Διάλεξη 5. Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων. Συντονισμός Στάσιμα Κύματα Αρμονικοί Ήχοι & Αρμονικές

Transcript

1 Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 5 Συντονισμός Στάσιμα Κύματα Αρμονικοί Ήχοι & Αρμονικές

2 Επανάληψη της Διάλεξης 4 Εξετάσαμε τη διάθλαση και την περίθλαση των κυμάτων. Αναλύσαμε την κυματική διάδοση σε δύο διαστάσεις. Μάθαμε πώς ο ήχος από κινούμενη πηγή φαίνεται να αλλάζει τη συχνότητά του (φαινόμενο Doppler). 2

3 Συντονισμός ή Αντήχηση Κάθε φορά που προστίθεται ενέργεια σε ένα σύστημα, βαθμιαία απάγεται. Αυτό είναι η απόσβεση (βλ. Διάλεξη 3). Ο τρόπος με τον οποίο προστίθεται η ενέργεια μπορεί να επηρεάσει το πόσο γρήγορα απάγεται. Μια αναλογία: γεμίζοντας ένα κωνικό κύλινδρο. Η Ενέργεια απάγεται όσο γρήγορα προστίθεται Η Ενέργεια συσσωρεύεται και αποθηκεύεται Η Ενέργεια απάγεται όσο γρήγορα προστίθεται 3

4 Ένας τρόπος πρόσθεσης ενέργειας σε ένα σύστημα είναι ο περιοδικός, δηλ., σε μικρά ποσά που προστίθενται με σταθερή συχνότητα. Συντονισμός είναι η συσσώρευση ενέργειας όταν προστίθεται με συγκεκριμένη συχνότητα. (Η Συχνότητα παίζει το ρόλο του μεγέθους της μπάλας στο προηγούμενο παράδειγμα του κωνικού κυλίνδρου). 4

5 Παράδειγμα: Η Κούνια Παιδικής Χαράς Πώς κινείται μια κούνια; Η συνήθης τεχνική είναι να προσδίδεται ενέργεια περιστρέφοντας το σώμα μας σε συγχρονισμό με την κίνηση της κούνιας. 5

6 Οι περισσότεροι άνθρωποι μπορούν να κινήσουν μια κούνια, αλλά τί θα συνέβαινε αν η ενέργεια διοχετευόταν σκόπιμα σε λάθος συχνότητα; Ας δούμε τις επιδείξεις online demonstrations Προσδίδοντας ενέργεια στην κούνια ακριβώς στη σωστή συχνότητα οδηγούμαστε σε συσσώρευση ενέργειας, η οποία ανεβάζει την κούνια ψηλότερα. Αυτό είναι ένα παράδειγμα συντονισμού. 6

7 Συντονισμός και Απόσβεση Γιατί η κούνια δε συνεχίζει να πηγαίνει όλο και ψηλότερα έως ότου να κάνει κύκλους; Η ιδεατή απόκριση στο συντονισμό συσσωρεύει απεριόριστο ποσό ενέργειας. Στα πραγματικά συστήματα συντονισμού δε συμβαίνει αυτό εξαιτίας της απαγωγής, δηλ., είναι αποσβενύμενα. Στο παρακάτω: motion of the swing, συγκρίνεται η κίνηση της κούνιας όταν προσδίδεται ενέργεια στη σωστή συχνότητα αλλά με διαφορετικό βαθμό απόσβεσης. 7

8 Συχνότητες Συντονισμού Ένα φυσικό σύστημα μπορεί να εμφανίζει μια ή περισσότερες συχνότητες στις οποίες συσσωρεύονται συντονισμοί. Αυτές καλούνται συχνότητες συντονισμού (ή φυσικές συχνότητες). Οι βασικές απαιτήσεις για ένα σύστημα ώστε να συντονίζεται είναι: Καλά καθορισμένες και σταθερές συνοριακές συνθήκες, Χαμηλός βαθμός απόσβεσης. Αυτό σημαίνει ότι τα περισσότερα συστήματα εμφανίζουν τουλάχιστον ένα τύπο συντονισμού! Οι συχνότητες συντονισμού βρίσκονται συχνά στο ακουστό εύρος (περίπου Hz). 8

