Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 6 Ανάλυση Fourier Συμπαθητικές Ταλαντώσεις Το Ανθρώπινο Αυτί
Συμπαθητικές Ταλαντώσεις Αν δύο αντηχεία είναι σε επαφή, τότε δίνοντας ενέργεια στο ένα μπορεί να πάρει ενέργεια, έμμεσα, και το άλλο. Οι ταλαντώσεις αυτού του δεύτερου αντικειμένου καλούνται συμπαθητικές ταλαντώσεις. Πρώτο Αντικείμενο Η ενέργεια που προσδίδεται απευθείας στο πρώτο αντικείμενο Δεύτερο Αντικείμενο μπορεί έμμεσα να καθοδηγήσει ένα δεύτερο αντικείμενο. 2
Οι συμπαθητικές ταλαντώσεις είναι σημαντικές στα μουσικά όργανα όπου το κύριο αντηχείο (π.χ., μια ταλαντούμενη χορδή) δε μπορεί η ίδια να κινήσει αρκετό αέρα ώστε να είναι ακουστή. κύριος συντονιστής coupling δευτερεύων συντονιστής 3
Συμπαθητικές Ταλαντώσεις με Διαπασών Ένα διαπασών ταλαντώνεται (με καλή προσέγγιση) σε μια συχνότητα. Σωλήνας ανοικτός και στα δύο άκρα του οποίου η θεμελιώδης συχνότητα συντονισμού ταυτίζεται με του διαπασών θα αποθηκεύσει ενέργεια από τις ταλαντώσεις του διαπασών ως στάσιμο κύμα. 4
Συμπαθητικές Ταλαντώσεις στο Πιάνο Ας δοκιμάσουμε το επόμενο πείραμα: Πατάμε σιγά το C μια οκτάβα κάτω από το μέσο C (ώστε να ελευθερωθεί η χορδή χωρίς να χτυπηθεί) και μετά χτυπάμε απότομα το μέσο C και το αφήνουμε. Αφού αφήσουμε το μέσο C θα συνεχίσουμε να ακούμε τη χροιά του. Γιατί; (Αυτό θα δουλέψει μόνο αν το πιάνο είναι κουρδισμένο. Μπορεί να γίνει το ίδιο πείραμα και με κιθάρα.) 5
Κατανοώντας τις Πεπλεγμένες Ταλαντώσεις Εισάγαμε την Αρχή της Υπέρθεσης (ΑτΥ) ως βοηθητικό εργαλείο για την ανάλυση μιας πεπλεγμένης ταλάντωσης με όρους υπέρθεσης πολλών απλών ταλαντώσεων εξαιτίας της Απλής Αρμονικής Κίνησης (ΑΑΚ). Κατανοώντας το συντονισμό, το παραπάνω ζήτημα καθίσταται κατά πολύ απλούστερο: Αντί να θεωρήσουμε ένα συνεχές πιθανών συχνοτήτων ΑΑΚ που μπορεί να συνεισφέρουν, χρειαζόμαστε μόνο να θεωρήσουμε μια καλά ορισμένη σειρά συχνοτήτων συντονισμού (ιδιοσυχνοτήτων)! 6
Δύο Εκπληκτικά Γεγονότα: Ανάλυση Fourier Υπάρχουν δυο εκπληκτικά γεγονότα που κάνουν την ανάλυση πεπλεγμένων ταλαντώσεων περισσότερο απλή: (1) Κάθε πιθανή ταλάντωση (π.χ., μιας χορδής) μπορεί να περιγραφεί ως η υπέρθεση απλών αρμονικών κινήσεων. (2) Η σειρά των ΑΑΚ που συνθέτει μια πεπλεγμένη ταλάντωση, καθώς και οι αναλογικές τους, είναι μοναδική. Η ανάλυση μιας πεπλεγμένης ταλάντωσης στις αρμονικές συνιστώσες της είναι γνωστή ως Ανάλυση Fourier. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) 7
Εκπληκτικό Γεγονός #1 Κάθε πιθανή ταλάντωση χορδής μπορεί να περιγραφεί ως η υπέρθεση απλών αρμονικών κινήσεων. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να ζωγραφίσουμε οποιαδήποτε καμπύλη θέλουμε μεταξύ δύο σημείων και αυτή θα είναι ισοδύναμη με ένα άθροισμα ημιτονοειδών (ΑΑΚ) καμπυλών. Στην παρακάτω επίδειξη θα δούμε παραδείγματα πώς μη- ΑΑΚ καμπύλες μπορούν να χτιστούν από ΑΑΚ καμπύλες: http://www.jhu.edu/~signals/fourier2/ 8
