Διάλεξη 4. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Διάθλαση και Περίθλαση Κυμάτων Κύματα σε Δύο Διαστάσεις Doppler Effect και Shock Waves

Transcript

1 Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 4 Διάθλαση και Περίθλαση Κυμάτων Κύματα σε Δύο Διαστάσεις Doppler Effect και Shock Waves

2 Ανασκόπηση Διάλεξης 3 Αναφερθήκαμε στην Απλή Αρμονική Κίνηση (ΑΑΚ) και αναγνωρίσαμε δυο χαρακτηριστικά στοιχεία που λείπουν ώστε αυτή να αποκληθεί «μουσικός» ήχος: Φάκελος Πεπλεγμένες ταλαντώσεις Συγκρίνοντας μερικά παραδείγματα μουσικών ήχων, ανακαλύψαμε δυο κοινά χαρακτηριστικά: Απόσβεση Μεταβατικά Η απόσβεση οφείλεται στην απαγωγή και περιγράφεται από έναν εκθετικό νόμο μείωσης. 2

3 Τα μεταβατικά συμβαίνουν συνήθως κατά την έναρξη ενός ήχου και οφείλονται σε εκρηκτικές αρχικές διαταραχές που πιέζουν ένα σώμα που παράγει ήχο πέρα από το εύρος γραμμικής απόκρισής του. Η Αρχή της Υπέρθεσης (ΑτΥ) μας επιτρέπει να κατανοούμε τις πεπλεγμένες ταλαντώσεις ενός γραμμικού συστήματος ως το συνδυασμένο αποτέλεσμα πολλών απλών ταλαντώσεων (μορφές). Η Ανάκλαση είναι ένα καθολικό χαρακτηριστικό της κυματικής κίνησης. Ανακλώμενα κύματα μπορούν ή όχι να αναστραφούν, αναλόγως με τις συνοριακές συνθήκες. 3

4 Ανάκλαση 4

5 Διάθλαση Κυμάτων Τί συμβαίνει αν αντί το άκρο του σχοινιού να είναι στερεωμένο, να είναι συνδεδεμένο με ένα άλλο σχοινί διαφορετικού πάχους; 5

6 Περιορισμός των Περιπτώσεων Μια γενική και δυνατή προσέγγιση για την κατανόηση ενός πολύπλοκου φυσικού συστήματος είναι η αναγνώριση των περιορισμών των περιπτώσεών του. Ένας περιορισμός περιπτώσεων είναι όταν μερικές παράμετροι του συστήματος θεωρούνται με ακραίες τιμές. Οι περιορισμοί περιπτώσεων είναι συχνά ισοδύναμοι με απλούστερα συστήματα τα οποία είναι ήδη κατανοητά. Αναγνωρίζοντας και κατανοώντας τους περιορισμούς των περιπτώσεων μπορούμε να σκεφτούμε τη γενική περίπτωση έτσι ώστε να συμπληρώνουμε τα κενά μεταξύ των περιορισμών περιπτώσεων. 6

7 Περιορισμοί Περιπτώσεων για Κύματα σε Σχοινιά (1) Αν το επιπλέον σχοινί είναι αρκετά βαρύ, τότε αυτή η περίπτωση είναι βασικά όμοια με αυτή του στερεωμένου άκρου. (2) Αν το επιπλέον σχοινί είναι το ίδιο με το αρχικό, τότε τα κύματα περνούν από την ένωση ανεπηρέαστα. (3) Αν το επιπλέον σχοινί είναι πολύ ελαφρύτερο από το αρχικό, τότε αυτή η περίπτωση είναι βασικά όμοια με αυτή του ελεύθερου άκρου (μαστίγιο) 7

8 (1) Αρνητική ανάκλαση Όχι μετάδοση??? (2) Όχι ανάκλαση Μετάδοση χωρίς μεταβολη??? (3) Θετική ανάκλαση Όχι μετάδοση 8

9 Ας δούμε την παρακάτω επίδειξη: Τί βλέπουμε; 9

10 Επιπρόσθετα στο ανακλώμενο κύμα, παρατηρούμε ότι υπάρχει και ένα διαδιδόμενο κύμα κατά την αρχική διεύθυνση. Η διαδικασία διάδοσης ενός κύματος διαμέσου μιας διεπιφάνειας όπου αλλάζει η ταχύτητα του κύματος καλείται διάθλαση. Το διαθλώμενο κύμα είναι πάντα μικρότερο από τον αρχικό παλμό (ποτέ δεν αναστρέφεται για να δημιουργήσει ένα αρνητικό παλμό). 10