9 Ένα σύστημα μπορεί να έχει περισσότερες από μια συχνότητες συντονισμού. Καλούμε τη χαμηλότερη συχνότητα συντονισμού ως τη θεμελιώδη συχνότητα. Οποιαδήποτε υψηλότερη συχνότητα καλείται αρμονική (1 η αρμονική, 2 η αρμονική, κλπ.). Η κούνια στην παιδική χαρά έχει μόνο μια συχνότητα συντονισμού. Τα περισσότερα από τα συστήματα που δημιουργούν μουσικούς ήχους έχουν πολλούς συντονισμούς. Παρακάτω θα δούμε παραδείγματα συστημάτων με αρμονικές. Ένα οικείο (μη μουσικό) παράδειγμα είναι όταν διαφορετικά μέρη ενός αυτοκινήτου κροτούν σε συγκεκριμένες ταχύτητες. 9

10 Συσσώρευση Ενέργειας Οπτικοποίηση της Αντήχησης Μια καμπύλη αντήχησης μετρά πόση συνολική ενέργεια συσσωρεύεται όταν προσδίδεται περιοδικά ένα συγκεκριμένο (μικρό) ποσό ενέργειας. Περιγράφεται από τη μαθηματική συνάρτηση: ακριβώς y(x) = 1/(1+x 2 ) ή πολύ αργά πολύ γρήγορα log(οδηγός Συχνότητα) λογαριθμικός άξονας! Physics of Music, Lecture 5, D. Kirkby 10

11 Παραπλεύρως για τους Λογαριθμικούς Άξονες Κινώντας μια μονάδα στα δεξιά σε ένα κανονικό (γραμμικό) άξονα ενός γραφήματος σημαίνει ότι προστίθεται μια σταθερή ποσότητα. Κινώντας μια μονάδα στα δεξιά σε ένα λογαριθμικό άξονα σημαίνει ότι πολλαπλασιάζεται με μια σταθερή ποσότητα. Παράδειγμα: ο εκθετικός νόμος μείωσης (π.χ., από την απόσβεση) έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση κατά συγκεκριμένο κλάσμα σε κάθε χρονικό διάστημα. Πώς θα έμοιαζε αυτό αν ο χρόνος απεικονιζόταν σε ένα λογαριθμικό άξονα; 11

12 Συσσώρευση Ενέργειας Οι μουσικές νότες (A,B,C,,G) αντιστοιχούν σε συχνότητες λογαριθμικής απόστασης. Επομένως, ένα πληκτρολόγιο πιάνου ή όποια άλλη μουσική διαβάθμιση είναι στην πραγματικότητα μεταμφιεσμένος λογαριθμικός άξονας! 12

13 Απόσβεση και Ποιότητα Αντήχησης Το ποσό της απόσβεσης καθορίζει το χρόνο που χρειάζεται ένας ήχος να σβήσει από τη στιγμή που σταματά να προσδίδεται ενέργεια. Καθορίζει επίσης το πόσο οξεία είναι η κορυφή στην καμπύλη αντήχησης. Αυτή η οξύτητα μετράται με ένα «συντελεστή ποιότητας», Q: Q = συχνότητα αντήχησης / πλάτος καμπύλης Μια καμπύλη αντήχησης με οξεία κορυφή αντιστοιχεί σε αντηχείο «υψηλού-q», ενώ μια ευρεία καμπύλη αντιστοιχεί σε αντηχείο «χαμηλού-q». 13

14 Κανονικοποιημένη Συσσώρευση Ενέργειας Καμπύλες Αντήχησης Διαφορετικού Q (οι καμπύλες έχουν προσαρμοστεί ώστε όλες να διέρχονται από αυτό το σημείο) log(οδηγός συχνότητα / Θεμελιώδης συχνότητα) 14

15 Αντήχηση και Αλλαγή Φάσης Αν κινούμε μια κούνια κάτω από τη συχνότητα συντονισμού της, η κούνια αποκρίνεται σύγχρονα (σε φάση) με την κίνηση. Τί συμβαίνει αν κινούμε την κούνια γρηγορότερα από τη συχνότητα συντονισμού της; Θα το δούμε στο: swing demonstrations Σε συχνότητες πάνω από τη συχνότητα συντονισμού, η κίνηση της κούνιας υστερεί. Πολύ πάνω από το συντονισμό, η κίνηση της κούνιας είναι αντίθετη από την κινητήρια δύναμη. Στην περίπτωση αυτή, λέμε ότι η κινητήρια δύναμη και η κίνηση της κούνιας είναι εκτός φάσης κατά 180 (ή απλά εκτός φάσης). 15