Υπάρχουν όμως μερικές παγίδες Γενικά, χρειάζεται να προσθέσουμε άπειρο αριθμό καμπυλών ΑΑΚ για να αντιπαραβάλουμε μια τυχαία καμπύλη. Αλλά αν αρχίσουμε με τις χαμηλότερες συχνότητες και κατόπιν προσθέτουμε υψηλότερες συχνότητες, θα σχηματίσουμε γρήγορα σωστά το συνολικό σχήμα και οι ψηλότερες συχνότητες θα είναι απλά βελτιώσεις. Η δεύτερη παγίδα είναι ότι χρειάζεται να καθοριστούν περισσότερα από το πόσες και ποιές συχνότητες χρειάζονται να προστεθούν. Χρειάζεται επίσης να καθοριστούν οι σχετικές τους φάσεις. Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικό για το μουσικό ήχο, έτσι θα αγνοήσουμε αυτή την περιπλοκή. 9
Fundamental 1st Overtone 2nd Overtone 3rd Overtone 4th Overtone Εκπληκτικό Γεγονός #2 Η σειρά των ΑΑΚ που συνθέτει μια πεπλεγμένη ταλάντωση, καθώς και οι αναλογικές τους, είναι μοναδικές. Εξαιτίας αυτής της μοναδικότητας, τα παρακάτω δύο διαγράμματα δίνουν την ίδια πληροφορία για τον ίδιο ήχο (φυσαρμόνικα): Frequency spectrum 10
(Στην πραγματικότητα, από το συχνοτικό φάσμα λείπει η φασική πληροφορία την οποία είπαμε ότι θα αγνοήσουμε.) Ένα συχνοτικό φάσμα δίνει συχνά περισσότερη επισκόπηση στους συντονισμούς που είναι υπεύθυνοι για την παραγωγή ενός μουσικού ήχου κι έτσι θα χρησιμοποιείται συχνότερα κατά τη μελέτη των μουσικών οργάνων. Στο παράδειγμα της φυσαρμόνικας, μάθαμε ότι οι συντονισμοί που εμπλέκονται είναι προσεγγιστικά αρμονικοί και ότι ο 2 ος αρμονικός είναι ηχηρότερος από το θεμελιώδη (1 ο αρμονικό). 11
Ανασκόπηση της Ενότητας Ι: Τα Φυσικά Θεμέλια του Ήχου Στην ενότητα αυτή μελετήθηκαν τα φυσικά θεμέλια του ήχου. Μερικές από τις θεμελιώδεις έννοιες που καλύφθηκαν είναι: Δύναμη Επιτάχυνση Πίεση Ο δεύτερος νόμος του Newton Οι εξισώσεις κλειδιά που αντιμετωπίστηκαν είναι: v = f f n = n f 0 12
Επίσης, μελετήθηκαν επαναλαμβανόμενα μοτίβα των φυσικών φαινομένων που σχετίζονται με την παραγωγή, διάδοση και ανίχνευση του ήχου: Απλή αρμονική κίνηση Απαγωγή και απόσβεση Κύματα (ανάκλαση, διάθλαση, περίθλαση) Συντονισμός (αντήχηση) Τέλος, παρουσιάστηκαν μερικές ισχυρές τεχνικές για την επίλυση ευρέως φάσματος προβλημάτων: Αρχή της Υπέρθεσης Περιορισμός περιπτώσεων Ανάλυση Fourier 13
Εισαγωγή στην Ενότητα II: Η Αντίληψη του Ήχου Σκοπός αυτής της ενότητας είναι να δημιουργήσει συνδέσεις μεταξύ δύο τρόπων περιγραφής του (μουσικού) ήχου: Φυσικός τρόπος: μια αναλυτική περιγραφή με όρους θεμελιωδών φυσικών παραμέτρων (δύναμη, πίεση, ) Ψυχολογικός τρόπος: μια υποκειμενική περιγραφή του πώς αντιλαμβανόμαστε τον ήχο (ύψος, τόνος, θέση, ) Η επιστημονική μελέτη των συνδέσμων μεταξύ της ανθρώπινης αντίληψης (όχι μόνο του ήχου) και της φυσικής καλείται ψυχοφυσική. 14