11 Ανάκλαση & Διάθλαση Η Ανάκλαση και η διάθλαση αποτελούν συμπληρωματικές διαδικασίες που συμβαίνουν και οι δύο στο σύνορο μεταξύ δύο διαφορετικών μέσων. Ο συντελεστής ανάκλασης R = y r /y 0 μετρά το πλάτος του ανακλώμενου κύματος σε σύγκριση με το προσπίπτον κύμα. Αρνητικός συντελεστής σημαίνει αρνητική ανάκλαση. Ο συντελεστής διάδοσης T = y t /y 0 μετρά το πλάτος του διαδιδόμενου κύματος. Είναι πάντα θετικός. Το προσπίπτον κύμα μετατρέπεται πλήρως σε διαδιδόμενο και ανακλώμενο κύμα: T + R = y t /y 0 + y r /y 0 11

12 R = -1 T = 0-1 < R < 0 0 < T < 1 R = 0 T = 1 0 < R < 1 1 < T < 2 R = +1 T = 2 12

13 Η Δεύτερη Διάσταση Έως τώρα, θεωρήσαμε ότι τα κύματα διαδίδονται μόνο κατά μία διάσταση (ακόμη και όταν εξετάζαμε αναπαραστάσεις σε δυο διαστάσεις όπως τα σωματίδια του αέρα). Πώς αλλάζουν τα πράγματα στις δύο διαστάσεις; Η κύρια διαφορά είναι ότι μπορεί τα κύματα να ταξειδέψουν σε περισσότερες από μια διευθύνσεις. 13

14 Ειδικές Περιπτώσεις Διδιάστατων Πηγών Τα Επίπεδα κύματα είναι στην πραγματικότητα απλά μονοδιάστατα κύματα μια και οι διαταραχές αν και βρίσκονται σε διαφορετικές θέσεις είναι όλες σε παράλληλες διευθύνσεις: διεύθυνση διάδοσης Τα επίπεδα κύματα αποτελούν μαθηματική εξιδανίκευση μια και απαιτούν άπειρα μακρά πηγή. 14

15 Τα Κυκλικά κύματα (ή τα σφαιρικά κύματα) ξεκινούν από σημειακή πηγή και διαδίδονται σε κύκλους (ή σφαίρες): Τα Κυκλικά κύματα μοιάζουν με τα επίπεδα κύματα αν τα δούμε από πολύ κοντά (άλλος ένας περιορισμός περίπτωσης) 15

16 Η Αρχή της Υπέρθεσης σε 2 Διαστάσεις Η ΑτΥ ισχύει το ίδιο για κάθε αριθμό διαστάσεων. Παράδειγμα: Διαταραχή A = κυκλικό κύμα με κέντρο στο (-1,0) Διαταραχή B = κυκλικό κύμα με κέντρο στο (+1,0) Πώς θα μοιάζει η συνισταμένη κυματική κίνηση; 16

17 Αναπαράσταση Κυμάτων σε 2 Διαστάσεις Ας δούμε και τα παρακάτω παραδείγματα πολυ- πολικών κυμάτων: 17

18 18

19 19

20 Ανάκλαση & Διάθλαση σε 2 Διαστάσεις Όταν μελετούσαμε την ανάκλαση και την διάθλαση εγκαρσίων κυμάτων σε σχοινί, θεωρούσαμε διάδοση σε μια διάσταση στη διεπιφάνεια μεταξύ των δύο μέσων. Ένας παλμός που φθάνει μια μονοδιάστατη διεπιφάνεια μπορεί είτε να αναπηδήσει προς τα πίσω (ανακλαστεί) και/ή να συνεχίσει (διαθλαστεί). Στις δύο διαστάσεις ένα κύμα μπορεί επίσης να μεταβάλλει τη διεύθυνση διάδοσής του 20

21 Τί καθορίζει την όποια αλλαγή της διεύθυνσης διάδοσης ενός κύματος σε μια διεπιφάνεια; Ακολούθως καταγράφονται οι μεταβλητές σε αυτό το πρόβλημα: Η γωνία πρόσπτωσης του προσπίπτοντος κύματος στη διεπιφάνεια Η ταχύτητα του κύματος πριν από τη διεπιφάνεια Η ταχύτητα του κύματος μετά τη διεπιφάνεια v(πριν) v(μετά) 21

22 Ανάκλαση σε 2 Διαστάσεις Η Ανάκλαση από μια «ομαλή» επιφάνεια είναι κατοπτρική: η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Αυτός ο απλός κανόνας παρόλα αυτά οδηγεί σε πολύπλοκα αποτελέσματα. Για παράδειγμα, μια απομακρυσμένη πηγή φωτός που ανακλάται από μια σφαίρα έχει ανταύγειες: 22