16 Πίσω στα Μονοδιάστατα Σχοινιά Έχουμε ήδη θεωρήσει διαφορετικές συνοριακές συνθήκες στο ένα άκρο ενός σχοινιού. Υποθέσαμε ότι το σχοινί ήταν αρκετά μακρύ ώστε να μπορούμε να αγνοούμε το άλλο του άκρο. Τί γίνεται αν το σχοινί δεν είναι τόσο μακρύ και επιτρέπουμε ανακλάσεις κι από τα δύο άκρα; Για παράδειγμα, το ένα άκρο μπορεί να είναι στερεωμένο και το άλλο να κρατιέται (που σημαίνει στερεωμένο + καθοδηγούμενο). 16

17 Το Σχοινί ως Αντηχείο Αυτό είναι απλά ένας συνδυασμός συνοριακών συνθηκών που έχουμε ήδη δει, αλλά αναδεικνύοντας ένα θεμελιωδώς νέο χαρακτηριστικό: την αντήχηση (συντονισμό)! Η πηγή της περιοδικής ενέργειας είναι το άτομο που κινεί το ένα από τα άκρα του σχοινιού με σταθερή συχνότητα. Η συσσώρευση της ενέργειας είναι εμφανής στο πλάτος της εγκάρσιας κίνησης του σχοινιού. Η αντηχητική απόκριση καλείται στάσιμο κύμα. Ας το δούμε: this demo 17

18 Δεσμοί (Κόμβοι) και Αντι-Δεσμοί (Κοιλίες) Καθώς κοιτάμε κατά μήκος ενός στάσιμου κύματος, βλέπουμε δύο ακρότατα στην κίνηση, τα οποία έχουν ειδικά ονόματα: Δεσμός ή Κόμβος: το σχοινί είναι ακίνητο Αντιδεσμός ή Κοιλία: το σχοινί κινείται με τη μέγιστη κίνηση (πλάτος) 18

19 Σύγκριση Συντονισμού Κούνιας και Σχοινιού Στα περισσότερα στοιχεία, οι δυο συντονισμοί είναι ταυτόσημοι: ο συντονισμός είναι άλλο ένα παράδειγμα ενός καθολικού προτύπου που επαναλαμβάνεται σε πολλές φυσικές διεργασίες. Ένα νέο χαρακτηριστικό είναι ότι το σχοινί έχει πολλές συχνότητες συντονισμού. Αυτές αντιστοιχούν με συγκεκριμένα μήκη κύματος: n = 2 x L / n 2 / 3 L L 2L n = 0,1,2, L = μήκος L/2 19

20 Αρμονικές Σειρές Οι συχνότητες που αντιστοιχούν σε αυτά τα συγκεκριμένα μήκη κύματος είναι: f n = v / n = n x v 2 x L v = ταχύτητα διάδοσης κύματος = n x f 0 f 0 = v /(2 x L) είναι η θεμελιώδης συχνότητα. f 1, f 2, f 3, είναι οι αρμονικές συχνότητες. 20

21 Θεμελιώδης, Ανώτερες, Αρμονικές Οι ορισμοί αυτών των τριών όρων εύκολα συγχέονται. Υπάρχει μόνο μια θεμελιώδης. Είναι η χαμηλότερη συχνότητα συντονισμού ενός συστήματος. Οποιαδήποτε ανώτερη συχνότητα συντονισμού καλείται ανώτερη. Αν η συχνότητα συντονισμού (σχεδόν) υπακούει στο f n = n f 0 καλείται αρμονική. Η πρώτη αρμονική ταυτίζεται με τη θεμελιώδη. Η δεύτερη αρμονική είναι η ίδια με την πρώτη ανώτερη. Η αρίθμηση των αρμονικών και των ανώτερων διαφέρει κατά ένα. 21

22 1 η αρμονική 2 η αρμονική 3 η αρμονική 4 η αρμονική 5 η αρμονική 6 η αρμονική 7 η αρμονική θεμελιώδης 1 η ανώτερη 2 η ανώτερη 3 η ανώτερη 4 η ανώτερη 5 η ανώτερη 6 η ανώτερη Αρμονικές και Μη αρμονικές Ανώτερες Μη αρμονική Αρμονική f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 συχνότητα Οι Αρμονικές ισοκατανέμονται σε μια γραμμική κλίμακα 22