Ερωτήματα ; Μερικές από τις ερωτήσεις κλειδιά με τις οποίες θα ασχοληθούμε στην ενότητα αυτή είναι: Ακούμε πάντα αυτό που πραγματικά υπάρχει; Μπορεί ένας ήχος να καλύψει έναν άλλο; Γιατί μερικοί ήχοι ευχαριστούν το αυτί και άλλοι όχι; Πώς μπορούμε να διακρίνουμε διαφορετικές πηγές ήχου; (δηλ., πώς αναιρούμε της Αρχή της Υπέρθεσης;) 15
Ως το πρώτο μέρος της μελέτης μας: θα μάθουμε πώς δουλεύει το ανθρώπινο αυτί ως φυσικό σύστημα και θα διερευνήσουμε τα όρια της ανθρώπινης ακοής. Μια και ο ήχος και το φως είναι και τα δύο κύματα, θα συγκρίνουμε επίσης τις δυνατότητες των αισθήσεών μας της ακοής και της όρασης. 16
Το Ανθρώπινο Αυτί Θα ακολουθήσουμε την κορυφή ενός ηχητικού κύματος στο ταξείδι της διαμέσου του ανθρώπινου αυτιού. Το ταξείδι αυτό διαιρείται σε τρία κύρια τμήματα: Το έξω αυτί, Το μέσο αυτί, Το έσω αυτί. 17
Το Έξω Αυτί Ο Ήχος εισέρχεται στο έξω αυτί δια μέσου του πτερυγίου και μέσα από τον ακουστικό πόρο. Οι ανακλάσεις από τις πολλές πτυχές του πτερυγίου βοηθούν την εστίαση ήχων μικρού μήκους κύματος (υψίσυχνων) στον ακουστικό πόρο. Ο περισσότερος ήχος συλλέγεται από εμπρός παρά από πίσω, βοηθώντας τον εντοπισμός της πηγής του ήχου. 18
Τα πτερύγια του αυτιού είναι το κύριο χαρακτηριστικό που διαχωρίζει το ανθρώπινο σύστημα ακοής από αυτό των άλλων ζώων. 19
Ακουστικός Πόρος Ο ακουστικός πόρος έχει διατομή περίπου 1cm και μήκος 2 3 cm και διέρχεται μέσω μιας οπής του κροταφικού οστού του κρανίου. Temporal bone Ο ακουστικός πόρος συμπεριφέρεται περίπου όπως ο σωλήνας εκκλησιαστικού οργάνου και αντηχεί σε συχνότητες του εύρους 2000-5000 Hz, ενισχύοντας έτσι την ακοή μας στο εύρος αυτό. 20
Τύμπανο αυτιού Το τύμπανο του αυτιού είναι η διεπιφάνεια μεταξύ του έξω και του μέσου αυτιού και αποτελεί αεροστεγή σφραγίδα. Το τύμπανο είναι ένας λεπτός δίσκος ινώδους ιστού που συγκρατείται στη θέση του τανυσμένος από ένα μυ. Ο μυς τανύζεται γρήγορα (ακούσια) όταν ακούγεται δυνατός ήχος, ώστε να προστατεύει το περισσότερο ευαίσθητο έσω αυτί από υπερβολικές ταλαντώσεις και βλάβη. 21
Το τύμπανο ταλαντώνεται μέσα έξω ως απόκριση στη δύναμη των ηχητικών κυμάτων που προσπίπτουν πάνω του. Η δουλειά του είναι να μετατρέπει τα ηχητικά κύματα πίεσης σε μηχανική κίνηση. Το τύμπανο και η περεταίρω επεξεργασία είναι αξιοσημείωτα ευαίσθητα σε μικρές μεταβολές πίεσης και μπορούν να ανιχνεύσουν κινήσεις της τάξης των 10-11 m (μικρότερες από το μέγεθος του ατόμου του υδρογόνου!) 22
Το Μέσο Αυτί Η κίνηση μέσα έξω του τυμπάνου παραλαμβάνεται από μια σειρά τριών μικρών οστών που καλούνται οστάρια. Malleus (σφύρα) Incus (άκμονας) Stapes (αναβολέας) Dime (10c) 23
Σφύρα Το πρώτο οστό (σφύρα) συνδέεται απευθείας με το τύμπανο: Ο άκμονας και ο αναβολέας μεταφέρουν την κίνηση της σφύρας στο έσω αυτί, διαμέσου ενός μικρού ωοειδούς (oval) παραθύρου. 24