23 Ένα άλλο πολύπλοκο φαινόμενο συμβαίνει όταν φωτίζουμε το εσωτερικό ενός κυκλικού (ή κυλινδρικού) αντικειμένου. Το προκύπτον αποτέλεσμα των ανακλώμενων ακτινών παράγει ένα χαρακτηριστικό σχήμα που καλείται καυστική καμπύλη. 23

24 Διάθλαση σε 2 Διαστάσεις: Αναλογία παιγνίου Τί συμβαίνει όταν το παιχνίδι εισέρχεται στο γρασίδι (όπου οι τροχοί του περιστρέφονται πιο αργά); 24

25 Πρώτα, τί συμβαίνει αν το παιχνίδι βρει το γρασίδι μετωπικά (κανονική πρόσπτωση); Και οι δύο τροχοί μπαίνουν στο γρασίδι και επιβραδύνονται την ίδια στιγμή. Το παιχνίδι δεν αλλάζει διεύθυνση. Όταν φεύγει από το γρασίδι, το παιχνίδι επιταχύνεται αλλά και πάλι χωρίς να αλλάξει διεύθυνση. 25

26 Τί συμβαίνει αν το παιχνίδι μπει στο γρασίδι υπό γωνία, έτσι ώστε ο ένας τροχός να βρει το γρασίδι και να επιβραδύνει πριν από τον άλλο; Κατά τη διάρκεια της περιόδου μετάβασης όταν ο ένας τροχός γυρίζει γρηγορότερα από τον άλλο, το παιχνίδι θα περιστραφεί. 26

27 Το πόσο το παιχνίδι θα περιστραφεί εξαρτάται από: τη διαφορά των ταχυτήτων μέσα και έξω από το γρασίδι, το πόσο χρονικό διάστημα οι τροχοί περιστρέφονται με διαφορετικές ταχύτητες Το μήκος του χρόνου που οι τροχοί περιστρέφονται με διαφορετικές ταχύτητες εξαρτάται από τη γωνία με την οποία το παιχνίδι προσεγγίζει το γρασίδι. Κύματα τα οποία αφικνούνται σε μια διεπιφάνεια όπου η ταχύτητα διάδοσής τους μεταβάλλεται, υφίστανται ακριβώς την ίδια αλλαγή στη διεύθυνση. 27

28 Διάθλαση: Φακοί Αν ένα κύμα περάσει διαμέσου ενός ζεύγους παράλληλων διεπιφανειών, συνεχίζει κατά την ίδια διεύθυνση. Τί συμβαίνει αν οι διεπιφάνειες δεν είναι παράλληλες; 28

29 Ο αέρας κοντά στην επιφάνεια της γης μπορεί να δράσει ως ηχητικός φακός αν η ταχύτητα του ήχου μεταβάλλεται με το υψόμετρο. Η συνεχής μεταβολή της ταχύτητας με το υψόμετρο προκαλεί συνεχή εκτροπή στις διευθύνσεις των κυμάτων κατά μια ομαλή καμπύλη: Π.χ., αν η ταχύτητα του ήχου αυξάνεται με το υψόμετρο (λόγω της αύξησης της θερμοκρασίας ή των ανέμων). 29

30 Διάθλαση: Πρίσματα Τί συμβαίνει αν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτάται από τη συχνότητα; Η συχνότητα του ορατού φωτός αντιστοιχεί στο χρώμα του: Η ταχύτητα του φωτός στον αέρα είναι περίπου ανεξάρτητη από τη συχνότητα, αλλά μεταβάλλεται στο γυαλί. Αυτό οδηγεί στην επίδραση του πρίσματος: 30

31 Διάθλαση: Κύματα στο Νερό Τα κύματα του ωκεανού είναι συχνά προσεγγιστικά επίπεδα. Καθώς προσεγγίζουν την ακτή, η ταχύτητα του κύματος μειώνεται σε ρηχότερα νερά καθιστώντας τα κύματα περισσότερο παράλληλα με την ακτή: 31

32 Περίθλαση Η ανάκλαση και η διάθλαση είναι καθολικές ιδιότητες της κυματικής διάδοσης σε μια διεπιφάνεια όπου αλλάζει το μέσο. Ένα άλλο καθολικό χαρακτηριστικό είναι η περίθλαση. Η περίθλαση εμφανίζεται σε κύματα που συναντούν ασυνέχειες (π.χ., άκρα ή μεμονωμένα σημεία). Η περίθλαση επιτρέπει στα κύματα να συνεχίζουν γύρω από εμπόδια. Όταν ακούμε κάποιο να μιλά πίσω από μια γωνία, ακούμε περιθλασμένο ήχο (και πιθανό ανακλώμενο ήχο). 32