23 Τα περισσότερα μουσικά όργανα έχουν ανώτερες οι οποίες είναι τουλάχιστον προσεγγιστικά αρμονικές. Θα δούμε πώς ο εγκέφαλός μας εκμεταλλεύεται αυτό το γεγονός με τον τρόπο με τον οποίο επεξεργάζεται τον ήχο. Πάντως, τα κρουστά όργανα έχουν γενικά μη αρμονικές ανώτερες. Αυτό το γεγονός καθιστά δύσκολη τη σύνδεση ενός ήχου από κρουστό με μια συγκεκριμένη συχνότητα (μουσική νότα). Παράδειγμα: ένα tam-tam 23

24 Οι Αρμονικές Συχνότητες ως Μουσικές Νότες Έστω ότι η θεμελιώδης συνάρτηση f 0 ενός αρμονικού αντηχείου αντιστοιχεί στο C του πιάνου. Σε ποιές νότες αντιστοιχούν οι αρμονικές; f n = n f 0 (n = ανώτερη #) C D E F G A B C D E F G A B C D E F G A B f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Σημειώστε ότι οι αρμονικές δεν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες όπως θα ήταν σε μια γραμμική κλίμακα. Αυτό αντανακλά το γεγονός ότι οι μουσικές νότες είναι κατανεμημένες λογαριθμικά. 24

25 Λόγοι Αρμονικών Συχνοτήτων Οποιεσδήποτε δύο αρμονικές (προσδιοριζόμενες από τους αριθμούς ανώτερων n και m) έχουν ένα σαφή λόγο συχνότητας: f n = n f m m Πώς θα φαινόταν σε λογαριθμικό άξονα αν πολλαπλασιάζονταν με ένα σταθερό αριθμό; Τί θα γινόταν στο πληκτρολόγιο του πιάνου; 25

26 Μουσικά Διαστήματα Ένα μουσικό διάστημα είναι ένας σταθερός λόγος συχνοτήτων. Οι αρμονικές συχνότητες περιέχουν τα περισσότερα από τα συνήθη μουσικά διαστήματα: C D E F G A B C D E F G A B C D E F G A B f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 Οκτάβα (1:2) Πέμπτη (2:3) Τετάρτη 3 η μικρή (3:4) (5:6) 3 η μεγάλη (4:5) Διπλασιάζοντας τη συχνότητα οποιασδήποτε νότας η νέα νότα που προκύπτει είναι μια οκτάβα ψηλότερη, κλπ. 26

27 Μουσικά Διαστήματα σε Τεντωμένη Χορδή Μπορούμε να αναπαράγουμε τις νότες της αρμονικής σειράς συχνοτήτων ακούγοντας τη θεμελιώδη συχνότητα μιας χορδής της οποίας το μήκος μεταβάλλεται σύμφωνα με: Θεμελιώδης: L = 50cm Πρώτη Αρμονική: L = 25cm Μια Οκτάβα ψηλότερα Δεύτερη Αρμονική: L = 16.7cm Μια Πέμπτη ψηλότερα Τρίτη Αρμονική: L = 12.5cm Μια Τετάρτη ψηλότερα 27

28 Συνοριακές Συνθήκες Αναλύσαμε τη χορδή με τα δύο άκρα στερεωμένα (το άκρο που κρατείται θεωρείται στερεωμένο όσον αφορά τις ανακλάσεις). Αυτό είναι ένα παράδειγμα συνοριακής συνθήκης, και οδηγεί σε στάσιμα κύματα τα οποία έχουν κόμβους (ακινησία) σε κάθε άκρο. Ποιές είναι άλλες πιθανές συνοριακές συνθήκες; (1) Το ένα άκρο στερεωμένο, το άλλο ελεύθερο. (2) Και τα δύο άκρα ελεύθερα (δύσκολο να επιτευχθεί αλλά εύκολο να το φαντασθεί κάποιος!) 28

29 Η νέα συνοριακή συνθήκη στο ελεύθερο άκρο είναι ότι αυτό πρέπει να είναι αντιδεσμός. Αυτό έχει δύο επιδράσεις στις συχνότητες συντονισμού: (1) Η θεμελιώδης συχνότητα είναι 2 φορές χαμηλότερη από αυτή του σχοινιού με τα δύο άκρα στερεωμένα: f 0 = v /(4 x L) (2) Οι ζυγές αρμονικές απαγορεύονται: f n = n f 0 με n = 1,3,5, 29