Δράση Μοχλού Τα τρία οστάρια είναι διατεταγμένα ώστε να προκαλούν δράση μοχλού. Αυτό μεγεθύνει την κίνηση που μεταφέρεται στο έσω αυτί κατά περίπου 50%. 25
Κέρδος Πίεσης Επιπρόσθετα σε αυτό το κέρδος 50% στην κίνηση, υπάρχει και ένα περίπου 20x κέρδος στην πίεση που ασκείται στο έσω αυτί, λόγω της μικρής επιφάνειας του oval παραθύρου (μέσα στο έσω αυτί) σε σύγκριση με την επιφάνεια του τυμπάνου (στο έξω αυτί). 26
Ευσταχιανή Σάλπιγγα Μια διαφορά πίεσης μεταξύ του έξω και του μέσου αυτιού της τάξης του 1/100.000 αντιστοιχεί σε ηχητικό επίπεδο πόνου. Αλλά οι συνήθεις μεταβολές της ατμοσφαιρικής πίεσης λόγω της αλλαγής του καιρού είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτή. Η Ευσταχιανή σάλπιγγα συνδέει το μέσο αυτί με το λάρυγγα και επομένως εξισορροπεί την πίεση στις δύο πλευρές του τυμπάνου. 27
Έσω Αυτί Το έσω αυτί αποτελείται από τον κοχλία και τους ημικυκλικούς πόρους, που εμφωλεύουν προσεκτικά σε διόδους του κροταφικού οστού. Οι ημικυκλικοί πόροι χρησιμοποιούνται για εξισορρόπηση αλλά όχι στην ακοή. 28
Ο Κοχλίας Ο κοχλίας είναι ένα κέλυφος με σχήμα σαλιγκαριού, γεμάτο με ασυμπίεστο ρευστό. Έχει δύο εύκαμπτα παράθυρα στο μέσο αυτί: το oval παράθυρο και το στρογγυλό παράθυρο. Ο αναβολέας εφάπτεται με το oval παράθυρο, αλλά σύρεται γρήγορα προς τα πίσω (ακούσια) όταν ακούμε δυνατό ήχο, για την προστασία του έσω αυτιού. Oval παράθυρο Στρογγυλό παράθυρο 29
Ο Κοχλίας Ξετυλίγοντας τον κοχλία αποκαλύπτεται κωνικός σωλήνας μήκους περίπου 3,5 cm. Μια τομή του σωλήνα αποκαλύπτει τρεις θαλάμους: 30
Ο αναβολέας μεταφέρει την κίνηση του τυμπάνου (μεγεθυμένη κατά 50%) στο oval παράθυρο, το οποίο με τη σειρά του ασκεί πίεση στο υγρό των άνω δύο θαλάμων. Μια και τα τοιχώματα του κοχλία είναι στερεά και το υγρό είναι ασυμπίεστο, ο μόνος δρόμος για την ανακούφιση της πίεσης αυτής είναι με τη διόγκωση του άλλου (στρογγυλού) παραθύρου. 31
Η πίεση στο oval παράθυρο πρέπει να ανακουφιστεί στο στρογγυλό παράθυρο και ακολουθεί το συντομότερο δρόμο για να το πετύχει. Ο συντομότερος δρόμος είναι διαμέσου της ευέλικτης βασικής μεμβράνης που διαχωρίζει τον άνω από τον κάτω θάλαμο. Αλλά το σημείο στο οποίο οι ταλαντώσεις μπορούν να διαπεράσουν τη βασική μεμβράνη εξαρτάται από το μήκος κύματος του ήχου. Επομένως, η βασική μεμβράνη ενεργεί ως αναλυτής μήκους κύματος (ή ισοδύναμα, συχνότητας) του εισερχόμενου ήχου. Πώς γίνεται αυτό; 32
Άλλο ένα Ανάλογο Παιγνίου Ας φανταστούμε ένα παιχνίδι όπου εισέρχονται σφαίρες σε μια ωοειδή οπή και κατόπιν εμφανίζονται σε μια στρογγυλή οπή. Πώς θα σχεδιάζαμε αυτό το παιχνίδι ώστε οι μεγάλες σφαίρες (μεγάλο μήκος κύματος, χαμηλή συχνότητα) να χρειάζονται περισσότερο χρόνο για να διασχίσουν το παιχνίδι από τις μικρότερες ωοειδής (μικρό μήκος κύματος, υψηλή συχνότητα); στρογγυλή 33
