικά διαφορικά.1 Μερικές παράγωγοι Διαφόριση Πίνακας του Ηesse (Εσσιανή) Παραγώγιση και διαφόριση σύνθετων συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση Τύπος του Taylor Πεπλεγμένες συναρτήσεις Εξαρτημένες και ανεξάρτητες συναρτήσεις Ακρότατα συναρτήσεων Πραγματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών Πραγματικές συναρτήσεις n μεταβλητών Άκρες τιμές πεπλεγμένων συναρτήσεων Άκρες τιμές συνάρτησης με συνθήκες Άκρες τιμές πεπλεγμένης συνάρτησης με συνθήκες Στοιχεία της θεωρίας καμπύλων 9.1 Διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής Διαφορικοί τελεστές (Κλίση, Απόκλιση, Στροφή) Συνοδεύον τρίεδρο Τύποι του Frénet Aσκήσεις

7 viii Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Δεύτερος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1. Στοιχεία της θεωρίας επιφανειών Καμπύλες σε επιφάνεια Εφαπτόμενο επίπεδο Θεμελιώδη μεγέθη πρώτης τάξης Μήκος τόξου καμπύλης που είναι σε επιφάνεια Γενίκευση Επιφάνειες δευτέρου βαθμού Διπλό ολοκλήρωμα Ορισμός του διπλού ολοκληρώματος Ιδιότητες του διπλού ολοκληρώματος Υπολογισμός του διπλού ολοκληρώματος Θεώρημα του Fubini....4 Αλλαγή μεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωμα Εφαρμογές του διπλού ολοκληρώματος Προσεγγιστικές μέθοδοι Τριπλό ολοκλήρωμα.1 Ορισμός του τριπλού ολοκληρώματος Ιδιότητες του τριπλού ολοκληρώματος Υπολογισμός του τριπλού ολοκληρώματος Θεώρημα του Fubini Αλλαγή μεταβλητών στο τριπλό ολοκλήρωμα Εφαρμογές Μάζα, κέντρο μάζας και ροπές αδρανείας Το πολλαπλό ολοκλήρωμα Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 4.1 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αριθμητικής συνάρτησης Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες Εφαρμογές Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Εφαρμογές Γενικευμένα πολλαπλά ολοκληρώματα Το διπλό και το τριπλό ολοκλήρωμα σαν συνάρτηση των ορίων του Ολοκληρώματα εξαρτώμενα από παράμετρο Ασκήσεις... 99

8 Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1. Διανύσματα Γινόμενα διανυσμάτων Διανυσματικές συναρτήσεις μιας μεταβλητής Αριθμητικά και διανυσματικά πεδία Τελεστές (Κλίση, Απόκλιση, Στροφή) Επικαμπύλια ολοκληρώματα Τύπος του Green 4.1 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης Επικαμπύλια ολοκληρώματα ανεξάρτητα του δρόμου ολοκλήρωσης Συντηρητικά πεδία Θεώρημα του Green Tύπος του Green Επιεπιφάνεια ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων Θεώρημα του Gauss (της απόκλισης) Τύπος του Gauss Θεώρημα του Stokes Tύπος του Stokes Ασκήσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Συνοπτική παρουσίαση βασικών εννοιών και τύπων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ΟΡΩΝ

9 ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ [Συνοπτική παρουσίαση διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.] ΤΟΜΟΣ ΤΡΙΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ι. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ. ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

10 Βιβλία του συγγραφέα Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ 1. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Πρώτος, (σελ. 480, 1987). 1α. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 46, 004).. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, Tόμος Δεύτερος, (σελ. 400, 1988).. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Tρίτος, (σελ. 478, 1991). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (σελ. 560, 1998). 5. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα), (σελ. 18, 199). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα), (σελ. 164, 001). 7. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, (σελ. 58, 001). 8. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (σελ. 0, 1994). 9. TOΠOΛOΓIA (Aσκήσεις), (σελ. 400, 1977). 10. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (Δύο Tεύχη: A, σελ. 640, 001 B, σελ. 1, 001). 11. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής (σελ. 64, 005). 1. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Τόμος Πρώτος, σελ. 64, Τόμος Δεύτερος, σελ. 616, Τόμος Τρίτος, σελ. 504, 006).

11 xii Ανώτερα Μαθηματικά, Τόμος Δεύτερος ΠΙΝΑΚΑΣ Ειδικές τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων θ ημθ 0 συνθ ± 1 εφθ σφθ ± ± ± 1 ± ± ± 1 1 ± 0 ± ± 1 ± ± ± 0 Το άνω πρόσημο αντιστοιχεί στην πρώτη γραμμή των τιμών της γωνίας θ και το κάτω πρόσημο στη δεύτερη γραμμή των τιμών της γωνίας θ. Η αντιστοιχία των μοιρών της γωνίας θ σε ακτίνια είναι: και π 6 π π 5π 6 π 4 π π π π

12 Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων xiii Τυπολόγιο τριγωνομετρικών σχέσεων ημ( θ1 + θ ) = ημθ1συνθ + συνθ1ημθ, ημ( θ1 - θ ) = ημθ1συνθ - συνθ1ημθ συν( θ1 + θ ) = συνθ1συνθ - ημθ1ημθ, συν( θ1 - θ ) = συνθ1συνθ + ημθ1ημθ ημθ = ημθ συνθ, συνθ = συν θ - ημ θ = συν θ - 1 = 1 - ημ θ θ + θ θ -θ συνθ συνθ συν συν =, θ + θ θ -θ συνθ1 - συνθ = - ημ ημ 1 1 θ + θ θ -θ ημθ ημθ ημ συν =, θ - θ θ + θ ημθ1 - ημθ = ημ συν 1 1 εφ( θ θ ) εφθ + εφθ εφθ - εφθ =, εφ( θ1 - θ ) = 1 - εφθ1εφθ 1 + εφθ1εφθ 1 συνθ1συνθ = [ συν( θ1 + θ ) + συν( θ1 - θ )] 1 ημθ1ημθ = [ συν( θ1 -θ ) - συν( θ1 + θ )] 1 ημθ1συνθ = [ ημ( θ1 + θ ) + ημ( θ1 - θ )] ημθ = ημθ - 4ημ θ, συνθ = 4συν θ - συνθ