30 Αέριες Στήλες ως Αντηχεία Ο αέρα που περιέχεται μέσα σε ένα σωλήνα μπορεί να συντονιστεί ακριβώς όπως μια χορδή. Ποιές είναι οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες; (1) στερεωμένο + ελεύθερο άκρο (2) δύο ελεύθερα άκρα (3) δύο στερεωμένα άκρα ανοικτό + κλειστό άκρο δύο ανοικτά άκρα δύο κλειστά άκρα (!) 30

31 Δεσμοί και Αντιδεσμοί σε μια Αέρια Στήλη 31

32 Επίδειξη: Η Ράβδος που Τραγουδά Μια μακρά ράβδος αλουμινίου μπορεί να υποστηρίξει δύο είδη ταλαντώσεων: Διαμήκη (εφελκυσμός & θλίψη κατά το μήκος της) Εγκάρσια (κάμψη εγκάρσια στο μήκος της) Μια και αυτοί οι δύο συντονισμοί συνεπάγονται θεμελιωδώς διαφορετικούς τύπους κίνησης, οι θεμελιώδεις συχνότητές τους δε σχετίζονται απλά μεταξύ τους. 32

33 Σύνθετες Κινητήριες Δυνάμεις Οι ράβδοι που τραγουδούν, τα νυκτά έγχορδα και οι σωλήνες που σφυρίζουν, φαίνεται να μην έχουν ένα από τα κρίσιμα στοιχεία φια συντονισμό: Ότι η ενέργεια παρέχεται περιοδικά κάτω από μια σταθερή κινητήρια συχνότητα. Physics of Music, Lecture 5, D. Kirkby 33

34 Θορυβώδεις Ενεργειακές Πηγές Κτυπώντας μια χορδή, θερμαίνοντας τον αέρα κοντά σε ένα μεταλλικό πλέγμα και κινώντας τα δάκτυλα κατά μήκος μιας ράβδου έχουμε παραδείγματα θορυβωδών ενεργειακών πηγών. Ο Θόρυβος είναι η υπέρθεση πολλών ταυτόχρονων ταλαντώσεων (του αέρα, μιας χορδής, μιας ράβδου, ) που καλύπτει ένα συνεχές εύρος συχνοτήτων. Μια και καμία συχνότητα δεν κυριαρχεί, δεν ακούμε κάποιο σαφή τόνο, αν και όλες οι συχνότητες είναι παρούσες! Μια και όλες οι συχνότητες είναι παρούσες σε κάποιο εύρος, είναι εγγυημένο ότι θα διεγερθούν όλες οι παρούσες αντηχήσεις μέσα στο συγκεκριμένο εύρος. 34

35 Περίληψη Ο Συντονισμός ή Αντήχηση είναι μια συσσώρευση ενέργειας όταν αυτή προσδίδεται στη σωστή συχνότητα. Πολλά φυσικά συστήματα είναι αντηχητικά. Μερικά εμφανίζουν περισσότερα από ένα είδη αντηχητικής απόκρισης (π.χ., η ράβδος που τραγουδά). Ένα σύστημα μπορεί να παρουσιάζει αρκετές συχνότητες συντονισμού για τον ίδιο τύπο απόκρισης. Παραδείγματα αντήχησης: κούνια, σχοινί στερεωμένο και στα δύο άκρα, αέρια στήλη, ράβδος αλουμινίου. 35

36 Επαναληπτικές Ερωτήσεις Τί σχέση έχουν οι λογάριθμοι με το πληκτρολόγιο του πιάνου; Ποιά είναι τα αντηχεία στα οποία οφείλεται η παραγωγή μουσικού ήχου σε κάθε ένα από τα παρακάτω όργανα; 36

37 Μπορεί μια χορδή να ταλαντωθεί σε περισσότερες από μια συχνότητες την ίδια στιγμή; Ποιές συχνότητες είναι οι πιο πιθανές για μια ιδεατή χορδή; Είναι αναγκαίο να οδηγηθεί μια χορδή κιθάρας με την αρμονική της συχνότητα ώστε να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που να μπορεί να ακουστεί; Γιατί σταματάμε στην 5 η ανώτερη όταν κοιτάμε τις αρμονικές και τα μουσικά διαστήματα σε ένα πληκτρολόγιο πιάνου; 37

38 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο "Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Ιονίων Νήσων" έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.