33 Περίθλαση και Μήκος Κύματος Η Περίθλαση είναι σημαντική για το πώς ο ήχος εξαπλώνεται από μια πηγή. Το ποσό εξάπλωσης αυξάνει όταν ο ήχος περνά μέσα από στενά ανοίγματα (στενά σε σύγκριση με το μήκος κύματος) 33

34 Η Ανάκλαση και η διάθλαση μπορούν να θεωρηθούν ως περιορισμοί περίπτωσης της περίθλασης: μπορούμε να προσεγγίσουμε μια λεία διεπιφάνεια με πολλές σημειακές πηγές: 34

35 Το Φαινόμενο Doppler Τα πράγματα γίνονται πιο ενδιαφέροντα όταν η πηγή ενός κύματος κινείται. Αυτό ισχύει ιδιαίτερα για τα ηχητικά κύματα όπου η πηγή μπορεί εύκολα να φθάσει ταχύτητες κοντά ή ακόμα και πέρα από την ταχύτητα του ήχου. Το αποτέλεσμα είναι το φαινόμενο Doppler: Ας σημειωθεί ότι η πηγή στο παράδειγμα δημιουργεί ήχο σταθερής συχνότητας. Η φαινόμενη αλλαγή του τόνου οφείλεται αποκλειστικά στην κίνηση της πηγής. Christian Doppler ( ) 35

36 Τί παρατηρούμε; Ο ήχος εμφανίζεται να έχει ψηλότερη συχνότητα καθώς αυξάνεται ο χρόνος (η πηγή πλησιάζει) και κατόπιν χαμηλότερη καθώς απομακρύνεται. 36

37 Πλησίασμα: Κρουστικά Κύματα Τα πράγματα γίνονται ακόμα πιο ενδιαφέροντα όταν μια πηγή ήχου ταξειδεύει με την ταχύτητα του ήχου ή γρηγορότερα! Αυτό προκαλεί ένα στοίβαγμα των κυματικών κορυφών, ή κρουστικό κύμα. Τα Κρουστικά κύματα είναι σημαντικά και για τη μουσική! Θα δούμε αργότερα ότι δημιουργούνται στα χάλκινα όργανα. 37

38 Η Τρίτη Διάσταση Τα πραγματικά κύματα διαδίδονται στις 3 διαστάσεις, όχι σε 1 ή 2. Προσθέτοντας και την τρίτη διάσταση προκύπτουν ακόμα περισσότερο πολύπλοκα πρότυπα, αλλά τίποτε θεμελιωδώς νέο που δε μπορούμε να το περιγράψουμε με 2 διαστάσεις. Επιπλέον, δεν υπάρχει καλός τρόπος οπτικοποίησης κυματικών φαινομένων στις 3 διαστάσεις. 38

39 Περίληψη Μελετήσαμε το πώς τα κύματα διαδίδονται διαμέσου μιας διεπιφάνειας (διάθλαση) όπου αλλάζει η ταχύτητά τους, πρώτα σε μια διάσταση και κατόπιν σε δύο διαστάσεις. Αναφέραμε την εφαρμογή της τεχνικής του περιορισμού περιπτώσεων ώστε να αποκτήσουμε ένα ποιοτικό αίσθημα για την ανάκλαση και τη διάθλαση σε μια διεπιφάνεια. Είδαμε κύματα σε δύο διαστάσεις και ότι η Αρχή της Υπέρθεσης εξακολουθεί να ισχύει στις δύο διαστάσεις. Μελετήσαμε την περίθλαση και το φαινόμενο Doppler. 39

40 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Ποιό θα είναι το αποτέλεσμα διάδοσης παλμών σε σχοινί όπως το παρακάτω σχήμα; Γιατί μπορούμε να ακούσουμε κάποιον όταν μιλά πίσω από μια γωνία ενός κτηρίου; (Αυτό ισχύει αν δεν υπάρχουν άλλα κτήρια κοντά ώστε να ανακλαστεί η φωνή;) Μπορείτε να καλύψετε τη διαφορά με τον ήχο της φωνής σας; Μπορείτε να τον προσπεράσετε; (Κανένα από τα παραπάνω δεν είναι εφικτό με το φως!) 40

41 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Ιονίων Νήσων" έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.