Οι μεγάλες σφαίρες (ήχοι μεγάλου μήκους κύματος) περνούν μέσα από το άνοιγμα (βασική μεμβράνη) σε διαφορετικό σημείο (πιο κάτω) του παιχνιδιού (κοχλίας) από τις μικρές σφαίρες (ήχοι μικρού μήκους κύματος). 34
Η Βασική Μεμβράνη Επιλέγοντας το συντομότερο δρόμο, ο ήχος προκαλεί ταλάντωση της βασικής μεμβράνης σε θέση που μετρά το μήκος κύματός του (και επομένως τη συχνότητά του). 4000 Hz 400 Hz Πώς θα αντιδρούσε η βασική μεμβράνη στην υπέρθεση των ήχων 400Hz και 4000Hz; 35
Το Όργανο του Corti Οι ταλαντώσεις της βασικής μεμβράνης μετατρέπονται σε ηλεκτρικά σήματα νεύρων στο Όργανο του Corti. 36
Στο Όργανο του Corti υπάρχουν περί τα 20,000 τριχοειδή κύτταρα που το καθένα στέλνει ένα ηλεκτρικό σήμα, από ξεχωριστή νευρική ίνα, στον εγκέφαλο διά του ακουστικού νεύρου. 37
Μέσα στον Εγκέφαλο Τα ακουστικά νεύρα από τα δύο αυτιά φέρνουν σήματα σε μια ομάδα εξειδικευμένων κέντρων επεξεργασίας και κατόπιν στον εγκέφαλο κοντά στη βάση. 38
Χαρακτηριστικά Σήματος Ένα νευρικό σήμα από ένα συγκεκριμένο τριχοειδές κύτταρο λέει στον εγκέφαλο πού, κατά το μήκος, στην βασική μεμβράνη διαπέρασαν οι ηχητικές ταλαντώσεις. Αυτό με τη σειρά του κωδικοποιεί περίπου το μήκος κύματος (και επομένως τη συχνότητα) μιας συνιστώσας του ήχου. Γενικά, ακούμε πολλές συχνότητες την ίδια στιγμή και έτσι ταλαντώνονται ταυτόχρονα πολλές περιοχές της βασικής μας μεμβράνης. Το σήμα από κάθε τριχοειδές «αναβοσβήνει» με ρυθμό που κωδικοποιεί τη συχνότητα των ταλαντώσεων. Η συχνότητα και το μήκος κύματος (f = v) είναι συνήθως υπεράριθμα αλλά όχι πάντα 39
Τέλος του Ταξειδιού Ολοκληρώσαμε πλέον το ταξείδι μας, ξεκινώντας από τα ηχητικά κύματα που εισέρχονται στο έξω αυτί και ακολουθώντας όλη την πορεία τους μέχρι να γίνουν τα ηλεκτρικά σήματα που εισέρχονται στον εγκέφαλο. 40
Ανασκόπηση της Διάλεξης 6 Ολοκληρώσαμε τη μελέτη μας στις Φυσικές Εδράσεις του Ήχου με: τις Συμπαθητικές ταλαντώσεις την ανάλυση Fourier Αρχίσαμε να μελετάμε την Αντίληψη της Ακοής με μια ανατομική περιήγηση στο ανθρώπινο αυτί, ακολουθώντας τον ήχο στο ταξείδι του διαμέσου: του Έξω αυτιού (πτερύγιο, ακουστικός πόρος, τύμπανο) του Μέσου αυτιού (σφύρα, άκμονας, αναβολέας) του Έσω αυτιού (κοχλίας, βασική μεμβράνη, όργανο του Corti, ακουστικό νεύρο) 41
Επαναληπτικές Ερωτήσεις Ποιούς ακούσιους μηχανισμούς ασφαλείας χρησιμοποιεί το αυτί για την προστασία μας από δυνητικά βλαβερούς δυνατούς ήχους; Πώς μεγεθύνει το μέσο αυτί κατά περίπου 30 φορές την ηχητική πίεση, που προσπίπτει στο τύμπανο, πριν τη μετακυλήσει στον κοχλία; Γνωρίζοντας πώς αποκρίνεται η βασική μεμβράνη στο μήκος κύματος, πότε αναμένεται ένας ήχος να καλύψει έναν άλλο; Πώς μπορεί ο εγκέφαλος να διαχωρίσει δύο ήχους που ακούγονται ταυτόχρονα; 42
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Ιονίων Νήσων" έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.